Всесоюзная олимпиада школьников по математике 1978 года. Сможешь решить?

[@AlexeyEvpalov]

Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.

[@KSumatokhin]

Можно поподробнее "Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0" ?

[@AlexeyEvpalov]

​@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.

[@KSumatokhin]

@@AlexeyEvpalov, спасибо. Для заинтересовавшихся вот ссылка на урок про схему Горнера kzbin.info/www/bejne/e5WneKmaiLSoeKM

[@andreyl1677]

Спасибо

[@alexq1250]

я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня

[@Alex-z5z]

Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения

[@blackcow1185]

Тоже сразу увидела этот способ

[@ДмитрийМишин-е5и]

При замене х-6=t , получаем после упрощений t(t+2)(t^2+3t+1)=0. Далее дело техники.

[@marklevin3236]

Вспоминается детство Олимпиада в Ташкенте. Да действительно там была эта задача.

[@dinaranechaeva4395]

Лайк сразу, до просмотра, за один только пример на заставке)

[@MrEkokadr]

Запись первой строки недопустима при решении уравнений.Это же учитывается на олимпиадах.

[@kozerog75]

Почему?

[@SergeyUstinenkov]

Ответ Х=6 получается за 1 секунду просто взглянув на задачу. Остальные ответы надо искать.

[@mrgrivify]

Ну, подбери остальные три корня, смешной.

[@SergeyUstinenkov]

@@mrgrivify сам смешной) когда известен один из корней, то уравнение 4 степени превращается в уравнение 3 степени, а это намного легче решать.

[@mrgrivify]

@@SergeyUstinenkov ну да, ну да, кубические же уравнения в уме решаются.

[@Свободныелюди-л6ж]

Как хорошо что я не пошла учиться на физмат А поступила на радиотехнический От этой "голой" математики зачахла бы к окончанию учёбы

[@richardhuling9200]

Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.

[@ВладимирСергеев-м9ю]

А ещё 3 других корня?

[@richardhuling9200]

7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@ВладимирСергеев-м9ю

[@ДартБрызгалов]

@@richardhuling9200 там еще два нецелых корня. Так что подбор поможет упростить, но решать придется. И да, замена x-5 оптимальная

[@mikhaildorservice2343]

Всю жизнь было интересно, кто эти задачи выдумывал

[@LeonidArgail]

Это уровень упражнения повышенной трудности для 8 класса, а не всесоюзной олимпиады.

[@ГлебВершков-р5и]

я пошёл так x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил: t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))

[@ndpsgu]

Немного иначе решал: выразил В и С через А. Но, как я это люболю с детства, традиционно забыл про отрицательные значения при извлечении корня :)

[@ВераКурзина-м1ш]

Сделала замен а=х-6. Затем раскрыла скобки и тд. Можно было без замены, но с заменой коэффициенты меньше.

[@marklevin3236]

Олимпиада была в Ташкенте?

[@BroniVictor1993]

Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x

[@Milesius1989]

х=6 сразу бросается в глаза, а дальше фиг знает, снимаю с паузы, смотрю решение =))

[@Hyyudu]

А мне сначала x=4 бросилось, потом уже 6 пришло. Ну, а с корнями по очевидной причине не так заметно

[@kuprin7176]

И надо надо спорить!

[@Свободныелюди-л6ж]

Зачем четыре значения для х? Что за процесс? Какое то четвертое измерение подключилось?

[@AlexMarkin-w6c]

Уже похожее решение привели ранее в комментариях. Положим a=x-5, тогда многочлен в задаче (a-1)(a+1)(a^2+a-1)=0. (Применение теоремы о рациональных корнях многочлена).

[@usikpa]

На самом деле решать надо, отнимая единицу от (x-6)^3 через разницу кубов

[@MrEkokadr]

Отнять это насильно взять.ВЫЧИТАЯ единицу...

[@MrEkokadr]

Не формулы,а ТОЖДЕСТВА сокращённого умножения!

[@СтаниславСерегин-р4ч]

Получилось разложить на множители (видимо случайно). x-4 выделяется и x-6. Тогда корни: 4, 6, (-3 - корень(5))/2, (-3 + корень(5))/2.

