КИТАЙСКИЙ ЭКЗАМЕН! Феноменально красивый ответ!

В квадрат вписана окружность, к ней проведена касательная, в полученный треугольник вписана окружность. Радиусы R=41, r=5. Найди длину отрезка касательной внутри квадрата.

[@ДендроидВиверновичДраконов]

Да, здесь даже добавить нечего. Оба способа изначально видны опытному глазу и хорошо показаны в решении. Спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот это то, что нужно! Полностью согласен.

[@AlexeyEvpalov]

Интересная задача. Спасибо за два красивых решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Приятно иметь дело с ценителями!

[@ВячеславФоминых-р3г]

Во втором решении,в конце,не нужно было вычислятьR-r.Они же даны и так. Спасибо за ролик,Валерий.

[@amanitavirosa8961]

Красивое решение. Я только с теоремой синусов для косоугольных треугольников смог одолеть. Первый способ больше понравился.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СтарыйВаленок-к4л]

Красиво. Понравилось второе решение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Не догадался сразу до классического решения. Пошел по другому пути. Обозначив BF=BM=x, из подобия составил пропорцию: x/41=5/(36-x) x^2-36x+205=0. Два положительных корня, их сумма 36. Если один корень будет равен BF, то другой из соображений симметрии AF. В итоге АВ=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Тоже неплохо.

[@constantinfedorov2307]

Сама задача решается в одно действие 41 - 5 = 36. Вообще это очень полезный, очень простой в доказательстве и очень психологически сложный для восприятия факт. Я это и на себе проверил когда-то, и много раз наблюдал у других. Для любых двух непересекающихся окружностей длина отрезка внутренней общей касательной, заключенная между двумя (симметричными относительно линии центров) внешними касательными РАВНА длине внешней касательной между точками касания. Там, кстати, возникают еще пары равных отрезков, я бы всем посоветовал покрутить все это самостоятельно. Там все на уровне "это плюс это равно этому." Приложений этого свойства куча. Особенно, когда касается нескольких окружностей, например, в задачах про вневписанные окружности (как в этой задаче, тут малая окружность вписанная, а большая - вневписанная для треугольника). Еще такой неожиданный пример - благодаря этому свойству можно вывести формулу Герона чисто геометрически за пару шагов. Да, и еще. Благодаря "прямоугольности" эту задачу можно решить, используя r = 5 = (a + b - c)/2 = p - c; p = 41; само собой, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника, что такое a b c, ясно, в задаче надо найти c. Но если вы прочтете первую часть моего длинного комментария, то увидите, что это ТО ЖЕ САМОЕ решение. :) А почему? :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, согласен. Возможно я еще вернусь к этой интересной задаче. Чуть усилим: зная два радиуса найдем площадь отсеченнного треугольника.

[@lashakupradze1000]

Решил иначе без философии: O' и O центры маленкого и большого круга. В O'AOB противапаложные углы дают в сумме 180 и можно описать окружность, которая будет и для треугольников описанной: OAO'=OBO'=90 ; AOB=45; AO'B=135; Итогом теоремы синусов диаметр описанного круга: 2R=AB/sinAOB=O'O/sin90; O'O=41√2-5√2=36√2 ; AB=36

[@ВалерійБерезовський-й3с]

При радиусе вписанной окружности 6, такая касательная равна 5и. Можно составить пропорцию и маленькая окружность вообще не нужна.6/5=41/X

[@GeometriaValeriyKazakov]

Думаю, вы заблуждаетесь. Советую читать другие комменты. Если дано R=41, то мы можем проводить такую касательную подр разным углом к стороне квадрата, а значит разной длины. Тогда r будет изменяться. r=5 как раз фиксирует нужную длину касательной. Но мы рады за ваше мнение.

