ÉQUATION MUSCLÉE et PROPRIÉTÉ INÉDITE 🧐

[@Korhona]

arrivé à log(360x3) je me suis dis que je m'était fourvoyé ! :) hehe. Plus sérieusement, Hedacademy, la seule chaîne qui fait des plot twist dans un exo de maths ! Tu nous gâtes ces derniers jours ! quel rythme ! merci.

[@user-wl7iy3ux7b]

tu t'es surtout égarer mdr

[@michelpayet]

Je souhaite à tous les élèves de France, un prof tel que vous. Ça fera d'autant plus d'amoureux des Math.

[@Amelise68]

Merci pour toutes tes vidéos, je redécouvre les maths et c'est un vrai plaisir grâce à toi

[@claudedaco3339]

Une horreur oui. Si il y en a que ça amuse tant mieux pour eux. Ça me faisait tellement ch....er qu’a la fin je n’essayais même plus de comprendre. Au dernier examen, zéro sur toute la ligne. Heureusement la géométrie et la trigonométrie m’on sorti de là .

[@BlackSun3Tube]

@@claudedaco3339 Bah, personne ne vous oblige à regarder cette chaîne, si cela vous déplaît ;) Mais avec la bonne humeur et le dynamisme de l'auteur(ou des auteurs plutôt) de ces vidéos, et la varité é des sujets et niveaux abordés ,cela m'étonnerait que vous n'y trouviez pas quelque chose qui vous plaît :)

[@ThetaMaths]

Wow super exercice qui demande des réflexes, fais en plus souvent s'il te plaît !

[@philippegibault6889]

Je n'ai pas encore vu la vidéo. On va partir sur a et b Réels avec a != 0 et b != 0. J'ai d'abord essayé de développé, et ça a été le drame. Puis j'ai eu une autre idée. J'ai réécrit le merdier de la façon suivante: a^2 -2 + (1/a)^2 + b^2 -2 + (1/b)^2 = 0. On utilise les identités remarquables: (a - 1/a)^2 + (b - 1/b)^2 = 0. Là, ça devient vite plus simple car un carré est positif ou nul (dans les réels). Donc, chaque carré doit être nul. Donc a - 1/a = 0 a = 1/a a^2 = 1 a = 1 ou a = -1. Donc b - 1/b = 0 b = 1/b b^2 = 1 b = 1 ou b = -1. Donc les solutions sont (-1,-1), (-1,1), (1,-1) et (1,1).

[@jeangabrielnga8989]

PAREIL

[@lattuajj]

Vous êtes vraiment excellent !!

[@theoponton2938]

Alors perso j'ai commencé à étudier la fonction f(x) = x + 1/x sur ]0, +inf[ En dérivant f'(x) = 1 - 1/x² f'(x) négative sur ]0, 1[ et positive sur ]1, +inf[ Donc f décroissante sur ]0, 1[ et croissante sur ]1, +inf[ Donc f admet un minimum sur ]0, +inf[ en 1 et f(1) = 2 Fort de ce résultat, comme a² est dans ]0, +inf[ on a : a² + 1/a² >= 2 De même, on a : b² + 1/b² >= 2 Donc : (a² + 1/a²) + (b² + 1/b²) >=4 Pour avoir l'égalité à 4, il faut donc que (a² + 1/a²) = 2 et que (b² + 1/b²) = 2 Et d'après l'étude de f, cela équivaut à a² = 1 et b² = 1 Cad (a=1 ou a=-1) et (b=1 ou b=-1) Et on trouve les mêmes couples de solution que toi. Mais il faut avouer que ta démonstration est plus élégante.

[@Ctrl_Alt_Sup]

Perso, j'ai analysé directement f(x) = x² + 1/x² Sa dérivée 2x - 2/x³ s'annule en x = 1 et en x= -1 avec f(x) = 2 Conclusion: f(x) ≥ 2 et donc : (a² + 1/a²) + (b² + 1/b²) ≥ 4 quels que soient les couples (a,b) Sachant que a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 Il n'existe pas d'autres solutions que les 4 couples (1;1) , (-1;-1) , (1;-1) , (-1;1) (qu'on voit dès le début 1+1+1+1 = 4) PS: en détaillant, entre 0 et l'infini, x² est croissante, 1/x² est décroissante et donc x² + 1/x² passe par l'extremum là où la dérivée s'annule. (x² + 1/x² est symétrique par rapport à l'origine)

[@guyeysseric9442]

@@Ctrl_Alt_Sup Oh les barbares! Ça sent sup et spé, ça. Je vous assure qu'il peut exister un grand bonheur dans la simplicité (volontaire ou pas), Commentaire d'un fruste :)🙃

[@davez8816]

@@Ctrl_Alt_Sup Très bonne intuition, cela résoud mon problème de changer plutôt les variables X=a+1/a et Y=b+1/b je tombe plutôt sur l'équation d'un cercle X^2+Y^2=8 qui semble donner plusieurs solutions. Or cette méthode de changement de variable empêche de prende X n'importe comment car a^2 + 1/a^2 est tjours >=2! On retrouve la même réponse.

