【京大2001】積分と極限の融合問題｜大学入試 数学 過去問

[@山本一統-c4j]

丁寧な解説だけでなく、解法の背景を説明してくれるのが非常にありがたいです

[@884]

ありがとうございます！嬉しいです♪

[@ネコ戦士]

詰められるもの全部詰め込んでみました！って感じの計算式や……

[@884]

数学 III の知識・技術を全部盛り込んだ感じですよね。

[@ぶん-g7j]

これはまじで１問解くだけで死ぬほど学べる

[@タルトタタン-n2z]

とんでもなく良問ですね、、思考過程を示してくれるのがありがたいです

[@884]

こちらこそ，コメントありがとうございます。お役に立てているようでよかったです！

[@夢と希望-d8y]

まじですごい、こんなわかりやすい

[@884]

ありがとうございます！

[@user-hakihakihakihaki]

まじで頭いいなこの人。 全く間違えず噛まずに、こんな複雑なの説明できんて普通。

[@884]

そう言っていただけて嬉しいです！ でも実は裏ではたくさん喋り直しをしています笑

[@こんにちはみなさん-q6g]

この問題マジで大好き

[@884]

わかる

[@とある京都の劣等生]

この解法を使う背景まで整理してくれていて、他の問題にも活かせるヒントが得られるわかりやすい解説でした！

[@884]

お役に立てたようでよかったです！

[@suwamasak111]

過去問やっててただの減衰曲線やろと思っとったら違った

[@d月]

なんでその置き換えにしたのか、って背景もきっちり説明あって非常に参考になりました

[@884]

お役に立てているようでよかったです！

[@alexhuang6396]

Love this channel ❤️.

[@884]

ありがとうございます✨

[@kuwagata1105]

コメント失礼します。この問題は最初でシグマをn^2まで取ってると思うのですが、この京大の問題ってnが自然数であることが大前提じゃないと解けないですよね？

[@884]

n が自然数でない場合でも，(だいぶ議論は面倒になると思いますが) 極限を求めることはできるはずです！ 動画では，勝手に n を自然数だと思い込んで解説してしまいました💦

[@TV-yh7yw]

実戦講座問題集であったな

[@ヒマヲモテアマスノカミ]

最後の平均値の部分の極限だけ解けなくてまじで悔しい…

[@葵東堂-c2d]

これ平均値の定理で示さないと駄目ですか？

[@884]

いえ！平均値の定理を持ち出すことは必須ではありません。 たとえば t := −π/n とすると (1−exp(−π/n))/(π/n) = (1−exp(t))/(−t) = (exp(t)−1)/t となり，n → ∞ で (最右辺) → 1 となることがわかります。 動画では，どういうわけか周りくどい手法で極限を考えていますね……。反省。

[@NEMMIVEA]

本当に初歩的な質問申し訳ございません なぜ区間の数がn^2になるのでしょうか？

[@ぺんぺん-i8x]

nπまでの積分をπ/n周期で分割してるから最後の周期はn^2個目になる 実際jにn^2代入すればn^2•π/nでnπに一致する

[@青山裕史-g8z]

とある広告動画から視聴→チャンネル登録まで一瞬でやらせて頂きました 久々に解説系動画で好みのものを見つけられてありがたいです

[@884]

おーありがとうございます！とても嬉しいです。 最近は大学入試問題の解説が中心です。ぜひ他の動画もご覧ください⭐️

[@早坂健一]

あまりに昔のことなのでうる覚えですが、確か挟み撃ちを使って解いたような記憶があります。

[@飛車角行]

sinの絶対値の時間平均が2/πだから、expの−1乗を0〜∞で積分した値である1に2/πをかけた2/πという値が答えであることは予想できますね。 僕ははさみうちの原理を用いました。

[@xy8066]

これ最初やった時はムズいと思ったなぁ

[@884]

