グラフ理論②(オイラーの多面体定理)

[@ザクロ0123]

改めて見ました。 もちろん定理だから普遍的です。 でも解説のクオリティが昔からこんなにも高かったのかと改めて思い知らされました。 理念の実現にどうか邁進してください。❤

[@山田裕-o7i]

「なぜ5種類の正立方体しか無いか？」を以前から疑問に思っていました。 今回の講義で何と無く理解できました。 もう一度見て理解を完璧にします。

[@yobinori]

・膨ませる→膨らませる ・正八面体の線、1本書き忘れました

[@橋本理-c5l]

とても分かりやすかったです。特に閉路がある場合に面の数を考える必要性は素晴らしい説明だと私は思いました。

[@居林裕樹-g4d]

こんな事まで、ちゃんと証明できるのかぁ～　　数学ってやっぱ凄いなぁ～　偉大。　美馬しゅ！👀

[@そばめしパン]

小学生くらいのときだったと思うが ・1つの頂点を構成するには3つ以上の面が必要である。 ・1つの頂点に集まる面の内角の和は360°未満でなければ立体的に組めない(凸にならない) から、 正三角形(内角60°)で多面体を組む場合、各頂点に集まる面の数は3, 4, 5以外にない。 正方形(内角90°)および正五角形(内角108°)の場合は、頂点に集まる面の数は3以外にない。 正六角形以上では3面集まるだけで頂点に集まる内角の和が360°を超えるので正多面体は作れない。 よって正多面体は高々5種類である。 ってのを読んで幼いながらに納得したのを思い出した。 拙い説明でごめんなさい。

[@NatureJapan3776]

同じく

[@furusatonotkokyou]

ド天才やんけ！

[@白猫で煽る弁護士]

小学生のときにそんなの読もうと思うのがすごい

[@アルト-b7w]

確か小学校か中学校の教科書で、｢正六角形で正多面体は作れるかな？｣って問題みて同じ結論に達しました。

[@山口晃弘-s6r]

天才やん

[@MO-vh7dc]

3:57 今日の見どころ

[@川上幸治-k9g]

ぐうの音もでない、圧巻の証明でした。なるほど！ とても楽しく受講させていただきました。

[@レイナ-q5i]

小学生のとき折り紙で正六面体や多面体を折って，辺や頂点の数の関係を教えてもらったことがあったのですが当時は理解できず，そのまま過ごしてましたがこれは分かりやすい！スッキリしました！

[@古田真-h7u]

説明が面白い。答えから理解が受け取った。 観察するとルールが見えた。

[@xy8066]

内容的に中学生でも理解できるものだから感動した。

[@scientiadisce8900]

高校の数Aで習ったところを別の視点から捉えられて面白かったです！ また次の動画も楽しみにしてます！

[@橋本理-b5s]

とても分かりやすいです。高校生に紹介したいです。Ｎが3以上であるとしたのが、少し難しいです。特に、前半は、生徒に見せても、すばらしさが伝わると思います。

[@ルーたん-z3q]

この定理マジですごいよな高校で初めて感動した思ひ出

[@MM-ee2cf]

高校数学でも多面体定理扱うけど、やっぱり大学で勉強し直したら深いし面白いよね。二穴トーラスのオイラー標数とか楽しかった

[@Krieger-hz6tk]

高校入学後は多分たくみさんの動画にお世話になると思うのでこれからも楽しく学べるような動画（授業？）をおなしゃす。あと尊敬してます。

[@yukim.7518]

オイラーの多面体定理を使った、正多面体が5種類しかないことの証明がシンプルで美しいと思いました！ N次元ではV-E+F= N-1になればさらに美しいので、そうなるか考えてみます。

[@somethingyoulike9153]

4次元空間のグラフ...面？......

