Dominio di Funzioni Algebriche Irrazionali Fratte

[@clerabs3412]

Beh che dire!!! Wow 😍

[@profpaolomate]

Grazie mille! 🥰😋

[@hat_tee]

Video formidabile!!! 😍

[@profpaolomate]

Grazie mille! 😉🤩☺️

[@ElisaBoito]

Di grandissimo aiuto 😊

[@mmmmeeee]

Chiarissimo!!! 🔝🔝🔝

[@profpaolomate]

Grazie mille!

[@nicocipa]

Chiarissimo!!! Hai risolto non pochi dubbi! 😎😉🔝

[@profpaolomate]

Grazie 😉

[@ilariabalsamo4893]

Bravissimo

[@harescarbone]

Un video da salvare assolutamente

[@paolafaletti]

Questo video salverà le mie vacanze natalizie, grazie professore

[@federicacante]

Gli esempi sono qualcosa di favoloso permettono di capire esattamente la differenza tra i vari casi, grazie

[@michaelpips]

Prof Paolo ➡️ e i dubbi se ne vanno!!! ✅☑️✅☑️✅

[@profpaolomate]

Beh che dire, grazie di cuore! 🥰🤩❤️

[@AntonioFrollini]

Favoloso, canale super 😊

[@GiorgioBrianti]

Mamma mia che canale 😊❤

[@profpaolomate]

​@@AntonioFrollinigrazie mille 😊

[@profpaolomate]

​@@GiorgioBriantigrazie infinite 😊

[@valeriocarlini7040]

Questi video tolgono davvero ogni dubbio! Unici e di rara bellezza...GRANDE

[@profpaolomate]

Grazie mille Valerio! 🤗

[@LorenzoRigatti]

Esempi a dir poco perfetti 😄

[@profpaolomate]

​@@LorenzoRigattigrazie mille 😊

[@mariapiavaccaro6781]

Grazie mille Molto chiaroo😍😍😍😍

[@profpaolomate]

Figurati! ☺️ Mi fa molto piacere che questo video ti sia stato di aiuto! Grazie a te 😋 Ciao ciao Prof Paolo

[@sabinaallegri7644]

Tutto davvero molto chiaro e spiegato in modo lineare e scorrevole! Bravissimo

[@profpaolomate]

Grazie infinite!

[@CarloLommi]

Spettacolo

[@profpaolomate]

@@CarloLommi grazie di cuore

[@pinodelfante8541]

Di una chiarezza esemplare. Un video che toglie tutti i dubbi!

[@profpaolomate]

Grazie mille Pino, molto gentile! 🤗

[@saracrescenzi916]

Questo video ha appena dato una svolta inaspettatamente positiva al mio weekend!!! ✨✨🧠✨✨

[@profpaolomate]

🤗

[@giusyvi]

Lezione molto chiara e scorrevole! Chiarezza senza confine Bravissimo

[@profpaolomate]

Grazie mille! 🥰

[@silviadambrosio7512]

Complimenti professore

[@giuliamarani]

Superlativo

[@profpaolomate]

@@silviadambrosio7512 grazie mille

[@profpaolomate]

@@giuliamarani grazie mille

[@cristinaditullio1541]

Perfetto e chiaro in tutto! Grande professore, grazie

[@profpaolomate]

🤗

[@mobilegiuso]

Grazie. Chiarissimo e utile per supportare mio figlio

[@profpaolomate]

Ci mancherebbe, un vero piacere essere di aiuto! 🤓

[@ChiaraFzz]

Grazie prof Paolo, videolezione chiara. Spiega in modo cristallino la differenza tra i vari casi. Complimenti

[@profpaolomate]

Grazie mille! 🤗

[@GiorgiaAlfieri-kp4mt]

Video che è fonte di certezze grazie ❤

[@profpaolomate]

😊 grazie mille 😇

[@dalilaplaitano2741]

Grazie mille Prof., è stato di grande aiuto🙏

[@profpaolomate]

Figurati, è stato un piacere! 🤗

[@alechimadarktiger6671]

hai salvato la mia carriera scolastica hai la mia eterna gratitudine

[@profpaolomate]

🤗 troppo gentile! Grazie mille 😇

[@anitaburletti9022]

Video bellissimo! Lezione molto bella e chiara! Bravo

[@profpaolomate]

Grazie mille 🤗

[@darioschiavi]

Un genio d'altri tempi!

