Крутейшая олимпиадная задача и 3 её решения

Мой канал в VK - yellow....
Дан прямоугольник, который поделён на 4 треугольника. Площадь трёх из них известна - это 3, 4 и 5, а площадь четвертого нужно найти.

[@observeroutside1087]

Треугольник 5 перенести влево, чтобы две стороны других треугольников совпали с вертикальной стороной данного треугольника . Получился параллелограмм . Где эта вертикальная сторона стала его высотой . Теперь отсекаем такую же высоту слева. Между высотами прямоугольник, в котором провести горизонталь параллельную горизонтальным сторонам через точку соединения треугольников 3 и 4 . И получили в этом прямоугольнике два прямоугольника. Внизу один над другим , треугольники по 3 и в верхнем - треугольник сложенный-4 . Высота левая разделила верхний треугольник4 на две части и верхняя часть его равна части в прямоугольнике через вертикальный угол…. Таким образом . Параллелограмм- высоты отсекают два треугольника по 5. И в прямоугольнике: сверху вниз верхние две части составляют 4, и две нижние по 3. Итого- 5+5+4+3+3=20- площадь параллелограма и прямоугольника соответственно. Теперь 20- (5+4+3)=8…… надеюсь автор поймет . Всё дело практически в минуте. Не имея возможности передать чертеж , комментатор ограничен в быстрой письменной аргументации🙏

[@victorbogomolov2893]

Красота по нарастающей! Спасибо.

[@alex_de.sign_]

*А я придумал решение чисто из чисел, без уравнений и подобного.* Для начала надо найти площадь всего прямоугольника, для этого нужно знать стороны. Я думал так: если площадь одного из треугольника 5, то значит произведение сторон, умноженное на 0,5 дает 5. Тогда пусть правая сторона прямоугольника будет равна 5, а нижний катет этого треугольника будет 2. ( (5*2)/2 = 5 ). У треугольника с площадью 3 также: пусть левая сторона будет равна 3, значит другой катет будет равен 2. ( (3*2) /2 = 3), остается еще один треугольник: так как вся левая сторона прямоугольника должна быть 5, а в ней уже есть часть равная 3, то значит остальная часть этой стороны будет равна 2. Отсюда следует, что верхняя сторона прямоугольника равна 4 ( (4*2) / 2 = 4). По сторонам самого прямоугольника все верно: боковые грани равны каждая 5, а верхняя и нижняя 4. Площадь всего прямоугольника: 5*4 = 20. Вычитаем все остальные площади (20-5-3-4) и получаем искомый ответ 8.

[@maindimpro2618]

Ты реально решил подбором?

[@chubST]

Все 3 решения свелись к решению одного квадратного уравнения! не порядок, сейчас исправим. Прикол этой задачи в том, что левая сторона делится точкой в соотношении 2:3, а нижняя - пополам. Берём прямоугольник, отмечаем снизу середину, слева точку на 3/5 от низа. Соединяем как на рисунке, обозначаем площадь правого треугольника как 5, тогда площадь левого 5*(3/5)=3, площадь верхнего посчитаем из нижнего 3*(2/3)*2=4, а значит это разбиение совпадает с условием в задаче. Из того что правый треугольник 5 следует что вся площадь 20.

[@РагимАлиев-в2р]

Вот это решение

[@orlangurunbeatable2981]

Это не решение. > левая сторона делится точкой в соотношении 2:3, а нижняя - пополам. С каких таких херов? Зная ответ просто подгоняешь под него иллюстрацию xD

[@AlexeyEvpalov]

Проще всего взять конкретную модель удовлетворяющую условию. Пусть основание прямоугольника 2, а высота 10. Подбором, если нижняя точка посередине, а боковая на высоте 6, то все площади треугольников совпадут. Площадь прямоугольника S=2×10=20, искомая площадь 20-3-4-5=8.

[@orlangurunbeatable2981]

Это не решение, с каких таких херов нижняя точка посередине, а боковая на высоте 6? :D

[@AlexeyEvpalov]

​​@@orlangurunbeatable2981Модель чтобы площади 3,4,5 совпадали. Ответ один для всех прямоугольников, значит для конкретного он тот же.

