[EXO#16] Une équation fonctionnelle pour bétonner tes raisonnements (Exercice d'Olympiades)

[@oljenmaths]

✍🏻 Erratum : à 13:50, j'écris n'importe quoi. En réalité, j'applique la formule vérifiée par la fonction f avec {a = floor(y) + 1} comme premier terme et {b = y / (floor(y) + 1)} comme deuxième terme. Ainsi, on devrait lire, dans le terme de droite que j'ai écrit, f(a) * floor(f(b)) = 0, cela puisque b est dans [0,1[. Merci à @oliviermiakinen197 et à @endersteph !

[@oliviermiakinen197]

Ah oui, ça fonctionne avec a = floor(y) + 1, mais ça fonctionne tout aussi bien avec a = y+1, comme je l'ai écrit ensuite (sauf que j'ai utilisé X et Y au lieu de a et b).

[@endersteph]

f(b) est dans [0,1[ mais plus précisément f(b) = 0, l'important étant que b est dans [0,1[, non ?

[@endersteph]

@@oliviermiakinen197 Je dirais que non, puisqu'on utilise ici le fait que floor(y) + 1 est égal à floor(floor(y) + 1), ou alors quelque chose m'échappe

[@oljenmaths]

@@endersteph Merci, c'est corrigé 🙏🏻! Il y a désormais un erratum à l'erratum. Comme dans les bandes dessinées, où on voit des personnages avec une bosse sur une bosse 😌.

[@oliviermiakinen197]

@@endersteph Non on n'utilise pas ce fait. Tout ce qui nous importe c'est que floor(f(b)) soit égal à 0. Je reprends ce que j'écrivais il y a deux jours, avec X = y+1 et Y = y/⌊y+1⌋ : alors f(y) = f(⌊X⌋ × Y) = f(X) × ⌊f(Y)⌋ = f(y+1) × ⌊0⌋ = f(y+1) × 0 = 0.

[@palicot]

Ce genre d'exercice amène toujours à un résultat décevant, mais permet de très bien comprendre le principe de l'analyse-synthèse. Avec tes explications, c'est pépite

[@oljenmaths]

Au plaisir 🙏🏻! En fait, j'ai l'impression que la déception est un symptôme d'un fait plus général en mathématiques : les seuls exercices que l'on trouve sont souvent ceux que l'on sait résoudre, et… il y en a peu ! Là, si j'invente, tout de suite, une équation fonctionnelle tarabiscotée, et bien il y a fort à parier que je me pète les dents dessus dans l'indifférence la plus totale 😌.

[@undecorateur]

​​​@@oljenmaths En parlant d'inventer des équations fonctionnelles et de se péter les dents, j'en ai créée il y a deux ans que je tente de résoudre : On pose, pour tout n entier naturel : E_n = {P € C[X], P(1)P(X)P(X²)...P(X^n) = P(X^2n)} Pour E_0 on a C[X] entier Pour E_n où n est différent de 0 et de 3 on U_n union {0} où U_n est l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité Pour E_3 c'est un problème riche en Omega 3 (où les oméga 3 sont ici les racines cubiques de l'unité) Je n'ai toujours pas réussi à caractériser entièrement E_3.

[@ThetaMaths]

Salut oljen, j'ai trouvé super cet exercice et la manière dont tu l'as expliqué, ce nouveau format "maths en puissance" est vraiment enrichissant pour la chaîne et c est un plaisir de pouvoir chercher, venir voir la vidéo lorsque l'on est à court d idées et continuer avec plus d indications !

[@oljenmaths]

Salut l'ami 😁! Merci pour le retour sur ces nouvelles vidéos, ça fait plaisir 🙏🏻! PS : Je t'ai envoyé un message privé sur Discord ✉.

[@arsenechrd]

Bravo, et milles merci pour ce contenu de qualité. Il y a une étape que j'ai du mal à comprendre. À 13:56, on a une égalité qui provient de l'hypothèse sur f. J'utilise Int(x) pour la partie entière de x. 1) Si on regarde le membre de gauche comme f(X * Y) avec X = y/(Int(y)+1), et Y = Int(y) + 1, alors on a: Pour le membre de droite, on a bien X dans [0; 1[ donc f(X) = 0 et f(X)*Int(f(Y)) = 0. Mais pour le membre de gauche on a f(X*Y) au lieu de f(Int(X)*Y), donc on ne peut pas utiliser l'hypothèse sur f. 2) Si on regarde le membre de gauche comme f(X * Y) avec X = Int(y) + 1 = Int(y+1), et Y = y/(Int(y)+1), alors on a: Pour le membre de gauche, on a bien la forme f(Int(X')*Y) avec X'= y+1. Mais on obtient pour le membre de droite f(X') * Int(Y) = 0 * f(y + 1), et non 0 * Int(f(Int(y)+1)). Dans ce second cas on peut aboutir au résultat voulu. Y a-t-il une erreur dans mon raisonnement, ou est-ce une erreur dans la ligne à 13:56 ? Merci encore pour votre travail.

