Je découvre une propriété RÉVOLUTIONNAIRE... pour moi 😅

🎯 Muscle ton cerveau avec ton quotidien, c'est par ici 💪 : hedacademy.fr/p/muscle-ton-ce...
Nouvelle question qui met en avant un résultat que j'ai découvert pour l'occasion. Résultat puissant qui tombe sous le sens mais jamais encore abordé sur la chaîne.
Plan de la vidéo :
00:00 Enjeux de la question
01:38 LA "nouvelle" propriété qu'on va utiliser
02:36 Démonstration de la propriété
05:34 Résolution de la question

[@azzedinelebsari8111]

Franchement j'ai enseigné les années 80 en tant que professeur de mathématiques au CEM (Enseignement moyen= 6e. ,5e .4e et 3e) , c'est aujourd'hui que j'ai appris cette égalité c'est formidable.

[@tocommenthonesty]

ce n'est même pas une égalité!!

[@pat7594]

Dans ma jeunesse (années 60), cette propriété était assez utilisée. Plus tard, pendant ma carrière d'enseignant, je ne m'en suis jamais servi. En voyant l'énoncé, elle m'a sauté aux yeux. Souvenirs, souvenirs...

[@Lucas-DX]

⚠️ *Il manque une solution à l’équation : le cas où n = -1. On le retrouve en prenant par exemple a = -2, b = 1 et c = 1* ⚠️ Je peux vous envoyer une preuve détaillée si vous le souhaitez

[@GiuseppeSALVAGGIO]

Additionner des numérateurs et des dénominateurs... On nous a TELLEMENT enseigné de ne JAMAIS faire ça qu'au bout du compte, on n'aurait jamais osé y penser... 😁

[@Hybban]

J'ai pensé exactement la même chose !

[@mekestuboidoudoudidon5886]

Oui je crois que c'est pour cette raison qu'on a complètement occulté cette propriété des fonctions. Il y avait un tabou à ne pas transgresser. Pourtant ce résultat est énorme ! Alors je m'interroge , y-a-t-il d'autres cas similaires dans la pédagogie des mathématiques ?

[@cinetvblindtest2116]

La subtilité est qu'on ne peut faire cette addition qu'avec des fractions égales.

[@olivierdarras7288]

Si je me souviens bien cette propriété est utilisé dans la démonstration du théorème de Thalés pour le 3ème rapport. Le cas particulier a+b+c=0 a été oublié, il aurait fallu le traiter

[@BlackSun3Tube]

n = - 1 :)

[@TheLordmaxwell]

J'ai également directement pensé à Thalès, mais moi non plus je ne connaissais pas cette propriété telle qu'énoncée

[@alainreseau6777]

hmm, je trouve aussi -1 si a+b+c=0 ? En effet si on fait le produit en croix de la première fraction, alors a*(a+c)=b*(b+c) soir a²-b²+c*(a-b)=0, ou encore (a-b)*(a+b+c)=0. De même pour les autres on trouve que soit a+b+c=0 sinon a=b=c. Soit n=-1 ou n=1/2 ?

[@Anolyia]

Je ne connaissais pas la propriété mais avec le produit en croix, on obtient un système de 3 équations à 4 inconnues. J'ai d'ailleurs obtenu une réponse différente que j'arrive à vérifier, par exemple en prenant a=1, b=2 et c=-3. Cette différence de solution s'explique par la simplification trop hâtive effectuée parce qu'on ne fait pas attention à la nouvelle "valeur interdite" que l'on crée avec cette propriété. Pour la démonstration, on continue comme ça : En ajoutant 1 fois toutes les lignes, on obtient "a+b+c = 2an + 2bn + 2cn", et on obtient n = 1/2 ou a+b+c = 0. Il faut donc résoudre le cas où a+b+c = 0 : c/(a+b) = n c/(-c) = n n = -1 Donc, si a+b+c = 0, n = -1. Sinon, n = 1/2 En vérifiant avec a=1, b=2 et c=-3, on arrive bien à n=-1.

[@Gokaides]

Effectivement. Perso j'ai juste calé que si a,b et c ont la même valeur non nulle (genre 1), on trouve le résultat ^^. Mais il me semblait sui manquait suelque chose. Et je n'aurais pas pensé au nombres negatifs... comme quoi la rigueur c'est pas mal !