[@romanapanovich5267]

такое решение требует доказательства, что других случаев нет.

[@emmiak]

Если оформлять в чистовик решение задачи, то первый случай расписан практически полностью, а остальные потребую ещё комментариев, почему какая-то часть равна 8, 10 и т.д. и откуда подобие берётся. Мне было бы лень оформлять и раскрашивать :)

[@Pavel.Maslennikov]

Ну какая-то часть равна 8 и 10 чисто по свойству диагонали в прямоугольном треугольнике. Ну то свойство, где говорится что она делит прямоугольник пополам

[@armanavagyan1876]

Хороший канал думаю когда закончу смотреть все видео ешо 3 раз буду смотреть все видео 🤗

[@ninavoron12]

Товарищ прав, можно превратить в квадрат, сохраняя площади участников. Квадрат с нижней точкой треугольника посредине стороны удовлетворяет всем условиям, значит, тот самый. Площадь его 10+10. А искомая 20-12=8.

[@Леонтий-ю6м]

Представим одну сторону прямоугольника h, а другую а, площадь неизвестной части х. Тогда: ah = 4+5+3+x Теперь можно выразить известные треугольники: b - часть от h, которую забирает себе треугольник с площадью 4, с = часть от а, которую забирает себе треугольник с площадью 3. 10=h(a-c); 8=ab; 6=h(a-b); всё в одной системе. Выражаем из всего этого ah, должно получиться уравнение: (ah)^2-24ah+80=0. Получаем что ah равно или 4, или 20. 4 не подходит, так-как прямоугольник в таком случае меньше треугольник в в нём. Поставляем в итоговое выражение: 20=3+4+5+х. Отсюда х=8

[@observeroutside1087]

2 способ. Провести вертикальную линию через общую точку треугольников 3и 5 . И горизонталь через общую точку треугольников 3 и 4 , причем горизонталь довести только предложенной вертикальной линии. Получается искомый треугольник разбит на треугольники 3 и 5 . треугольник отсеченный вертикальной линией у ттреуг 4 пусть будет х и входит в треугольник 5 равен треугол над треуг 3. Итого вертикальная линия делит искомый треугольник на- слева 5-х+3+х=8 опять таки без чертежа объяснять трудно долго,время несоизмеримо со времени решения задачи 🙏💯🙏

[@Zavikus]

На чем во втором и третьем решении строится утверждение что площадь верхнего прямоугольника равна 8?

[@VTL98]

Там образуется 2 одинаковых треугольника площадью 4

[@Zavikus]

В - внимательность)) слона то я и не заметил

[@АлександрКлючников-щ8щ]

Мудрёная тема... Но мне лично первое решение показалось и понятным, и красивым, и наглядным. Чем остальные решения типа легче и прощё, я вообще не просёк!

[@Evgeny-2718]

Только вот беда! Первое решение буква в букву, слово в слово, обозначения на рисунке и даже их расположение на рисунке беззастенчиво списаны с канала В.В. Казакова! А два остальных списаны с того же канала у подписчиков, тоже добуквенно! Всё-таки гениальное произведение "Двенадцать стульев"! Ильф и Петров описали "застенчивого голубого воришку Альхена" как будто были знакомы с владельцем канала "Этонеуч". Можете легко убедиться.

[@АлександрКлючников-щ8щ]

@@Evgeny-2718 Вполне возможно. Так глубоко не вникаю. А плагиат повсюду... Да и вообще, из последних примерно 20 роликов что-то подобное вроде видел раньше.

[@СтасПапуас-ю1т]

Я тут заметил красоту, что когда решаешь на глазок всё, то всё получается, иначе с другими бы данными было бы всё гораздо дольше, решать адекватным способом. Я вычислил, по правому треугольнику его катет на пофиг (5*2/5). увидел, что слева такую же махинацию можно сделать, потом 4 * 5 = 20. 20-12=8

[@leonidturygin6623]

Второй способ не понял. Откуда берется вывод про половины.?

[@Пытливый-ф4я]

Задачу не решал, но отмечу, что ВСЕГДА можно сжать длину в К раз и увеличить ширину в К раз так, чтобы получился квадрат. При этом значения площадей не изменятся.

