旧帝大模試対策 整数問題【王道vs時短テクニック】

[@じぇりーふぃっしゅ-q2l]

なんでその考え方するのかしっかり根拠を教えてくれるから流れがつかみやすいし、汎用性が高くなります！ありがとうございます！

[@tomo2808]

3x+4y=(3x-4y)³ (3x-4y)+8y=(3x-4y)³ 8y=(3x-4y)((3x-4y)²-1) 動画と同じように3x-4y=aと置くと 8y=a(a+1)(a-1)となりますね！ 最後の時短テクニック気持ちいいなぁ〜常にエレガントに解答したいです！

[@worldspacestar]

僕も同じ考えでした

[@megu2995]

3x-4y=kとすると3x+4y=k+8y よって、k+8y=k^3 式を変形して（k-1）k（k+1）=8y 左辺が3の倍数、yが素数よりy=3 k=3、x=5 よって、（x,y）=（5,3）

[@positiveattitude6061]

与式でmod3でyを場合分けして考えればy＝(3の倍数)が分かるからy＝3はすぐに求まる。また3x−12が指数関数的に増加するからそれを考慮すればx＝5だけということも分かります。

[@浜口雄幸-k1n]

解説聞かずに初めて解けました。

[@雄山海原-m5b]

右辺を展開して整理すると 3M(3の倍数)＝4y(16y^2+1) y^2≡0、1(mod3) より16^y2+1≡1,2 よって16^y2+1は3の倍数にはならない yは素数なので上の整式からy＝3 これを代入して整理すると (x−5)(9x^2−63x+116)＝0 xも素数なのでx＝5 (x,y)=(5,3)

[@hebochan1]

因数分解を応用してみました。 3x-4y=aとすると、与式の左辺＞0よりa>0①。与式をaで表すとa+8y=a^3→a^3-a-8y=0②、a^3-aはa(a-1)(a+1)と因数分解でき、それは3つの連続する整数になるので3の倍数。よって②が成り立つためにはyは3の倍数でなければならなく、かつｙは素数なので、y=3、よって②はa^3-a-24=0、因数分解して(a-3)(a^2+3a+8)=0。①よりa^2+3a+8=0は成り立たないので、a-3=0→a=3。3x-4y=aにaとyの値を代入して3x-12=3→x=5。よって(x,y)=(5,3)

[@乃木はな]

この時期スクショタイムないから止めてスクショしてるんだけどどうしても板書とすばるさんの顔が綺麗に映る時を探すのが難しくって、いい顔で撮れない😂

[@生ハムメロン-s7s]

今週河合の旧帝大模試あるのでありがたいです！

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70G"〖別解〗【 x, y ∈素数, ☆ mod3 の合同式を用いると、】( 与式 ) ⇔ y ≡ (－y)³ ⇔ y ( y²＋1 )≡ 0 ここで y≡ 0, 1, 2 に対して それぞれ y²≡ 0, 1, 1 より y²＋1≡ 1, 2, 2 だから、 y≡ 0 よって、y＝ 3 ( ∈素数 )■ これを 与式に代入して、(両辺) ÷3 より x＋4 ＝ 9( x－4 )³ ⇔ x＝ 5 ( 直線 と 3次関数のグラフより これ以外の解が無いことが分かる ) 以上より、x＝ 5, y＝ 3 ( ∈素数 ) ■ 〖フェルマーの小定理→ ( 3x－4y )³≡ 3x－4y に注意〗

[@ギュウギュウ牛牛]

同じ方法でときました!!