[@sam-li1cj]

Juste EXCELLENT 👍👍👍👍👍 Grand MERCI 🙏🙏🙏🙏🙏

[@philippek5551]

Votre façon d'expliquer est très claire et pleine d'énergie

[@longcours]

Très bon prof. Bravo comme toujours

[@yourgos19]

A 45 ans je refais me leçons de maths😂😂😂merci

[@rickydlayaute5387]

Excellentissime !! 🙏😎🙏👏👏👏👏👌👍🥂💥🎂🥸

[@alaingerbe]

Je suis très con en Maths mais grâce à vous j’aime m’y coller

[@essaidmoussa9864]

Le math est un grand plaisir avec toi

[@turbomax128]

LE MEILLEUR PROF DE MATH ❤👍

[@samyichalalen411]

Sinon on peut juste remarquer que pour tout x positif on a : x + 1/x ≥ 2 avec égalité si x = 1 donc en prenant a² et b² on a : a² + 1/a² +b² + 1/b² ≥ 4 avec égalité si a² = 1 et b² = 1.

[@FrenchCyclotron]

Il n'est jamais dit que a et b sont des entiers naturels, donc X + 1/x >= 2 reste à démontrer.

[@samyichalalen411]

​@@FrenchCyclotron( x-1)²≥0 donc x²-2x+1≥0 et donc x + 1/x ≥ 2 Le fait que a et b soient ou non entiers changent rien

[@FrenchCyclotron]

@@samyichalalen411 Oui d'accord, c'est le fait de déduire que la seule solution est x = 1 qui n'est valable que si x est un entier naturel. Autrement, il peut y avoir une infinité de solution.

[@cainabel2553]

Mon second réflexe sur ce pb (après avoir noté les symétries) a été de prouver que le min de x -> x+1/x est bien 1. (J'ai failli oublier de préciser que x remplace a² donc x>0)

[@jeffh.8251]

voilà une bien bonne vidéo... un grand merci. J'ai exploré quelques pistes mais rien de concluant,

[@cainabel2553]

Pour muscler les choses, on peut reposer le même exo mais sur C

[@sebguillaume8600]

Qq1 l'a résolu sur C,? Moi je sèche

[@gueratom]

Génial, j'aurais dû écouter en cours.

[@raymondchoukroun2618]

Élémentaire mon cher professeur de mathématiques

[@erickbourdin4039]

Bonjour, Ne pensez vous pas que la solution était triviale … la some de 4 carrés vaut 4 donc chaque terme vaut 1 d où toutes les combinaisons possibles de 1 et de -1 … Ceci dit la factorisation est élégante, à la fin vous faites en réalité le même raisonnement que celui que je “propose” … Merci pour ces vidéos Erick

[@cainabel2553]

Et pq chaque terme vaudrait 1 au fait?

[@bchap5197]

Une approche intuitive des solutions évidentes aurait permis de se mettre sur la voie (et éviter les blocages ou log)

[@italixgaming915]

Il n'y a pas à se torturer la tête, cette petite chose est beaucoup plus simple à résoudre que ce qu'il fait : On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1. Voilà, c'est torché. On peut aller boire l'apéro pendant que le monsieur termine.

[@lgw96a59]

Je l'ai fait pas étude de fonction de mon côté. Je remplace a^2 et b^2 par x et y. f(a)=x+1/x. On dérive : 1-1/x^2. Cette fonction est décroissante de 0 à 1 puis croissante de 1 à l'inf. Elle atteint ainsi son min à x=1. On inject a=1 et b=1 qui devrait être la valeur minimale de cette fonction et on obtient 4. Sachant qu'elle est symétrique on a aussi les couples avec négatifs. On ne peut pas avoir d'autres solutions car on s'est placé dans la situation qui nous permet d'obtenir le résultat minimal.

[@arthurgramond9347]

Attention ici x est fonction de a (x=a²) donc f'(x)=2a-2/a³ qui n'est pas égal à 1-1/x²

[@cainabel2553]

@@arthurgramond9347 Tu peux préciser?

[@italixgaming915]

C'est la bonne méthode. Pour éviter de t'embêter à la fin tu dis juste que comme le minimum absolu de ta fonction f est égal à 2 et que tu as f(a²)+f(b²)=4, cela force a²=b²=1 (si tu as par exemple a² différent de 1, tu as un nombre >2 ajouté à un nombre qui vaut au moins 2, donc c'est >4). Après tu résous a²=1 et b²=1 comme un gentil petit lycéen.

[@alangabriel7382]

Maintenant il ne te reste plus qu'a expliquer ton raisonnement aux élèves de 3 ème et seconde ;)

[@lesroyaumedefeu5207]

Bonjour, Désolé d écrire cela comme sa mais j ai besoin d un cours sur les symboles en math ... Ont ma toujours appris que le symbole "Foix=x" s écrivait aussi "x=." Exe:. 2x2= 4 2.2=4 A ne pas confondre avec la virgule pour les décimaux Et depuis peu ont ma sorti "*" qui remplace le "x" de la multiplication Pour moi le "*" = ":" division J avoue avoir êtait très ennuyé de cette incompréhension Alors j ai pas réussi un exercice de math de niveau très faible ... Je précise que je suis plus a l ecole mais peut être d autre personne ont eu la même blague que moi Merci pour toutes ces belles vidéos ( surtout le pourcentage car j oublié souvent comment revenir a un nombre avant le pourcentage " ...x0,70 = -30% ,..

[@thear1s]

le * pour la multiplication c'est une convention d'informatique, vu que le x est déjà réservé pour les variables et le . pour les décimales. En math classique tu vas trouver le * pour des opérations qui sont particulières et généralement toujours définies avant d'être utilisées, sinon pars du principe que c'est une multiplication. La division c'est toujours /, le : on ne le retrouve quasiment plus dès le lycée.