[@ДмитрийМихайлов-и8з]

Нихрена непонятно, но ооочень интересно!!!!😂😂😂

[@ВалентинГорелов-ф2э]

Очевидно, чтобы сумма трёх слагаемых была бы 2, надо чтобы два слагаемых были бы по единице, а третье 0 и это возможно при Х=6

[@ЮрійСлєпцов-х1г]

Там еще есть 3 корня!!!

[@Свободныелюди-л6ж]

​@@ЮрійСлєпцов-х1гда и фиг с ними

[@Свободныелюди-л6ж]

Аааа Кто-то из четвертого измерения четыре раза "просунул" нечто в наше измерение. Расположив это нечто на координатах х

[@evgeniyevgeniy1372]

Почему эта задача олимпиадная? Она же типовая. В основе её нет никакой идеи. Хитро вынести за скобки, сократить и что-нибудь ещё нашаманить может ученик даже с формальным пониманием школьной программы.

[@matematika6383]

Super

[@АлександрМурыч]

А сделать проверку!

[@konstevs]

хм. а как выглядит график этой функции?

[@ВасилийРим-м8й]

Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).

[@konstevs]

Вы ответили на другой вопрос.

[@Юрий-и5з4л]

Один корень вижу. Сейчас поем пельменей и остальные найду, никуда не уходите.

[@FromTskhinval]

красиво)

[@Свободныелюди-л6ж]

Затухающие колебания? Амплитуда отскока мячика от пола? Причем в какой-то момент мячик "завис" и на пол не упал? Улетел в четвертое измерение

[@iwaniwanow6152]

Хорошо, когда у таких уравнений есть целые корни. Рано или поздно они отыщутся. А вот если целых корней нет, то

[@mp443]

Я раскрыл скобки, записал в стандартном виде и нашел корни методом Феррари. Кто сделал иначе, тот не мужик.

[@ИринаГригорьева-ч3я]

Это за какой же класс задача? Простовата для всесоюзной. И решается стандартными методами, которым учили в матем. школах и на олимпиадных кружках.

[@KiritoSun0701]

Согл тоже решил методом подставления за 2 минуты

[@kn-s9616]

Когда рассчитывали дискриминант почему получилось 17 а не 15 мне не понятно. Должно было быть -b а это -1 а не 1.

[@АркдийСедов]

Cреднеарифметической 7+6+5=18/3 =6 x-6=t и дальше все просто

[@ВладимирПлатонов-п8т]

Решил через замену х-5=t. Не было ни одного числа более 10.

[@РоманЕфимов-ф2ц]

Решил через подбор и логики. Секунд за 5

[@СаидЮсифов-к1щ]

Подбери 3 корня за 5 секунд

[@viktor-kolyadenko]

Сразу подбираем x=6, делим многочлен 4й степени до 3й степени :)

[@roden2208]

Главный вопрос, ответьте пожалуйста! Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...

[@kozerog75]

Если ты сам придумывал уравнение, никаких гарантий что оно решаемо школьными методами нет.

[@roden2208]

@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?

[@kozerog75]

@roden2208, Никакого алгоритма нет. Просто перебираешь известные тебе приём и методы.

[@ТимурАминев-ч7у]

@@roden2208 если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (+-). А если нет, то сделай, чтобы были))

[@alexkolosov9684]

Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет". Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами. А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма: 1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4 2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет 3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1 4. все идеи исчерпаны => п. 5 5. ищем решение (в задачнике, в Интернете) 6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8 7. победа! 8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже. Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)

[@budarin1836]

Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2. Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0 Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем t(t+2)(t^2+3t+1)=0 Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео

[@kozerog75]

Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...

[@biotel]

Всего 5 значений x? Надо формально ответ записывать

[@VoV4eK88]

Почему 5? Четыре

[@mrgrivify]

Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней

[@ФаритДаминов-к1л]

А ты учел что придется решать уравнение в четвертой степени ?

[@mrgrivify]

@@ФаритДаминов-к1л прикинь, я его даже решил, и не я один естественно, попробуй, потом расскажешь как успехи.

[@sach2323]

без расчета 6? смотрим видео

[@dudmax11]

По видом математики раскручивает миф о лучшем советском образовании) Чьи там уши точат?)