[@victorymountain72]

あ“あ”あ“あ”同じ回答が出てた

[@馬場豊-k6b]

俺も絶対フェルマーやと思った

[@p-1math38]

3x+4y>1だから3x+4yと3x-4yは共通素因数をもつ。よって、3x+4yと3x-4yの最大公約数をN(≠1)とおくと、これらの和と差である2×3xと2^3yはともにNで割り切れる。 また、x≦yのとき、左辺>0,右辺y Nが偶数のとき、3x-4yは偶数だからx=2となりx>yを満たさない。 よって、Nは奇数だから3xとyは共通素因数をもち、x≠yだからy=3 これを条件式に当てはめると 3(x+4)=27(x-4)^3 x-4=X(x>yより、X≧1)とおくと、 X+8=9X^3 X≧2のとき、X+8

[@中川皇太郎]

右辺を展開して整理すると、 3x=3(9x^3-36x^2y+48xy^2)-4y(16y^2+1) 左辺が3の倍数なので、右辺も3の倍数にならなければならない。よって、yは3の倍数である。yは素数なので、y=3 与式に代入して整理すると、 x+4=9(x-4)^3 ここで、t=x-4とおくと、 9t^3-t-8=0 (t-1)(9t^2+9t+8)=0 9t^2+9t+8=9(t+1/2)^2+23/4>0なので、 t=1 したがって、x=5 これは素数である。 ゆえに、(x,y)=(5,3)

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

みなさん冠模試なのですね！ 自分も今日1日頑張ります！

[@成瀬優太-g9r]

わかり易すぎる！ありがとうございます

[@scientiadisce8900]

共通テストに目立つ必要十分性の議論は、記述でこそ大切にしたいですね！

[@gjppdmwp]

3の倍数かつ素数のところで感動した

[@yui5998]

以下mod 3 とすると (左辺)≡y≡2y^3≡(右辺)…① (ⅰ)y=3の時 ①は成立するのでy=3を与式に代入すると xが素数において、 3x+12=(3x-12)^3 ⇔x+4=9(x-4)^3⇔(x-5)(9x^2-63x+116)=0 ⇔x=5(なぜなら9x^2-63x≡0だが116≡2から 9x^2-63x+116=0となる整数解は存在しない) (ⅱ)y≠3の時 yが3でなく、yが素数であることよりyと3は互いに素 ①から両辺yで割ると1≡2y^2 y≡0、1、2の時　2y^2≡0、2、2 からこの等式は成り立たない (ⅰ)、(ⅱ)から (x、y)=(5、3)

[@ko-ky2do]

いつも勉強になります！

[@chinamensuki8170]

mod 3で考えてy=3が必要であることを示したあとで、mod 5で考えてx=5が必要であることを示し、最後に十分性を確認しました

[@くろ-q9n]

これ九大実戦の問題だけど実際は誘導だらけでクソ簡単です。

[@jaehees3695]

そうなんや

[@unity7569]

最初の式にmod使ってyが3の倍数かつ素数だから3ってのも時短に出来そうですね というよりむしろaと置いて解いていく方法が思い付かなかったので勉強になります

[@ミカエル-v9c]

8y＝の所連続する3数で6の倍数ってことを使うことも出来ますよね

[@素数とチェルネンコ]

最初の式でmod3をしてしまって 3x+4y=(3x-4y)^3 y ≡ (-y)^3 ≡-y (mod 3) から y ≡ 0 (mod 3)を導きy=3とすると楽勝

[@素数とチェルネンコ]

そのあとの 9x^3-108x^2+431x-580=0 でxが580の約数でないとすると矛盾するので(右辺はxの倍数だけど左辺は580が残ってしまう) 580を素因数分解して 580=2^2 * 5 * 29. xは素数だからx=2, 5, 29を試せばその後も楽勝.

[@yutohirota5501]

Modじゃなくても連続３整数の積→３の倍数でもいけますね！

[@Anemone1665]

それも含めて言ってるのかと 誰でも分かることは言わなくていいですよ笑

[@本物で草-b6l]

なるほど！

[@ああ-y7w7s]

@@Anemone1665 辛辣過ぎん？

[@ああ-x3h3u]

@@Anemone1665 やばこいつ

[@びっち-t7f]

たしかに連続3整数の積のくだりは普通に説明してたけど言い方えぐ

[@小林太陽-l1p]

時短テクに衝撃を受けた...🧐

[@yukihyde1]

これはただ、6:38 で 8y=(a-1)a(a+1) なので、 右辺が 3の倍数だから 左辺の 8y も 3の倍数に成り、 y が 3の倍数だから (3と8 がお互い素なので) y=3 じゃないんですか？ 以降の複雑な解法は 必要ないと思われますが…