[@ludovicpayet-cellier7987]

bonjour, super interressant. Sinon je suis le seul, quand il a dit 0+0, à avoir pensé la tête à toto?

[@christophesansoe8419]

Bonjour ! J'ai pris un chemin très différent, plus compliqué et moins parfait, mais j'ai trouvé une partie des réponses donc je suis assez content finalement. Bon, retranscrire ici ne va pas être facile, je vais essayer quand même, histoire qu'on perde encore quelques kilos : 1ère étape : a² + (1/a²) + b² + (1/b²) = 4 => je n'ai pas vu la possible identité remarquable alors j'ai tout mis sur le même dénominateur (a^4 + 1) / a² + (b^4 + 1) / b² = 4 => à nouveau, j'ai mis sur le même dénominateur (attention aux yeux) [b² (a^4 + 1) + a² (b^4 + 1)] / a²b² = 4 => ensuite, j'ai factorisé : [a²b² (a² + 1) + a²b² (b² + 1)] / a²b² = 4 => là, factorisation [a²b² (a² + 1 + b² + 1)] / a²b² => là, on peut simplifier par a²b² a² + 1 + b² + 1 = 4 a² + b² + 2 = 4 a² + b² = 2 2ème étape : a² + (1/a²) + b² + (1/b²) = 4 => retour au début et, manifestement, je suis né pour mettre sur le même dénominateur... a² + b² + (b²/a²b²) + (a²/a²b²) = 4 a² + b² + [(a² + b²)/(a²b²)] = 4 => or, a² + b² = 2. D'où : 2 + 2/(a²b²) = 4 2/(a²b²) = 2 3ème étape : Je voulais partir sur un système, mais je me suis dit que c'était un peu compliqué avec mes compétences. Donc j'ai cherché autre chose. En fait, d'après le second résultat, a²b² est forcément égal à 1. Si on ne prend que le second résultat, a² et b² peuvent être égaux à plein de choses comme 0,5 et 2 par exemple. Mais il y a le premier résultat qui m'a fait déduire que a = 1 ou -1 et b = 1 ou -1. Je pendais que a était différent de b, donc je n'ai donné que deux couples de solutions : {1 ; -1} et {-1 ; 1} mais il est vrai qu'il n'était pas dit que a et b étaient différents ^^ Bon, j'avais prévenu, c'est moins rigoureux et plus compliqué.

[@z-ryk]

a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 => a² + (1/a)² + b² + (1/b)² = 4 => (a - 1/a)² + 2 + (b - 1/b)² + 2 = 4 => (a - 1/a)² + (b - 1/b)² = 0 a - 1/a = 0 et b - 1/b = 0 (a² - 1) / a = 0 => a² - 1 = 0 => a² = 1 => a = {-1, 1} Pareil pour b qui a la même forme : => b = {-1, 1} Ainsi on a 4 couples solutions : {1,1}, {1,-1}, {-1,1}, {-1,-1}

[@kassuskassus6263]

"0" c'est un ami quand tu fait des maths ! hhhhh...j'adore cette expression.

[@belette1977]

Quand tu fais des maths sans division !

[@vincentp8252]

C'est marrant, mon premier reflexe a été de me dire : ok, on additionne 4 termes et on obtient 4, on a deux groupes a et b qui fon la même chose, ca sent le 1 + 1/1 + 1 + 1/1 .. Soit 1 + 1 + 1 + 1. j'avais la réponse (partielle) dès le départ mais sans savoir la démontrer. Quel pied ta chaîne ;) Merci

[@Ferlan2023]

Cela donne une solution, mais cela ne prouve pas que ces solutions sont uniques

[@berock95]

Je suis vraiment un novice en math et j'apprends en regardant tes vidéos. Mais il me semble que tu avais dis quelque fois que 1/x était l'inverse de x. Est ce qu'il n'existait pas une résolution de l'équation en passant par la ? Merci beaucoup pour toutes tes vidéos et ton attention :)

[@emmanuelfernandes8175]

Houla faut pas tout mélanger, c'est dans le cas de multiplication ou division de fraction ici c'est juste addition soustraction donc non tu peux pas

[@cainabel2553]

Comment tu veux passer par là (par l'inverse) pour avoir la solution? Je ne comprends pas du tout ce que tu sous entends!

[@cofbmaitres1177]

à la limite tu pourrais faire un changement de variable, avec A=a² et B=b². Ce qui donne A+1/A+B+1/B=4, mais je ne suis pas sûr que ça nous mène très loin

[@AAArrakis]

a=b=1 ou -1 est une solution évidente. Quatre paires de solutions au moins, donc. 1 et 1, 1 et -1, -1 et 1, -1 et -1. Mais je n’ai pas prouvé qu’il n’y en a pas d´autres.

[@77kiki77]

Oui, ce sont en quelque sorte (en n'employant pas rigoureusement les termes) les racines évidentes du polynôme

[@cainabel2553]

@@77kiki77 Si si on peut rigoureusement dire qu'il y a un polynôme de 2 ou d'une var, du 4e ou 2e degré, selon les goûts. C'est mon 3e réflexe (voir une forme quadratique d'une seule var) quand je vois cette formule (mon 1er étant les symétries, mon 2e l'étude de x->x+1/x pour x = a² donc x>0). Il y a plein de façon d'aborder le genre de pb.

[@arthurgramond9347]

@@cainabel2553 tu peux développer sur ce que tu fais après ça svp?