[@yesha5743]

Super solution merci pour la règle que je ne connaissais pas, toutefois j'avais trouvé un autre moyen en posant a+b=c/n, a+c=b/n et b+c=a/n en additionnant a/n+b/n+c/n = (a+b) + (a+c) + (b+c) on obtient (a+b+c)/n = 2(a+b+c) => 1/n=2 d'où n=1/2 . J'aime beaucoup tes vidéos elles font travailler le gingin👍😅

[@Anolyia]

Démonstration incomplète : a=1, b=2, c=-3. J'obtiens n=-1.

[@yesha5743]

@@Anolyia effectivement a+b+c était à poser différent de 0 pour simplifier le calcul et sinon le cas a+b+c=0 donnait n=-1. Toutefois "J'obtient" se conjugue avec un 's' à la fin au présent à la première personne du singulier: j'obtiens, tu obtiens, il obtient.

[@Rock-gi9fn]

Je vous trouve très agréable à écouter , je suis assez souvent largué avant la fin des vidéos (j'ai jamais été très doué en mathématiques ) mais vous avez une manière de transmettre votre passion des maths bien à vous que j'apprécie donc je continue à regarder régulièrement .

[@timotheecascella5265]

stratégie brillante !!! je suis en 2eme année de prépa maths et je viens de la découvrir !! encore une très belle vidéo merci !!

[@arferf2869]

J'aurais sûrement réussie en math si mes profs avaient expliqué comme toi et avec cette passion 😊

[@tocommenthonesty]

Plein de prof qui expliquent mieux que cette façon!! par ingratitude on ampute sa médiocrité aux profs!!

[@slimellouze1319]

@@tocommenthonesty Oui, mais n'empêche qu il est possible (voire très probable) que @arfer2869 a eu un prof qui ne faisait pas encore partie de cette catégorie, surtout quand on connait les critères scandaleux de l'académie qui n'hésite pas à parachuter des profs qui sont tous sauf pédagogue. Pour l'inspection académique, un bon prof est un prof qui est capable de leur fournir la paperasse de m... lors des visites. Pour ma part, j'ai gentiment invité mon inspectrice à aller chercher ce genre de parasse ailleurs que dans ma salle de cours, et que je ne consacrerais aucune seconde à générer des tableaux de progressions pédagogique minuté séance après séance et qui sont tout sauf une preuve de pédagogie. Pour moi, la pédagogie, c'est la faculté d'adapter son contenu à son public, afin d'amener tout son public à bon port, quitte à faire l'impasse sur des notions non essentielles. Bien entendu, les bons éléments de la classe ont toujours été prévenus de ces impasses et ont toujours pu travailler ces contenus de leurs côtés et les aborder avec moi en dehors des cours. Les inspecteurs académiques, contrairement à moi, préfère qu'on fasse l'impasse sur certains élèves que sur certaines notions. Et c'est la raison pour laquelle je ne souhaite plus jamais travailler pour l'éducation nationale.

[@curry2515]

Ba oui et non, fallait juste bosser chez toi

[@dlep9221]

Quel enthousiasme et quelle passion vous transmettez, merci !

[@denischmielewski8947]

Excellente vidéo comme d'hab. Je ne connaissais pas cette propriété des fractions.

[@inaoubachir683]

Très honnêtement; bravo et mes sinceres remerciements. Avec vous, on apprend encore et encore, et on fascine nos enfants en retour.❤❤

[@fstaccato]

Il y a quand même un sacré problème de rigueur dans ce raisonnement, parce qu'on n'a jamais dit que a + b + c (qui se retrouve au dénominateur) était non nul. En particulier, si a + b + c = 0 (par exemple en prenant a = 1, b = 2 et c = - 3) on trouve n = - 1. Perso, j'ai raisonné comme suit : La première égalité entraîne par égalité des produits en croix : a(c + a) = b(b + c) ac + a² = b² + bc d'où a² - b² = bc - ac c.a.d. (a + b)(a - b) = -c (a - b) Alors - Si a ≠ b on simplifie l'égalité par a - b et l'on obtient a + b = -c . Dans ce cas là, on vérifie facilement la double égalité, et la valeur commune est - 1( cf exemple ci-dessus) - Si a = b on obtient l'égalité a/(a + c) = c/(2a) d'où 2a² = c(a + c) Après développement 2a² = ac + c² que l'on peut transformer en a² - c² = ac - a² c.a.d. (a + c)(a - c) = -a (a - c) Nouvelle disjonction des cas : - Si a ≠ c, après simplification par a - c, on a a + c = - a qui se ramène au cas précédent avec a = b, et n = - 1 - Si a = c, on a en définitive a = b = c et dans ce cas là (et dans celui-là seulement !), on vérifie facilement que n = 1/2