[@こおのき-j3n]

30代ですが、めちゃくちゃ面白かったです！

[@narara4761]

3:48 の閉路も考えたい、が、 閉路も考えてこい！ にしか見えない…… 活けフェイスでした。

[@リータオペイ]

元駿台講師で数学者の秋山仁はこれを中2で理解していたってすごすぎる…

[@Mr-oe6hd]

そんな秋山仁さんもlogを見て　10gって何ですかと聞いた逸話があるとかないとか

[@夢と希望-d8y]

正直に言うと、高等的な数学公式もなく、小学生でも理解しやすい解説あれば理解できる

[@KK-uh9vb]

この説明してもらえれば俺でも理解できてた説

[@かかし-y4x]

@@Mr-oe6hd 修学旅行で初めて渋谷の109を見た私はlogと呼んだとか無いとか

[@清水玲-k1q]

@@かかし-y4x 嘘でも本当でも面白い^^

[@うえちゃん-n4x]

多面体に見慣れてると余計に顔が丸く見える

[@yobinori]

おいこら

[@革新的回胴]

オイラー

[@堀北真希-o2x]

革新的回胴 寒気する

[@ARJUNADDR]

木から発展する証明が分かりやすかったです😊 グラフは前にアルゴリズムの本で出てきて全くわからなかったのですが。 グラフ理論の全動画を見たあと、読み直ししてみます

[@林将太郎]

頂ー辺＋面の証明のところで、消した辺が２つの面に属していたらどうなるんだと思っていたら、真ん中の三角形の辺を先に消してもらえたので、すんなり納得。面が1個減ること自体は変わらないからOKなんですね。

[@tootsieroll9192]

有機化学のCとHの数の関係の説明に使えますね。

[@not_jiburalutal]

そういえばなんですけど高校の先生が言ってた正多面体の面が正六角形以上のものがない理由として、多面体にするには頂点に3つ以上の面が接していなければならない中で正六角形以上は平ら、或いは面が重複してしまうから と言われていてなるほどと思っていましたが、数式でも表せられるんですね。驚きです

[@ryoyoshino630]

オイラーの多面体定理だけでも証明は可能ですが、グラフ理論を勉強している者については非常に面白く、有用性を感じる内容でした。なんか悔しい気持ち…！

[@ゼロカラノ]

ふくらさんがテレビで、小1で秋山仁先生の本にはまり、正多面体は５種類しかないことをどうやって証明するか、という数学書を小１から読んでいたと言うのを見て、ここに来ました。

[@たろいも-x3j]

動画見ながら一緒に手を動かして計算すると、頭に入りますね

[@振られたパイの実]

今日も分かりやすい授業ありがとうございました！次も楽しみです！

[@ねはんじゃくじょう-w8o]

正二十面体と同様の理由で、 写像12相もカッコいいですよね!!

[@Canale0107MAN]

11:25 ストローをさした時、牛乳を飲むのかと思った。(テトラパック) でもよく見たら、正四面体じゃなくて、四角錐だった。

[@bleu2010mai19]

13:00　の多面体の定義は「すべての面が合同な正多角形」だけではダメなのでしょうか？ 頂点に関する条件なしだと正多面体にならないのでしょうか？

[@雑木林-p8y]

頂点で囲まれたもの→辺 辺で囲まれたもの→面 面で囲まれたもの→胞（適当に名付けた：正式な呼び方は知らん） とすると、頂点－辺＋面－胞=1 になるな。もしかしたら高次元でもこのまま拡張できたりして

[@ぐぐたす-c1i]

点(1次元)に、線(二次元)を１つ追加すると点(1次元)が増える、点を増やさずに線を増やすと面(3次元)が増える ｎ次元を増やしつつn-1次元を増やさなければ、n+1次元が増える。と考えてみました 線を増やさずに面を増やすと、V軸上に面to面の胞(4次元)がうまれる。※これは面２つが線でつながってるわけではなく、ズレて重なっている面to面のつながりを胞と呼んでいる というのではどうでしょうか？　必然的に閉じていない線は4次元へ接続することがかなわないので、かならず3次元を通らないといけない ？おや、じゃあ立体図形は何次元？展開図そのもの、立体は平面をまげて包んだだけであって平面3次元の存在 では胞とは？厚み、立体の中身が詰まってるならばその詰まり物が胞、２つの面の間を胞で埋め、片方を中心にもう１つで包み込めば胞のかたまり 書いててわからんくなってきたぞ、閉じた線が面であり、閉じた面が立体を、閉じることで上位次元へ昇華するのかな

[@hky8634]