よく理系の第 1 問に登場する積分と比べると，結構高難度ですよね。

[@minase3760]

これを誘導なしで出してくるのが京大って感じがする。誘導があっても結構難しいと感じるけど、これは京大受験生でも時間内に全ての議論できた人は少ないんじゃないかなぁ。

[@884]

問題文がシンプルで，でも色々考えることがあるという意味で，いかにも京大という感じですね。 数値だけでも完答できた人はそんなに多くないと思います。

[@scarlett1195]

グラフと計算の対応付けがあるとより説明がわかりやすくなると思いました！

[@ヒロヒロ-h1x]

3:10で区間がn倍されるのは何故ですか？

[@884]

nx = y というふうに変数変換しているからですね！ 元の積分区間は x の値での話なので，それを n 倍し，y の言葉に言い換えているというわけです。

[@ヒロヒロ-h1x]

@@884 理解しました ありがとうございます😊

[@h3rmystery646]

昨日丁度やったやつだw 丁寧な解説を聞いて更に理解が深まりました。ありがとうございます😊

[@884]

ほんとですか！ こちらこそ，ご視聴ありがとうございます😊

[@user-if7il7mx6q]

どっかで lim(n→∞)∮[0→π](πx-x^2)|sin(nx)|dx を求めよって問題見たことある。復習がてらにどうぞ。

[@うっすおらっす]

解く気はさらさらなく解説をいきなり見た

[@884]

ええんやで

[@村野浮穂]

h→0で(e^h-1)/h→1となることは、 任意のxに対し{e^(x+h)-e^h}/h=e^x (e^h-1)/h→e^x(h→0)が成立する、すなわち(e^x)’=e^xであることと同値ではないのですか？ 既出の質問でしたら申し訳ありません。

[@murasaki-shikibu-ton]

これ初めて解いた時1時間かかって、本番こんなん絶対無理やと喘いだ

[@884]

積分計算が好きな人はサクサク進められると思うのですが，そうでないとキツいですよね。 数学 III の知識を総動員するので。

[@sekqi9489]

すべて基礎の組み合わせですね。 京大は良問ばかりです

[@884]

大問全体で見ると手数がかかりますが，やっている計算自体は数学 III の基礎的なものばかりです。 その意味で，これはほんとに良問ですね。

[@狙撃手-g1r]

もしかして複素数平面、二次曲線、極座標以外全部入ってる…？とてもいい問題で解説も分かりやすくて感動しております！

[@884]

数学III の様々な要素が盛り込まれている良問です。 広義積分とも関連しています。

[@naonano7407]

平均値の定理で極限を議論したところは公式通りの形とずれてはいるものの−n分のπがゼロに近づくことを書けば平均値の議論なしで用いても正しい答案として成立しますか？

[@884]

その部分の記述は，結局 (e^h - 1)/h →1 ( h → 0) を認めるかどうかにかかっていますね。 教科書等でそれが紹介されていれば，問題ないですね。 個人の感想としては，大問の中での 1 箇所にすぎないので，平均値の定理を使わなくてもいいと思います。

[@naonano7407]

@@884 ありがとうございます。僕は一般的な公式として認識していたので教科書などを見てみます。

[@884]

ぜひそうしてください！

[@yamada9402]

Focusとかチャートとかでは対応できないです。どしたらいいんですの

[@884]

個人的には，Focus Gold や青チャートの章末問題と同程度か少し難しい程度という印象です。 その辺りの参考書をちゃんと演習すれば，今回の問題も解けると思いますよ〜

[@yamada9402]

@@884 返信ありがとうございます。 そこまでしっかり取り組みたいと思います

[@せかい-l1n]

やさ理に頻出問題として扱われてた

[@884]

やさしい理系数学（大嘘）

[@たく-f8v]

それはsinXじゃなかったっけ？

[@日山元晴]

