大学入試数学解説：東工大2018年第2問【数学A 整数】

[@zip7362]

右下のペン入れがチップスターなことに気付いて超笑ってしまった。

[@ryu6376]

11:58 ここでzをkで表すのが地味にポイントですね。(2)でx^2+y^2の最小値を求めるので、yにkが含まれてたら、2回平方完成で面倒なので。

[@帰宅マン]

たまたますぐ答えが出る値だったという結果論ですが、mod5からy=5k+3(kは整数) k＝0で試すと7x+13z=-54 当てはまる数を考えるとx=-4 z=-2がこれを満たす この時、x^2+y^2=25 yは5k＋3の値しか取り得ないので、x^2+y^21, k25であるから) k=-1の時、7x+13z=37…① また、k=-1の時、y>-2であるから、x^2+2^2

[@user-dk3qv4zi9e]

11:40 のとき、なんで7(-5k-2)じゃなく5(-7k-2)と変えたんだろう。と 動画の最後見るまで考えてたけど、最後聞いてとてもスカッとした。

[@user-jz9lb1gg1p]

わかりやすさの神

[@NatureJapan3776]

整数問題なんでしょうが、平面の方程式や距離などが頭をよぎりました(ﾟдﾟ;) 解けないことは無いかもしれませんが、実数軸で考えてもあまり意味は無いかな...(￢_￢) 今回は以下の方法で解きました。 (略解) 35x+91y+65z≡2z≡3 (mod 7) 以下のような表を考えると、これを満たすzは、z≡5 (mod 7)とわかる。 z:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 2z:0, 2, 4, 6, 1, 3, 5 同様に、x, yについても、 35x+91y+65z≡9x≡3 (mod 13) x:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 9x:0, 9, 5, 1,10, 6, 2,11, 7, 3,12, 8, 4 ⇒ x≡9 (mod 13) 35x+91y+65z≡y≡3 (mod 5) x=13a+9, y=5b+3, z=7c+5 とおき、元の式に代入すると、 35(13a+9)+91(5b+3)+65(7c+5) =455(a+b+c)+913=3 ∴a+b+c=-2 の関係式(必要十分条件)が出る。 あとはこれを満たせばよいので、 (1) (a,b,c)=(0,0,-2)⇒(x,y,z)=(9,3,-9)など (2) x²+y²=(13a+9)²+(5b+3)² ⇒ a=-1,b=-1,(c=0)より、(x,y,z)=(-4,-2,5) はすぐでした。 ところで、与式が35x+91y+52z=3のような式だと、上記の方法でも無理ですし、動画の方法でも11:52あたりで、先に進めなくなる。 結局、35, 91, 65が5,7,13という3素数の積で構成されているのがうまく解ける理由なのかなぁ～(˜ヘ˜;)と思いました。

[@Akabane-ue7wv]

nastarnb 自分も似たようにやったのですが、13a+9ではなく、a、b、cの部分を全てkと置いたら上手くいかなかったんですけど何故なのでしょうか…？

[@tさん-x7j]

a,b,cが等しくないからでは？

[@Akabane-ue7wv]

tさん でも二次式だとどちらとも同じ文字で置けたのになぜ急に三次式でおけなくなったのでしょうか？

[@tさん-x7j]

Itoho 421 たしかに

[@konako_szd]

tさん ただ代入計算を端折ってるだけじゃないの？

[@samugari1]

係数を比較して、mod13からx=13m+9、mod5からy=5n+3が出て解けましたが、一般的な解き方がよくわかりました。

[@羽一重楽寿老]

ちなみに東京出版の問題集では合同式が正攻法みたいに書かれてたし、時間的にも一番解答として理想だと思う。俺にはどう考えても一次不定方程式にしか見えなかったけど。

[@おっかー-b4q]

自信があるから自分でも出来なかったと言えるんだろうな、スゲ〜

[@Sukyojuku]

良い動画！ありがとうございます。

[@_081yuki8]

賢くなった高橋一生かな？好き

[@CyclesT-j5e]

これいきなり2解いて1と2をまとめて答えたらえろいな

[@nekomark]

頑張ろう、理科系。 身障者施設の身障者メンバーである。 畑の、すいか栽培も大切です。 数学の大切さを、忘れてはいけません。 とにかく、ありがとう、理科系。

[@douglasdaikon5310]

初めて見る発想でした

[@ララランド-w5q]

JMO本戦あるいはIMOの解説が聞きたいです！！こういった問題の解説はなかなか授業形式のものは世に出回ってないので、例えば地方高校とかの賢い子たちからの需要がある。

[@yuan9356]

のペーっとしてる顔で可愛い

[@山田里見-n3n]

(1)の時点で(x,y)=(-4,-2)出せれば(2)の2乗の和が20以下のもので検証して等号成立しないこと示して終わりってのもある笑

[@あいうえおかちまち]

格子点の原点との距離と観れる気がする。なんか解いてないからわからんけど。

[@egg_tuna_egg]

先まで見越せなかったなあ…難しい

[@user-ii2hq6tg4w]

5*7x+7*13y+5*13z=3なので 35x≡3 → 9x≡3 → 27x≡9 → x≡9 (mod 13) より x=13k-4と置く 91y≡3 → y≡3 (mod 5) より y=5l-2と置く 65z≡3 → 2z≡3 → 8z≡12 → z≡5 (mod 7) より z=7m-2と置く 代入して5*7*13(k+l+m)-4*35-2*91-2*65=3 455(k+l+m)=455 k+l+m=1 x²+y²=(13k-4)²+(5l-2)² なので k=0, l=0のとき最小で20 このときk=0, l=0, m=1なのでx=-4, y=-2, z=5 おすすめに出てきたので解いてみただけで 先生が一般的な解き方を解説してらっしゃるのは承知しております。 失礼しました。

