Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.

Формула Кардано (www.filosofia.unimi.it/cardano... ) дает возможность получить решение неполного приведенного уравнения третьей степени x³+px+q=0 через его коэффициенты p и q над полем комплексных чисел. Перед просмотром полезно посмотреть следующие лекции по комплексным числам:
Самое первая лекция, в которой определяются комплексные числа, рассказывается об операциях над ними, рассматриваются различные формулы комплексных чисел и т.п.
• Комплексные числа | Оп...
Вторая лекция - извлечение корня из комплексных чисел.
• Извлечение корня из ко...
Третье видео - три примера извлечения корней, в частности третьей степени, из комплексных чисел.
• Корень из комплексного...
Отдельно может быть интересной лекция по формуле Эйлера, но для понимания сегодняшнего изложения она не обязательна. Тем не менее ссылка • Гиперболические функци...
Отдельный интерес представляет случай действительных коэффициентов. Рассмотрим разные случаи. Когда уравнение имеет один действительный и два комплексных сопряженных корня. Когда уравнение имеет два действительных корня, один из которых имеет кратность 2. И случай трех различных действительных корней.
Читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#формулакардано #уравнениятретьейстепени #комплексныечисла

[@ariquerexx4231]

Просто красавчик! Остальные спикеры типа Савватеева суть не рассказывают, а Вы прям все разжевали для чайников, огромная Вам человеческая багодарность

[@elemath]

🙏🏻

[@mimgc]

Завтра утром экзамен, у меня в тетради только 6 листов лекций, 3 из которых написал на последней паре. Самое время начать впитывать знания!

[@All-Science_Uz]

За упоминание Аль-Каши отдельная благодарность! И обязательно лайк! Удачи и всего самого наилучшего!

[@elemath]

Персы были сильны в математике!

[@Santa_murai]

Очень интересно! Недавно нашел ваш канал и не пожалел!

[@elemath]

🙏🏻

[@user-ux6ke7ml6j]

👍удачи просто прекрасно

[@elemath]

🙏🏻, не помешает)

[@madiyardauletiyarov4559]

Спасибо за лекцию

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@user-sd9he3ic6j]

Спасибо большое.Наконец разобрался!

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@higenharinson9207]

Здравствуйте, вы все понятно объяснили и я наконец все понял!! Вы один из лучших математиков на ютубе!) Пы.сы: будет ли разбор формулы Феррари, и если да, то когда?

[@elemath]

Здравствуйте! может однажды... пока есть kzbin.info/www/bejne/oHLQgIWieJt_rc0 - идея метода

[@elisoomiadze8138]

Спасибо

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@slxxxr]

Здравствуйте, вопрос не по теме, но всё-таки. Планируются ли видео про векторы? Заранее благодарен за ответ.

[@elemath]

Здравствуйте! Такая лекция планировалась, но после выпуска kzbin.info/www/bejne/gZO1eIGKo7CoaLc была отложена. Может все же запишу ее...

[@pro100ege68]

Элементарная математика)

[@elemath]

разве не элементарно?)))

[@polkovnik_piska]

Лайк вам!)

[@elemath]

Спасибки, пригодится!)

[@user-ef1dt2tv6t]

@elemath Игорь, спасибо вам за лекцию! Есть несколько вопросов. 1) в 01:08:30 вы рассказываете про невозможность выражения косинуса некоторых долей π в радикалах. Эта невозможность принципиалная и обусловлена тем, что эти числа не алгебраические (т.е. трансцендентые)? Или же это просто недостаток метода? 2) там же вы сказали про произведение "простых различных чисел Ферма". Но мы же знаем точные значения косинуса и синуса углов 2π, π, π/2, π/4! Или под "произведением" вы имели ввиду "произведение или единица"? 3) Решая одно уравнение третей степени с целыми коэффициентами, как и в вашей лекции, мне потребовалось выяснить косинус трети угла φ, зная что cos(φ) = - 1/(2*sqrt(7)) и sin(φ) = 3*sqrt(3)/(2*sqrt(7)). Через sqrt() я обозначил кв. корень. Решая соотв. уравнение y^3 - (3/4)*y + 1/(8*sqrt(7)) = 0, я получил необходимость знать косинус трети угла, чей косинус и синус те же, что и у φ. Задача как бы "закольцевалась"! Что это значит?

[@elemath]

Посмотрите эти статьи 1)ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B 2)ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0_%E2%80%94_%D0%92%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8F 3)ru.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis Посмотрите, может Ваше уравнение и есть этот случай.

