✓ Формула Эйлера для графов и многогранников за 8 минут | Ботай со мной

Решил смонтировать материал, снятый два года назад для коллаборации с другим каналом (кто знает где это было?). Там за два года все равно не набежало много просмотров (
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 12-18): trushinbv.ru/ege11c
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@trushinbv]

Решил смонтировать материал, снятый два года назад для коллаборации с другим каналом (кто знает где это было?). Там за два года все равно не набежало много просмотров (

[@universeofmath9157]

С каналом Wild Mathing, Формула Эйлера...😊 Клёвое видео, главное предельно понятно!

[@kislyak_andrei]

Это коллаборация с каналом Wild Mathing Довольно интересный вышел и тот ролик, и этот

[@alexvolnin8310]

Wild!

[@krzysztofpukicz3252]

Мыслите критически! Занимайтесь математикой!

[@trushinbv]

@@krzysztofpukicz3252 да, начало и конец я обрезал ))

[@nokoshinsei]

Дикие математики чувствуют дежавю

[@kislyak_andrei]

Особенно у тех, кто мыслит критически и занимается математикой

[@wpert]

Вот бы больше видео про графы)

[@m.targarian2428]

Класс... А вот нам даже универе не удосужились объяснить, откуда берётся эта формула Эйлера. Просто дали как факт, мол, держите и используйте. Спасибо Вам огромное! Теперь хотя бы понятно, почему эта формула работает.))

[@bluepen2637]

Ну, значит такой универ)

[@yuriydeynekin4532]

Можно доказать по индукции: внутри к-н грани-многоугольника выбираем точку, соединяем её с как минимум двумя вершинами исходной грани, подсчитываем на сколько изменилось количество вершин, рёбер и граней и убеждаемся, что это изменение согласуется с формулой Эйлера. Есть, правда, ещё одна возможность модификации исходного многогранника: не выбираем новую вершину внутри к-н грани, но проводим внутри этой грани диагонали. В этом случае тоже всё получится - НУЖНО ТОЛЬКО следить за тем, чтобы граф не перестал быть плоским (например, если внутри пятиугольника провести все пять диагоналей, получится неплоский грвф, для которого формула Эёлера неверна, вернее, имеет другой вид.)

[@user-df6gs1xp6c]

спасибо вам большое, сейчас учусь в 10 физмате, учительница задала рассказать и доказать классу теорему эйлера. я вызвался не посмотрев на доказательство в учебнике. по честному, я не понял его, но работу незаконченной оставлять не хотел. Благодаря вам я разобрался в доказательстве, и возможно смог удивить одноклассников и учителя. только это я узнаю лишь завтра.

[@OOO-pf2gr]

Красиво)

[@humaniora_for_all]

Отлично! Больше графов хороших и разных.)

[@alexanderplastun3346]

Вот хотел поделиться. Год назад перед, когда был в 10 классе, рассказывал своим товарищам доказательство этой теоремы. Доказательство брал из рекомендованной вами книжки, Калинина и Терёшина (я фанат этой книжки). Если по честному разобраться в этом доказательстве то оно оказывается оочень красивым)) Там про ортогональную проекцию многогранника на плоскость и выражение площади получившейся проекции)

[@user-qj5vc7hh3g]

Привет всем диким математикам!

[@boromirok]

Отличное доказательство. Очень интересно.

[@user-hd3yt5ic5r]

Здоровья , долгих лет и ясности ума Спасибо

[@simonmatveev]

Где-то я это уже видел)) Но тема интересная, рассуждения красивые, поэтому с удовольствием "пересматриваю" тему после ролика с Wild'ом. Всем 💖

[@TSM_149]

Спасибо! Видел ролик про формулу Эйлера у Алексея Савватеева пару лет назад, но такое объяснение мне больше понравилось!

[@dcfan6427]

информация очень ценная, благодарствую, Борис

[@user-kt9pj8li4d]

Фокусы с графами обычно нравятся детям. Похоже на чудеса.

[@Alexander--]

По-другому дерево я знал под названием "иерархическая структура": один начальник, у него подчинённые, у тех - свои подчинённые и т.д.

[@trushinbv]

Это будет уже ориентированный граф. У обычного дерева нет направления у ребер.

[@REBOOT19]

Крутая тема, которая помогает понимать размерность пространства, даже если ты живешь в пространстве меньшей размерности, можно понять что-то про пространство вокруг

[@nadyavor7272]

Как??