[@cainabel2553]

​@@arthurgramond9347 Si tu vois une forme quadratique de deux variables, ce n'est pas simple. Mais tu n'as pas besoin de considérer à la fois a et b comme des variables. Si tu vois une forme quadratique d'une variable, autrement dit un polynôme de degré 2, tu le traites comme tel, tu utilises le discriminant, etc. Mais les transformations illustrées par la vidéo sont une meilleure piste!

[@christo49]

À part ça, vous avez raison de signaler comment une bonne OBSERVATION préalable stimule les intuitions de méthode. Ici les identités remarquables.

[@kokouawui4726]

J'adore tout ce que tu fais

[@christiancollin4817]

j'ai juste conclu plus vite a - 1/a = 0 donc a = 1/a , les seules nombres égaux a leur inverse c'est 1 et -1 donc a = -1 ou 1 ET b = -1 ou 1.

[@arthurgramond9347]

Comment tu trouves a-1/a =0 et b-1/b =0 directement sans passer par cette méthode ?

[@christiancollin4817]

@@arthurgramond9347 j'ai juste fini plus vite au début bien sur qu'il faut utiliser cette méthode a partir de 6 : 18, j'ai juste pris un raccourci.

[@ayoubben7736]

super vidéo !

[@michellepivert3964]

formidable d'avoir explicité par étapes comment parvenir à transformer la partie gauche de l'égalité pour faire apparaître les + 2 ( ma devise : la pédagogie c'est comme l'haltérophilie, ce lui qui est incapable de se baisser ne fera jamais de performances ) , excellente pédagogie .

[@Peepall_]

alors au delà de la démonstration auquel je n'avais pas aboutit de mon coté, il y avait à la base une évidence pour moi là mais à démontrer après (c'est là que je pleurais). Dans l'équation de départ il y a 4 éléments dont 2 ont quelque part leur inverse à additionner qui valent 4, a²(1)+1/a²(2)+b²(3)+1/b²(4) = 4 donc par intuition et tâtonnement si chaque vaut 1 ça fera 4, or je ne peux pas élever l'un sans augmenter le tout de chaque élément ex 1+1/1 =2 ok 2+1/2=2.5 et l'autre me faudrait 1.5 or là je me disais j'ai un souci insoluble excepté 1+1/1 et comme c'est des carrées, -1 fonctionnera aussi donc 4 solutions... mais c'était intuitif fallait démontrer après et là merci mr le prof :) heda

[@warny1978]

disons que tu as 4 solutions, tu dois alors répondre à la question : est-ce que ce sont les seules ?

[@cainabel2553]

@@warny1978 Je préfère prendre la valeur absolue et dire qu'on a un ensemble de solutions : |a| = |b] = 1 et ensuite on explicite avec + et -

[@cainabel2553]

Tu peux poser f(x)=x+1/x et étudier la fonction autour de 1... et ainsi démontrer rigoureusement que f(1)=2 est bien un min de la fonction. C'est une des approches possibles de ce pb.

[@borigo7791]

Ce que tu sembles être en train de faire c'est un brouillon de démonstration par l'absurde, tu supposes qu'il y ait une autre solution differente de (+/- 1, +/-1) que tu écris (1 + k, 1 + p) avec k et p different de -2 dont tu tires des absurdités par une disjonction de cas.

[@maxencetertrais9013]

Intuitivement on trouve la solution. La somme de 4 termes strictement positifs doit donner 4 : la seule réponse possible est que ces 4 termes soient égaux à 1. Merci pour la démo :)

[@Fred-B]

J'ai mis le pouce bleu; mais j'ai quand-meme mal a la tete.😁

[@Ennio483]

Un prof qui est brillant! Une autre méthode qui consiste à décomposer 4 en somme de 1+1+1+1 puis les faire passer de l'autre coté de l'équation on obtiendra (a-1)(a+1)+(1/a-1)(1+1/a)+(b-1)(b+1)+(1+1/b)(1-1/b)=0 Ainsi chaque terme de cette somme sera forcément nul . J'espère que ça soit convainquant

[@PikPikkabbu]

Quel plaisir !

[@butterspread4104]

j’avais vu une équation qui ressemble un peu à ça, mais avec (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)=2, elle est très cool si tu veux fais en une vidéo

[@lesapprentispianistes4530]

Mon premier réflexe est de remplacer a et b par 1... et là magie 1 + 1 + 1 + 1 = 4. C'est ce que disaient mes profs de fac. Ensuite s'il est demandé une démonstration, il fallait donner les explications comme tu le fais. Malheureusement aux examens ils ne mettaient jamais des cas où on pouvait remplacer par des valeurs simples, et les équations c'était beaucoup plus compliqué. Ceci dit, merci pour tes vidéos, je sens que quand mon fils va être au lycée je vais bien m'amuser à le "piéger" pour qu'il réfléchisse plus loin.

[@italixgaming915]

Alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche cette petite chose insignifiante. On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1. On encadre gentiment tout ça et on a fini alors que le monsieur rame encore.

[@Ferlan2023]

Bravo, très didactique

[@pierregirard2776]

Super vidéo, merci. Deux petites questions : Est-ce que c'est une équation de cercle ? et Si on travaille dans C, ca donne quelque de plus ?