わかりやすい解説ありがとうございます。 質問失礼します。 僕は、 ∫0→π e∧-t/n|sin(t＋kπ)|dt =∫0→π e∧-t/n|sint|dtとして計算 したのですが、 この変換はしても良い変換なのでしょうか？ ∫0→π|sin(t＋kπ)|dt=∫0→π|sint|dtとしても 良いことは理解しています。

[@884]

問題ありません。 なぜなら，任意の整数 k について |sin(t＋kπ)| = |sint| が成り立つからです！

[@日山元晴]

返答ありがとうございます！ 京大を受験する上でやはり 細かい論証ミスが命取りだと考え 質問させて頂きました。 今後も拝見させていただきます。

[@YoshiYoshi449]

減衰振動曲線の下半分折返しですね。物理的にもよく出てくる式ですし、定石問題なので京大レペルなら本番で落とせないですね。

[@884]

その通りです！ 絶対収束性など細かいところはさておき，値自体は正確に求められるようにしたいところです。

[@yuukinishimura9346]

めちゃ似たの、大数の数3演習でちょうど今日見たけど、sinの中にnがあるだけで全然むずいなあ…もう一日考えます、おやすみなさい

[@884]

おやすみなさい〜😴

[@yuukinishimura9346]

ｷﾀ！区分求積を使って解けた！ 広義積分出てきちゃったｹﾄﾞ

[@884]

素晴らしい！🎉

[@yuukinishimura9346]

@@884 しかし、nが整数の場合のみで考えているので、おそらく回答に書いたらおそらく0点です…かね(>_

[@884]

あれ，僕も自然数を前提としていました。 まあこの問題については，n を自然数としても問題ない気がします。

[@user-xd3tt5mo3d]

(1-e^(-π/n))/π/nの極限計算は単純にh=-π/nとおくのではダメなんでしょうか、、、？

[@884]

それでもおそらくちゃんと点をもらえると思います！ 動画では，その極限，つまり t → 0 で (exp(t)-1)/t → 1 を所与のものとしないで導いた格好です。

[@user-xd3tt5mo3d]

@@884 その極限が1であるということとe^xの微分がe^xであるということは定義から同値ではないのですか？何度も質問してしまいすみません。

[@884]

@@user-xd3tt5mo3d 半ば屁理屈ではありますが，それらは同値ではありません。 t → 0 で (exp(t)-1)/t → 1 と同値なのは，exp(x) の導関数が exp(x) であることではなく，exp(x) の x = 0 における微分係数が 1 であることです。

[@user-xd3tt5mo3d]

@@884 わかりました、解答ありがとうございました！

[@かすじる-n9r]

exp(-y/n)が減少関数なのを使ってexpを外に出して (1/n)exp{-(j+1)π/n}∫|siny|dy

[@884]

はさみうちの原理でちゃんと答えを出せるのであれば，その方法もありです！

[@aigisace6615]

e^-xを0からnで積分して、それをn→∞で計算した値×2/π(sinカーブが接する長方形とsinカーブの囲む面積の比がπ:2に言及)でカバリエリの原理の考え方も述べれば、丸が貰えるでしょうか？

[@884]

コメントありがとうございます！ 実のところ，それがどう評価されるか全くわからないんですよね。 というのも，長方形の場合はおっしゃる通り面積比が π : 2 になるわけですが，本問の場合は減衰する指数関数のグラフによって囲まれているので，面積比が π : 2 になることは自明ではないと思うんです。 僕が受験生だったら，その考え方は心の中で検算するのに用いる程度で，答案には書かない気がします。正直ビビってしまいますね🤣 (もちろん，ご指摘のような考え方ができること自体は，柔軟でとても素晴らしいと思います！)

[@aigisace6615]

@@884 なるほど。貴重なご意見ありがとうございます！

[@あー家]

久しぶりに頭痛くなった…

[@884]

すまんな

[@鈴木雄太-b5p]

解けなくて悔しいです！！　やっと理解できました。

[@884]