[@Пытливый-ф4я]

// Преобразуем прямоугольник в равновеликий квадрат со стороной L! L=(Длина*Ширина)½; Треугольники при этом тоже не меняют их площади. Площадь левого нижнего треугольника s3=1/2*основание*высоту: (L-2*s1/L)*(L-2*s2/L)=2*s3; (L²-2s1)*(L²-2s2)=2s3*L²; L^2=S; (S-2s1)(S-2s2)=S*2s3; S²-2S(s1+s2+s3)+4s1*s2=0; (L-2*4/L)*(L-2*5/L)=2*3; (L²-8)(L²-10)=6L²; (S-8)(S-10)=6S; S²-24S+80=0; S=12+(144-80)½=20; s=20-5-4-3=8; Ответ: s=8 //

[@AlexeiBobrovskii]

А вот это прям хорошо, в итоге всё сводится к тому же квадратному уравнению, но более быстрым путём)

[@Пытливый-ф4я]

@@AlexeiBobrovskii Можно также параллелограм с высотой Н и основанием А заменить на прямоугольник(А,Н), а затем в квадрат. Площади не меняются.

[@ninavoron12]

у такого квадрата нижняя точка лежит посредине, значит, площадь =20, а искомая 20-12=8

[@ЛюбовьСаранчина-п8о]

😢😢

[@АлексейФёдоров-ъ8к]

Чертёж как во втором и третьем случае, но решал через пропорции прямоугольников. (10 - х)/6 = х/(8 - х)

[@z4777]

Сначала пробовал алгеброй, но запутался и в итоге решил тоже через прямоугольники и пропорции

[@Evgeny-2718]

И не морочьте голову подписчикам произведением по диагонали! Это обыкновенная пропорция: отношение площадей прямоугольников с одинаковой шириной равно отношению их высот! (8-х):6=х:(10-х).

[@vopoxof]

Никакого "морочания"! Площадь прямоугольника - это произведение ширины на высоту. У каждой пары смежных (не диагональных) прямоугольников в данном примере есть одна общая либо высота, либо ширина. Произведение площадей одной пары диагонально лежащих прямоугольников - это произведение двух длин и двух высот; произведение площадей второй пары диагонально лежащих прямоугольников - это произведение точно таких же двух длин и двух высот, только порядок расположения множителей другой. А от перестановки множителей произведение не изменяется

[@arbo1219]

Треугольник 4. К1 и К2 - катеты. К1× К2÷2 = 4, откуда К1×К2 = 4×2. Левая часть - произведение катетов, правая часть - численные значения этих катетов: один из них равен 4, другой - 2. Больший из катетов, равный 4, совпадает со стороной прямоугольника /верхней горизонтальной/. Треугольник 5. Аналогично: К1×К2÷2 = 5, К1×К2 = 5×2. Катеты равны 5 и 2.Больший катет совпадает с другой /вертикальной/ стороной прямоугольника. Площадь прямоугольника = 4×5=20, а площадь внутреннего треугольника равна 20 - (3+4+5) = 8

[@БорисЛядов-э9ц]

Все логично и просто

[@Ivan-Matematyk]

Алгебраїчне розв'язання реалізовано надто нераціонально. Краще так: ах=8, ву=10, (в-х)(а-у)=6 =>ав + ху - ах - ву = 6 => ав +ху = 6 + 8 +10 = 24. Множимо отримане рівняння на ав і, враховуючи добуток двох перших рівнянь, отримуємо квадратне рівняння відносно ав. Відповідь до задачі: sqrt((4+5+3)^2 - 4 * 4*5) = 8.