[@profpaolomate]

Ahahahaha 😋 troppo gentile, non merito tutti questi elogi, faccio solo il mio lavoro (e seguo la mia passione) al meglio o almeno ci provo! 😇🤗

[@TommasoGuazzetti]

Che grande!!! Ora ho CAPITO 🤩😍

[@profpaolomate]

🤗

[@ceciliauliveto]

Tutto molto chiaro, grazie professore 😊

[@profpaolomate]

Figurati Cecilia, un vero piacere! 🤗

[@vincenzodemichelis166]

Bravissimo professore!

[@profpaolomate]

Grazie mille 🤗

[@silvanoferri]

Teoria ed esempi in un connubio perfetto 😎

[@profpaolomate]

Grazie mille Silvano 🤗

[@elisaamelio9344]

Prof Paolo, il migliore

[@profpaolomate]

🤗 grazie mille

[@matteomariani5948]

Ostia patacca che bel video prof 🔥

[@profpaolomate]

Ahahahah grazie! 🤗😋

[@tankest2015]

Grazie mille, prof Paolo, ora sono pronto per l'interrogazione di domani

[@profpaolomate]

🤗💪🏻

[@simonecappa]

Capire la matematica è una sensazione unica grazie professore

[@profpaolomate]

🤗

[@fabioarienta]

Video eccezionale fatto e spiegato in modo eccellente

[@profpaolomate]

​@@fabioarientagrazie mille 😊

[@brunocevoli2620]

Video spettacolo...wow

[@profpaolomate]

Grazie mille 🤗

[@drillcornelioh7710]

FANTASTICO

[@profpaolomate]

Grazie mille! 🤗

[@alicepisani326]

Genioooooooo ❤

[@profpaolomate]

Grazie mille Alice 🥰

[@carlocassani]

Grazie professore, video stupendo

[@profpaolomate]

Grazie mille Carlo, molto gentile 😇

[@lorenzotrespoli]

Lezione meravigliosa e utilissima

[@profpaolomate]

Grazie mille Lorenzo 😇

[@elisabettabianchi9399]

Favoloso😊

[@profpaolomate]

Grazie mille Elisabetta, troppo gentile! 😋🤗

[@emanuelebonatti8086]

Ora sì che è tutto chiaro...OTTIMO

[@profpaolomate]

🤗

[@paologiandini4611]

Basta aprire un video di Prof Paolo per chiarirmi le idee!!

[@profpaolomate]

😉

[@vleonet2637]

Grazie ❤

[@profpaolomate]

E di che!? Un vero piacere! 🤗

[@sergiomensorio7501]

Wow idolo!

[@profpaolomate]

🤗

[@profpaolomate]

Troppo gentile Sergio!

[@denisvg1156]

Grazieeeeeeeeee.

[@profpaolomate]

🤗

[@pierocimafava]

Va beh che idolo

[@profpaolomate]

🤗 grazie mille

[@marziarubini7020]

Tutto chiaro Tutto perfetto

[@profpaolomate]

Grazie mille

[@simonamiccolis6702]

Tutto molto chiaro prof

[@profpaolomate]

🤗😉

[@cipacips]

Chiarissimo

[@profpaolomate]

Grazie mille! 🤗 Buon 2024! 🥳

[@FilippoQuaranta-cw2tj]

❤❤❤❤❤❤❤

[@profpaolomate]

Grazie mille Filippo! 🤗

[@gertrudebevilacqua4793]

Ma perché non ho trovato prima questo canale!?!? ❤

[@profpaolomate]

🤗

[@TommasoBarozzi]