[@user-ef1dt2tv6t]

@@elemath По вопросу 1) не нашёл ответа в этих статьях. С 2) понятно - под произведением следует понимать и единицу тоже, в викепедийной статье есть оговорка про это: "Здесь случай m=0 соответствует числу сторон n=2^k". Вам следовало бы сделать поправку поверх видео. По вопросу 3): уравнение y^3 - (3/4)*y + 1/(8*sqrt(7)) = 0 конечно же Casus irreducibilis. У него три различных вещественных не рациональных корня. Являются ли они иррациональными или же трансцендентными - не знаю. Объясните, пожалуйста, как такие уравнения решаются.

[@elemath]

1) я уже не помню подробностей этой лекции, поэтому смотрю только по ссылке на время. Отрываясь от лекции, в этом месте следовало бы сказать о невозможности построения циркулем и линейкой или же о невыразимости в квадратных радикалах. Алгебраичность тут не при чем, тем более что cos2π/9 - алгебраическое (в статье по ссылке это можно найти), равно как и ∛2. Недостаток ли это или достоинство - вопрос риторический. 2) Никаких поправок. Если есть в комментариях, то этого вполне достаточно. Не думаю, что построимость правильного 2^n-угольника вызовет вопрос у смотрящего это видео. 3) по формуле Кардано. Корни будут вещественными, но выражаться через комплексные числа. Как, например, cos2π/7 в статье по ссылке 1.

[@user-ef1dt2tv6t]

@@elemath По 1) Ну и слава богу, что алгебраическое. А вот фраза в 01:10:47 "Поэтому вот этот косинус два пи на девять в радикалах мы с вами не выразим." относится только к этому методу или же на это есть принципиальный запрет? Я, когда слушал вашу лекцию, сразу же подумал именно про принципиальный запрет (как следствие из теоремы Гаусса - Ванцеля)...

[@elemath]

так в первой статье по ссылке показано, как он выражается в радикалах. а так посмотрите kzbin.info/www/bejne/gJfalmZqi8xpkMksi=2W0N4Pun3raO-IUt там про семиугольник, но про девятиугольник тоже вроде есть. ну или по теореме, как Вы написали.

[@user-klepikovmd]

25:25 откуда взялось выражение в левом верхнем углу? Я услышал только "рассмотрим многочлен"?

[@elemath]

идея Тарталья - искать корень в виде суммы чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения

[@user-nx5cq5df9y]

Спасибо за видео

[@elemath]

Пожалуйста!)

[@aastapchik8991]

Все здорово, но а в чем смысл угадывать корень в уравнении, чтобы найти косинус трети угла, если можно угадать с таким же успехом корень исходного уравнения?)

[@elemath]

и угадать корень такого уравнения было бы значительно проще! Упражнение же было проделано лишь для извлечения корня 3-й степени из комплексного числа. Как самостоятельной задачи в продолжение прошлой лекции)

[@Germankacyhay]

👍

[@user-un9kd7my5c]

А откуда коэффициенты P и Q? И почему U в кубе заменили на икс в кубе? Почему написали знак функции? Смотрю уже третье видео на эту тему, но все равно не понимаю ничего

[@elemath]

Если Вы о преобразованиях в начале видео (с 2:00), то первым делом уравнение 𝑎𝑥³+𝑏𝑥²+𝑐𝑥+𝑑=0 делается приведенным, что означает, что коэффициент при третьей степени должен быть равен 1. Делим на 𝑎. Получим 𝑥³+(𝑏/𝑎)𝑥²+(𝑐/𝑎)𝑥+(𝑑/𝑎)=0. Дальше выделяем куб и приводим уравнение к виду 𝑢³+𝑝𝑢+𝑞=0. Подставьте вместо 𝑥=𝑢-𝑏/3𝑎, сгруппируйте все при 𝑢 - получите 𝑝, а сгруппировав свободный член - получите 𝑞, а при 𝑢² получится 0. Неизвестное можно переименовать. Не хотите - оставьте 𝑢, хотите - напишите 𝑡 или 𝑥. Суть не меняется. Третий вопрос не понял. Если поставите метки времени по видео, попробую ответить.

[@user-sd9he3ic6j]

а я одну не очень понял, в конце видео. Решали уравнение x^3-3x+1=0. Там ведь у комплексного числа модуль будет 1. Можно аргумент фи найти через арктангенс. Получается у альфа аргумент ПИ-ПИ/3, у бета Пи+Пи/3. И затем по формуле Муавра. Разве так не проще???

[@elemath]

так и есть, все верно, можно ответ записать и в тригонометрической форме = через углы, кратные 2π/9. Только в радикалах их выразить не получится. О том и речь.