[@madvenet0823gd_GG]

А я вообще сначала подумал, что это стороны большего треугольника потому что он похож на египетский треугольник со сторонами 3 4 5

[@YorikVsemogyshchiy]

Мне тоже показалось, что это стороны треугольника, сижу и думаю: _ну так это же по Герону решается, причём изначально всё дано. А на кой тут вообще прямоугольник?_

[@sergeyvinns931]

Я сразу провёл вертикальную и горизонтальную линии, и получилось, что правая половина от вертикали по площади равна 10, а это 4*2,5, нижний прямоугольник слева имеет площадь 6, а это 4*1,5, значит треугольник с площадью 4 имеет короткую сторону равную 2,5-1,5=1, згначит длинная его сторона равна 8. Площадь большого прямоугольника равна 8*2,5=20. Вычитаем из неё сумму площадей известных треугольников, получаем 20-5-4-3=8. Эта задача не тянет на японскую, так как является частным случаем, когда стороны определяются рациональными числами, которые при масштабировании дают целые числа.

[@n.662]

Почему вы считаете, что получаются правая и левая половины, а не части?

[@Tukdim]

У меня 2 по геометрии в школе было)) а если в центральном треугольнике достроить высоту из нижнего угла? Она разделит центральный на два треугольника, назовем левый и правый... Потом зададимся вопросом о том что левый подобен тому у которого площадь 3, а правый тому где площадь 5.. прикинем что коэффициент подобия равен 1 и вуаля левый 3 плюс правый 5 равно 8... И никакой алгебры... Так пойдет?

[@arbo1219]

Гениально!

[@Kapibara3217]

Но они не подобны

[@maratglashev8041]

2 заметна

[@YorikVsemogyshchiy]

Это как у Эльмира было в одном ролике - _несмотря на то, что решили задание через жопу, ответ получился правильный_ ) Но они не могут быть подобны хотя бы потому, что крайние треугольнички все прямоугольные, а составные искомого - ну как-то не совсем

[@Tukdim]

@@YorikVsemogyshchiy до вас комментаторы улыбали))) вы вызвали панику....

[@daminbekziyatov451]

звук?

[@suleymansen3231]

Разделили на 4прямоуголника. S1(левый верхний)=4, S2(левый нижний)=3×2=6, S3( правый верхний)+S4( правый нижний)=2×5=10. Сумма площадей Sбольшая=4+6+10=20. 20-4 -3-5=8❤

[@НатальяКурбала]

Делим на 4 четырехугольн ка, как в варианте 2 или 3 6×Т=4×(10-Т), 10Т=40, Т=4, т.о. площадь большого прямоугольника 4+4+(10-4)+6=20, а площадь искомого треугольника 20-3-4-5=8

[@АртемВирский]

То, что левая часть верхнего прямоугольника равна 4, это совпадение. В условиях этого нет.

[@СтепанСтолець]

А почему есом мы делим на 4 части наш большой прямоугольник, то почему площа двух маленьких прямоугольников сверху равна восемь Если прямоугольник был 4 сантиметра, там кроме прямоугольника есть ещё маленькая часть от большого

[@ИринаГригорьева-ч3я]

потому что они в сумме равны двум треугольникам площадью 4

[@CrazyMax-tq6ww]

У меня было другое более простое, но не совсем верное решение, такое решение наврядли бы приняли на Олимпиаде Площадь прямоугольного треугольника равна a×b÷2, достроим каждый треугольник до прямоугольника получим прямоугольники с площадами 10, 8 и 6, раз площади этих прямоугольников это произведение двух чисел и в подобных задачах обычно числа везде целые, то какие два целых числа надо умножить, чтобы получить 10, к примеру 2 и 5, скажем что сторона b данного нам прямоугольника равна 5, то сторона a равна 2+ что-то ещё, Берём следующий прямоугольник и повторяем тоже что и с первым, 6=2×3, пусть сторона a данного прямоугольника равна 2+2=4, а 3 пойдёт на вторую стороны b Берём последний прямоугольник 8=4×2, Одна сторона b равна 5, одна сторона a равна 4, вторая сторона b, тогда тоже должна быть равна 5,но она пока равна 3 с чём-то, 5-3=2, и у нас как раз из последнего прямоугольника есть 2,осталась вторая сторона a, она должна быть равна 4, от последнего прямоугольника у нас осталась 4 логично эта 4 пойдет туда и мы получим что a =4, а b=5, 4×5=20 - площадь всего прямоугольника, а отсюда находим площадь нужного нам треугольника - 20-(3+4+5)=20-12=8

[@РудольфПогосян-й6к]

Для начала можно было бы нарисовать соответствующий условию задачи рисунок

[@ЛидияКазанцева-т4ь]

В третьем варианте решения не поняла - зачем S(площадь большого прямоугольника) умножаем на Т(площадь маленького прямоугольника).