[@clementlacire9819]

Non pour avoir l’équation d’un cercle tu dois avoir x2 + y2 = r avec r différent de 0. Ici, r = 0 ce qui correspond à « l’équation d’un point » de coordonnée 0,0. De plus, tu n’aurais pas d’autres solutions dans C. Tu peux voir que l’équation correspond à peu près au module d’un nombre complexe : |z|^2 = x^2 + y^2 = 0 Or le module d’une nombre complexe est égale a 0 implique que x = 0 ET y = 0. Ici x = a - 1/a et y = b - 1/b

[@palcarlet]

Oui, les solutions ( a, b ) sont sur un cercle centré en O et de rayon racine (2), comme le laisse penser les quatre solutions lorsque a et b sont des entiers relatifs (1,1), (1,-1), (-1,1) et (-1,-1). On peut le démontrer en faisant une rotation de pi / 4 dans le plan complexe’ auquel cas l'expression devient une simple équation de cercle.

[@palcarlet]

Dans C, avec a et b complexes, si b est un complexe quelconque’ on obtient une équation du second degré en a carré qui a donc deux solutions, soit quatre valeurs de a possibles.

[@palcarlet]

J'ai oublié une partie de l'équation, autant pour moi : les seules solutions réelles sont bien celles dans Z.

[@philipperoux8926]

Tu expliques très bien. Le pb , c est que pour un prof bon comme toi , il y en a 9 de mauvais ..

[@guyeysseric9442]

Comment pouvez vous affirmer si péremptoirement que pour 1 bon, il y a 9 de mauvais? Vous êtes médaille Fields? Docteur en pédagogie des mathématiques? Ça sent l'échec scolaire, tout ça. Et le blâme d'autrui. Et l'aveuglement quant à ses propres capacités intellectuelles. Affrontons la réalité, que diable! Souvent, si on (et je m'inclus dans ce on) ne comprend pas, ce n'est pas parce que l'explication est déficiente. C'est qu'on n'est tout simplement pas capable de comprendre. Cela est-il si difficile à comprendre, justement, et à admettre? Là, j'ai compris. Merci pour ces révisions.

[@philipperoux8926]

@@guyeysseric9442 ce n est pas tant les profs qui sont parfois mauvais. C est plutôt l idéologie dominante à L EN. qui fait beaucoup de dégâts. A commencer par un nivellement par le bas.

[@raphaelantoine9797]

3:58 on aurai pu gardé l’id (a+1/a)^2 et fait pareil de L’autre côté en fait et on aurait toujours obtenu 0 à droite de l’égalité en revoyant le 4 à gauche de l’égalité

[@Ctrl_Alt_Sup]

Le rêve a un prix ! Mais quand on a les poches vides? Et bien on voit directement les 4 couples, combinaisons de 1 et -1 ! Mais comment s'assurer qu'il n'existe pas d'autres solutions? a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 La fonction f(x) = x² + 1/x² est la somme d'une parabole et d'une hyperbole, toutes deux symétriques par rapport à l'origine. Entre 0 et l'infini... x² est croissante de 0 à l'infini et 1/x² est décroissante de l'infini pour tendre vers 0 Le tableau de variation de f(x) entre 0 et +∞ est évident : f(x) est décroissante puis croissante en passant par un extremum là où la dérivée s'annule. f(x) = x² + 1/x² a pour dérivée 2x - 2/x³ et cette dérivée s'annule en x = 1 (respectivement en -1 entre -∞ et 0) Et en x=1 on a f(x) = 2 (idem en -1 par symétrie) Conclusion: f(x) ≥ 2 pour tout x Et donc a² + 1/a² + b² + 1/b² ≥ 4 quels que soient les couples (a,b) Sachant que a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 Il n'existe pas d'autres solutions que les 4 couples (1;1) , (-1;-1) , (1;-1) , (-1;1)

[@pandaroux9465]

Moi j'y suis allé purement en logique : - Si le résultat de l'addition est entier, alors la somme des fractions doit être entière 1/a^2 + 1/b^2 est un entier. - Sachant qu'un carré est forcément positif, 1/a^2 est positif. Ce qui devient V+X+Z+X=4 avec V=a^2, X=1^a^2 et Z=b^2. On résoud désormais : V+2X+Z=4. Sachant que V, X et Z sont des entiers Supérieurs à 0 (0 exclu en raison de la fraction). On a pour seule solution logique : - V=1 - Z=1 - X=1 Donc on a : - a^2 = 1 - b^2 = 1 Les couples de solution sont les différentes valeurs de *a* et *b* possibles, soi exactement celles trouvées dans la vidéo 😅 Par contre je ne sais si mon approche est admissible dans un examen officiel 😅

[@cainabel2553]

"la somme des fractions" Quelles fractions? J'ai pas suivi

[@flight7218]

tres bonne video , mais il serait bien de preciser dans quel ensemble on cherche les solutions

[@ayoubmoubaraki4289]

Oui tu as raison

[@alexandrebostroem6943]

Pour démontrer qu'il fallait avoir (a-1/a)^2 = 0 et (b-1/b)^2 = 0, j'aurais basculé le résultat (a-1/a)^ + (b-1/b)^2 = 0 en (a-1/a)^2 = - (b-1/b)^2 Un nbre au carré qui est égal à l'opposé d'un nombre au carré ? Seule solution: les 2 côtés sont chacun égal à 0. Le reste était identique.

[@splatmar7208]

mais a ne doit pas etre obligatoirement different de b ?