[@御子様昼食-i7u]

3x-4y＝aと置いてやる方法、多いですね。私もそうやって解きましたが、解いてて凄く感動しました。最初からこの方法を思いつかなかったので3x-4yが正なのでxの方がyより大きいことに着目してy＝2から実験してみました。3x-8をtと置くと楽だなと思ったとき、そもそも3x-4yをtと置いたら解けるんじゃね？と、あとは連続する3整数の積は3の倍数なので、yは3しかなく、tも3しかなくxは5しかないな、となりました。

[@あっかんべあぁ]

連続する三つの自然数の積が6の倍数→6n(nは自然数)でy=3/4nで素数となるのはn=4だけ、とやりました

[@みけ-b2h]

時短が凄すぎる

[@利根誠-s6u]

東大実践がんばるんば

[@tofu_pkmn]

東北オープン頑張ってきます！

[@user-yc8py6jd5f]

初見で解こうとして展開してしまった… 一応解けたけどもっと早く解きたい💦

[@sagittarius_chiron7629]

9分頃のところ． 8y=(a-1)a(a+1) の式から，右辺は連続する三つの整数だから必ず2×3の倍数となり，左辺からyは3の倍数となる．yは素数だからy=3である．そしてa=3となるから，6x=a(a^2+1)=30で，x=5． これ以外はない．

[@HideomiTahara-kq6by]

右辺の因数aと左辺の和または差が使えないかと発想しました。差8yはa三乗-a。因数分解して、連続する3自然数の積すなわち必ず3で割り切ることができる。8は3の倍数ではない。yは素数であるからy＝3。

[@ああ-k7q6y]

一橋実戦頑張りまーす！

[@後藤拓哉-b8h]

(3x-4y)でくくり、2がどちらにも適さないことを証明すれば3x=5yが得られるのでこの解放もスマートだと思います。

[@takochu3rys]

モッドをつかうともっど早く解けるんですね。

[@北澤健生]

連続3整数の積で一発ですね！😅

[@いあ-v2h]

8yはは8とyの2つしか因数を持たない。 (i)aが偶数のとき、a-1とa+1は奇数であり、これらの積は8になることがないため、不可。 (ii)aが８のとき、a^3-a=504になるため、不可 (iii)aが奇数のとき、a−1とa+1の積が8かつaが素数の場合、条件を満たす。そのような数はa＝3のみである。その時、X＝5、Y＝3となる。この方法で解きました。

[@ren5673]

このレベルを解けるようになれたのすごい嬉しい

[@いお-k1z]

九大プレで解いたやつや！ 誘導があって、やっと解けた…

[@伊藤園のお茶ちゃ]

最近パスラボと川端さんの数学動画を見まくってます 高校入試にも大学入試にも対応できそうです！

[@土間うまる-q2o]

いまから河合の全統もしなので助かります！

[@やんひら2025]

ソーナンスの真似、似てて面白かったです！

[@ハッシュドポテト-f2l]

別にmod使わなくても8が因数に３を持たないことから、yが３の倍数になるからっていう方針でも解けるけどカッコイいからmod使っちゃう

[@きつね-g6t]

連続3整数の方がスマートでかっこいい

[@bmthloveniki2013]

3x+4y=A、3x-4y=Bとすると 与式はB^3-A=0と表せて x=(A+B)/6、y=(A-B)/8と表せます xをAについて解いて与式に代入するとB(B^2+1)=6xという式が導き出されてxが素数であることからxとBの組を(x,B)=(37,6)(5,3)の2組に絞る事ができて、これらからAを導き出して、yが素数であることを満たす組は(x,B)=(5,3)のみであることがわかって(x,y)=(5,3) といったように解答したのですが何か不足している点などがあれば教えてください！

[@ああ-q9q4c]

5ヶ月前のコメントにすみません、 どうしてB^3-A=0と表せたら x=（A+B）/6、y=（A-B）/8と表せるのでしょうか？ 　頭の悪い質問で申し訳ありません、今年3年なので良かったら教えていただきたいです🙇‍♂️

[@bmthloveniki2013]