😎 divino ❤

[@profpaolomate]

@@TommasoBarozzi grazie, esagerato 🤗

[@carmendanzidanzi]

Buongiorno, tutto sempre molto chiaro, ma non capisco adesso perché la funzione " g " e la funzione " f " abbiano soluzioni diverse avendo il testo ( almeno così ho ritenuto fino ad ora) equivalente; grazie

[@dianasanchez307]

Buongiorno, è tutto molto chiaro, la ringrazio per la spiegazione, non ho capito perché nell'es f deve essere maggiore uguale a 3 mentre nell'es e deve essere solo >

[@profpaolomate]

Ciao, intanto grazie mille per l'apprezzamento, mi fa piacere ti sia piaciuta e servita la spiegazione. Per quando riguarda il tuo dubbio nell'esercizio (e) il radicando (di una radice di indice pari) deve essere solo maggiore in quanto la radice è anche al denominatore di una frazione e quindi non potendo essere uguale a zero imponiamo unicamente che il radicando sia maggiore (di zero). Nell'esercizio (f) abbiamo sempre un radicando di una radice di indice pari, ma questa volta la radice è al numeratore e quindi dobbiamo imporre che questo (il radicando) sia maggiore o uguale di zero (le radici di indice pari sono definite per radicandi non negativi). Spero di aver sciolto il tuo dubbio, ma qualora fosse ancora lì o ne fossero sorti altri non avere timore a scrivermi nuovamente. Ciao ciao

[@dianasanchez307]

@@profpaolomate Ora ho capito, è stato chiarissimo, grazie mille per la disponibilità

[@manveersingh7030]

👍🏻

[@profpaolomate]

🤓👍🏻

[@giadafontanesi7874]

come mai nell'esempio dove tutta la funzione è positiva, e abbiamo x-3/ x+1 non mettiamo il diverso al denominatore?

[@profpaolomate]

Ciao Giada, torno oggi al lavoro dopo le ferie estive e inizio a rispondere ai tanti messaggi di queste ultime settimane! 😋 Quindi mi scuso per il ritardo nella risposta al tuo messaggio!🤗 Ti rispondo facendo riferimento all'esempio (g). Quando dobbiamo determinare il dominio di una funzione algebrica irrazionale fratta come quella proposta dobbiamo imporre che l'argomento della radice sia una quantità maggiore o uguale a zero. Nello studio del segno del denomiantore risolviamo la disequazione D(x) > 0 (con il simbolo di disuguaglianza in senso stretto, come vedi non mettiamo il simbolo ≥, e in questo modo stiamo dicendo che D(x) deve essere solo maggiore di zero, ovvero non deve essere né minore di zero, ma neanche uguale a zero, ovvero diverso da zero). A mio avviso questo è un modo sintetico per imporre anche la condizione di cui mi parlavi. Nel caso però tu sia stata abituata anche ad imporre il denominatore diverso da zero nessun problema. Imporrai due volte la stessa condizione, ma questa non cambierà il risultato finale. Spero di aver risposta alla tua domanda, in caso contrario fammi sapere qui nei commenti così che possa provare a spiegarti in altro modo. Buon proseguimento Ciao ciao Prof Paolo 🤓

[@cielo4019]

Ciao! Posso chiederti perché nell’ultimo esercizio è stata utilizzata la tabella delle linee e non la tabella dei segni? Eventualmente quando si utilizza una o l’altra? Da sempre ho utilizzato il prodotto dei segni nelle equazione fratte, però vedo che mi sbaglio :(

[@profpaolomate]