[@cainabel2553]

Et pq ça? Qu'est-ce qui se passerait s'ils avaient la même valeur? Et si vous introduisez c, d, e, f... valant chacun un nombre entier, il faut aussi que a et b ne valent pas la même valeur? Donc en introduisant des var supplémentaires, je peux vous interdire toute solution entière?

[@gengisclan]

J'ai pas trop compris la résolution des petites équations. Comment (a²-1)/a = a²-1 ? et comment on fait pour passer de a-1/a=0 à (a²-1)/a ?

[@adrienwillermain6604]

on mets tt sur le meme dénominateur

[@gengisclan]

@@adrienwillermain6604 j'arrive pas à capter cette étape justement. Je vois pas comment on fait

[@borigo7791]

1° ) Quand tu as une fraction égale à 0, c'est le numérateur qui dois être égal à 0 car le dénominateur ne pourra jamais l'annuler. x/5 = 0 a même solution que x/8 = 0 etc... alors que 3/x = 0 n'a pas de solution car 3 =/= 0 On voit donc une equivalence entre le rapport = 0 et le numérateur = 0 (Sans pour autant qu'il y ait ce que tu as écrit, c'est les equations et non les valeurs qui sont équivalentes) 2° ) la mise au mm dénominateur consiste à rendre comparable des choses qui ne le sont pas à la base. Par exemple si tu devais comparer un lot de 10 balles de tennis avec un tonneau de 3 litres remplis de balles de tennis, c'est difficile de voir qui est le plus grand. Il faut donc faire en sorte que l'un d'entre-eux soit exprimé en terme de l'autre (que tous les deux soient exprimés en quantité de tonneaux ou en nombre de balles). C'est souvent l'indicateur le plus facile qui concède et adopte l'écriture du plus problématique. Dans le cas de fractions: Si je te dis que que j'ai acheté "a" pizzas entières et aussi une tranche de pizza supplémentaire (1/a) Est-ce plus simple d'exprimer le lot en termes de tranches de pizza ou de pizzas entières ? En tranches de pizza naturellement. Une pizza a "a" tranches de pizza (car a × 1/a = 1 pizza) donc comme on a "a" pizzas, on a "a × a = a^2" tranches de pizzas. On oublie pas la tranche de pizza supplémentaire qu'on a commandé : on a "a^2 + 1" tranches de pizzas soit (a^2 + 1)/a D'un point de vue général et théorique, la mise au même denominateur consiste à multiplier le nombre sans denominateur (ou de denominateur = 1 si tu veux) par celui de l'autre c'est à dire à "tranchifier" l'entier. Level au dessus : Si tu veux mettre au même denominateur deux fractions à denominateur différent. Le principe reste le mm : trouver un instrument de mesure commun. La technique qui marche tout le temps consiste à multiplier les numérateurs et denominateurs d'une des fractions par le denominateur de l'autre. Exemple concret avec 3/ *5* + 7/ *8* 3/5 = (3 × *8* )/(5 × *8* ) = 24/40 7/8 = (7 × *5* )/(8 × *5* ) = 35/40 donc la somme des deux vaut exactement (35 + 24)/40 = 59/40 En pratique on a trouver un découpage commun des parts des deux pizzas qui avaient été coupées différemment. - la première étaient coupées en 5 tranches - la deuxième en 8 tranches. Ce que cette technique fait c'est qu'elle t'assures que tu peux decouper les pizzas de nouveau et toujours arriver vers un découpage équivalent ici de 5×8 = 40 tranches. Hope it helps!

[@Photoss73]

"(a²-1)/a = a²-1" parce que égal à 0 ! (a²-1)/a = 0 veut dire que a²-1 = 0 (a ne peut pas être nul car au dénominateur, on peut donc l'enlever vu que c'est l'égalité à 0 de (a²-1)/a qui compte) Si (a²-1)/(a + b + c + d + e + f) = 0, seul a²-1 = 0 sera 'pertinent', (a + b + c + d + e + f) anecdotique et sans effet (car pas nul, interdit la nullité au dénominateur !). "a-1/a=0 à (a²-1)/a" (a c'est a²/a, a^3/a² a^4/a^3, etc. a peut donc être écrire a²/a, a-1/a = a²/a -1/a = (a²-1)/a (on les met en fractions de même dénominateur)

[@secrets2charmed]

Alors, l'identité remarquable (x-y)² je l'ai senti tout de suite mais j'avais pris (a-b)² et non pas (a-(1/a))² et donc j'ai bloqué... Merci pour la démonstration !

[@youian]

Met au même dénominateur, passe ton quatre de l'autre coté et tu fera apparaitre (a²-b²)²=0 ou (b²-a²)²=0 donc tu les a bien si

[@cainabel2553]

Une formule an (a-b) n'est pas symétrique, a et b ne sont pas interchangeable, on voit facilement que le pb a *un nombre incroyable de symétries*: a et b a et -a b et -b a et 1/a b et 1/b

[@Thorkell.LeGrand]

Excellent 👌

[@zoubairkoraichi5612]

Très sympathique.

[@miseaufers437]

Bravo !

[@guardianangel6332]

Si on soustrait 4 aux deux membres puis on le décompose en -2 et -2 pour appliquer les identités remarquables, on allait plus vite dans changer de signes ...

[@legitan9195]

merci !!!!!!