4 面体において点V4, 面F4, 辺E4とすると V4+F4=E4+2 •••①となります。 4 面体を粘土細工とした場合、1つの頂点を下敷きで押し潰し5面体にすると頂点が1つ減るが新たにn個の点(本例ではn=3)が増え、n個の辺そして1つの面が増えます。 V5=V4-1+n, E5=E4+n, F5=F4+1なので①に代入すると V5+F5=E5+2 となります。 数学的帰納法によりVn+Fn=En+2 •••②となるはずですがこの操作で任意の形状の多面体が作成できる保証はありません。そこで任意の形状のn面体の1つの面を取り元々面につながっていて宙ぶらりんになった線の長さと角度を調整してそれらの線を1点に集めるとnー1面体を作ることができます。この操作を繰り返すとその内4面体になるはずです。できた4面体からビデオを逆回転すると最初のn面体に戻り前述の数学的帰納法によりこの時②が成立することになります。オイラーの定理がこのようにしても求められそうですが何か勘違いしていますでしょうか？お教え願います。

[@ジャスミンサン-u4y]

高次元世界では、このような数学的制限なく どんな多角形でも作れるんですよね

[@めな-j9i]

27:11~ なんですけどたくみさん分裂してません？

[@funsuke0327]

鮮やかで素晴らしいですね。 非常に分かりやすかったです(高卒)。 木とかの用語は分からないけど、前の動画でやってるんでしょ？ 小学生でも分かる子はいるんじゃないかなぁ。

[@えみりん-j7v]

中2やけどある程度理解出来た…凄い解りやすい。

[@ばあめー-s4f]

9:01のところでなんでこんな感じで開くのかがわからないです。てきとうに開いてる感じですか？学校からオイラーの多面体定理の説明動画きたけどわからなすぎてヨビノリさん見にきた受験生です🙇‍♂️

[@けんちん-k4e]

どんな立体でも膨らませたらたくみさんできる。

[@yobinori]

おいこら

[@opmn4023]

天才ですか？

[@eiji_ooo]

オイラーの多面体定理は種数(ドーナツの穴みたいな曲面を貫通している穴の数)がgの曲面にも拡張できて、そのオイラー数は2-2gになるのは本当に凄いなぁと思う。

[@kamui7741]

ジーナス‼️ 久し振りに思い出した😅

[@abababab5674]

オイラー多面体定理とギブズの相律って何か関係ありますか？

[@somethingyoulike9153]

13:06 すべての頂点で接している面の数が等しくないと正多面体って言わないんだ...初めて知った この条件なくしたらもっとあるのかな？

[@そう云えば何か忘れたかも]

離散数学，グラフ理論のシリーズ ・１つ目の講義：①(一筆書きの定理) → kzbin.info/www/bejne/hnfGpoimd9yaqqc ・次の講義：③(グラフの彩色問題) → kzbin.info/www/bejne/iqTcaoxuecx8kLs ・ゲーム理論の基本 → kzbin.info/www/bejne/Y4bYnXuQhauiaK8

[@TK-vg3pb]

カーナビがあるのもグラフ理論のおかげ。 感謝せねば・・・

[@おきなわ-e7p]

確かにそうですが、大体は相対性理論なのでは？

[@eureyika279]

「美味しい果物が食べられるのは農家の方のお陰」 「いや太陽のお陰だろ」 的な会話

[@ーるダンボ]

連立方程式も位置情報に 貢献してるらしいよ。

[@はんだくん-h6k]

中学時代の悩みが解決！

[@mastsu379]

これ、頂点の周りのｎ角形の角度を考えると頂点の周りの角の角度の和は360度未満で、さらに角の数は３個以上でないと正多面体は作れない。 なので正多面体の面は正三角形、正四角形、正五角形のみで頂点の周囲の正三角形の数は３～５個、正四角形の数は３個、正五角形の数は３個の組み合わせしかありえない。 上記から正三角形３個の正四面体、正三角形４個の正八面体、正三角５個の正二十面体、正四角形３個の正六面体、正五角形３個の正十二面体の５種しかない

[@tbeturan9887]

確かに、正多面体が限られていることを興味の出発点だとするとそれで十分ですよね オイラーの多面体定理がこの件で特に良いのはその5種類の正多面体の頂点・辺・面の数が知りたい時に知れたり、それによってどんな多面体か想像して実現可能であろうことを確認したりするのに役立つことかも。