Ciao, ti spiego subito. Per poter determinare il dominio della funzione (h) dobbiamo imporre che contemporaneamente: - i due radicandi siano maggiori o uguali a zero; - il denominatore non sia nullo, cioè sia diverso da zero. Quando due o più condizioni (tre in questo caso) devono essere verificate simultaneamente allora dobbiamo imporre e risolvere il sistema costituito dalle condizioni in esame. Risolvere un sistema che contenga al suo interno una o più disequazioni ci porta ad impostare e interpretare la tabella delle linee. La tabella dei segni viene invece utilizzata, per esempio, nella risoluzione delle disequazioni prodotto o delle disequazioni frazionarie. Esistono casi in cui si debbano usare entrambe le tabelle nella risoluzione dello stesso esercizio. Se per esempio un sistema di disequazioni contenesse al suo interno una disequazione prodotto o frazionaria dovremmo risolvere tale disequazione con la tabella dei segni, risolvere quindi le restanti disequazioni con il metodo opportuno e quindi infine risolvere il sistema con la tabella della linee (dovendo trovare gli intervalli che risolvano contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema). La tua domanda è più che lecita e il tuo dubbio è il dubbio di tanti. In queste vacanze ho aggiunto alla lista dei video da fare anche un video che chiarisca questo aspetto, fonte di incertezze anche per tanti miei studenti. Vista la tua domanda penso che quel video farà un bel salto in alto nella lista delle priorità! 😇 Dimmi se così è più chiaro, in caso contrario fammi sapere dove hai ancora dubbi, proverei a risponderti seguendo un'altra strada! Ciao ciao 😉 Prof Paolo 🤓

[@cielo4019]

@@profpaolomate ho ancora tanti dubbi :( stavo svolgendo questi esercizi: 1) y=(3^logx)/(√x^2-4), l’ho risolta con la tabella delle linee perché altrimenti non portava. Con quello che mi ha detto, significa che si deve trovare la soluzione/Dominio che verificano entrambi simultaneamente… e quindi sarebbe x>2 2) y= log (√ (x+1)/√(x^2+9). In questo caso il dominio è l’argomento >0 e pongo di conseguenza tutto l’argomento (√(x+1)/(x^2+9) ) > 0. Quando succede questo uso il prodotto dei segni: (-3

[@profpaolomate]

@@cielo4019 vado con ordine! 1) y=(3^logx)/(√x²-4) Per determinare il dominio di questa funzione, come giustamente sottolinei nel messaggio precedente, dobbiamo imporre che contemporaneamente valgano le seguenti condizioni (che quindi devono essere messe a sistema): (i) l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero in senso stretto ovvero x > 0; (ii) il denominatore deve essere diverso da zero ovvero √x²-4 ≠ 0; (iii) il radicando, argomento di una radice di indice pari, devi essere maggiore o uguale a zero ovvero x²-4 ≥ 0 (osserviamo come le condizioni (ii) e (iii) si traducano nella condizione "riassuntiva" x²-4 > 0). Risolte le singole condizioni possiamo quindi impostare, completare e interpretare la tabella delle linee che ci dà, come dicevi tu correttamente, la soluzione x > 2. In questo caso sarebbe stata errata la tabella dei segni in quanto non dobbiamo risolvere alcuna disequazione prodotto né frazionaria. 2) y= log (√ (x+1)/√(x²+9)) Anche in questo caso per determinare il dominio dobbiamo imporre che contemporaneamente valgano le seguenti condizioni (che quindi, come detto, devono essere messe a sistema): (i) l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero ovvero (√ (x+1)/√(x²+9)) > 0; (ii) il radicando della radice al numeratore deve essere maggiore o uguale a zero ovvero x+1 ≥ 0; (iii) il radicando della radice al denominatore deve essere maggiore o uguale a zero ovvero x²+9 ≥ 0; (iv) il denominatore deve essere non nullo ovvero √(x²+9) ≠ 0. Facciamo le seguenti osservazioni/considerazioni aggiuntive: - come detto anche per l'esercizio 1) le condizioni (iii) e (iv) possono essere "riassunte" nella condizione x²+9 > 0 (una disequazione di secondo grado sempre verificata che ha come soluzione ∀x∈ℝ) - la condizione (i) formalmente è una disequazione frazionaria (irrazionale) che quindi dovrebbe essere risolta con la tabella dei segni studiando il segno del numeratore, quello del denominatore e quindi il segno dell'intera frazione, risultato ottenuto grazie alla "riga finale" della tabella; in realtà con un po' di occhio matematico e con il giusto allenamento vediamo che la condizione (i), rapporto di radici quadrate, è sempre verificata (una radice quadrata dove è definita è sempre una quantità maggiore o uguale a zero) purché le radici esistano e il numeratore non sia uguale a zero ovvero per x > -1 (la radice al denominatore esiste ed è maggiore di zero per ogni x reale). E quindi complessivamente il dominio della funzione 2), svolgendo alcuni altri piccoli calcoli, sarà dato dalle x reali strettamente maggiori di -1 ovvero x > -1. Penso sia difficile trovare una generalizzazione valida per ogni possibile tipo di funzione, la risposta "brutta" che ti devo dare è che sostanzialmente si deve ragionare di caso in caso a seconda dell'espressione analitica della funzione presentata. Un punto fermo però lo possiamo mettere: se hai una somma algebrica di più funzioni allora di certo devi imporre il sistema che contenga le condizioni poste sulle singole funzioni; la funzione "globale" esiste ed è definita se e soltanto se esiste ed è definita ogni singola sua parte. Nuovamente fammi sapere se così è più chiaro. Per qualsiasi altra esigenza non aver timore a scrivermi nuovamente nei commenti! Prof Paolo P.S. Attento, hai risolto la disequazione x²+9 > 0 probabilmente confondento il + con il - risolvendo quindi x²-9 > 0 che correttametne avrebbe avuto come soluzione x < - 3 ⋁ x > 3