[@adaflyci2232]

Et pourtant, il a bien dit "dénominateur non nul" à partir de 2:46

[@fstaccato]

On ne parle pas de la même chose. Le raisonnement ne tient pas si a + b + c = 0 . Dans ce cas on trouve n = - 1, ce que le raisonnement de la vidéo ne met pas en évidence

[@cyruschang1904]

n = -1 ou 1/2 1) a / (b + c) = n => n x b + n x c = a 2) b / (a + c) = n => n x a + n x c = b 3) c / (a + b) = n => n x a + n x b = c 1) - 2) => n (b - a) = a - b 2) - 3) => n (c - b) = b - c 3) - 1) => n (a - c) = c - a n = -1 si a ≠ b ou b ≠ c ou c ≠ a (par exemple a = 2, b = c = -1) n = 1/2 si a = b = c

[@liam7958]

Super vidéo je ne connaissait absolument pas la propriété et ça fait vraiment plaisir de faire des maths avec tes vidéos 😁👍

[@MardkoMBR]

Je ne connaissais pas cette propriété des fractions. Excellente vidéo comme d'habitude.

[@alainballigand9053]

Superbe énoncé, aujourd'hui j'ai encore appris quelque chose à 61 ans. Merci.

[@bububelg]

et moi à 76 ans

[@fstaccato]

Deuxième remarque gentille 😉 pour la démo de la propriété, il me semble plus simple de poser k = x/y = z/t d'où x = ky et z = kt, d'où x + z = ky + kt c.a.d x + z = k(y + t) d'où (x + z)/(y + t)= k, d'où le résultat

[@moussabangoura0303]

Je prends toujours du plaisir à regarder vos vidéos si vraiment j'avais eu un professeur de maths comme vous...😢😢😢

[@chimondavidnaouri6762]

a/(b+c)=b/(a+c) => a(a+c)=b(b+c) => a²+ac=b²+bc =>a²-b²+ac-bc=0 =>(a-b)(a+b+c)=0 Soit a+b+c=0 Soit a-b=0 b-c=0 et a-c=0 Donc si a+b+c≠0 alors a=b=c dans dernier cas n est bien égal à 1/2 car n=a/(b+c)=a/(a+a)=1/2 En revanche si a+b+c=0 alors c=-(a+b) =>n=a/(b+c)=a/(b-a-b)=-1 Ou encore n=c/(a+b)=-(a+b)/(a+b)=-1

[@chimondavidnaouri6762]

Je me suis aperçu que j'oublie une condition à préciser dans l'énoncé de l'exercice. C'est que a, b et c ne sont pas tous nul.(sinon n=0/0 et dans ce dernier cas n peu être égal à n'importe quel valeur et on ne peut pas le calculer.)

[@Carlos-qz7ul]

Merci pour ton enthousiasme, Héda ! 👌

[@VIN.100]

Super demo ! Je ne connaissais pas non plus 👍

[@alexislefort9694]

Merci de nous avoir fait découvrir cette propriété

[@solipsisme8472]

Une très intéressante propriété, et merci de la démonstration !

[@bambainza7332]

J'étais vraiment impatient de voir la fin. je ne m'aurais pas en sorti. Merci pour la demo😊

[@manassekouakou5835]

Amazing!! Wonderful!! Super👏👏👏👏

[@stephanebarbieri7254]

Merci, j'ai 52 ans et c'est toujours un plaisir d'écouter vos démonstrations cela me remémore ma scolarité.

[@hedacademy]

Super 😃 merci pour ce retour

[@isalaur1]

Trop génial, "you make my day"!

[@raphaelminchin2922]