[@takada5genki532]

潰した時、外側の面を考えるなら外側の面の境目の辺は考えないのでしょうか？ 図で言うなら長方形になっているので差し引き変わらないと思いますが、厳密に言うと面も数えるなら辺と点も数えて4-4も加えて考えないとおかしいと思うのですが。

[@dreaminggun]

やってくれて嬉しいです。 次は是非「ザルガラーの多面体」を

[@sui8501]

正多面体以外の図形で 頂点の数=面の数× 1つの面の頂点の数÷ 1つの頂点に集まる面の数 辺の数=面の数× 1つの面の辺の数÷ 1つの辺に集まる面の数 と言う関係が成り立つのはどのような図形ですか？ また、その理由を教えてください！

[@masudaya1966]

むかし、正多面体は構成される正多角形が五角形まで、 なぜなら立体を作るには1つの頂点で3つ以上の面が必要、正6角形の一つの角が120度で3つ面が集まると360度で平面になってしまい、立体を形成できない。(サッカーボールが6角形と5角形になっているのはそのため) よって構成される面の形は正3角形、正4角形、正5角形の3種類となる。 次に、一つの頂点で共有する面の数を考えると、 3角形の場合、1つの角が60度なので360度になるのは6個の時、1つの頂点で3,4,5個の3種類 4角形の場合、1つの角が90度なので360度になるのは4個の時、1つの頂点で3個の1種類 5角形の場合、1つの角が108度なので、4個で360度以上になる、よって1つの頂点で3個の1種類 以上から、正多面体の可能な数は5種類となる、という証明を見たことがあります。 こちらのほうが初学者には理解しやすいように思います。ただ、この方法ではグラフ理論では全くないわけですが。。。

[@しゅゆん]

345は3平方の数ですね

[@アルペジオ担当]

めっちゃおもろい

[@ようた-i2c]

オイラーの多面体定理をギブズの相律にどのように応用させてるのかも解説して欲しいです

[@ひよこ陛下-c6k]

イケメンの時の妙に手の込んだカットインすこ

[@MM-tj2ds]

任意の凸多面体の頂点の数、辺の数、面の数をそれぞれ V,E,F とする。このとき以下の等式が成り立つ。 V−E+F=2 この時、高田健志がついた定職の数をNとする時 V−E + F + N=2 が成り立つ事を示せ。 東京大理系 2013 第4問

[@村人C-y6d]

自明で草

[@MotorHybrid]

13:20 落ち込み中なのでボケへの加速感が鈍い

[@sota5shi]

大村平『図形のはなし』にもグラフ理論と正多面体が5種類しかないことの証明が登場します． 大村先生の本も分かりやすさに定評ありますが，ヨビノリ動画もサクサク頭に入ってくるからいいですね！

[@ポテサラニキ]

ハンターハンターのリスキーダイスも正二十面体だったから、冨樫義博も数学好きなのでは！？

[@IT-vn7gj]

次元が上がるとどう考えればよいでしょうか（解説があると助かる）

[@marusan1411]

手書きの２が独特なのはＱと間違えない為ですか？

[@AB-wh2nq]

本家アンパンマンより感動した。

[@yobinori]

ほ

[@アテナワイさん]

も

[@しゅゆん]

多面体すき

[@user-vv2mh6xi5x]

まじおもろい

[@MShimo3]

証明の最後のステップ、候補が全て存在することの確認ですが5種類だから試せるけど試せないと仮定したらどうやって示しますか?

[@Mr-oe6hd]

必要十分条件を頑張って求めるしかなさそう

[@thenaturalg7960]

オイラーえぐいってw 何してたらこんなん思いつくんや

[@ubeyuto]

ラミエル オイラーのえぐさ語るならこれはお遊び程度やろ。

[@francescogatti3002]

四次元になると3になったりするんですか？

[@妖精6648]

5:17 面の数って4つでいいんですか？

[@kazutakatomita3685]

これ、最後に実現可能かを確かめなくっちゃいけないけど、4次元の正多胞体を議論するときは、実現可能か否かってどうやって確認とるんやろか

[@冬餅-k4x]