[@cielo4019]

@@profpaolomate In effetti ci sono tanti casi, spero di migliorare con la pratica! La ringrazio tantissimo. Mi è stata più chiara il fatto della “funzione globale “ in cui dominio deve valere in ogni sua parte ciò mi fa pensare alla somma tra più funzioni o divisioni/prodotti tra più funzioni diverse dipendendo da caso a caso o meglio dire funzione di funzioni…(come lo era nell’esercizio 2 e anche questo esempio: log log (x+3) in cui D: x>-2 uso la tabella delle linee) Ps L’esercizio 2) ho scritto direttamente il dominio che portava -3-1) e (x3) Grazie tante!!

[@NadiaCacciatori]

Cosa darei per averla come professore grazie

[@profpaolomate]

🤗

[@profpaolomate]

🤗

[@thatfefo9152]

Salve mi saprebbe dire quando si utilizza “Per ogni X appartenente a R”

[@profpaolomate]

Ciao, ti spiego subito! 🤗 Si ottiene come soluzione ∀ x ∈ R in presenza di equazioni o disequazioni indeterminate ovvero risolte per qualsiasi valore reale attribuito alla variabile x. Nella tabella delle linee tale soluzione (∀ x ∈ R) viene rappresentata con un retta orizzontale che "copre" l'intera tabella. I punti essenziali sono questi, ma fammi sapere qualora volessi ulteriori informazioni o chiarimenti. Buon proseguimento 😋 Ciao ciao 😇 Prof Paolo 🤓

[@GiamaLama]

Ma quando uso la tabella dei segni e quando quella delle linee? La prego mi risponda ho la verifica domani !

[@profpaolomate]

Ciao, usiamo la tabella dei segni per le disequazioni prodotto e per le disequazioni frazionarie. Usiamo invece la tabella delle linee quando dobbiamo risolvere sistemi di disequazioni (quando quindi dobbiamo trovare l'intersezione tra le soluzioni di due o più disequazioni). Poi ci sono altre tabelle da usare in altri casi come la tabella delle linee per l'unione di soluzioni due o più disequazioni o la tabella dei segni per le equazioni/disequazioni con due o più valori assoluti, ma penso che la risposta alla tua domanda stia nella parte iniziale di questo commento. Spero, brevemente, di aver risolto il tuo dubbio, in caso contrario scrivimi ancora qui nei commenti! In bocca al lupo per domani 🍀 Buon proseguimento 😊 Ciao ciao 🤗 Prof Paolo 🤓

[@GiamaLama]

@@profpaolomate grazie prof è stato molto gentile da parte sua rispondere con così tanta velocità e completezza . Un saluto .