La réponse est largement incomplète, car le nombre n vaut soit -1, soit 1/2. Pire, la fréquence d'apparition du résultat 1/2 par rapport à -1 est de 0. En fait, il y a une erreur dans la résolution effectuée à la toute fin. Lorsque l'on obtient la relation (a+b+c)/2(a+b+c), la simplification par a+b+c n'est possible qu'à la condition que a+b+c soit différent de 0 ! En fait la méthode ne marche que si a+b+c ne vaut pas 0. Il faudrait donc faire une disjonction de cas : _ Soit a+b+c différent de 0. Et dans ce cas, en appliquant cette technique, on obtient que a=b=c et n=1/2 _ Soit a+b+c=0. Et dans ce cas, si (a,b,c) est différent de (0,0,0), alors le triplet (a,b,c) vérifie la triple égalité et on obtient que n = -1. Si on analyse géométriquement l'ensemble des solutions (en posant x=a, y=b et z=c), on peut se rendre compte que : _ Ce sont les points de la droite de l'espace passant par l'origine et de vecteur directeur (1 ; 1 ;1) qui donnent un quotient égal à 1/2. (point origine exclu bien évidemment, car alors les quotients sont non définis). _ Ce sont les points du plan de l'espace d'équation x+y+z=0 (origine exclue) qui donnent un quotient égal à -1. Les 3 quotients, lorsqu'ils sont égaux, sont donc infiniment de fois plus souvent égal à -1 qu'à 1/2. Personnellement j'avais résolu cet exercice en écrivant trois égalités obtenues par produits en croix, ce qui m'avait permis à l'aide de disjonction de cas d'obtenir les résultats précédents. La méthode est un peu longue, mais elle permet de ne rien oublier et n'est pas très difficile à mettre en oeuvre.

[@gillesdelbreil5414]

Il aurait également fallu préciser le domaine de définition des fractions de l'énoncé restraint l'ensemble des triplés solutions. De ce fait les cas ou a=-c, b=-a , c=-b doivent être exclus.

[@axelgilbert7220]

Bon ça a été mentionné mais je le répète : - Il y a un autre cas : si a + b + c = 0 alors n = -1 (et c'est vrai pour tout triplet avec a+b+c = 0, facile à vérifier) - Bien entendu si a = b = c alors visiblement n=1/2 (c'est pas un cas super intéressant mais c'est un cas à mentionner) - Et en fait ce sont les deux seuls cas possibles ! (démo + bas) Donc je dirais plutôt que "en dehors du cas trivial a=b=c qui donne n=1/2, la solution générale est n=-1. Démo, supposons a différent de b Les produits en croix sur les premières fractions donnent a² + ac = b² + bc soit a² - b² + c(a-b) = 0, oh une identité remarquable pointe sont nez ! donc (a-b) (a+b) + c (a-b) = 0 Comme a et b sont différents on peut simplifier par a-b ce qui donne a + b + c = 0 On montre pareillement que si a est différent de c ou b de c on aboutit toujours à a + b + c =0

[@fstaccato]

J'étais pas descendu assez bas et je n'avais pas vu votre raisonnement et je viens de dire en gros la même chose... Bon, je laisse, je crois qu'il vaut mieux que l'erreur soit signalée plusieurs fois parce qu'entre temps pas mal de gens passent à côté !

[@gullivert3076]

Merci professeur j'ai bien aimé cet exercice !!

[@olivierlerot2736]

Il y a une "cacahuète dans le potage".... Si la solution a = b = c va aboutir à n = 1/2, que dire de la solution a = 1 ; b = 2 et c = -3 ? Pour cette dernière, j'obtiens a/(b+c) = b/(a+c) = c/(a+b) = -1. Le problème vient du fait que la simplification par (a + b + c) ne petut être faite si la somme vaut zéro. Ce qui est le cas dans mon exemple. Le problème n'a donc aucune solution dans l'ensemble des réels. La solution est uniquement possible dans les naturels car la somme a+b+c = 0 n'est possible que si a=b=c=0 ce qui est contraire aux conditions initiales.

[@fabricevs5293]

Alors je ne la connaissais pas du tout non plus ! Merci !

[@georgesp.216]

Top, merci. Je ne connaissais pas cette propriété. Les maths c'est magique.

[@user-ri3fq4vm8u]

Un exercice de QCM, d'intelligence !Merci bcp👍

[@hectthorno584]

Excellent. Merci !!!

[@julienchini5637]

tu as oublié quelque chose de tres important à 7:08 . en effet, tu ne peux simplifier par (a+b+c) que si il est non nul. il faut donc traiter le cas ou (a+b+c) est nul.

