Олимпиадная задача для 8 класса, которую почти никто не решил

Рет қаралды 32,748

Этому не учат в школе

3 ай бұрын

Найди площадь четырехугольника.
Телеграм "Этому не учат в школе" - t.me/yellow_school

Пікірлер: 26

@AlexeyEvpalov 3 ай бұрын

Высоты опустим на внутренние, начальные отрезки. Тогда 44/22=(33+a)/b и 44/33= (22+b)/a, умножив первое на b, второе на 3a/4, получим ту же систему и Ответ: 85,8

@KapitanNikitin 3 ай бұрын

Отрезки внутренних линий относятся как 2:1 и 3:4. Введя те же а и в, получаем 33+а = 2в. И 3(22+в)=4а. Если в трёх соснах не запутался

@alexey000 3 ай бұрын

Еще как вариант -- соединить точку пересечения внутри треугольника с вершиной и составить уравнение на площади: 44 + 1/3 ABC+ 33/77 ABC = ABC. Откуда ABC=4*231/5 и искомая площадь АВС- 99 = 85.8

@sacredabdulla5698 3 ай бұрын

больно мудрёно. Должен быть путь оптимальнее.

@HalfgildWynac 3 ай бұрын

Оптимальнее или нет - не знаю, но можно расплющить треугольник так, чтобы отрезки пересекались под прямым углом (такое преобразование не изменяет соотношения площадей). Поставить центр координат в точке пересечения, а отрезки взять за оси. Из соотношения площадей получается, что по одной у нас соотношение 4:3, а по другой - 2:1. После этого найти координаты дальней вершины треугольника - если по "осям" отложены 2 и -1 / -4 и 3 (а так отмасштабировать можно), то выйдет точка (36/5 , -14/5). Дальше найти площадь любым удобным способом. С другой стороны... такой способ, может быть, визуально легче представить, но неизменные соотношения площадей, по хорошему, требуют обоснования. Сможет ли восьмиклассник? Более строго было бы выстроить базис, в нём найти координаты вершин. А вот записать площади через соотношения оснований - тут не нужно особо доказывать никакие посторонние факты.

@user-jw9tb9sx2z 3 ай бұрын

Хорошо хоть без тригонометрии обошлось!

@user-zn6fo9hs3g 3 ай бұрын

@@user-jw9tb9sx2zя как-то решал подобную задачу через синусы.

@user-xp6fw9gz8k 3 ай бұрын

Отрезал кусок, примыкающий к 22 и 33. Он 33/2 по площади. Это следует из формулы площади через синус. Оставался искомый треугольник в правом углу. Его площадь можно обозначить как неизвестное (x-33/2). Так же по формуле площади через синус можно найти доли сторон, выходящих из правого угла. Это (x+22)/(x+22+33+44) и (x+33)/(x+22+33+44). Тогда отношение площадей правого треугольника и большого (x-33/2)/(x+99) = (x+22)/(x+99) * (x+33)/(x+99). То есть (x+22)*(x+33) = (x-33/2)*(x+99). Откуда x = 429/5 = 85,8.

@etibar7082 3 ай бұрын

Отлично, простое и понятное решения👍

@LEA_82 2 ай бұрын

В геометрии бывают задачи, у которых якобы есть решение, но когда начинаешь чертить по полученным данным оказывается нет такого треугольника. Утрированный пример: дан равнобедренный прямоугольный треугольник высота 6, основание 10, найти площади треугольника. Невнимательные ученики начнут искать площадь, а на самом деле высота 6 ни как не может быть, она должно равняться 5.

@user-xp6fw9gz8k 3 ай бұрын

Решил вернуцца и написать красивую формулу ответа через исходные данные. Но она таковой не оказалась ... x = 22*33*(2*44+22+33)/(44^2-22*33)

@user-yv5kb6fw1q 2 ай бұрын

Вообще-то это очень даже красивая формула. Просто её надо в буквенных обозначениях писать, и подобрать подходящие обозначения Если обозначить 44 как b, а две другие как a и c, то искомая площадь S = a*с*(2*b + a + c)/(b^2 - a*c)

@Kamaru467 3 ай бұрын

Там 55 я думаюъ

@user-gq8lq8xx1n 3 ай бұрын

Очень красивое решение

@arbo1219 3 ай бұрын

Построим среднюю линию большого 3-угольника. Площадь внутреннего левого 3-угольника равна 22 + 44 = 66. Площадь левого верхнего 3-угольника, опирающегося на среднюю линию, равна 66 ÷ 4 = 16,5. Верхний правый 3-угольник опирается на среднюю линию и, следовательно, подобен исходному правому 3-угольнику. Площадь правого верхнего 3-угольника равна 33. Отношение длин оснований левого и правого верхних 3-угольников, при общей высоте, равно отношению их площадей: 16,5 : 33 = 1 : 2. Это справедливо и для исходных левого и правого 3-угольников. То есть, площадь правого 3-угольника вдвое больше площади левого 3-угольника - 66 × 2 = 132. Проверка : площадь верхних 3-угольников относится к площади исходных 3-угольников, как 1 : 4, т.е. (16,5 + 33) ÷ ( 66 + 132) = 1/4, что и требовалось доказать. Искомая неизвестная площадь "?" равна 132 -- 33 = 99. Поздравляю всех с китайским Новым годом!