[@alainbouilloux6844]

a-1/a=o a=1/a a^2=1 a=1ou-1

[@AmineOujdi-xu6pf]

a²+1/a²+b²+1/b²=4 ;a²+b²+ b²/(ab)²+a²/ (ab)²=4 ;a²+b²+ (a²+b²)×1/(ab)²=4 (a²+b²)(1+1/(ab)²)=4 posons a²+b²=2 et 1+1/(ab)²=2 ;a²+b²_2 =0 et 1/(ab)²=1 ; a²=2_b²;a²b²=1 : (2_b²)b²=1 2b²_b⁴_1=0 Posons b²= x 2x_x²_1=0 Delta= 4_4=0 X=_2/_2=1 b²=1 b=1ou b= _1 Ona a²+b²=2 a²+1=2 a²=1 a=1 ou a=_1 ❤

[@poweraphael2768]

First, quel plaisir que de profiter d'un contenu instructif dans ses premiers instants

[@Aritely]

Chiant

[@charles-arthurradford957]

Brillant !

[@b4l4a]

Bon dites moi si je me trompe: a²+1/a²+b²+1/b²=4 (2a²+1)/a² + (2b²+1)/b²=4 [(2a²+1)*b² + (2b²+1)*a²]/a²b²=4 [(2a²b²+b²) + (2b²a²+a²)] a²b²=4 (4a²b²+b²+a²)/a²b²=4 4+1/a²+1/b²=4 1/a²+1/b²=0 (1/a)²+(1/b)²=0 somme de deux carrés ...etc... Merci d'avance.

[@xerod_tv]

perso j'ai passé le 4 a gauche directement en le séparant en -2 et -2 ce qui m'a permis d'avoir l'identité remarquable. je ne sais pas si c'est valable mais le resultat est le meme !

[@kadaenna531]

0 c'est un ami quand tu fais des maths . Hehe tellement vrai ! :)

[@RomeoVictor59]

à 9mn c'est un peu tiré par les cheveux (sans offense hein, je suis de la même team ) on pouvait peut être faire plus simple dans l'explication ? a²+1/a² + b² + 1/b² = 4 = 2 + 2 et donc a²+1/a² + b² + 1/b² - 2 -2 = 0 et après la suite de la démo

[@nicolasvaillant2583]

j'ai une question bête : dans la mesure où on a a et b, ne doivent ils pas être différents et du cou exclure les couples (1;1) et (-1;-1)

[@yanis1444]

Non tu peux avoir a = b

[@cainabel2553]

Quel élément suggère que ces deux variables ne doivent pas être égales? Et pourquoi ne dites vous pas que a et b doivent être différents de 1, parce que l'équation utilise une variable qui vaut 1: l'équation s'écrit a²+1/a²+b²+1/b²=2 mais on peut poser c=1 et l'écrire a²+c/a²+b²+c/b²=2 donc voilà cela imposerait que a ne peut pas valoir la même chose que c? Ou alors on introduit d = -1 on écrit a²+c/a²+b²+c/b²=d+3 et donc a et b doivent être différents de -1, puisque deux variables ne peuvent pas avoir la même valeur?

[@solipsisme8472]

Excellent de ta part d'avoir montré la fausse piste, c'est ça aussi le raisonnement scientifique.

[@levainquer4350]

Et si je fais ( a²+b²)+( 1/a²+1/b²) = 4 a²+2ab+b² + (1/a²)²+2(1/a².1/b²)+1/b² ça donne quoi prof?

[@otmanovanony8206]

Merci

[@ellaouihenia7506]

il y a les racines evidentes(+- 1,+-1)

[@cainabel2553]

Solutions plutôt que racines, non?

[@stephanedubuy5347]

C'est bien tes cours

[@MrStereopoulos]

2:25 "Ca, c'est égal à ça"?????? Franchement...Là, j'ai décroché!!!!Je vais réécouter pour voir!!! Y'a pas de raison hein? Merci kan même!

[@Photoss73]

(a+b)² = a² + 2ab + b², si b = 1/a 2ab = 2. Là on part de a² + 1/a², pour remplacer par (a + 1/a)² il faut 'compenser' le 2 qui est apparu (via le développement de (a+b)²) en le soustrayant (rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme).

[@eldiraenarion4206]

S : {a = b = 1}

[@patricklelu6975]

Autre méthode : on remarque que toutes combinaisons de 1 et -1 fonctionnent et on étudie la fonction x^2+1/x^2 ensuite on conclue que se sont les seules

[@arthurgramond9347]

T'entends par quoi étudier la fonction x->x²+1/x²

[@patricklelu6975]

@@arthurgramond9347 déduire que 2 est un minimum

[@italixgaming915]

Tu avais la bonne idée de base mais tu as trébuché juste à la fin. Tu te compliques la vie pour rien du tout en choisissant cette fonction. Voilà ma méthode : On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.

[@patricklelu6975]

​@@italixgaming915 oui c'est également valide

[@christo49]

Juste éviter de dire "quand on envoie de l'autre côté". On soustrait 4 aux deux membres. L'élève de base envoie aussi de l'autre côté. Monsieur, pourquoi il faut changer le signe? Monsieur pourquoi des fois on l'envoie au dénominateur , etc ....