[@Warcraft_Traveler]

Imagine s'il avait bien précisé "non nul" pour faire plaisir aux mecs qui ne font que répéter que ça dans les commentaires parce qu'ils sont incapable d'un truc plus évolué, ton commentaire serait inutile et ça serait vraiment pathétique .... Ha mince il l'a fait, c'est vraiment pas de chance, ta tentative de dissimulation avec un timer en retard n'y aura rien changé. Essayons disons 8 sec plus tôt 7:00

[@julienchini5637]

@@Warcraft_Traveler alors, oui, c'est vrai, il a précisé "non nul" à 7:00 et je l'ai pas repéré, my bad. sauf que la possibilité que ce soit nul existe. il aurait du dans ce cas gerer également le cas ou (a + b + c) est nul. et dans ce cas, n est egal à -1 et pas à 1/2. si tu veux je peux faire la demonstration : si a + b + c = 0, alors on a a = -(b+c) et donc a/(b+c) = -(b+c)/(b+c) = -1 (et de meme pour b/(a+c) et c/(a+b) ) c'est important de le preciser, car là il ne donne pas toutes les solutions et donc sa demonstration est incomplete

[@HenriBourjade]

@@julienchini5637 Excellent. Très bonne solution.

[@ivanpinot7573]

Je connaissais pas non plus cette propriété , mais en voyant les égalité j'ai tout de suite pensé n = 1/2, puis en prenant a = b =c, j'ai vu que ça fonctionné parfaitement Toujours intéressant d'avoir la démonstration correcte en tout cas, bravo

[@jean-bernardlepinay193]

J'ai 64 ans, et je connaissais cette propriété, qu'on m'a enseignée au collège. Mais cela n'enlève rien à la démonstration, master class comme d'habitude. Merci !

[@fuxpremier]

Le cas a+b+c = 0 donne n=-1 ex : (a,b,c)=(1,1,-2). Ça aurait été bien de le traiter 😅

[@zelani3370]

n peut aussi valoir 1 si a=0, b=1, c=1

[@Mixer357]

@@zelani3370 non dans ce cas là a b et c ne respectent pas les égalités

[@piccolo64]

cas où a+b+c=0 , pour éviter la division par 0, on peut soustraire (addition d'un multiple avec un coefficient k a+b=-c n=-2c/2c n=-1 ou n=(a-b-c)/(b+c-a-c-a-b) n=(a-b-c)/(-2a) or a+b+c=0 => a=-b-c n=2a/(-2a) n=-1

[@oliviervancantfort5327]

Il y a beaucoup plus facile: si a +b+c =0, alors b+c =-a. Remplacer dans la première fraction => n = a/(-a) = -1 Donc 2 groupes de solutions possibles: 1) tous les nombres a,b,c tels que a+b+c=0 avec a,b,c ≠0 donnent n =-1. Exemple: 1,2,-3 2) a=b=c avec a,b,c ≠ 0 donne n=1/2 Le cas 2) peut être prouvé aisément en réécrivant les fractions a/(b+c) = 1/2 => 2a-b-c=0. On obtient 3 équations de ce type. En éliminant deux à deux, on obtient facilement a=b et b=c Vraiment dommage que la moitié de l'infinité des solutions ait été oubliée 🤔

[@sea34101]

​@@zelani3370 Dans ce cas a/(b+c)=0 et b/(c+a)=1. Cela ne marche pas.

[@maelcavan]

Comme dit dans la vidéo, n=1/2 si a+b+c est différent de zéro, mais si a+b+c=0 alors n=-1 (à moins que a=0, b=0 et c=0, mais dans ce cas on divise par zéro donc c'est impossible)

[@Lucas-DX]

Yes toutes les valeurs de a=-2x, b=x et c=x avec x non nul sont aussi solutions de l’équation et ont été oubliées

[@Mamady2CAMARA-tu3ce]

Bonjour. J'ai trouvé N=1 par une demonstration irréfutable. Donc il est possible que la question ait plusieurs réponses possibles selon le Domaine de définition de A, B, C. C'est à dire R ou R+

[@maelcavan]

@@Mamady2CAMARA-tu3ce si on pose n=1 alors a/(b+c)=1 donc a=b+c (1), de même b/(a+c)=1 implique b=a+c (2), en remplaçant (2) dans (1) on obtient a=a+2c donc c=0, mais dans ce cas on a une contradiction car c/(a+b)=1

[@b.vaebike313]

Bravo pour l'évocation de cette propriété dont je ne me rappelais pas du tout !

[@rudydelbecq5903]

Excellente démonstration !!! Je ne connaissais pas cette propriété... Portant toute simple...