[@oljenmaths]

Bonjour Arsène, et merci de m'avoir signalé la coquille ! Nos commentaires se sont croisés à une ou deux minutes près ; je viens à peine d'épingler mon petit dérapage 😉. Bravo d'avoir suivi jusque-là et d'avoir débusqué celui-ci 😇!

[@fabricesolaris4294]

Je vous remercie pour vos vidéos. Je propose comme solution : de V(x, y) € R² : f(0) = f(x) [f(0)] et f(0)= f(0) [f(y)] on tire que f(x) [f(0)] = f(0) [f(y)] = f(0)[f(0)] = f(0) = cte (en prenant y = 0, puisque valable pour tout (x, y) € R²). D'où f([x]y) = f(x) [f(y)] = cte [cte] = cte => cte € {0} U [1, 2[.

[@oljenmaths]

Merci pour le partage Fabrice, c'est une solution très jolie 🙏🏻! Bien plus élégant que ce que j'ai proposé 😁! PS : Minuscule coquille au début, il faut lire f(0)= f(0) [f(y)] à la place de f(0)= f(x) [f(y)] dans votre deuxième égalité.

[@fabricesolaris4294]

Je vous remercie et effectivement il y a une coquille que j'ai corrigée. De plus, cela ne marche que si [f(0)] différent de 0, sinon on diviserait par 0 de part et d'autre de l'égalité f(x) [f(0)] = f(0)[f(0)], ou nous aurions 0 = 0. Donc, il faut étudier le cas [f(0)] = 0 comme vous l'avez fait.

[@ludohellet6688]

Félicitation pour ce méticuleux travail ! Très inspirant. Juste une question annexe : pourquoi prendre des croches comme repère de proposition ? Seriez-vous musicien ?

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻! Pour les croches, je ne me rappelle plus tellement l'origine de la chose… c'était peut-être durant ma thèse, où je composais un peu de musique… oui, c'est sans doute ça. Je trouvais les chiffres romains minuscules un peu tristounets, me semble-t-il. C'est vieux, mais c'est resté 😆!

[@undecorateur]

​@@oljenmaths Certains sont plus joueurs de cartes pour noter les relations ♠️♥️♦️♣️,

[@oliviermiakinen197]

À 13:56 je ne suis pas d'accord avec ce qui est écrit. Pour pouvoir appliquer la formule il manque une partie entière dans la partie de gauche. Mais si on prend la partie entière de ce nombre compris entre 0 et 1, ça l'annule et ça donne f[0] = 0 qui ne nous apprend rien de plus.

[@goblin5003]

La disposition des 2 facteurs est maladroite (le x se trouve à droite et le y se trouve à gauche) et donc l’égalité suivante n’est pas correcte Mais en fait, même en corrigeant l’erreur, on obtient quand même un produit nul, ce qui permet de conclure Bien vu!

[@oljenmaths]

Décidémment, les coquilles s'accumulent 😭… merci de m'avoir signalé celle-ci 🙏🏻! La correction : j'applique la formule vérifiée par la fonction f avec {a = floor(y) + 1} comme premier terme et {b = y / (floor(y) + 1)} comme deuxième terme. Ainsi, on devrait lire, dans le terme de droite que j'ai écrit, f(a) * floor(f(b)) = 0, cela puisque f(b) est dans [0,1[. En l'état, on voit une partie entière qui ne devrait apparaître nulle part, ainsi qu'une parenthèse ouvrante qui ne se ferme pas…

[@oliviermiakinen197]

En fait ça fonctionne dans l'autre sens. Il faut prendre X = y+1 et Y = y/⌊y+1⌋, alors f(y) = f(⌊X⌋ × Y) = f(X) × ⌊f(Y)⌋ = f(y+1) × ⌊0⌋ = f(y+1) × 0 = 0.

[@aragon5956]

Bonjour Mr genest ! Peux on encore améliorer significativement son niveau de raisonnement en maths et de manière générale à 30 balais ? Même si je vais m'y coller dans tous les cas !

[@oljenmaths]

J'en suis absolument certain ! J'accompagne en ce moment un étudiant qui a la trentaine et qui se reconvertit du photo-journalisme aux mathématiques… et les progrès qu'il fait sont absolument remarquables (il est actuellement en L2) !