[@salavatishikaev3104]

Нижняя сторона прямоугольника делится вершиной треугольника ровно пополам. Доказательство этого факта тоже требует алгебры, но совсем-совсем простенькой (никаких квадратных уравнений), если сделать правильное дополнительное построение. А после этого площадь находится уже вообще в уме. . И надо было сформулировать эту задачу для параллелограмма. Ответ тот же, решения принципиально не отличаются. Но задача становится более олимпиадной, потому что сформулирована для более общего случая.

[@ГульфикПынеходов]

Друг. Напиши доказательство с помощью простейшей алгебры, что нижняя сторона пополам поделена. И это будет самре красивое решение.

[@salavatishikaev3104]

Проведем медиану "вписанного" треугольника из нижней вершины, и обозначим Х площадь каждой половинки треугольника. Через основание медианы проведем прямую, параллельную основанию параллелограмма, появятся два равных треугольника с единичной площадью. Две трапеции на чертеже имеют площади S1=3+X+1 и S2=5+X-1, т.е. их площади равны! Поэтому трапеции являются параллелограммами! Откуда и следует, что нижняя вершина "вписанного" треугольника делит соответствующую сторону ровно пополам. Ну а дальше легко видеть на чертеже, что X+1=5 (и/или X-1=3). И тогда искомая площадь равна 2Х=8 😉

[@TheMorj28]

А нельзя проще!? Я, конечно, понимаю, что может тут так совпало, но если треугольник "4" превратили в прямоугольник "8", треугольник "3" - в "6", а "5" - в "10", не логично ли, что увеличив 4 в 2 раза просто 4 посчитали дважды и просто сразу без всяких букв вычесть 4??? Тогда мы сразу получим 20 из которых надо вычесть (3+4+5) 12 и тоже получить 8 - ??

[@Ильдар-к1н]

Не факт что линия проходящая через треугольник с площадью 4 делит прямоугольник на две равные части => нет, нельзя

[@МатвейВладимиров]

Откуда появилось 6 t??

[@sergeybatyshev5396]

а системой уравнений не проще было?

[@Евгений-й8ш1ж]

Где площадь треугольника 4 видно, что от него отрезали столько же, сколько и прибавили снизу (из равенства треугольников). А значит 4+6+10 - площадь прямоугольника, ну и дальше…. Устно решил

[@Danya_4500]

Можно было не брать 8, так как мы уже взяли 10, получается 4+10+6=s=20. 20-4-5-3=8

[@MrEkokadr]

Почему центральный?Внутренний треуг-к.

[@ТамараВидющенко-о1ц]

"Этому не учат в школе". Вот интересно, где же этому учат? Наверно в ютубе, где авторы перекачивают задачи с решениями из одного канала на другой, даже из иностранных каналов.

[@Ukrainian-22]

А вот откуда взято видео : kzbin.info/www/bejne/bHzCm2d5n5ygjNE

[@ЛюдмилаМорозова-ю7п]

И что? Это интересно и развлекает. Пусть будет больше. Вон сколько одинаковых аудиокнига на разных каналах. И что?

[@Ukrainian-22]

@@ЛюдмилаМорозова-ю7п И что? - Да ничего, за исключением того, что в цивилизованном мире люди уважают друг друга, и указывают первоисточник. Но это не для россиян, так что забудь, ничего не случилось. Выдохни с облегчением, норм для орков.

[@ЛюдмилаМорозова-ю7п]

А орки эту задачу 50лет назад решали, а самой задаче лет от сотворения мира. 😀

[@victorloginovsky1843]

Это всё решения общих случаев. Но здесь подходит частное. Решается в уме без дискриминантов и записей формул, только чертежом как у вас. Линии провели, сверху 8, справа 10, слева 6 - всё верно. Дальше перемножение крест-накрест (6 с чем-то и что-то с чем-то) - любой инженер сразу прикинет подходит 6*4=4*6 - конечно подходит (4+4=8 и 4+6=10). Значит верхний правый кусок равен 4 а весь прямоугольник 20(4+4+6+6). И искомый треугольник 8(20-3-4-5). Всегда решайте задачи как инженеры (раньше типа такое еще могли называть дедовская смекалка), а не школьными способами.