[@jaehees3695]

あざす！

[@TORINIKU_san_]

(1)終わった段階で「ふーん、x.yを簡単に表したほうがいいんだなぁ」ってなる人がいたとしたら凄いな

[@うけ-f4f]

これは落とせない問題やな

[@羽一重楽寿老]

東工大目指す人だったら尚更だろうね。

[@Tomo-oi6lx]

概要欄打ち間違えてますよ！(一応報告)動画良かったです。

[@kazusaka4063]

（2）ですが、zを消したいのでmod5と13が良さそう。 任意の整数k,lを用いて mod5よりy=5k+3 mod13よりx=13l+9 絶対値が最小になるようにするとk=l=-1 x=-4,y=-2の十分性も確認。 というのはどうですか？

[@ああ-o9u3l]

kazu**** saka**** 自分もそうした

[@伊藤せら-q7s]

どれくらいの時間で解ければいいの？

[@にに-f9w]

進研ゼミでやったところだ～を体感した。

[@senki1489]

整数かい！

[@たらたる]

サムネだけ見てxyzがそれぞれ整数である事を見落としてしまいました

[@らん-f5d]

東工大レベルで(1)出してくるの優しい

[@user-umiyamakawa]

かしこいなー

[@user-mk9kz5vt9x]

あきとさんも解説してたものですよね？

[@ajackathearipper4827]

これ落とすのもったいない

[@やまま-v6c]

ちょっと頭のいい学校だったら定期テストに出してもおかしくない問題ですね

[@DT-dv4ir]

MOD 5 考えたらイチコロじゃね？

[@st-ns3kx]

これ本番で解けなかったなぁ

[@UCaLii]

整数であることをサムネで伏せちゃうの？

[@UCaLii]

猫犬 実数だと無限にある→間違い 実数だとx=0,y=0で自明→正しい 整数じゃなきゃ無限にある→間違い せいぜいこんな感じでしょ

[@UCaLii]

猫犬 この命題でx,y,zが実数なら黄チャートレベルで唯一かつ自明でいいと思うけど

[@羽一重楽寿老]

2番に関しては求めたい形から円なのかなって言う雑念は出てきたけど、それぞれの係数は素数から構成されてる数字だからどう考えても整数問題だね。文系だけどそんなに難しく感じなかったなぁ。東工大目指す人だったら20分も要らないんじゃないかな？

[@矢野晋二]

@@FA-km6pe 実数解で考えると、xy平面上にある。中心点(０、０)の円を横切る三次元上の直線35X+91y+6z-3=0の交点と考えられる。よってz=0を代入して、後は数Ⅱレベル。流石にX 、Y ０は思い付かなかった。(笑)

[@矢野晋二]

@@FA-km6pe そうですね。私は、xy平面上円として、つまりz=0 だけで考えていました。(笑)問題の捉え間違いですね。

[@chonheipo8656]

X=9+13k ,y=3+5k , z=-9-14k

[@japjap3725]

なんか　かっこいいね

[@_siivaa8624]

1=9×1+4×(-2)…というように書くと、やりやすくてミス減りますでー

[@インフルエンザ歯ブラシ]

いやこっわ…

[@masahikok.9646]

美味いですね。

[@miiina_4hU]

おれが落とした問題だ

[@佐々木輝-w3s]

嘘つけや

[@八百屋の菠薐草]

@@佐々木輝-w3s なぜや

[@アンバダ]

それ東工大志望としてあかんやろwww

[@hutoi_hito]

整数かい サムネだけ見て激易のクソ問だと思っちゃった

[@sasoribi1341]

比較的簡単ですね

[@雄也-o2w]

うはっw 馬www

[@お願い死なないで]

なんかこいつ怖いな

[@古田真-h7u]

最初の説明が欠けて居るね。式のシフト、整数の順序、意識の持ち方か、有無、30分で解ける問題なのか、時間の説明も欲しいね。 （x/13＋y/5＋z/7)＊（5＊7＊13）＝3は気付くなあ。 35x+91y+65Z=3　 35-26=9 91-90=1 65-63=2　 9x+y+2z　=　3　が気付かない。＝ではない　⇒此処までは1分だろうね。トレーニングか。 以下の人がスッキリ来る。modの探し方で9回目が時間が掛かる。ここで直感が折れるなあ。でも確実に数えれる。 9x≡3 (mod 13)　y≡3 (mod 5)　2z≡3 (mod 7)　これが最終直感なのか。　　　　　　　　　　　⇒此処までは1分だろうね。 この辺って、計算力より、問題作成者意図の直観的解析力なのか。9，3，5が数えれると浮かぶセンスなのか。　⇒此処までは1０分だろうね。 数字操作慣れ問題と理解するか。x=13a+9, y=5b+3, z=7c+5 とおき、元の式に代入する、これは以下の人を参考した。modの計算能力が問われているのか。a+b+c＝2が計算できる直観性はあるね。　　　⇒此処までは1０分だろうね。 もうちょっと全体性から手順化したいね。右辺３が見通す5＊7＊13＝91＊10/2＝452が浮かぶセンスか。これは3桁で少し無理筋なのか。a+b+c＝2が計算できる直観性を否定した気がする。 整数順序問題モジュラリテイーが答えを暗示している。3元を2元に落とすのが本来なのだろう。 0,0,3/65も整数を忘れる良いセンスだよね。うふ。