@@ああ-q9q4c 僕も表現が曖昧で申し訳ないです🙏🏻最初にA,Bを定義したことでその2つを連立に解くとxとyをそれぞれA,Bを用いて表すことができるんですけど、それとB^3-A=0を用いて問題を解いていった記憶があります！なんせこのコメントをしたとき丁度受験生で、大学生なって急激に頭悪くなってしまったもんでして😇あまり詳しく回答出来なくて申し訳ないです笑

[@ああ-q9q4c]

@@bmthloveniki2013 あー、わかりました！横からの質問に答えていただいてありがとうございます🙇🏻

[@chakamaru_UT]

Mod便利すぎー

[@CROWN_1024]

九大の4年生15分でなんとか完答 「九大にしては結構ムズイかなー」と思ったらまさかの誘導付きか 落ちたなぁ

[@いけふぁい]

もう受験終わって大学生だけど、面白くていまだに見てる

[@りこ-k1c]

今日北大オープン行ってきます！

[@ikura-w-love]

3x-4y=aとおいて、a+8y=a^3とした方がわかりやすいかもしれません。

[@honasansan]

頭よくなった気になるのだ～

[@とよ-e8q]

今日一橋実践だから助かる。がんばってきます！

[@packpack3349]

6x=a(a^2+1)についてもa^2+1≡0(mod3)となることがないので、aは3の倍数 3x-4yが3の倍数でyは素数よりy=3 後は煮るなり焼くなりでxを出すだけですね。

[@Double_O-ss9pf]

10:26 これ「3つの」正の因数ってところの方が大事やろ

[@mathseeker2718]

与式に対していきなりmod3を考えた場合、y≡0 mod3の場合しかあり得ないということになり、yは素数より3で確定。それを代入して、xは5と求めてしまいました。 王道のやり方もマスターしておく必要がありそうですね。

[@水野忠邦-h5z]

おはようございます！

[@モリタニコウタ]

すげー

[@ある高]

元の式をmod3で考えると、 y≡±1のとき、 左辺≡±1、右辺≡-(±1)より、一致しないのでy≡0 y素数よりy=3 よって右辺が27の倍数になるので左辺も27の倍数になる。とりあえずx=5とおくと、解が1つ見つかる あとは展開して1つの解がx=5に注意して展開すると他の素数解はないので (x,y)=(5,3) 整数問題はまずmod3を検討するのも大事ですね。 4をかけてもmodは変わらず、しかも奇数乗してもmodは変わらないので非常に扱いやすいmodですね。

[@makimurasame7271]

(a-1)a(a+1)は連続３整数の積だから３の倍数

[@やなチャンアカウント]

九大実戦模試やん！

[@ぴっぽ-x5o]

東工大模試頑張ります！

[@青島敬二-n4g]

y=3は連続３数で瞬殺できて気持ちよかったです。

[@slslbgoet.]

京大オープン頑張ってきます

[@糸井瞳子]

阪大オープン頑張ります！

[@user-wi4do7jm1q]

九大実践で解いた笑笑、しかも文系… 0完でした泣

[@KK-ns9se]

8y＝連続する3整数の積かつyは素数ってなった瞬間 y＝3って分かるやん

[@kokifukuda6946]

展開して 3x(9x^2-36xy+48y^2-1)=4y(16y^2+1) として16y^2+1が3の倍数でないことを示せば一瞬で解けました…… これでyが確定して上式の右辺に代入して x=2, 3, 5, 29がわかるのでこの中で満たす5が決まりました

[@白ぶどう-f8s]

仲間いてよかった

[@かなと-i9d]

高校入試の問題もやってほしいです！

[@昂-n2z]

物理の原子の範囲動画を出して欲しいです！ コロナのせいで学校でそこ受業してもらえるか不安です

[@ぼーうり-y1j]

“模試対策”とか言う謎動画

[@symphogear_52]

確かに謎だな 普通に二次対策ってことで解釈できるけど

[@umi5917]

模試対策してどうすんねんってな

[@きっしー-c2f]

よく考えたら対策の対策で草

[@5zt268]