[@user-sd9he3ic6j]

​@@elemath Спасибо за ответ. Да, это тупиковый вариант. А по-Вашему методу, где говорите "это удвоенное число" kzbin.info/www/bejne/d3fRZ2yJiqqCodU немного не понял что именно удвоили мнимую, действительную части или...? И еще вопрос не по теме видео. Как извлечь корни с "неудобными" числами, например (10+9sqrt(3)*i )^ (1/3)?

[@elemath]

там на окружности ε₁² это одно из значений первого корня 3-й степени, а ε₁⁷ - нужное значение второго корня третьей степени. Они сопряженные. При их сложении мнимые части уходят, а действительные удваиваются, что и дает х. По Вашему второму вопросу посмотрите kzbin.info/www/bejne/i6C1c4mGf691i5I

[@elemath]

и, дополняя первую часть, посмотрите kzbin.info/www/bejne/gpDIf4CkadWcm6s с 6-ой минуты

[@user-xr5lo1yt2n]

Извините,а зачем нам рассматривать специальный многочлен f(t)?

[@elemath]

напишите, пожалуйста, время момента по видео, который породил Ваш вопрос.

[@user-qc8fw7my3v]

Очень интересно, но так и не понял почему ТартальЯ?

[@elemath]

бывают неточности...

[@red_behelit]

Похоже пора канал переименовывать в «Элементарная и *высшая* математика»

[@elemath]

Высшая тоже как бы элементарная… Как-то поначалу думал переименовать в «Сельский учитель», но воздержался)

[@user-qj5ld3vy7j]

А можно найти косинус фи/3 без угадывания?

[@elemath]

Можно применить формулу Кардано и посмотреть, что получится. Хорошее упражнение.

[@user-qj5ld3vy7j]

@@elemath И так до бесконечности?

[@elemath]

тогда, наверное, как в лекции. на сколько помню, этот пример casus irreducibilis. Поправьте, если не так.

[@user-qj5ld3vy7j]

@@elemath Возможно

[@user-qj5ld3vy7j]

​@@elemathСпустя год я стал разбираться в этой теме намного лучше, и могу сказать, что это - НЕ casus irreduciblis. Casus irreduciblis - это случай, когда корни кубического уравнения в принципе нельзя выразить в действительных числах. То, что это нельзя сделать по формуле Кардано, ещё не означает, что это вообще невозможно. Корни этого уравнения - вполне себе выразимые в действительных числах - 1, 2, -3. Настоящий casus irreduciblis возникает в неприводимых уравнениях простой степени, большей двух при наличии хотя бы двух действительных корней.

[@user-wf6mv5vj8m]

Для автора формула дискриминанта для полного уравнения третьей степени.Половина функции в квадрате плюс треть производной в кубе вычисленных в точке перегиба никогда не забудите

[@Vadim_Ozheredov]

А откуда тогда следует, что подобные заменены невозможны для уравнений 4-й степени и выше? Их корни вроде бы невыразимы в радикалах

[@elemath]

для 4-й можно kzbin.info/www/bejne/oHLQgIWieJt_rc0 тут даже упражнялись А для пятой и выше см. ru.m.wikipedia.org/wiki/Теорема_Абеля_о_неразрешимости_уравнений_в_радикалах

[@TheElSonador]

Ну так на видео всё есть. Степень уравнения можно понижать вплоть до первой. Но для уравнения пятой степени это перестаёт работать, всё что можно соорудить из его коэффициентов - другое уравнение пятой степени и оно не будет проще. Почему - немалый раздел отборной абстрактной математики. Уравнения более высоких степеней можно не проверять - цепочка преобразований приведёт их к уравнениям пятой степени, а там всё, конечная, выходи.

[@user-xi5bd3hv1d]

не ведитесь на длину ролика, эта лекция не на 70 минут а на 3 часа!!!

[@gdy1882]

0:05 Вы не угадали)

[@elemath]

эх... думал, что таких все же большинство...

[@gdy1882]

@@elemath Ну, я если что просто ещё школу не закончил, пока что в 10класе))) Обидно что раньше плохо учился, если бы я раньше понял какая красивая и интересная математика то я бы наверное уже куда дальше продвинулся бы в её изучении, а так только изучил материал за 7-9 классы и начал изучать мат анализ, жаль что выбросил много год в пустую и плохо учился.

[@elemath]

@gdy1882 Нечего жалеть! Главное, что сейчас поняли и теперь у Вас есть стремление, а времени еще много. Только темп уже нельзя сбавлять. Так что изучайте, работайте и все у Вас получится.

[@nighthunter28]

ал-каши астрономией вряд ли занимались :D

[@user-klepikovmd]

Персия центр астрономической науки тогда была

[@user-klepikovmd]

Блин, не дошёл прикол до меня. Типа алкаши :-(