MF/2=E が理解できません。 例えば三角形が三つ繋がった五角形について考えたとき、 M=3,F=3,E=7 となり、等式が成り立たない気がするのですが、

[@冬餅-k4x]

平面の話じゃないってことか

[@うえだ-h7c]

次数の総和が辺の数の2倍になることを「握手の定理」って言ったり「握手補題」って言ったりしますね

[@ああ-k3r6s]

無向グラフの時のみですかね

[@YouTubeAIYAIYAI]

自分用メモ👏。グラフ理論❷ 🌀オイラーの多面体定理 導出🌀 vertex頂点, edge辺, face面 ⭕️木(閉路無し連結グラフ) v－e＝1(一◦を引いていく) 🔜⭕️閉路有り連結グラフ v－e＋f＝1 (☆閉路から一を引いていく) 🔜⭕️多面体定理 v－e＋f＝2(♡膨らませて外側面fを一つ増やすだけ) 正M角形，次数Nとすると M×f／2=e(易)，N×v=2e(握手の定理) ⇔ f=2e／M，v=2e／N これを 多面体定理に代入すると、2/N + 2/M－1=2/e (＞０)だから 2/N + 2/M－1＞0 ⇔ (M－2)(N－2)＜4 これと、M≧3, N≧3 に注意して、M=3のときN=3,4,5、M=4のときN=3、M=5のときN=3以下省略❣️

[@michidayo_1729]

たくみさんは正二十面体？

[@yobinori]

おいこら

[@みつです-o5p]

0次元のもの(頂点)の個数×(-1)^0 +1次元のもの(辺)の個数×(-1)^1 +2次元のもの(面)の個数×(-1)^2 +3次元のもの(立体)の個数×(-1)^3 =1ってなってるのは偶然？

[@竹光-q5s]

黒笛astroid n次元のものの個数ってどういう意味？

[@墾田永年私財法-d1q]

それはほぼオイラーの多面体定理です。 でもめちゃめちゃ綺麗ですごい気付きだと思います。

[@ようた-i2c]

それはオイラーの多面体定理に立体の数 (1つの立体について考えているので必ず1)を付け加えているのと変わらないので V－E＋F－1(立体の数)＝1 になるのは V－E＋F＝2 より偶然ではなく必然です。

[@みつです-o5p]

@@ようた-i2c それはわかるんですけど、４次元のことを考える際、 ここに４次元のものの個数×(-1)^4を加えても1になるのかなと思いまして、これはより高次元に一般化できそうな気がしたんです ４次元の例 八胞体…４次元のもの1個-立方体８個+面２４枚-辺３２本+頂点１６個で確かに-1になります

[@NatureJapan3776]

開路で1と考えるより閉路で0と考える方が考えやすいかも。 n次元の最小多胞体をパスカルの三角形で考えて、 2次元は正三角形: 点3-辺3=0 →これをあえて、1-点3+辺3-1=0 とおく 3次元は正四面体: 点4-辺6+面4=2 →これをあえて、1-点4+辺6-面4+1=0 とおく 4次元は正五胞体: 点5-辺10+面10-胞5=0 →これをあえて、1-点5+辺10-面10+胞5-1=0 とおく ... 以下成り立つようです。 オイラーの多面体定理で出てくる「2」ってどんな意味よ(´･ω･`)?ってずっと思ってて、以前色々調べたらこんな理由でした。 閉路なので結局は元に戻る、0=(1-1)ⁿみたいなイメージですね。 オイラー・ポアンカレの定理なども参考に。 後は色々と考えてみてください。∠(｀･ω･´)

[@複素解析]

大学のオープンキャンパスで受けたオイラー数の授業思い出しました

[@神通カッパ]

サッカーボールで検証して欲しい。

[@ぼぅ-t9y]

正多角形は無限個、正多面体は五個、なら、それの四次元体は一個しかないのかな？

[@宮本健太郎-d3d]

どういうことですか？詳しく聞きたいです。

[@コメントしかしない-t6e]

「グラフ理論」って言葉かっこよくないですか

[@nak_kan7161]

頂点と辺の数の差が1なら逆に絶対木のグラフになるのかな？

[@somethingyoulike9153]

5:05

[@ITEMAE]

