大学入試数学解説：東大2019年理系第4問【数学A 整数】

ユークリッドの互除法の原理について
• 入試で使える！！ユークリッドの互除法の原理について
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・ここで紹介している解説は，大学が公表したものではありません．
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解説：古賀真輝
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[@わんこもふりたい]

言語化能力が高すぎる

[@_siivaa8624]

1つ思ったこと。 (人柄としての)感じの良さ、解説の丁寧さ、板書の見やすさ等々、高いクオリティなのにあまり伸びていないのは、数学しかもハイレベルであることが原因なのかな？？ 結論…好きです。

[@shirokuroX02]

僕も好きです

[@dx9274]

たけ 僕も好きです。 開成卒に思えない感じも好き。

[@あごくさ]

しゃる やめたれw

[@aaabbbcccddd777]

@しゃる ヘアスタイルでしょう。ベリーショートがいいとおもう。

[@去日-p7p]

家でのんびり解いてたら出来るんだけどなあ……

[@gorigorigori79]

本番焦るよな

[@長谷川緑-b7n]

他の数学を解説してる人たちより格段に頭よさそう。本質から理解してる感じ。

[@9cmParabellum]

mod 3で2と合同になることがないのは知ってたけど mod 4も有用なんだな

[@atp7675]

n²

[@tzawa-he5zg]

代ゼミの見て書いた説

[@増井博行]

n=2k+1の時5n^2+9が平方数×2にならないことが示せました。5n^2+9=5(2k+1)^2+9=20k^2+20k+14=2{10k(k+1)+4+3}。ここで{ }のなかは4で割って3余るので平方数では無い。

[@れい-f2p]

わかりやすい、是非東工大もやってほしい、特に大問4

[@kazika2866]

奇数のとき n^2+1=2mとおくと 5n^2+9=2(5m+2) mは奇数だから5m+2の1の位は7 1の位が7の平方数は存在しないから5n^2+9は2*平方数にならない というのもありですかね

[@TonyStark_85]

解説を出すのが早すぎるすごい 細かいことですが、greatestですね！

[@たくみん1411]

わかりやすすぎて鼻血でた

[@kazusaka4063]

nが奇数のとき、n^2 +1が平方数の2倍になるときがないかな？と考えた。解はn=1,7なんだが、これをしめすのが簡単そうでなかなかに難しく…(笑)

[@tuki9717]

n^2+1と5n^2+9が全ての自然数nにおいて2の倍数かつ4の倍数でないことを示し、 ⑴から、 n^2+1=2a 5n^2+9=2bとおけて、2aと2bは共に、因数2を1つしか持たないため、aとbはそれぞれ奇数であり、2s+1、2t+1とおける。 よって (n^2+1)(5n^2+9)=4ab =4(2s+1)(2t+1) =4(4st+2s+2t+1) となる。これが平方数となるためには 2s+2t+1が4の倍数であることが必要条件であるが、これは全てのs,tにおいて奇数である。 以上より矛盾が生じたため背理法より題意は示された どうでしょう、かなり記述は端折ってますが

[@otiaiaito4407]

5n^2=2u^2－9 となるけれど、 2u^2－9が絶対に5の倍数にならないことを、u ≡0、±1、±2(mod5)で示すのも解法としてはありですよね？

[@user-en3xw6dy4s]

全然ありですね。ある数で割った余りが両辺で一致しないことを利用して矛盾を示すの便利ですね

[@otiaiaito4407]

確かに便利ですね。矛盾を示せた時はホッとしました。

[@uchi0123]

与式が平方数になるには最大公約数をkとして n²+1=ka² 5n²+9=kb²とならないといけないので k(b ²-5a²)=4 よって　k=1 2 4 (1)k=1 の時　n²+1=a² (a-n)(a+n)=1 →a-n=a+n=1 これを満たす自然数nとaの組はない (2)k=2の時　2(b ²-5a²)=4 b ²=5a²+2 よって、以下mod5で考えて b ²≡2 ところが自然数mに対し m≡0の時m²≡0 m≡1の時m²≡1 m≡2の時m²≡4 m≡3の時m²≡4 m≡4の時m²≡1 でありb ²≡2となることはない。→k=2は不適 (3)k=4の時　　n²+1=4a² (2a-n)(2a+n)=1 → 2a-n=2a+n=1 これを満たす自然数nとaの組はない 以上よりk=1 ,2,4のどの場合も条件を満たす自然数nは存在しないので、与式が平方数になることはない。

[@vyamam]

30年前の受験生の印象だけど、京大は2次試験は代数の問題が多くて、東北大は解析学関係の問題が多かったような気がします。 東北大に入学したんですが、入学してみると問題を作り慣れていそうな人は解析学系の人が多かったような気がします。 今でもあるのかなぁ。

[@SuperIzuru]

ざっと35年前の京大受験生です。入学してから聞いたのですが、名古屋大学出身の永田先生という方があらゆる分野の入試問題作りの名手で、絶妙な難度の問題を多数入試委員会に提出してたと噂を聞きました。

[@ロアサラダ]

過去問の解説の動画とかって著作権どうされてるんですか？

[@すりつりねねすぬぬぬ]