[@yuriydeynekin4532]

Я никогда не мог запомнить, какой элемент в этой - очередной (потому что их немало) - "формуле Эёлера" нужно брать с минусом; помнил только, что для односвязного многогранника (планарного графа) должна получиться двойка. И потому каждый раз проверял на кубе, как из чисел 6, 8, 12 получить двойку. Пока однажды не заметил, что если слова Вершины, Грани, Рёбра расположить в алфавитном порядке и знак минус приписать только последнему, получим как раз то, что надо: В+Г-Р=2. В результате я формулу до сих пор запомнить не могу, но всегда могу мгновенно восстановить её по этому мнемоническому правилу.

[@B-275]

Получили "за бесплатно" - это прямо хорошо!)

[@larisamarkovna]

Зашло!!! 🤓

[@xenia8292]

Есть ещё книжка "Дети и графы" издана была в конце 70-х

[@matlove]

Супер

[@AzTeG]

спасибо

[@bullmastiff7259]

гипотезу Пуанкаре за 10 минут..- в студию!)

[@MsAlexandr76]

КАКАЯ ПРОСТОТА!!!!!!!!!!! :o

[@cannibalirk3055]

Чел, ты крутой!! Не Савватеевым единым живёт рус-мат ютуб :D

[@vladimirlazarev2267]

Какой неожиданный конец.

[@user-mh9pe4zp6l]

Как бы мне это видео помогло на первом курсе!

[@aidarg1822]

По ступенькам по маленечку и до теоремы Пуанкаре дойдём

[@altfq5237]

это на Wild Mathing было)

[@bullmastiff7259]

Что-то стало сложновато.. выкиньте первое, основное. ребро... где Фрейд?.. мы тут на ноль делить собрались)

[@HomoMathematicus.]

Отличное видео. Можно сказать жемчужина. С одной стороны рассуждение типа сколько заборных секций и столбов нужно, чтобы поставить забор (незамкнутый 😉), а в итоге формула Эйлера!

[@evgenyorekhov8867]

А насколько очевидно, что общее ребро могут иметь не более, чем две грани? Точно не помню, но по-моему на семинарах по НГТ (наглядной геометрии и топологии) нам говорили, что это не очевидно и доказывается через теорему Жордана, но я могу ошибаться.

[@namespace17]

Да, так и есть. Без теоремы Жордана никуда

[@alio42]

Wild mathing?

[@user-vh1yi1fb3t]

Блин ))) "коллаборация", ну есть же простое слово "сотрудничество".

[@arkanoid1965]

Так по аналогии, если у гиперкуба вырезать одну грань и растянуть его на 3х мерное пространство, получится та штука, как его обычно рисуют?

[@trushinbv]

То, как его обычно рисуют -- это уже проекция на плоскость, а не на трехмерное пространство )

[@arkanoid1965]

@@trushinbv ну, я и имел в виду саму ту штуку, те кубик в кубике, соединённые вершинами, и выворачивающиеся через любую сторону. Получается нарисована уже проекция проекции?

[@bloonoobchannel6994]

Мне интересно, а вы знали эту информацию до производства ролика, или узнали её уже в процессе?

[@jarv1s104]

Эту тему изучают на первом (максимум втором) курсе любой математической или около математической специальности в универе

[@trushinbv]

На Физтехе у нас не было графов ) Но я это ещё в школе знал

[@kedrjack4649]

У меня чувство дежавю

[@trushinbv]

См. описание )

[@user-tp8ju7tx1g]

Про основную теорему алгебры поговорим?

[@user-el5gb7yq1q]

Борис, не могли бы вы выложить видео, где расскажете в чем заключается разница между дифференциалом и производной?

[@-wx-78-]

Вот так и приходят в топологию, а там ни внятных картинок, ни понятных аналогий.

[@user-mc1de7ol3m]

В многограннике не удаляем грань, а растягиваем её до бесконечности.

[@topx6024]

Здравствуйте, не могли бы вы снять видео о новом 10 задании, где несколько раз бросается кубик, до тех пор пока сумма очков не будет равно N , если n < =3 , то ещё можно решить деревом возможностей, а если N = 9 ?

[@Bill132011]

Ещё надо добавить, что это работает только для сферы. У тора будет другая формула!