[@yuriandropov9462]

Ошибка на пятой линии .х-6 общий множитель в трёх слагаемых.

[@ЛавриченкоНиколай]

Какой ещё дискриминант, теорема Виета. Корень 6 был угадан на второй секунде просмотра.

[@ЮрійСлєпцов-х1г]

Когда кони иррациональный, по теореме виета решить невозможно, либо дискриминант, либо выделыть полный квадрат!!!

[@АндрейКузнецов-х5н3т]

Это же всесоюзная олимпиада, а не обычный урок в сельской школе

[@__.7280]

Я голову сломал.

[@ВладА4-ы9ш]

Инаданадаспорить!

[@Mordorian_Orque]

t=x-6, так проще

[@euor800]

x=6 => (-1)^2+0+1^4=2

[@kranik1]

Теорема Виета рулит

[@sak87399]

Лучше замена х-6

[@алексейсапронов-т3д]

а проверка?. неуд

[@ВладимирКлимов-я5н]

Я не понимаю.Плохо учился. Как у икса могут быть разные значения? Ведь икс это одно нетзвестное число.Я даже не знаю как зделать проверочное решение.

[@Chasovskikh_Ivan]

Например: x²=4 Какое тут число скрывается под иксом? Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4 Но тут верен и ответ -2! (-2)²=-2×(-2)=4 Минусы уходят остаётся плюс. x1=2 x2=-2 И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.

[@Свободныелюди-л6ж]

​@@Chasovskikh_Ivanпотому что "голая" алгебра ничего не обясняет

[@ВасилийСорокин-ю1с]

4- не корень! Вы бы хоть подставляли корни в исходное уравнение, горе - решальщик.

[@Bumsik777]

Удивишься, если подставить равенство верно.

[@eduardionovich4425]

Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!

[@darmasalla8015]

Все правильно, но, извините, "много букф". Достаточно начертить графики трех функций: y= (x-7)^2 y=(x-6)^3 y=(x-5)^4 и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2. Далее методом исключения быстро выходите на решение.

[@alexq1250]

на глаз определите сумму трех функций по графику и что корень (9+sqrt(5))/2? ну и этот метод совсем не похож на то, что предлагает автор.

[@ДенисОпокин-м3э]

Не самое рац.решение, в этих скобках можно и запутаться

[@РустемМухаметшин]

корни 6 и 4 очевидны сразу.

[@starcy_est_chihachevo]

А теперь поставьте 4 в исходное уравнение. Явно не 2 получается.

[@viktorkolyadar495]

Не знаю, как Вы считали, у меня получилось

[@starcy_est_chihachevo]

@@viktorkolyadar495 скорблю о вас

[@1234567qwerification]

9-8+1?

[@denis6705]

Ну целое сочинение расписал а по проще 🙄

[@Stanislav_M]

Профессор вспомогательной школы не умеет решать задачи красиво. Комментарии квалифицированные этого неуча.

[@user-df9yh4ji5q]

конечно лучшее образование! вон самсунг эпл, интел, амд - всё советские высокотехнологичные компании.

[@romanpadalka8532]

Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.

[@user-df9yh4ji5q]

@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!

[@jellowfitser]

@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"

[@Protagonista89]

@@romanpadalka8532 и вдогонку вашему комментарию, пусть вопрошающий поинтересуется, кто проектировал первую альфу для эппловских часов.

[@ДмитрийИванов-б8к9н]

Это же пример 7 класса. Ничего особенного.

[@Стелла-х4б]

Плохо объясняет! Зачем? Сам для себя решаешь? И собой уповаешься! Фуууу

[@yakovsvidunovich-bp5fy]

На олимпиадную задачу не тянет...😏😏😏

[@АндрейПилипюк-з5б]

Интересно, с какого перепугу вы решали квадратное уровнение, когда оно являлось слогаемым

[@metalmetall5386]

Возник тот же вопрос

[@dfbdtrhgwtwd7149]

Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.

[@АнтонТитков-к4р]

Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......

[@artemus7062]

​@@АнтонТитков-к4р его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.

[@dfbdtrhgwtwd7149]

@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.

[@eduardionovich4425]

Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!