[@aragon5956]

@@oljenmaths d'accord et vous lui donnez des cours comment ? puisque vous enseignez en prépa

[@oljenmaths]

@@aragon5956 Je n'enseigne plus en classes préparatoires depuis l'année scolaire 2021-2022 😉. Je suis en disponibilité depuis un peu plus de deux ans, à présent.

[@aragon5956]

Chaud !

[@MathsMoiCesVideos]

C quoi la source exacte de l'exo?

[@omarito8955]

Bravo c'est cool. Mais par contre ce que je n'ai pas compris c'est que tu as écrit a 11:20 qu'on supposait qu'il existe un x appartient a 0 1 avec 1 exclus tel que f(x) diffèrent de 0, et puis tu as déduit que f(floor(x)y)=0, cependant il ne faut pas oublier que cela c'était dans le cas ou x appartient a 0 1(1 exclus), par ce que après tu as écrit en cas particulier floor(1) alors que dans ce meme cas x ne peut pas etre 1 et en plus tu as écrit comme si s'a l'était et finis par la mettre égal a 0, chai pas si tu as compris mais c comme si tu as toi meme écrit cette contradiction, à moins que je n'ai pas compris, stp si possible, que quelqu'un m'explique.

[@oljenmaths]

Étape par étape : 🔸Dans le cas #2A, je suppose qu'il existe un x vérifiant des conditions particulières (être dans [0,1[ et f(x) ≠ 0). 🔸Je me sers de l'égalité juste au-dessus du cas #2A pour déduire que [pour tout réel y, f(floor(y)) = 0]. 🔸J'injecte cette dernière information dans les égalités de l'énoncé, qui sont valables pour tous réels x et y. La « contradiction » n'en est pas une, mais par contre, le « x » dont je parle dans le cas #2A n'est pas le même x dont je parle dans la troisième étape. Pour clarifier la situation, j'aurais peut-être pu appeler z le réel de [0,1[ tel que f(z) ≠ 0 dont je suppose l'existence. Ainsi, en revenant aux x et y de l'énoncé, il n'y aurait pas eu cette friction.

[@Tbop3]

6:13 je ne comprends pas. La partie entière de f(y) est 1 et la partie entière de f(0) est 1 donc f est constante ? Pourquoi donc. Je peux avoir une fonction f qui varie entre 1 et 1,5 et qui n'est pour autant pas constante et remplie bien les deux conditions ?

[@oljenmaths]

Hélas, la réponse est passée hors-champ à ce repère temporel 😉. Un peu plus haut, on avait remarqué que pour tout réel x, f(0) = f(x) * floor(f(0)), ce qui égale aussi f(x) puisque floor(f(0)) = 1. Ainsi, pour tout réel x, f(0) = f(x), ce qui démontre que f est constante égale à f(0), un réel de l'intervalle [1, 2[.

[@Tbop3]

@@oljenmaths ah merci j'avais zappé !

[@azizautop995]

Voici mon essai avant d'avoir vu la vidéo: Soit E la fonction partie entière.On raisonne par analyse-synthèse,supposons qu'il existe f de R dans R tel que pour tout x, y dans R², f(E(x)y)=f(x)E(f(y)) (1) Pour x=y=0 on a f(0)=f(0)E(f(0)) ===> soit f(0)=0 soit E(f(0))=1 Premier cas: E(f(0))=1 donc f(0)€[1,2[: Pour y=0 dans (1), on a pour tout x dans R, f(x)=f(0)=c€[1,2[. Donc f=c, c€[1,2[. Deuxième cas: f(0)=0: Pour x=y=1 on a f(1)=f(1)E(f(1)) ===> soit f(1)=0 soit E(f(1))=1 Premier sous-cas: si f(1)=0 et f(0)=0: Pour x=1, avec (1) on a pour tout y dans R, f(y)=f(1)E(f(y))=0, car f(1)=0. Donc f=0. Deuxième sous-cas: si E(f(1))=1 et f(0)=0: Pour y=1 dans (1) on a pour tour x dans R, f(E(x))=f(x)E(f(1))=f(x) (2) On a donc pour x=2€R/[0,1[ on pose y=1/2 On a donc dans (1) f(1)=f(2)E(f(1/2))=0 Car E(f(1/2))=E(f(0))=E(0)=0 la première égalité venant de (2). Donc f(1)=0 contradiction. Finalement en regardant tout les cas de figures, on obtient f=c€[1,2[ ou f la fonction identiquement nul. Réciproquement, on vérifie aisément que ces deux fonctions sont solutions.

[@oljenmaths]

Au top Aziz 😄! Merci pour le partage, j'adore voir la multiplicité des chemins qui peuvent mener à la sortie du labyrinthe 🙏🏻!