[@trushinbv]

Там сказано, что речь про выпуклый многогранник

[@awesonel]

Часто я со своим другом обсуждаем математику, и когда наш разговор заходит в русло разговора про какое-то среднее значение между чем-то и чем-то и я говорю среднем арифметическом, мой друг постоянно спрашивает: а почему арифметическое? Почему не геометрическое, не квадратичное, не гармоничное? И я задумался - а действительно, почему мы в школе рассматривали часто именно средние арифметические, а не геометрические, например, в той же физике, и как понять, когда надо считать не арифметическое и почему? Можете что-нибудь рассказать про это?

[@AB-ms7my]

0:43 я слышал как некоторые говорят про 2 компоненты связанности в таких случаях. Весь граф мало интересен часто.

[@rustamkalimullin]

Хм... Как в дереве отличить лист от корня?

[@trushinbv]

У дерева есть только «листы» )

[@AlexanderDenaria]

@@trushinbv ну и правильно. Корни биологам оставим. Нам, технарям, и "листов" предостаточно👌

[@GregShyBoy]

С проекцией, может быть, даже проще процесс визуализировать. Представьте многогранник, который сделан из стекла, а ребра - из проволоки. Ставим многогранник на пол, ставим на многогранник зажженную свечу - бам, получили на полу проекцию

[@trushinbv]

Да, но не факт, что у проекции не будут пересекаться ребра )

[@user-mg3os2vn2d]

Борис Викторович, помогите школьнику с примером, lim x-> бесконечность x^n *e^-x. Здесь неопределённость бесконечность * на 0 . Нас учили сводить к 0/0 или к бесконечность/ бесконечность и Лопиталить. Но почему то в двух случаях зацикливание. Но задача состоит в том что надо применить правило лопиталя

[@user-mg3os2vn2d]

@UCvinpEoON3T4bnVctPcyYog гениально, спасибо

[@bluepen2637]

Ну тут 0 очевидно ответ получается. Потому что e^x=1+x+...+x^(n+1)/(n+1)!+...

[@bluepen2637]

Как я сначала писал (по правилу Лопиталя) тоже можно. Там получается (n-1)! * lim(1/e^x) и тоже получается 0

[@AlexanderDenaria]

Это ты в какой такой школе учишься, друг мой?

[@shigoratdaedra6020]

Забесплатно!!! Ага сейчас. Налоги чтоб не платить поди. Я пишу заяву в ФНС

[@cnfnbcn3227]

Что-то я не очень понял утверждение на 4:20 "Если граней больше, чем 1, то значит есть какие-то 2 соседние грани" В смысле? может же быть такое, что 2 грани не имеют общей границы. Ну, например, на вашей же картинке внизу есть 2 такие грани

[@trushinbv]

Я не утверждаю, что любые две являются соседними, а лишь то, что у каждой грани есть соседняя

[@KORCHMARYUK]

У многомерных выпуклых многогранников формула Эйлера уже другая. "Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников: {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0}{\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0} где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.). ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_четырёхмерны.. ru.wikipedia.org/wiki/Правильные_многомерные_.. гиперкуб ru.wikipedia.org/wiki/Гиперкуб Правильный четырёхмерный многогранник - Википедия ru.wikipedia.org Любопытно, что для гипертетраэдра выполняется правило треугольника Паскаля. Для гиперкуба выполняется нечто похожее, но не совсем симметричное, и паскалевскому правилу (нижнее число равно сумме двух верхних соседних) не подчиняющееся: ru.wikipedia.org/wiki/Гиперкуб Гиперкуб - Википедия ru.wikipedia.org Кто может это объяснить и чем?

[@user-gt1nw7wn1q]

Хорошее видео, но тема майнкрафта раскрыта не полностью.

[@user-ty5qt4on3b]

Зачем математику надо знать все темы школьной программы,если там не все есть из высшей математики?

[@trushinbv]

Кого вы называете "математиком", и почему вы думаете, что он должен знать все темы?

[@user-mr8qm3ii8x]

А если граф пустой, то он дерево? Он связен, так? И циклов в нём нет, это точно. Тогда он дерево. А значит в нём минус одно ребро

[@user-yf1zu2tg2o]

0:07, граф по определению не пустой

[@user-yf1zu2tg2o]

Я так понял

[@bluepen2637]

"Пустой" в каком смысле? Просто есть понятие пустой граф - тот, у которого нет рёбер. А если подразумевается пустое множество вершин, то такого не бывает по определению

[@xenia8292]

Графы, графини герцоги, бароны... Титульные личности

[@schmath]

почему на двойственном дереве не работает формула Эйлера

[@user-fi9ky6jt2l]

я давным давно сдал,но всё равно прихожу сюда,чтобы поставить дизлайк я на скиле(крутой)