[@profpaolomate]

@@GiamaLama figurati, per così poco. È sempre un piacere essere di aiuto! 😊 Buon proseguimento 🤗 Ciao ciao 😇 Prof Paolo 🤓

[@annapilarbonomini2802]

Fa vo lo so!!!!

[@profpaolomate]

Grazieeeeeeee!!!! 🤗

[@lucavinciguerra5690]

Salve, secondo me questo video sarebbe più utile se venisse svolto tutto lo studio di funzione per ogni funzione elencata, come studio del segno, simmetria ed assi.

[@lucavinciguerra5690]

Ad esempio, io non so come risolvere lo studio del segno e gli assi delle funzioni a, b. Se riuscisse a darmi una spiegazione le sarei grato.

[@profpaolomate]

Ciao Luca, scusa il ritardo nella risposta 😇 È mia intenzione aggiungere al più presto, tra le varie playlist, una inerente lo studio completo di funzioni reali di variabile reale. In questo periodo sono però sommerso da tanti impegni e progetti scolastici. Non appena ritroverò, finalmente, un po' di tempo sarà mia premura aggiungere ciò che manca. Buon proseguimento 😊 Ciao ciao 🤗 Prof Paolo 🤓

[@carmendanzidanzi]

Ancora buongiorno! in riferimento ai miei due precedenti commenti, vorrei aggiungere che la funzione "g " e la funzione " h " ritengo siano la stessa funzione per le proprietà dei radicali.

[@profpaolomate]

Lo sarebbero se gli indici di radice fossero dispari (come accade in (c) e in (d)). Con gli indici pari c'è sempre da prestare maggiore attenzione e non cadere nella tentazione di utilizzare proprietà valide solo nel caso di indici dispari

[@carmendanzidanzi]

rettifico riferimenti al mio commento : le funzioni sono la " g" e la " h "; scusi e grazie ancora.

[@profpaolomate]

Ciao, in realtà il testo non è equivalente. Ecco il perché. Nell'esempio (g) hai un'unica radice di indice pari e quindi un unico radicando che deve essere imposto maggiore o uguale a zero (risolveremo quindi una disequazione razionale fratta, con la tabella dei segni). Nell'esempio (h) hai due radici differenti di indice pari (esse non possono essere unite in unica radice); per studiare il dominio della funzione (h) dovrai imporre che contemporaneamente entrambi i radicandi siano maggiori o uguali a zero (in realtà l'argomento della radice al denominatore dovrà essere solamente maggiore di zero dovendo escludere la possibilità che il denominatore sia nullo). In questo caso dovrai allora usare, per risolvere il sistema di disequazioni, la "tabella delle linee", la tabella usata per risolvere appunto i sistemi di disequazioni. Il tutto dipende sostanzialmente dalle proprietà dei radicali. - Con le radici di indice dispari (esercizio (c) e (d)) puoi (quasi) sempre muoverti con tranquillità, in questo caso unendo le due radici in un'unica radice; puoi quindi equivalentemente scrivere il testo o nella forma (c) o nella forma (d), i due domini saranno gli stessi. - Con le radici di indice pari (esercizio (g) e (h)) non hai tutta la libertà che avevamo con gli indici dispari. Le due radici non potranno quindi in generale essere unite in un'unica radice, le due funzioni sono funzioni differenti. Scusa se mi sono un po' dilungato, ma volevo toccare i vari punti riportati. Fammi sapere se ora è tutto più chiaro, altrimenti provo a spiegarti in un altro modo =D.

[@carmendanzidanzi]

@@profpaolomategrazie mille, non sapevo che le radici pari non hanno tutta la libertà delle radici dispari; era proprio questo il punto dolente; grazie ancora