根気よく考えて，最終的に理解できたのであれば素晴らしいです！

[@収集情報-v4l]

最難関だけでなく準難関などの良問・頻出問題解説して頂けたら嬉しいです😖🙏💦

[@884]

コメントありがとうございます。 当面の間は東大・京大の入試問題に絞る予定ですのでご了承ください！

[@mathseeker2718]

難しかったです。単なる計算問題に見えて、まさに色んな知識、手数を要する問題でした。 2001年というと、私が現役高校生の頃に京大を受験した時ですから、受験本番この問題に出会ったのでしょう。全然記憶にありません。たぶん解けなかったのでしょう。 結果、僅か足りずに不合格でしたから、この問題をきちんと解ける力があれば合格だったのでしょうね。学び直し頑張ります。

[@884]

数学III の知識を総動員するような問題でした。 引き続き勉強頑張ってください🔥

[@転結起承-y7o]

はさみうちで解いたんだけれども、答えが同じだから合ってるってことでいいのかな

[@884]

はさみうちで同じ答えが出たのであれば，問題ないと思います。 （この問題は，収束性の議論がどこまで期待・要求されているのかよくわからないんですよね。そもそも n も，自然数とは明言されていないので。）

[@ヘルエスタ珍走軍日本支部]

e^-x(0-∞)の面積が1であることと、 |sinx|とy=1の面積比が2:πであることを知っていたので、問題を見た段階で2/πと分かりました。 実際に計算で解くとこんなにかかるとは驚きです。

[@884]

まともに答えを出そうとすると，なかなか手間がかかります。

[@michaelxie3224]

この質問は、2019年に中国で行われた大学院入試の数学の大きな質問とまったく同じです。

[@884]

結構計算量が多く難易度も高いので，大学院入試で登場してもおかしくない問題だと思います。 大学院入試であれば，収束性 (Comvergence) の証明もちゃんとしたいところです。

[@usmasuda]

極めて明快な説明。素晴らしい！天性の教育者ですね。 ただ、2:05 前後でホワイトボードの重要箇所が隠れてしまっている点が残念です。少し身体を右にずらすのがよろしいかと。

[@884]

コメントありがとうございます！ 実は，ホワイトボードの左側にものを書くときに身体で隠さないようにするのって結構難しいんですよね💦 もっと練習します〜

[@お茶だ-o5w]

これ初見で解ける現役生いるのかよw

[@884]

結構しんどいんですけどね笑 世の中広いもんです。

[@たま-z6n9k]

手元にある入試原文でもnが整数とは明記されていないようです（鬼畜…）。 結局はn→∞とするので最初にn≧1を仮定するのはよいとしても、n^2≧1は必ずしも整数とは限りません。従って、Σの項数をn^2とした時点で既に拙いことになります。 おおよそ以下のように修正できるでしょうか。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 被積分関数は非負であることに注目し、f=floor(n^2),　 c=ceiling(n^2)を用いて 　L :=　Σ{j=1, ..., f} I [j] 　≦　(limの中身)　≦ 　Σ{j=1, ..., c} I [j] 　=: R　 …① と評価できる。 ここでLは、動画で極限を取る直前のlimの中身のうち、等比級数の和に関する 　1 - e^(-nπ)の指数　-nπ　を　-π(f/n)　で置き換えたものとなる（その他の変更は一切ない）。よってπ(f/n)の極限が分かれば、Lの極限も分かる。 Rについても同様で、 　1 - e^(-nπ)の指数　-nπ　を　-π(c/n)　で置き換えたものとなる（その他の変更は一切ない）。よってπ(c/n)の極限が分かれば、Rの極限も分かる。 1°） f > n^2 - 1　より　π(f/n) > π(n - 1/n) →∞ であるから、 　e^{-π(f/n)}→0 よって動画と同様に　L→2/π 　…②。 ２°） c ≧ n^2　より　π(c/n) ≧ πn →∞ であるから、 　e^{-π(c/n)}→0 よって動画と同様に　R→2/π　…③ 。 ①,②,③および挟み撃ちの原理により 　I = 2/π。■