[@yveslory797]

Une découverte, merci

[@houriabelas594]

Je suis faciner par cet exercice bravo

[@geraldinegrosbois5048]

Je ne connaissais pas cette propriété et pourtant, elle évidente Merci 😁

[@MsQuentin55]

Je ne connaissais pas la propriété ! Et je suis content, ça m’a démangé de faire une factorisation avant que tu l’annonces : la factorisation « coule dans mes veines » maintenant ;)

[@AbyFall-ny7cw]

C très intéressant merci pour la démonstration grâce à vous j'ai parvenu à le connaître mais j'aimerais tellement une vidéo portant sur le "principe des tiroirs"🙏

[@grouchomarx6156]

Trop bon! Merci

[@pedagoclown2267]

Waow excellent Bravo

[@dolphinswimming4823]

Super, jamais vu avant !

[@lingoflowerman1155]

D'abord j'ai vu que si a, b et c sont interchangeables c'est qu'ils sont égaux. Dans ce cas n=1/2 Puis en faisant quelques manips je suis tombé sur la formule 2n²+n-1=0 Ainsi n a deux valeurs possibles n=1/2 et n=-1 En tous cas merci de me rappeler cette propriété sur les fractions

[@ph.so.5496]

Non, je ne connaissais pas. Super !😃👍

[@Mathsca9]

Super vidéo ! Je trouve que c'est plus simple de raisonner de la mannière suivante : Prenons les deux premiers membres et multiplions l'égalité par leurs dénominateurs. Nous obtenons l'égalité suivante : a(a+c) = b(b+c). Il en vient que a = b et par le meme raisonnement on trouve également que b = c et donc par transitivité on déduit que a = c. Nous trouvons donc que n = 0.5

[@guypernot8944]

merci beaucoup on apprend

[@lolo-ep4qk]

Bravo !!

[@yapadek3098]

Je ne connaissais pas, c'est génial !

[@yvesfarbos647]

Je ne connaissais pas (ou plus) cette propriété . Merci.. J'ai résolu le problème ainsi : S= a+b+c. On a : a/S-a =b/S-b=c/S-c=n. D'où: a=n(S-a) ; b=n(S-b) ; c=n(S-c) ; S= n(S-a+S-b+S-c) = n(3S-S) =n2S....2n=1....n=1/2.

[@alexengel1559]

Je ne connaissais pas, mais j'adore.

[@martinkaherroux3487]

Incroyable cette propriété !!!! :)

[@fabienlelot464]

Attention ! Comme il dit "Les dénominateurs doivent être non nuls, je le dis mais je ne l'écris pas". Il aurait été bon de l'écrire... Le résultat est faux si (a+b)=-c. Dans ce cas le raisonnement ne fonctionne pas car le dénominateur s'annule ! En fait, n=-1 est une autre solution de l'équation.

[@slimellouze1319]

Je suis tout a fait d'accord. En ne se focalisant sur le deux premières membre de la triple égalité, on arrive rapidement à déduire que : - soit a=b=c ce qui amène à n=1/2 - a+b+c = 0, ce qui amène à n=-1 Dommage, moralité : les artifices ne peuvent pas remplacer les méthodes rigoureuses ... Cependant, il faut toujours accepter que l'erreur est humaine, et ce pour tous les humains, sans exception. Et cette erreur ne doit en aucun cas discréditer les talents de Hedacademy.

[@Poil1958]

tres bon merci... Non je ne connaissais pas cette propriété.

[@renaudlefresne7515]

Je ne connaissais pas, et je trouve cet exercice savoureux.

[@user-vh4ly9rq5v]

Également

[@jacquesperio3017]

C'est dingue le nombre de gens qui ne connaissent pas cette propriété. Moi même je l'avais oubliée. C'est dire!

[@sarahpierris3004]

Il y a une ruse pour ne pas passer par un facteur k: x/y=z/t équivalent à z=tx/y (y et t différents de 0) donc (x+z)/(y+t)=(x+tx/y)/(y+t) la ruse est d’écrire t=ty/y ........(y bien sur différent de 0), mais ce qui impose y différent de -t, dans ton explication cela correspond à k différent de -1..... en ce qui concerne ta démo c'est trés astucieux, il y a cependant une ambiguïté du fait que l'on ne sait pas si a,b,c sont positifs, ou non, il y a d'autres solutions cf commentaire plus bas! Attention, parfois on trouve une solution sympa qui nous détourne de Toutes les solutions!

[@Yerolie-le-vieux]

Il me paraissait évident que a=b=c0 et donc n=1/2. Mais je ne savais pas trop comment le démontrer (je n'ai pas essayé non plus). Du coup j'ai regardé cette vidéo pour y voir la démonstration. A la place, j'y ai découvert une propriété que je ne connaissais pas. Merci. Par contre il me reste à trouver une démonstration pour voir si mon intuition est correcte (peut-être par l'absurde ?).

