ЧИСТАЯ ГЕОМЕТРИЯ! Никакой алгебры.

На стороне АD квадрата ABCD полуокружность, BM - касательная (M на CD). S(BCM)=24. Найти S (ABCD).

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за обоснованное решение.

[@valerykamaev8931]

Площадь треугольника АВО равна четверти площади квадрата. Площадь треугольника ОВК тоже равна четверти квадрата ибо он симметричен АВО. В сумме они - половина квадрата. Площадь треугольника ОМД равна одной 16-ой квадрата ибо он подобен ВОА, а стороны в 2 раза меньше. Треугольник ОМК тоже 1/16, поскольку симметричен ОМД. В сумме они - одна восьмая квадрата. На треугольник ВСМ (24) остаётся Три восьмых площади квадрата. Значит весь квадрат - 64.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-cj7ed6gu8c]

Ловкость рук и никакого мошенничества 😂

[@michaelbuzuverov67]

Алгебраически можно решить так: Обозначим BC = a, CM = b, тогда, по свойству касательных: BK = AB = a, KM = MD = a-b, BM = BK + KM = 2a-b. Запишем теорему Пифагора: a^2 + b^2 = (2a-b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2. Приведя подобные получаем: 3a^2 = 4ab. S треугольника = ab/2, то есть 3a^2 = 8S, a^2 = 8S/3 = 24*8/3=64, что и является ответом.

[@vkr122]

А если решать в тетради в клеточку то задача будет под силу и 5класнику , нарисуем квадрат 4х4 проведем ВО по вершинам клеток 1:2 (горизонталь к вертикали) , чтобы отложить угол ОВМ из точки О отложим перпендикуляры по вершинам клеточек 2:1, расстояние от О до продолжения АВ отложем в противоположенную сторону и как раз попадем на отрезок CD а значит в точку М и по построению видно что DМ/МС=1/3 , дальше либо вычислить сторону квадрата либо понять что площадь BDM=1/3 от ВСМ =8 , половина площади квадрата =32 и весь квадрат=64.

[@lanazakharova7699]

Т.к.это квадрат, то в него можно полностью вписать окружность того же диаметра. И, точно так же, если мы дорисуем вниз такую же окружность, то можем вниз продолжить до прямоугольника. Т.е. у нас вся длина прямоугольника состоит из трёх радиусов. Теперь к верхней окружности проведём такую же касательную. Всё симметрично относитнльно горизонтальной оси. Получили 4 равных треугольника с площадью 24, в сумме прямоугольник. Но нас интересует только площадь квадрата, а она составляет 2/3 от площади прямоугольника. 24×4×2/3=64

[@SB-7423]

Печально видеть такой заголовок. Я не отношу себя к хейтерам применения алгебры, тригонометрии, аналитической геометрии в геометрии, даже наоборот. Всегда применяю метод, ведущий к решению с минимальными затратами времени. Большинство серьезных задач в геометрии вообще невозможно решить без применения других разделов. Поэтому: О-начало координат, В( - а/2, a), угловой коэффициент ВМ обозначим к. Уравнение прямой ВМ : 2y - 2kx-a*(k+2)=0. Расстояние от точки О до этой прямой равно а/2, откуда легко получаем к = - 3/4, а далее совсем просто : S = a^2 =64 ! Таким путем эту задачу может решить любой хорошо подготовленный школьник, знающий только одну теорему геометрии: о радиусе в точке касания прямой. Чистая аналитическая геометрия и алгебра! Никакой геометрии. Понятно, что эту задачу серьезной считать нельзя, как правильно кто-то уже здесь выразился, задача одноминутная. Поэтому и решений у нее много.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мне также печально видеть, что вас поддержали аж 4 человека (включая меня - спасибо за мнение). В методике решения геометрических задач выделяют два подхода: алгебраический и геометрический. Это относительный термин, употребляют при тренировке олимпиадников, если хотите, это профессиональный олимпиадный сленг. Алгебраический - это быстрое введение переменных и уход на ур-ния и системы, или тригу. Геометрический - это, как правило, доп построения и минимум ур-ний. Так что не печальтесь, все у нас будет хорошо! Да, и спасибо, что смотрите нас и и имеете свое мнение. С уваженимем, В. КАЗАКОВ. P.S. Что касается этой задачи, то алгебраический подход напрашивается сразу. И весь кайф найти геометрию (как в теореме Штейнера-Лемуса, где великие математики искали геометрическое решение этой вроде школьной задачи).