[@victorloginovsky1843]

Меня учили так: если можешь всегда всё решай в уме или прикидывай приблизительный ответ и проверяй его в уме. Не можешь - тогда бери листок и ручку и считай.

[@orlangurunbeatable2981]

Это не решение. Чуть-чуть цифры поменяются - и уже ответ нецелый, а может даже и нерациональный.

[@orlangurunbeatable2981]

И это не дедовская смекалка, а как раз-таки то, как примерно и решали задачи во времена Льва Толстого

[@user-pjz12349]

3й вариант самый интересный

[@panfilovandrey]

Ну первое решение не длиннее второго и третьего, просто ты его полностью расписал, а далее просто знал ответ и подставил. Геометрического решения тут и нет, все алгебраические, просто разные подходы к одной системе. По сути одно и то же решение.

[@strike-strike-strike]

Прогрессия чисел Фибоначчи, вот вам ответ на эту задачу

[@СергейПогуляев-л3и]

Четвёрка не смущает?😅

[@strike-strike-strike]

@@СергейПогуляев-л3и 7 делим пополам. Получаем 3 и 4.Диагональю квадрата 5x5(-1) является 7 и уже потом, прогрессия чисел Фибоначчи продолжают эту цепь. Найдите это решение

[@ІмбіровичДарина]

Я зробила усно способом, подібним до другого, тільки на три прямукутника умовно розбила, але да, суть та сама була

[@peterbyrne6394]

Excellent. Thank you.

[@Pixel_Magic]

Расскажите кто-нибудь по-подробнее про "если разделить прямоугольник на 4 части, то произведения диагональных будут равны". Как называется правильно, может в интернете поищу?

[@Evgeny-2718]

Смотрите мой комментарий выше.

[@Pixel_Magic]

@@Evgeny-2718 спасибо

[@ЭдуардПлоткин-р3л]

Какие сложные способы решения.Прямо как у "Наутилуса": "мерилом работы считают усталость..." Достаточно легко доказать, что нижняя вершина треугольника это середина нижней стороны прямоугольника. S=4×5-(3+4+5)=8

[@ЭдуардПлоткин-р3л]

Можно решить значительно проще.

[@AJFantocii]

Звук есть.

[@indehunt]

Звука нет(((

[@indehunt]

Звук есть)))

[@replays4026]

Ютуб мб залагал

[@theyidina64]

Но тут геометрия..

[@Vasily40]

Горизонтальная сторона - А, вертикальная - Б, площадь внутреннего треугольника - Х. Получаем формулы: 1) А*Б-Х = 3+4+5; 2) 1/2*А*б2 = 4; 3) 1/2*а2*Б = 5; 4) 1/2*а1*б1=3; 5)а1+а2=А, 6) б1+б2 = Б. Решаем систему уравнений.

[@Misha-g3b]

8 кв. ед.

[@ЛилияСуглобова-м1ъ]

Для второго решения недосказано равенство полученных прямоугольников

[@dzhida03ru6]

Это же треугольники образованные диагональю прямоугольника. В любом случае они всегда равны.

[@Newton_777.]

Этот афтар украл решение задачи из другого канала, В.В. Казакова

[@Evgeny-2718]

О том, что он бессовестно ворует РЕШЕНИЯ задач полностью, ничего не меняя, я пишу уже в "сотый раз" , с примерами и ссылками! Даже ошибки повторяет. Никакой реакции, просто "застенчивый голубой воришка Альхен"!

[@Ukrainian-22]

А Казауов спиндил у американца kzbin.info/www/bejne/bHzCm2d5n5ygjNE ПРоклятое НАТО !!! )))

[@--PREMIUM--]

А вот откуда взято видео : kzbin.info/www/bejne/bHzCm2d5n5ygjNE