[@ОлегКозловский-о8е]

По свойствам касательных АВ по прямой на 5*2 короче чем через угол. (41*2-5*2)/2= 41-5=36

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

Когда имеются несколько касательных, зачастую можно найти несколько пар равных прямоугольных треугольников: AC = b; BC = a; AB = c; a + b - c = 10 (радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник); c = a + b - 10; AK = AF (из свойств касательной и равенства ΔOAK = ΔOAF по гипотенузе и катету) = 41 - b; BM = BF (аналогично, из ΔOBM = ΔOBF) = 41 - a; AB = c = 82 - a - b; 82 - a - b = a + b - 10; 2(a + b) = 92; a + b = 46 и c = 82 - 46 = 36. (!!)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@andreybondarenko1691]

Если r>R(3-2×2^0,5)~=R×0,17, то окружности пересекаются, и задача не имеет смысла. При 41 и 5 всё хорошо, но это следовало проверить!🙃

[@SB-7423]

Около трех часов назад я это всё подробнейшим образом изложил в ответе на вопрос от @sergeybezhenov7174.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@oguzhanbenli]

A - Левый нижний угол= 23-kk(119), B - Левый нижний угол=23+kk(119), kk = квадратный корень

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@andreykolobikhin]

Спасибо, Валерий! - Китайцы сильны, безусловно, но интересно насколько серьёзно в задачах с сопряжениями где есть отдельные элементы выполняющие функции сопряжений. Кстати, их известные дома без гвоздей использовали в деталях собственные части для сопряжений. Вами предложеная задача красива и подталкивает к пересечению окружностей под поиск решения. В подобных решениях есть специфические моменты и наработки где Китай сильнее других. Что указывает на способность лучше уложить вместе провинции и с чем это связано... Этим Китай прекрасен, не будь и тупиковых отклонений. И на фоне чистоты и лаконичности, скорости попадания из одного район в другой, что можно подметить с удовольствием от уникальных отличий таких решений гармонирующих с природой горного побережья, есть и уникальные проблемы. Разумеется Гонгонг, и многие другие города, были выбраны не просто так местными. Это не просто интуитивная штука. Возникает специфическая аура. Эпохальность. Кому-то более свойственная. А тупики приводят к крупным загрязнениям и природным и урбанистическим, ведь решения затрагивают целые крупные части, как и проблемы с ними связанные. Хорошего дня!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересно!

[@andreykolobikhin]

@@GeometriaValeriyKazakov Мир полон решений, гармоний. Везде. Математика и другие науки результируют в труд, но все они произрастают из природы, Валерий. - Потому желаю здоровья и новых свершений! Верных друзей и вечной дружбы!

[@andreykolobikhin]

@@GeometriaValeriyKazakov Мы просто иногда старше чем кажется или младше. Наука позволяет чётче посмотреть на вещи и увидеть неслучайность того что кажется сторонним, проходящим. Случайным. Хаотичным. - Но закономерностей там часто больше чем где-либо. Просто сложность порождает другое отношение. Нельзя хорошо рисовать если рука неуверенно держится. - Это фундамент даже для 2+2=4. Извините за несколько лирическое отступление.

[@АрнольдЕльбиздыкоевич]

👍 сделал вторым способом

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@НиколайГусев-х5ц]

Знающие кое как поймут. Другие просто плюнут.....Зачем тогда разглогольствовать?

[@СвободныйМатематик]

Обозначим лев касательную а прав б По свойству кас к зеленому и к розовому они равны а+б=41-а-5+41-б-5 а+б=72-а-б а+б=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@НиколайГусев-х5ц]

Преподавать не умеет чертить правильно....

[@НиколайГусев-х5ц]

Препод сам себя веселит. Ученики из его черчения ничего не разберут.Надо учить начерталке...

[@АрнольдЕльбиздыкоевич]

@@НиколайГусев-х5ц кучку наложил, полегчало?

[@АлексейПетров-с5ь]

Ещё раз пишу: задача представлена двусмысленно, т.к. между кругами никакого зазора не показано, а он ( зазор) должен быть в явном виде....

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Это же с китайского экзамена!😀

[@GeometriaValeriyKazakov]

Все нормально там с зазором. Увеличьте просто.

[@RescueMe-o7j]

а почему касательная не перпендикулярна радиусу. она бы была под углом 45 на рисунке?

[@АрнольдЕльбиздыкоевич]

Потому что радиус второй окружность слишком мал для этого

[@НиколайГусев-х5ц]

Препод... учись грамотно излагать материал. Дидактическая наука.

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

"В квадрат вписана окружность, к ней проведена касательная, в полученный треугольник вписана окружность." Это текст под видео Вам в помощь. Условия обозачены конкретно, рисуйте как угодно, но чтобы выполнялись условия.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Благодарю за помощь.