[@dtrvno]

CM=a, сторона квадрата x. ax=48. BMC -терема пифагора. (2x-a)**2=x**2 +a**2. Вот и все

[@Sergey_Voytovich]

Красиво, Благодарю!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-su9ch8jo4v]

треугольники ABO и OBK одинаковы т.к. имеют общую сторону, одинаковое основание (радиус) и углы О. кроме того они занимают ровно половину от искомой площади квадрата. треугольники DOM и KOM также одинаковы, а кофф. подобия их к треугольникам ABO и OBK равен 2, и следовательно площади составляют по 1/4 от их площадей. Значит на долю желтого треугольника приходится 3/8 от всей площади квадрата, поскольку 4/8 (сумма S△ABO/OBK) плюс 1/8 (сумма S△DOM/KOM) = 5/8 всей площади. и значит 24=3/8, а 8/8=24*8:3=64 единицы.

[@user-fv9ed9ep5w]

Чудненько! Красиво

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-hf7ki7bz1i]

С помощью алгебры тоже можно решить. АО=DO=R; AD=AB=BC=CD=2R; AB=BK=2R, как отрезки касательных к окружности из одной точки В. S(BCM)=(1/2)*BC*CM; 24=(1/2)*2R*CM; CM=24/R. DM=CD-CM; DM=2R-24/R; DM=(2R²-24)/R; DM=KM, как отрезки касательных к окружности из одной точки М; KM=(2R²-24)/R; ВМ=ВК+КМ; ВМ=2R+(2R²-24)/R; BM=(4R²-24)/R. B ⊿BCM, BM²=BC²+CM²; (4R²-24)²/R²=4R²+24²/R²; 16R⁴-192R²+576=4R⁴+576; 12R⁴=192R²; R²=16; R=4. AD=2R; AD=2*4=8; S(ABCD)=AD²; S(ABCD)=8²; S=64. Ответ: S=64. Ещё один способ (тригонометрический). Дополнительные построения: ОК⊥ВМ; OB-биссектриса ∠АВМ. АО=DO=КО=R; AD=AB=BC=CD=2R; АВ=ВК=2R, как отрезки касательных к окружности из одной точки В. В ⊿ ВКО, ∠ВКО=90◦ (по построению); tg∠KBO=OK/BK; tg∠KBO=R/2R=1/2; tg∠KBO=1/2; ∠ABK=2*∠KBO; tg∠ABK=tg(2*∠KBO); tg∠ABK=(2*tg∠KBO)/(1-tg²∠KBO); ABK= tg∠ABK=(2*(1/2))/(1-(1/4))=1/(3/4)=4/3; ∠ABK=∠ABM; tg∠ABM=4/3. ∠ABM=∠BMC, как накрекст лежащие углы при АВ∥CD и секущей ВМ. tg∠BMC=4/3; B ⊿ BMC, BC/CM=tg⊿BMC; CM=BC/tg∠BMC; CM=2R/(4/3)=1,5*R; CM=1,5*R; S(BCM)=(1/2)*BC*CM; 24=(1/2)*2R*1,5*R; R²=16; R=4. AD=2R; AD=2*4=8; AD=8. S(ABCD)=AD²; S(ABCD)=8²=64; S=64. Ответ: S=64.

[@user-yq4jh7sw1y]

Решаем, не используя подобие треугольников ВАО и ODM. Продлим МО до пересечения с продлением BA в точке Р. ∆РВМ равнобедренный, ВО биссектриса и высота. ∆ОВМ прямоугольный, ОК - высота, если а - сторона квадрата, то a^2/4 = ax → x = a/4. Площадь квадрата равна двум площадям ∆ВСМ и площади прямоугольника со сторонами а/4 и а. → a^2 = 2*24+a^2/4 a^2 = 64. Это чистая геометрия или нет?

[@user-hn1eu7gh1j]

Круто!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@alexnikola7520]

да) геометрическое решение чоткое) красота

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ec8ew3qn9m]

Класс!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спвасибо.

[@alexsokolov8009]

Пусть сторона квадрата равна а, MD = x = KM как отрезки касательных. BK = AB = a, тогда по теореме Пифагора для BCM (a+x)² = (a-x)² + a², oткуда x = a/4, значит, S(BCM) = 3a²/8 = 24, S(ABCD) = a² = 8/3*24 = 64 Бегу теперь ваше решение смотреть)

[@adept7474]

Чуть - чуть опоздал, пишу медленно😢

[@alexsokolov8009]

​@@adept7474 Бывает) я порой тороплюсь, но лучше делать это чуть медленнее, вдруг условия могут оказаться некорректными. Хотя здесь одноминутная задача, конечно

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я кстати, я тоже брал x и a, когда алгброй решал.