、東工大やってほしいです

[@earthsun]

具体例分かりやすいです

[@perimetros314]

n が奇数で矛盾するのはヒント関係ないですね nが奇数のとき n ²≡1 ( mod 8 ) n²+1 ≡ 2 ( mod 8 ) ∴ ( n²+1 )/2 ≡ 1 ( mod 4 ) 5n²+9 ≡ 6 ( mod 8 ) ∴ ( 5n²+9 )/2 ≡ 3 ( mod 4 ) ∴ ( n²+1 )( 5n²+9 )/4 ≡ 3 ( mod 4 ) ∴ ( n²+1 )( 5n²+9 )/4 が平方数にはなり得ない しかしこれは仮定に反する

[@とうま-s7s]

great common divisor ではなく greatest common divisor ですね、trivialな問題ですが

[@tofu_pkmn]

trivialは形容詞なので trivialな問題 ではなく trivial問題 ですね　些細な問題ですが 7ヶ月前のコメントに クソリプしてごめんなさい

[@tofu_pkmn]

@@田中哲平-f6b 不快にさせてごめんなさい ただ暴言は良くないですよ

[@田中哲平-f6b]

@@tofu_pkmn ハッピーな気分、ユニークな人。とか言わない？

[@tofu_pkmn]

@@田中哲平-f6b 言いますよね ごめんなさい。あの時は クソリプ=的外れなコメントと 勘違いしてました。本当にごめんなさい。

[@yarukinonaineko]

"divisor" ですね

[@shadowruifight]

このチャンネルの、わかりやすさや華やかさより正確さを大事にする感じが出てて本当に好きです。これからもついていきます。

[@tikyuzin]

こjb

[@Men-no-Suke]

nが奇数の時が証明できなかった！ 20点中14点くらいはもらえるかな～

[@Hentai_Student]

@@胸にかける 優しいw

[@9時-t9x]

@@胸にかける 急に辛辣なのなんなんw

[@撲針愚]

2番は背理法でやってるということですよね？ 問題は平方数にならない事を示せとありますが、背理法を使うと言わないで2番の式は平方数になると言ってる気がするのでちょっと混乱しました… 動画内で言ってるよとか、そんなの常識だからいちいち断るまでもないとかだったらすいません

[@ヨーグルト-n5k]

撲針愚 平方数であるとか言い出したから問題違うのかなとたしかに思いましたね笑

[@user-cl7fw4fq9h]

mod4のときx:奇数でx^2≡1は既知として使っていいんですか？

[@sion3697]

整数nを使って奇数の二乗は(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4(n^2+n)+1 と表せるので、書き添えておいてもいいかもしれないですね

[@user-cl7fw4fq9h]

紫苑【sion】 あーそうか！ありがとうございます

[@にっっ]

(2)の星マークは証明必須ですか？

[@aaabbbcccddd777]

教え方がとてもうまい。

[@トマト伯爵-g4y]

ハゲタカに出てたホテルの社長の妹の逃げた旦那に似てる！ わかる人おるかな？笑

[@うあ-e9m]

俺的には高橋一生と山村警部

[@hurutakouich]

くさ

[@co1556]

VとUを互いに素としているのだから、u^2とv^2が共に0(mod4)の場合は確認しなくても良いと思うのですが、自明ではないのでしょうか？

[@user-tg4ei3cl8k]

完全に正しい指摘だと思うけど自明として断りなく省くのは怖いですね。

[@co1556]

@@user-tg4ei3cl8k 返信ありがとうございます。なるほど。となると、動画を見る限りでは確認して可否を出すのもそこまで手間では無いようですし、言及した上で省くのとどっちを選ぶかは好みの問題ですね。 共に0となるパターンを確認した上でこのパターンにはなり得ないと付記するのがエレガントてしょうかね。文量が増えるのは入試の答案としてはエレガントではないですけど。

[@res_gnr]

わかりやすいな〜

[@おうま-h3f]

高一でも（1）は解けましたが...（2）はねぇ...

[@toruegawa2854]

ユークリッドの互除法知らなかったから解けなかった

[@wtbhhh]

数学tuber界隈とコラボしないんかな

[@呂布カルマ-j7m]

あの馴れ合いは正直寒い。

[@mflat6284]

秀樹松山 同意

[@カナナー]

mod4の処理らくだなー

[@東雲そら-n8c]

modもユークリッドみたくなるのか…

[@東雲そら-n8c]

(1)から (ⅰ)nが偶数の時互いに素 (動画のようにSTおく) ∴S.Tはどっちも平方数 n^2+1=s^2から、不適 (ⅱ)nが奇数のとき最大公約数2 2Uと2V(U.Vは互いに素)とおけて、2U×2Vが平方数となる時U×Vは平方数→U.Vはどちらも平方数 （n^2+1）/2=u^2(uは自然数) 1=2u^2-n^2=(√2u-n)(√2u+n) u.n自然数から不適 (ⅰ)(ⅱ)より題意は示された▪️ 気づけなかったら落ちる…？ 先が見通せなかったら偶奇分けで途中点とって別の問題…どうなんだろう。

[@フフ-h9h]

東大の問題、結構簡単なんだよな・・・