[@viktorviktor5820]

Интересно. Решал в уме. Получил 36. Если не ошибся в арифметике. Смотрим. Решил вторым способом.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@АлексейПетров-с5ь]

Из рисунка не видно, что между кругами есть зазор. Он должен быть показан в явном виде. На рисунке же круги сливаются...

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Но касательная явно не под углом 45°, намек понятный.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ролики смотреть н-по геомтерии лучше на ноуте или телевизоре. В решении все четко. Посмотрите. А вообще-то задача дается без чертежа, это вы уже сами там определяете зазор.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Соверешенно верно. У меня на Айфон 13 все предельно ясно видно.

[@arkadytokaev7016]

Если r=R, то АВ = 0, хотя квадратный корень из двух

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@sergeybezhenov7174]

Имеем очередную красивую задачу, имеем очередные аргументированные решения автора (тут следует помнить, что тренеру нужно верить!). Мне, лично, больше импонирует второй вариант, так как выглядит более изящно. Но у меня возник другой вопрос, ответ на который, может быть, поможет автору сформулировать другие условия задач: касательная АВ по условию задачи проведена в пределах заданного квадрата размера 2R под произвольным углом ко вписанной в этот квадрат окружности, при этом получился отсекаемый треугольник АВС с заданной величиной радиуса (r) вписанной в него окружности. Показанная автором итоговая формула для нахождения длины отрезка АВ будет работать при любом расположении этого отрезка (как фрагмента касательной). Это понятно. Но как будет меняться величина радиуса (r) в зависимости от угла наклона этой касательной, который может изменяться от нуля до 45 градусов (в предельных случаях)?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Пас на доверие?!

[@sergeybezhenov7174]

Как раз к доверию никаких претензий нет, это просто отсылка на автора для зрителей) А мой вопрос остается в силе. Поясню, откуда он возник. Я пытался найти решение исходной задачи через площади фигур. Запутался… И тут возник вопрос о связи величины радиуса вписанной в отсекаемый треугольник окружности, и размера исходного квадрата. Сам найти решение не могу, думаю помните почему))) Если такая постановка представляет интерес, то буду рад внести свою лепту. @@GeometriaValeriyKazakov

[@SB-7423]

При изменении наклона касательной будет, очевидно, изменяться и радиус малой окружности при прочих равных условиях. Если обозначить абсциссу точки касания к большой окружности х, то для радиуса малой окружности можно получить формулу : r =R∙(R-x)∙(R-√(R^2-x^2))/(x∙√(R^2-x^2)). Данная функция имеет локальный максимум на интервале (0, R). При заданном радиусе R = 41 r(max) = 7.0345 . Абсцисса точки касания при этом 28.9914. В данной задаче r = 5 достигается при х = 13.7706 . Результаты проверены построением точного чертежа. Интересно отметить, что r(max) достигается при наклоне касательной 45°, в этом случае гипотенуза касается и малой и большой окружности в одной точке, т.е. точки Р и F на чертеже автора совпадут! Точным решением задачи нахождения экстремума функции r(х) =R∙(R-x)∙(R-√(R^2-x^2))/(x∙√(R^2-x^2)) является : r(max) = R∙(3 - 2∙√2) при х = R /√2 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Спасибо большое за анализ. @@SB-7423

[@sergeybezhenov7174]

спасибо! т.е. путь через площади был правильным)@@SB-7423

[@АлексейПетров-с5ь]

Задача постаалена некорректно, т.к. задано лишнее условие: второй круг радиусом 5. Повернув квадрат на 45°, получим касательную АВ.. Она, как касательная в двум кругам, яаляется перпендикуляром к диагонали квадрата. Ответ: АВ= 82(✓2-1).😊

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

С чего Вы взяли, что касательная касается двух окружностей в одной точке? Хотя конечно, рисунок мелковат и можно много чего лишнего домыслить.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. ВСе верно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Все там корректно. Решайте, не ищете подвохов.

[@НиколайГусев-х5ц]

Согласен. Точно так.

[@ДмитрийСуворкин-г6ъ]

Еще одно решение через площади kzbin.info/www/bejne/iHSZn6OsoqqVjpY

[@GeometriaValeriyKazakov]

можно