[@太郎太郎-w4r]

｢nを自然数とする｣って書き忘れてたのを京大が認めてた気がします 京大が初めて問題を訂正したとかなんとか、

[@たま-z6n9k]

@@太郎太郎-w4r さんへ：そうなんですか？ Googleっても、それらしき情報が見当たらないようですが…。

[@高橋ライジング-x9o]

なぜJが1からn^2-1なのでしょうか

[@884]

具体的にどこのことでしょうか？動画の時間などの大まかなもので構いませんので教えてください！ ※ごめんなさい，すぐにはどこのことかわからなくて。

[@高橋ライジング-x9o]

@@884 返信ありがとうございます😊 4分10秒あたりのところです

[@884]

I_j と I_(j+1) の関係をみたいのですが，いま I の添字は n^2 までしか考えていないため，j+1 = n^2 となるところで打ち切っています。 ただし，被積分関数が三角関数 (周期関数) と指数関数の積であるため，べつに j = n^2 - 1 より大きいところでも今回の関係式は成り立ちます！

[@高橋ライジング-x9o]

@@884 ご丁寧な解説ありがとうございます😊

[@884]

いえいえ〜

[@シャーロット-p3w]

これは無限等比級数に落として、できますよね。

[@884]

そうですね！ 指数関数と三角関数の積ですが，指数関数の特徴（ x が同じ値増えたときの減少の割合はどこでも同じ）により，無限等比級数に落とし込むことができます。

[@ととま-h9p]

分からないと言うことが分かった

[@884]

すまんな

[@mmmmm3581]

河合のテキストにめっちゃわかりやすい誘導付きで載ってて、この動画みたいにコンパクトにされたような問題も出るかもしれないから、分けて考えろって授業終わりに言われてたけど、まさか京大で出てるとわww

[@kk-dv2cf]

えマナビスですか

[@mmmmm3581]

@@kk-dv2cf うん、

[@kk-dv2cf]

@@mmmmm3581 自分も昨日数さんのレベル5受けたとこです！ 夏休み勉強頑張りましょう！

[@ふっきー-v8c]

ラプラス変換みたい

[@884]

そうですね！（ e^-x をかけて積分しているので）

[@freenote6751]

Lim だけでもう無理なのに そこにインテグラルからエネミー指数、 sinまであるとか死ぬ😇😇

[@884]

数学 III 全部盛りって感じですよね。

[@adgjmptw2723]

プラチカにのってたやつや

[@618ahmos5]

大学入試で、この問題を解ける人って多いのでしょうかん？それとも初見である程度記述できれば良い方なのでしょうかん？(*・～・*)

[@884]

東大・京大合格者の上位層は確実に正解するイメージです！ 計算がしんどいものの，問題の解き方自体はだいぶシンプルで，発想の飛躍もありませんので。

[@618ahmos5]

@@884 返信ありがたきことことお肉ですん。合格者平均点とかになると、無回答が多くなりますかねん？個人的には等比の発想までいけてしまえば、あとはそこまで難しくない印象でしたん。(*・～・*)

[@884]

積分計算の方針を立てられないとほとんど点がもらえないでしょうから，その意味では（おっしゃる通り）得点がはっきり二分されそうですね。

[@618ahmos5]

@@884 なるへそのことありけりですーん(✽ ﾟдﾟ ✽)ありがとでしたーん(*・～・*)

[@マクローリン展開-d4h]

東工大で似た問題出題されてたなぁと思ったら、sin(nx)とsin(x)の違いでした笑

[@884]

n が入って極限をとるとなると，途端に複雑になりますね。

[@タングステンW-h6p]

東工大の問題では出来たのにこの京大の問題では難しくなる。数学の魅力でもあり、いらつくところわら

[@桜木秋水]

難問にして良問･･･答えが直観や経験から分かる事は良くある．しかしそれを数学的に厳密に証明するのは至難の業です．あの四色問題も，古くから地図職人の間では常識として知られていた．しかし数学的に証明するには長い年月を要し，しかもコンピュータを利用しなければならなかった･･･ この一見するとバカバカしく無駄とさえ思える思考過程･･･ これこそが数学なのだ･･･

[@海坊主-p5t]

減衰曲線!?