[@adept7474]

Алгеброй можно и без Пифагора. ОК - ср. геометр. в тр-ке ВОМ. ах = (а/2)², а = 4х. ВСМ - 3/4 от 1/2 или 3/8 от целого.

[@alexsokolov8009]

​@@adept7474 да, вполне вариант) Пожалуй, это даже роднит ваше решение с авторским, ибо доказательство среднего геометрического опирается как раз на подобия треугольников

[@user-wj5vx7og4h]

ОК=а/2. Треугольники ОКМ и OKB подобны к=2. Следовательно DM=КМ=1/4*a. Ну и тогда 3/4*1/2*S=24.

[@vkr122]

Геометрически красивое решение у вас, я пповернул треугольник ВКО пока ВК совполо с ВС, получил треугольник ВОО1 где углы ОВО1=МВС тогда sin МВС/2=√2/2√5 и sin МВС=6/10 , задача решена:)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@pojuellavid]

Без алгебры -- никак. Проводим ВО ОК и ОМ. тр-ки АВО=ВОК, т к прям-ные с двумя парами равных сторон. КМ=МД=а. Из подобия АВО и ОМД получаем а=R/2. В жёлтом катеты 2*R и 3*R/2, откуда R=4 и S=64. Ответ:64

[@alexnikola7520]

обозначим ВС=а, КМ=t... тогда а(а-t)=48 и а^2+(a-t)^2=(a+t)^2... ну и из второго ур-я a^2-4at=0... a=4t... и из первого a^2=64

[@user-hr5vv3nm3x]

Очень симпатичная задача! Я, правда, не понял, моё решение геометрическое или алгебраическое? Итак: ОК|_ВМ, О(Е)Р|_ВС. Тр-ки ВРЕ=ОЕК(х=ВР=ОК=r, остр. углы взаим. |_). Sbpe=6(отсечен сред. линией РЕ). Сл-но, РЕ=12/х, ВК=АВ=2х, ВЕ=2х--12/х. Отсюда Пифагор: x^2+(12/x)^2=(2x--12/x)^2. х=4. Sabcd=64

[@sergeykitov2760]

Площадь BAO - четверть квадрата, площадь BAOK - половина, площадь OKMD - четверть BAOK, она же восьмая квадрата. Итого ABMD - 5/8 квадрата, на BMC остаётся 3/8. значит квадрат площадью - 8/3 * 24 = 64.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@ealmanah]

Я даже не думал лайки ставить, а человеку важно. Кому сказать я испытываю радость от решения задач. Но, к сожалению зацикливаюсь на геометрии.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Лайки нужны не мне! Лайки нужны для продвижения канала и роликов, которые уведело бы большее число школьников (зрителей), и они также испытали бы радость. Это законы ютуба.

[@lampoomilk]

Всё понятно, кроме того почему 12x/2=24 6x=24 x=24÷6 x=4 Хотя почитав комментарии я понял что ответ совпадает с другими, но уравнение... Объясните пожалуйста😊

[@Snuryus]

Решал через свойства касательных - доказал что желтый треугольник 3х-4х-5х, и тогда площадь квадрата - это удвоенная площадь треугольника плюс треть от этой удвоенной площади. 24+24+16=64

[@ilikemath850]

Формула площади жёлтого треугольника ab/2, ab/2 = 24, значит ab = 48, получаются катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8, 8 это больший катет, то есть сторона квадрата, площадь квадрата 8², то есть 64

[@alexsokolov8009]

А вдруг стороны были бы 24sqrt(2) и sqrt(2)?

[@ilikemath850]

​@@alexsokolov8009 ну, это уже конечно сложнее с ходу сказать, решение автора лучше и подробнее все же

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Только, если 4 и 12, 3 и 16, 1 и 48, ...?

