Бесконечно вложенные радикалы и предел последовательности

Из этого видео вы узнаете, как найти чему равно выражение с бесконечно вложенными корнями. Для этого рассмотрим как найти предел последовательности, заданной по рекуррентной формуле и как доказать его существование, применяя теорему о монотонной ограниченной последовательности.
Еще один предел, который ведет к известной математической константе, для него применена похожая схема доказательства: • Постоянная Эйлера - Ма...

[@AlexeyEvpalov]

Большое спасибо за более строгое, обоснованное решение.

[@ptichka_huichka]

Чел, какой же ты охуенный! Я давно что то такое искал и нашёл золото!

[@user-dy5kk6bk6s]

а = 4014012; предел = 2004

[@dmitryramonov8902]

Красиво и строго, куда уж строже... Но, вы правильно сказали, на деле решается в пару простых шагов. Сначала решается уравнение x=sqrt(a+x). Получаем две стационарных точки отображения x:=sqrt(a+x). Точку притяжения считаем значением предела. Точку убегания или игнорируем или считаем обобщенной суммой, если точка притяжения - бесконечность (вдруг).

[@user-xk2vb8qv3m]

подскажите пожалуйста где можно почитать про все эти точки отображения

[@ikorokor]

Что означают эти слова? Это какая-то альтернативная теория дифференциального исчесления?

[@elsicup]

Здравствуйте, давно интересовался темой вложенных корней, а точнее задачей по-сложнее: где вместо единиц натуральный ряд. Эта последовательность сходится и равна приблизительно 1,758, но явно я не сог ничего сделать с этим выражением. Прошу вас снять ролик по этой теме, в интернете, ничего найти не удалось

[@VSU_vitebsk]

интересный пример

[@ma1h78]

Какая программа, пожалуйста?

[@user-py9xk3sl4x]

Получается, что выражение √(a+√(a+√(...))) как функция R(a) принимает такие значения: при a>0 R(a) = L(a) = (1+√(1+4a))/2, при a=0 R(0) = 0, при a0 равен 1. То есть функция R(a) в точке а=0 имеет разрыв... Интересно, почему? И каким способом можно сразу находить точки разрыва в таких бесконечных выражениях?

[@purwic]

там можно более легче вывести формулу, просто допустить что есть x^2=a+x -> x=√a+√a+√a+... и потом решить уравнение x^2=a+x решением также будет (1+√1+4a)/2 как и было выведено в видео, из этого √a+√a+√a+... = (1+√1+4a)/2, а также из формулы легко вывести что любое число n>1 может быть представлено в виде n = √n(n-1)+√n(n-1)+√n(n-1)+... а вообще, спасибо за ваши видео, очень нравятся рассмотрения различных интегралов которые представляются в форме известных констант и прочих математических объектов

[@user-tz1nd4hn6l]

нельзя приравнивать выражение к икс до того, как доказана "сходимость этого выражения"

[@mathbyautistdimag.9330]

Привет ты про числа Луивилля можешь ролик снять? В Зориче была задачка "вывести" их и доказать трансцендентность, чего то исчерпывающего и понятного не нашел на эту тему.

[@Hmath]

Я сейчас сам только в первый раз в википедии посмотрел, что это такое. Это тот раздел математики, где я ничего не знаю :)

[@VagifRamazanov-co8lh]

и всё таки очень интересно, что при а=0 получается 1. Связь с бесконечностью. Тоже самое можно получить из равенства 1/0=бесконечность, откуда 0*бесконечность=1.

[@user-dl7ll9fi6e]

Не-а, здесь в задаче предполагалось, что а>0 и поэтому брали второе решение квадратного уравнения со знаком плюс перед квадратным корнем. Но при а = 0, мы не можем исключить первое решение. Если подставить в него а=0, то получим 0, что и является верным решением

[@SurGainNoPain]

Я не заморачивался и просто сделал так: √(1+√(1+√(1+√(1+...)))) = √(1+r), где r = √(1+√(1+√(1+...))) ↓ √(1+r) = r 1+r = r² r² - r - 1 = 0 D = 1+4 = 5 r = (1 + √5)/2 Тоже самое и с любым А: √(A+√(A+√(A+√(A+...)))) → √(A+r) = r A+r = r² r² - r - A = 0 D = 1+4A r = [1+√(1+4A)]/2 Вот как то так

[@Hmath]

сделали то же самое, что и в видео. Только без доказательства сходимости.

[@ferny247]

Почему я имею право предполагать , что x_n

[@Hmath]

предполагать можно всё, что угодно :) смысл в том, что мы делаем предположение о какой-то закономерности на n-ом шаге, а на (n+1)-ом шаге эта же закономерность должна выполняться. Если на n-ом шаге мы сделаем предположение о заведомо ложной закономерности, то на (n+1)-ом шаге мы не сможем доказать, что она выполняется. Почитайте еще где-нибудь про метод математической индукции

[@ferny247]

Hmath ок спасибо

[@user-hd8yl6ju8o]

Я когда-то пробовал такое считать. И получал, что и при некоторых отрицательных 'а' получится положительное число. Конкретно до а = -0.25. Пробовал этот случай проверять на компьютере и вроде как в этих случаях выражение действительно стремилось к числу, получаемому по формуле.

[@user-td4tm1cz9b]

Там выполнятся условия сходимости не будут))

[@Esseker]

​@@user-td4tm1cz9bбудут

[@user-du2bo3gb5g]

4010006 для 2003

[@Deciptikon]

Это отдаленно напоминает решений солитонных уравнений

[@arsenmejlumyan4731]

a=3998000, 2000 год

[@thebishop3588]

год_моего_рождения*год_перед_годом_моего_рождения :)

[@Seraf2201]

А что если родился в -2001?

[@Ssilki_V_Profile]

Если предел равен 1993 = (1+sqrt(1+4a))/2 То a = 3970056

[@maligosssaron3416]

У меня будет число 4018020 :)

[@raznocty]

2×L=1+√(1+4a) [(2×L)-1]²=1+4a 4L(L-1)+1=1+4a L(L-1)=a

[@user-GG90]

Все выражение обозначаем за Х, возводим в квадрат,получаем - 1+Выражение = х2 то есть 1+х=х2 решаем.

[@Hmath]

а в видео как-то по-другому находится?

[@user-GG90]

@@Hmath Я не смотрел ，думал там сложно 😅

[@user-wp1ob5ov5q]

a=4030056, lim=2008

[@Kejurim]

а=4 014 012: L=2004

[@aliguseinov4836]

1005006

[@Hmath]

1003год? :)

[@aliguseinov4836]

@@Hmath один из нас явно ошибся в расчётах)

[@aliguseinov4836]

@@Hmath И это я😅 Правильно: 4010006

[@DarkAiR3]

В конце не хватает красивого графика

[@konstantinkomoshvili5744]

Есть более простое решение. Не морочьте голову

[@Hmath]

я не морочу. Давайте вы сделаете видео со своим "более простым решением" - тогда и будет, что обсуждать.

[@hehgendary]

У меня получилось 4046132