[@884]

周期関数との積なので単調減少ではなく，その意味では減衰曲線とは呼びませんね。 （もちろん，マクロにみたら減衰していますが。）

[@西野カナのファン]

プラチカにあったなこれ

[@884]

シンプルな問題だし，いろいろな問題集に収録されているみたいですね〜

[@ぱお-l1c]

俺には数算じゃなくて算数がちょうどいいな。うんうん。

[@884]

すまんな。

[@鮭鮪-s1o]

学校の定期テストで似た問題出たー

[@884]

えらい問題出しますね......

[@鮭鮪-s1o]

しかも今まで問題集のテスト範囲そのまま出題とかだったから突然難易度爆上がりよwww

[@Lauren-w6l]

プラチカで何回もやって、やっとできるようになりました。これを初見でできる人なんかいるんですかね笑

[@884]

計算の方針さえわかればあとは手を動かすだけなのですが，どこから手をつけるか難しいですよね。

[@Dr.Ks_Labo]

sinの[0,π]定積分値2だからさ、sin絶対値をかけた面積は概略2/π倍になるんだね。周期→0に圧縮するならその値が答えになるだろ、という直観に一致しますね。答えだけでいいならこう考えてきちんと解かずに答え書いちゃう。記述式でこういう解答を書いた場合にどの程度の点数がもらえるのかな。

[@884]

おっしゃっていることはわかります。 sin の絶対値の積分は，平均すると 横幅 x 2/π になるということですよね。 ただ，それはあくまで見積もりであり，答案には書いてはいけないと思います。 部分点が答えのみに与えられている可能性はありますが，かなり少ないものと覚悟していいでしょう。 （参考になるかわかりませんが）東大で数学科がやっている授業の試験を受けたことがあるのですが，答えだけ合っていても点は与えられませんでした。

[@AR-kk6bb]

この解き方とは別の方法で解いたんですが、答えに0.027くらい差が出てしまいました。これは正解として良いのでしょうか？？

[@884]

極限値の問題で正答と差があるということは，不正解であることを意味しています。

[@kkkccc1790]

さすがに自明すぎるときは微分可能なことを言及する必要はないですかね…?

[@884]

今回の動画でいうとどのあたりでしょうか？

[@kkkccc1790]

@@884 あ、平均値の定理のところです。 言葉足らずですみません……

[@884]

@@kkkccc1790 あーなるほどですね。 これくらいの関数であれば，述べなくても問題ないと思いますよ！ ※本来，述べるべきではあります。

[@kkkccc1790]

@@884 了解です！

[@天地万象皆我師]

あざす(むずい)

[@884]

おっす(うん)

[@ああ-o9u3l]

こういう系の問題π分の形になりがち

[@884]

わかる

[@ああ-q8c2t]

極限苦手やー

[@ハト麦-n8d]

式からラプラス変換をイメージ出来たらグラフより方針が立ちやすそう。これnの偶奇が与えられてたら絶対値を外して気合で積分する人が増えて逆に正答率落ちそうｗ

[@884]

あー言われてみれば Laplace 変換の形ですね！

[@paipai0254]

中3です。理解できました！

[@884]

つよい

[@さけにくら]

これ高二の時定期テストにでて萎えた

[@884]

えぇ......

[@こんにちは-z7j1y]

弘前大の過去問にもこんなんあったなあ

[@884]

あらほんとですか！