[@ilikemath850]

@@GeometriaValeriyKazakov ну да, так себе решение, за то быстро, хотя тише едешь дальше будешь))

[@sergeybezhenov7174]

@@GeometriaValeriyKazakov А тренер - молодец! Упал - отжался, повторил упражнение) После нескольких подходов в «подкорке» возникает мысль, что когда-то я такую задачу уже видел… я имею ввиду, что касательная к внутренней полуокружности на стороне квадрата, проведенная из его противоположной вершины, отсекает в другой его части египетский треугольник (3:4:5)… Продолжаем тренировку)))

[@user-np1oq2vz7n]

ну вы накрутили, вот вам усное и чисто геометрическое решение 5й класс, провоцируете подсказывать вам постоянно: провести ОК, левый нижний и правый нижний четырехугольники подобны с к=4 (несложно доказать), площадь левого равна половине площади квадрата, итого 1/2 S + 1/8 S = S - 24, ответ S = 24*8/3=64

[@alexkolosov9684]

За что Вы так алгебру недолюблюваете?)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Всех долюбливаю. См. следующий ролик. А если серъезно, алгберу плохо смотрят (у меня много роликов по алгбере, но геометрия рулит).

[@alexkolosov9684]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо Вам и за ответ, и, конечно, за видео. Как я понимаю, Вы и многие ваши зрители видят особенную красоту и изящность в чисто геометрических построениях и решениях? Частично я это понимаю: ведь становление математики началось с геометрии без алгебраических выкладок. Наверное, поэтому людей может завораживать красота чистой геометрии: символы придуманы людьми, а геометрические объекты - самой природой.

[@alexkolosov9684]

@@GeometriaValeriyKazakov Кстати, Валерий, стал смотреть много ваших видео, очень нравятся и помогают (чисто для себя) вспоминать элементарную математику и/или закрывать пробелы. Так вот: хотел сделать пожертвование, а реквизитов на канале не нашёл. Могли бы Вы, пожалуйста, прикрепить?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@alexkolosov9684 kzbin.info/www/bejne/iIWYgn93lticiNksi=qdD3t7ixako38uNZ

[@alexkolosov9684]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо большое!

[@constantinfedorov2307]

.Я прошу прощения, но Вы пересложнили абсолютно верное решение. Первый шаг верный, BOM прямоугольный треугольник, так как BO и OM - биссектрисы смежных углов. Но затем Вы ушли с наикратчайшего пути, а с этим треугольником BOM можно сделать еще один ход, сразу приводящий к ответу. Если сторона квадрата a, то радиус окружности OK=a/2, а отрезки гипотенузы BK = a; откуда KM = a/4; (OK - высота, OK^2 = BK*KM); KM=MD = a/4; то есть 24 = S*3/8 S = 64

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Вряд ли соглашусь Устно видно отношение подобных 4:2:1 - это по сути все мое решение. Высший пилотаж - сведение к линейному! На самом деле, для олимпиадника важно увидеть прямоугольную трапецию и прямоуй угол внутри нее.

[@user-es8oy1xm8o]

Ничего не поняла😅😅😅

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер. Советую просмотртеь еще раз.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не огорчайтесь, это немножко олимпиадная задача, для слегка "крутых" решальщиков.

[@maxgladkikh2326]

Да это кустарно решается, вообще без чертежей. Ща я вам найду ВС. Смотрим на прямоугольный треугольник внимательно. Площадь - целое чётное число. Значит - катеты тоже стопудово чётные числа. Тогда давайте-ка меньшим его в 2 раза, стороны останутся целыми. Итак - площадь - 6, стороны - целые числа, прямой угол. Дети, какое название такому треугольнику? Подсказка - географическое....

[@user-uv4jp8yd8e]

А если катеты , например , 6√2 и 4√2? Кустарный метод идёт в кусты?

[@maxgladkikh2326]

@@user-uv4jp8yd8e а полуокружность, внизу там, как раз для этого, для чего же ещё. Вот чтобы такую софистику фильтровать. Один катет меньше другого, но точно не в 2 раза. Так что по кустам - это Вам виднее, тут не я экспэрд.

[@user-uv4jp8yd8e]

@@maxgladkikh2326 какая связь с полуокружностью?

[@maxgladkikh2326]

@@user-uv4jp8yd8e Мой метод для самых маленьких, а не самых глупеньких. Читаем, читаем, что написано, а потом спрашиваем. Нащ друг не Пишичитай, а Читайпиши. Такой азербайджанский перец. Слово кустарь тоже оттуда, кстати, с кустами ничего общего. Означает - ремесло.

[@user-uv4jp8yd8e]

@@maxgladkikh2326 а можно по существу, без пафосного словоблудия?

[@bimbom1982]

Я думал, что геометрическим способом Вы что-нибудь достроите и там сразу станет виден неочевидный ответ ) А так я тоже через подобие решил.