[@IssaDoumbia-lp3og]

C'est la première fois que j'ai vu cette formule fantastique

[@VonBeethoven2000]

Moi instinctivement je m'appuie sur le fait que a, b et c sont interchangeables. Autrement dit on peut mettre b à la place de a, a à la place de c et c à la place de b sans que cela ne modifie les équations. Du coup j'en déduis que a = b = c est forcément une solution. Je calcule avec 1 et je trouve M=1/2. Je n'ai pas démontré que c'est la seule solution possible mais ça permet de trouver très vite une solution. Néanmoins c'est vrai que la formule présentée est très élégante et permet une démonstration plus rigoureuse.

[@aurelienperdriaud108]

En fait on peut formaliser cette intuition. On suppose par l'absurde que a < b < c, c'est à dire on force une "asymétrie" entre a,b et c et on démontre qu'elle n'est pas possible. (Je vais supposer ici que a,b et c sont positifs mais on peut adapter la démonstration dans les autres cas) Si a < b < c alors on a clairement a < c et a+b < b+c, d'où 1/(b+c) < 1/(a+b) et en multipliant les deux inégalités on obtient a/(b+c) < c/(a+b), ce qui montre qu'on ne pourrait pas avoir a/(b+c) = c/(a+b). Donc au final on est obligé d'avoir a = b = c, et on en déduit que n = a/(a+a) = 1/2. (Pour être plus rigoureux il faudrait démontrer plutôt qu'on ne peut pas avoir a < b __

[@olivieru]

@@aurelienperdriaud108 Bonjour. Vous faites un hypothèse trop restrictive. On peut avoir a < b = c, par exemple. Si on pose simplement a différent de b, on obtient n=-1 et dans ce cas, ça implique a+b+c=0. Par exemple, (-1, 2, -1) donne n = -1.

[@Hayet-jb2sd]

merci j'ai appris une chose nouvelle

[@jerome_in_a_weird_web5166]

Bravo, pour l enthousiasme et le phrasé. Je vois dans les commentaires que les personnes apprécient les maths. Et ca c est un tour de force. Le petit squelette je ne connaissais pas comme expression 😊

[@hedacademy]

Merci pour le message. Le « squelette » c’est une création maison 😆 que j’essaie d’institutionnaliser

[@sheytacbaretts8621]

En mathématiques il existe ce genre de résultats ultra simples qui permettent de résoudre des problèmes plutôt difficiles. C’est un peu comme quand Dirichlet grâce à l’introduction de son principe des tiroirs qui dit que si n+1 objets sont rangés dans n tiroirs alors au moins l’un de ses tiroirs contiendra au moins 2 objets, a pu « faire avancer de manière remarquable la théorie des entiers d’un corps de nombres algébriques en déterminant dans le cas le plus général la structure du groupe des unités de ce corps » disait Jean Dieudonné. Alors qu’avant lui ce résultat était obtenu par des considérations assez compliquées sur les fractions continuées.

[@soljin1010]

En regardant l'égalité, la solution m'a sauté aux yeux en deux secondes, mais je me suis demandé si il y avait d'autres solutions possibles. Merci pour la propriété. Je ne connaissais pas.

[@jeffh.8251]

c'est magique les maths, toi grand magicien

[@nomadimpressario_4506]

bonjour, tout d'abord merci pour l'astuce. il faut cependant vérifier que a+b+c soit différent de 0 : dans ce cas là, on trouve n=-1. comme vous l'avez fait remarquer dans la démonstration, pour utiliser cette astuce il faut vérifier que les fractions sont bien définies.

[@hectortabalo1487]

J'ai enseignant cette propriétaire mais j'avoue que je n'ai pas traité avec mes élèves assez d'exercices où nous l'avons appliquée. Du coup, ça n'a pas été évident pour moi. Mais du moment où il a annoncé la propriété, la solution avait sauté à mes yeux.

[@jeannettestuckelschwaiger5071]

j'ai jamais été bonne en maths dans ma jeunesse. Pourtant j'ai trouvé le resultat en moins de 10s à 77 ans avec un vieux methode:3fois 2,50et 2fois 0, 25=8. Votre démonstration est interessante dans ce sens qu'elle ouvre les yeux pour d'autre méthode.