[@gillesdelbreil5414]

Eh oui Monsieur le Professeur pour adhérer à la démarche pédagogique "l'élève de base" a quelquefois besoin d'enseignants qui, sans tomber dans le copinage savent se mettre à sa portée. Il comprend mieux quand il entend parler d'équipes, de candidats et d'éléments qui peuvent passer d'un côté à l'autre sans changer les équilibres... La rigueur certes louable que vous prônez risque de renforcer l'image austère des mathématiques et donc d'éloigner de nombreux élèves. Pour ce qui est "d'envoyer de l'autre côté" le vieil ingénieur que je suis peut témoigner s'en est donné à coeur joie durant toutes mes études et dans ma vie professionnelle et cela sans aucun scrupule :-)

[@meryemamechloukh]

Pourquoi on écrit pas(a+1/a)²-2+(b-1/b)²+2=4 et on obtient (a+1/a)²+(b+1/b)²=4

[@LaurentBessondelyon]

Solutions évidentes 1;-1 pour a et b

[@cainabel2553]

Préliminaire évident : noter la symétrie et ne traiter que a et b positifs. Finaliser en ajoutant les valeurs opposées

[@belette1977]

Oui mais ça ne montre pas que ce sont les seules.

[@maxbe2702]

Bien vu ! Moi je suis parti bêtement sur l'identité remarquable a2-b2=(a+b)x(a-b)

[@younestorino5900]

Pourquoi avons _nous ajouté (_2)??répondez moi s'il vous plait

[@baiyimustapha511]

Que pensez-vous de i au carré + 1 au carré =0

[@b4l4a]

trop complexe...ou mal expliqué...ou je suis trop con...lol

[@belette1977]

J'ai trouvé ça plutôt facile et très bien expliqué. Je n'en tire aucune conclusion !

[@BlackSun3Tube]

Super :)

[@samuelbenet007]

Avant de dire qu'un carré est toujours positif, j'ai cru que tu allais nous sortir une 3è fois la même identité remarquable ^^

[@joelserjak7704]

pas mal !

[@afuyeas9914]

En posant x = a+1/a et y = b+1/b on peut réécrire l'équation en x^2+y^2 = 8 qui est une équation de cercle de rayon 2 racine de 2. On peut alors paramétrer x = 2sqrt(2)*cos(t) et y = 2sqrt(2)*sin(t). On résout alors pour a et b en fonction de t et on constate que a = sqrt(2)*cos(t) ±sqrt(cos(2t)) et b = sqrt(2)*sin(t) ±sqrt(-cos(2t)). Donc, a et b ne sont réels que si cos(2t) = 0 donc t = ±pi/4 mod pi ce qui donne bien les 4 couples réels. Bien évidemment si on ne se limite pas aux réels cela donne une paramétrisation de l'ensemble des solutions complexes.

[@italixgaming915]

Oulah tu t'es compliqué la vie comme jamais... On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.

[@lekiwi_4145]

a=+-1 et b=+-1

[@rex4000_]

perso j'ai tout de suite trouvé les couples (1,1) et (-1,-1) comme solutions évidentes, cependant la démonstration est toujours cool à regarder

[@cainabel2553]

Je commence par voir que les variables sont toutes au carré donc le signe ne joue pas; donc autant ne chercher que les solutions positives. C'est mon 1er réflexe.

[@rex4000_]

@@cainabel2553 oui j'ai fais la même chose, les solutions négatives je les ai déduites de mes solutions positives

[@Vaalanihn_TV]

Pour moi il n'y a que deux couples qui conviennent. Puisque a et b impliquent des nombres différents, il me semble hasardeux de leur donner la même valeur dans un couple de réponse.

[@cainabel2553]

En quoi? Pq tenez-vous à ce qu'ils soient différents?

[@Vaalanihn_TV]

@@cainabel2553 Parce que a et b sont des lettres différentes

[@bububelg]

@@Vaalanihn_TV ce n'est pas parce que ce sont des lettres différentes qu'elles ne peuvent pas avoir la même valeur

[@cainabel2553]

Imaginez que je pose c = a. Ai-je le droit? Si non, pourquoi pas? Si je n'ai pas le droit, pourrais-je poser c = (a+a)/2 à votre avis? Alors vous soutiendriez que c et a sont des lettres différentes? Donc des valeurs différentes? @@Vaalanihn_TV

[@cainabel2553]

Mon 1er réflexe n'est pas identités remarquables, mais de voir les symétries...

[@gedeonmulunda4969]

Svp ce prof reste où

[@raiskadirov4995]

a et b =*ou _ 1

[@jean-lucboitellr2148]

Super vos vidéos mais vous allez trop vite pendant cet exercice je suis arrivé a suivre et comprendre pendant quelques minutes et ensuite rideau ...on ferme les lumières ..et je suis largué ! Comme il y a 55 ans a l'école 😡

[@rinkio9044]

déjà a≠0 et b≠0 a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 a²+b² + (a²+b²)/a²b² = 4 a⁴b² + a²b⁴ + a² + b² = 4a²b² Et je bloque...

[@arthurgramond9347]

Ça devrait marcher si t'arrives à exprimer a²b² en fonction de a²+b²

[@arthurgramond9347]

Car t'auras tu pourras te ramener à une équation d'inconnue u=a²+b²

[@arthurgramond9347]

Je parle de la deuxième ligne

[@helenecreste2919]

C'est chaud.

[@martinjean-louis9723]

... perdu quelques kilos??? Si seulement!!! Merci infiniment pour ces réflexes qui me manquaient et qui viennent. Encore une fois c'est du beau travail et donc : Un ban pour le prof!!!!

[@hedacademy]

Avec plaisir. Ravi d’appendre d’appendre que les réflexes et raisonnement arrivent 😁

[@AmourMikala-bv7ig]

Bonjour cher professeur. On pourrait avoir vos contacts WhatsApps?

[@les1000devoirsdemaths]

a=1 et b=1