実践とかオープンならおかしくないでしょ

[@symphogear_52]

@@5zt268 いや、模試でいい成績取るのは目的ではないはず それは本質を見失ってる

[@user-xc7tj3cl1s]

連続する3数でy=3と決まらないか？

[@マロン酸]

今日東北オープンあります。 頑張ってきます。

[@hertiredeyes318]

阪大実戦行ってきやす

[@しう-m5y]

それ完解できませんでした...😭 来週九大オープンがあるので、そこでコケないように頑張ってきます。

[@jif7707]

連続する３つの数が6の倍数であることを使えばy=3はすぐに求まりますね

[@michaeljoke8551]

時短感動

[@erina8486]

来週名大オープン頑張ります！

[@asbestos_yoro]

3条の中身文字で置かずに因数分解した

[@前野良沢-r6j]

数学で鉄則というフレーズを聞くと、ラジオ講座世代は寺田文行先生を思い出します。

[@ライト-r5r]

両辺に3x-4yかけてmod3で考えると一瞬でy=3でます

[@にょ-k4x]

東工大実践行ってきます

[@さっくん-y2z]

初見でできました〜 すばるさんと同じ方法でした。

[@atama.ga.torinosu]

良問ルート5日目

[@やまりーーー]

今日東北オープン模試で素数出ましたよ❗️

[@前野良沢-r6j]

ラジオ講座で有名講師だった寺田文行先生（数学）、竹内均先生（物理）は残念ながら亡くなられましたが、西尾孝先生（英語）はご存命のようです。

[@3811-i8e]

九大実戦の誘導つきの簡単な問題 完答せんとやばいレベル

[@ビビンバ-e2m]

名大のワイぱっと見で解けんかったぞ

[@3811-i8e]

コメントした当時受験生で、いま九大の2年生です この模試実際に当時受けたんですけど、この問の前に2問丁寧な誘導があって完答しなきゃって真っ先に解き始めたのを覚えてます ただ今になって動画だけ見て問題解こうと思ったら普通に無理でした...(´・ω・ `)

[@Dfan1031]

@@3811-i8e 合格おめでとうございます

[@yonyonyonyonyon]

よりイケメンになってる😳

[@かんづめ-t9f]

北大オープン行ってきます！

[@佐々-m6l]

今日北大オープン頑張ります

[@MeRu12]

俺も今日北大オープン受けます！お互い頑張りましょ！

[@佐々-m6l]

@@MeRu12 頑張りましょう！！

[@user-hu3gw9vx1q]

俺も北大オープン受ける！腕時計忘れたけど。。。

[@佐々-m6l]

@@user-hu3gw9vx1q あ、おれもw

[@user-hu3gw9vx1q]

@@佐々-m6l 時計の目の前の席だ笑良かった 頑張ろう！！

[@nakirinishimoayame]

阪大実戦がんばります！

[@しゅう-k3g]

俺も！

[@ぽっぽ-x6o]

これ自体が九大実戦の問題という

[@ぽっぽ-x6o]

@@田中-c6j まぁ今回に関しては視聴者から頂いたって言ってるので知らされてなかった可能性もありますが、できるだけ出典は調べてほしいですね！

[@kumanomigame]

MOD6だと、nとnの３乗は合同と言うことを使えば瞬殺。

[@kazuhisanakatani1209]

せっかくサッカーの話題なんだから、「keep」を「kick」に換えて、The injury may kick him out of football for goo. にした方が面白くない？実際（本場の）uk ドメインでフレーズ検索してみると Kick racism out of football for good 的な言い回しがいっぱい出てくるし。

[@a5556-g6z]

最初a置くがわからんかった

[@guradexio]

3x+4y=a^3のときに、自然数から3x+4y>7なので、a≧2といえますよね？

[@てんてん-c2b]

なんで実験する時、ワイに素数でない1を入れてるんですか？

[@user-cy6ns7if9u]

北大オープン、英語でしくじってしまった……

[@kimemonyou4210]

明らかにバランスが悪いから、解が一つしかないことをグラフで証明したらいけないのかなあ

[@ポンペイムンバイ]

忘れられた北大0:24