[@jfulysse9629]

Prof de maths en retraite je n'ai jamais utilisé ! J'avoue ! Cependant c'est fascinant

[@olivierjeannot2156]

Je ne connaissais pas la propriété et j'ai résolu différemment, mais les deux méthodes se ressemblent : Si on prend chaque quotient = à n, on a : a = n (b + c) b = n (a + c) c = n (a + b) J'ajoute les trois équations : a + b + c = n (b + c) + n (a + c) + n (a + b) a + b + c = nb + nc + na + nc + na + nb a + b + c = 2na + 2nb + 2nc a + b + c = = 2 n (a + b + c) 1 = 2 n n = 1 / 2

[@mohammedari8260]

Merci pour l'effort que tu as fais.on a étudié cette propriété en 2ieme année du collège dans les années 70 dans la leçon de proportionnalité Autre exemple·trouver x.y et z tel que x/2=y/3=z/5 et xyz=810

[@boubacarysane9758]

Je viens de connaître cette propriété. Merci beaucoup

[@maxou7181]

Merci beaucoup

[@kaoxneo]

Je ne connaissais pas cette propriété que je suis bien content de découvrir ! Par contre assez instinctivement je me suis dit que tout fonctionnait si a=b=c=1, ce qui nous amène à n=1/2.

[@jean-stephanetorre3446]

C'est que l'on pratique lorsque l'on construit un tableau de proportionnalité. Exemple ligne 1 le nombre de litres de carburant ligne 2 le nombre de kilomètres parcourus. Si on dispose des valeurs pour 1L et pour 4L, on peut, par addition, construire la colonne correspondant à 5L et, par soustraction, la colonne correspondant à 3L. Vu en 6e...

[@beethoven5984]

Génial

[@vincentbrun5372]

Propriété que je ne connaissais pas 👍👍

[@stumme]

Honnêtement je connaissais mais pas depuis très longtemps ; je me suis fais la réflexion en regardant les exercices de proportionnalité de mon fils.

[@olivieru]

Si a=b=c, alors n = 1/2 S'il y a deux nombres parmi (a,b,c) différents (disons a et b) : a = nb + nc b = na + nc ---> (a-b) = n(b-a) ==> n = -1 Dans ce cas, on a : -a = b+c -b = a+c -c = a+b ---------------------- en sommant, on obtient -(a+b+c) = 2 (a+b+c) ce qui implique a+b+c = 0 Donc : * si a=b=c ---> n = 1/2 * si a+b+c=0 ---> n = -1 * sinon ---> pas de solution

[@gatiensohtegang1561]

Très passionnant les mathématiques

[@Hayet-jb2sd]

Incroyable

[@marie-christineroch8927]

Ben, oui. Je l'utilise pour les trucs proportionnels : si 3 bonbons m'ont couté 3€15 puis 7 bonbons m'ont couté 7€35 alors 10 bonbons coutent 10€50 (et chaque bonbon 1€05). Je suis persuadée qu'il y a sur cette chaine plein de gens qui ont utilisé cette propriété sans le savoir :-)

[@abderrahimkarim3951]

C est génial. Je ne la savais.

[@melmez7483]

Bonjour je partage beaucoup de Vidéo avec mon fils qui est En troisième. Pour mon fils de 9 ans tu fais partie de la "héros academy" ton nom lui a fait penser Tenya lida. Merci pour tes enseignements.

[@MaxiMadMatt]

J'adooooore, car je ne connaissais pas

[@adriensurut7970]

Je ne connais pas cette propriété merci de me la faire découvrir :)

[@user-vh4ly9rq5v]

Je connaissais pas la propriété. Merci beaucoup❤. J'ai dû passer d'un chemin différent pour arriver à la solution différente. On a : b/a+c = c/a+b , Donc : b(a+b)=c(a+c) ba+b²=ca+c² b² - c² = ca - ba (b+c)(b-c)= -a (b-c) b+c = -a a+b= -c Et : c/a+b=n et a+b=-c Alors : Remplaçant a+b par -c n=c/-c n = -1 Je me débrouille ❤

[@cristobalr4236]

Magie du professeur 👍

[@gersonsanvi1741]

Bonjour moi j'ai essayé il s'agit des calculs de proportionnalité donc on a :(a+b+c)÷(2a+2b+2c)et on met 2,en facteur au dénominateur puis on simplifie et on a le résultat, n=1/2.

[@abdesselambennour3875]

Merci professeur salut du maroc

[@Alone-Stephane06]

Merci