最近見始めてハマりました(^^)　是非パイこね理論の講義聞きたいです。

[@take9781]

15:15 図は8角形だから、8×2/2で辺の数は8になるはずだけど、どう見ても辺の数は9だよね。どゆこと？だれかおしえてー

[@ラムネ味-s1n]

なんで正多面体でしか適用できない性質を平面図形でも適用できると思ったんや 正多面体ではどの面の辺も必ずふたつの面で構成されるから割る2してる ていうかそもそも多角形の辺の数え方は内部の辺の数考慮しないやろ M角形の辺の数はMだなんて小学生レベルなんだが

[@take9781]

ラムネ味 おいおい、説明できてないぞ。小学生以下か？まず9個の辺があることが見て分からないのか？だとしたら保育園からやり直すこと。出直しなさい。

[@ラムネ味-s1n]

@@take9781 ええ…こんなに理解力ないとは思わなかった そもそもM角形の辺の数がM本なのは「定義」だからな 図の図形はもちろん辺の数は9本だがそれは 八角形の辺の数８本+対角線の辺の数1本であるから9本なんだよ だから主コメの最初に「図は八角形」と言った時点で必然的に対角線を除いた辺の八本だけしか考慮しないということになる ここまで説明すればわかる？

[@dckaim]

3:57　赤face

[@threegrove]

正多面体作ったなぁ

[@いろはす-y3k]

今週の整数ででたやつ！

[@CSH-g9k]

正多面体以外の各面が同じ角形の多面体も5種類の面の数しか存在しないんですね、、？

[@tbeturan9887]

うーんどの証明も聞くとすごいスッキリするけど自分で思い付けない

[@tasksabwy_pad]

線は帳面(ノート)に引け！ ↓ 線=頂点＋面－2

[@とにかくヨシ-p9u]

ポアンカレ予想解説してほしい

[@たいたい-f1l]

グラフ理論って文系でもできますか？

[@yobinori]

もちろん

[@たいたい-f1l]

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 ヨビノリ天才やん。。

[@vacuumcarexpo]

オイラーの多面体定理って、グラフ理論なの！？

[@68ootani]

そう言う見方も出来るのです、それが数学の特質です。グラフ論からのアプローチも可能なのです。数学の分野は便宜上分かれて居ますが、実の所は一体の物なのです。それを知るのは一部の天才達です。

[@キミロニバスガルパ]

今ふと思いましたが、 3次元の立方体は展開して2次元に出来るけど、 4次元を3次元に展開するイメージがわかない 誰か教えて()

[@NearlyCat]

4次元というのは3次元細かくしてくっつけた(無理やり2次元にして3次元のようにする感覚)だから展開したら3次元が出ますね() ヨビノリさんではないんですが4次元ポケット(4次元について)の動画がyoutubeにあるので是非見てみるといいです！

[@キミロニバスガルパ]

二ア わからん。笑 だから俺は二次元が好きなんだと思う(やや違う

[@usar-xx1uk4pp9h]

じゃあ超立方体上に書かれたグラフなら もう一個新しい変数(多分3次元物体の個数) と絡んで =3になりそう…？

[@usar-xx1uk4pp9h]

n+1次元立体上に書かれたグラフを考えると 頂点-辺+(n次元立体の数)=n…？

[@linerlife2424]

「等式を諦める。不等式を立てるんだぁ。」 で有名な阪大の整数問題では…

[@hgkojika380]

liner life 数学ヤクザですねw

[@アルト-b7w]

最初の木(かな？)の字が癖が強すぎて、最初よく分からなかった

[@sasoribi1341]

正n面体みたいな顔ですね。 (n→∞)

[@ZAWA1026]

正多面体が5つであることが全く伝わってない(苦笑)

[@user-ht9wy5bj2j]

限りなく球に近い

[@青ペン-d5q]

教科書にも載ってた

[@oxrankest6879]

高校数学ではここまでやらないからなぁ・・・

[@robot8475]

球体のところイメージできない、、、、

[@oxygen2354]

たくみさんは多面体...？

[@yobinori]

ちげぇよ！

[@kure254]

正多面体ではないけど、多面体ではあるね。

[@つくば鹿島]

場の理論のダイアグラム思い出した