🚀🚀🚀 NICHT-LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM CLEVER AUFLÖSEN! | Ähnlich wie in Junior Mathe Olympiaden (IMO)

[@magdaliebtmathe]

*Habt ihr eine ähnlich schöne Rechenaufgabe im Kopf, die ihr gerne mal in einem Video von mir sehen würdet? Dann schickt sie mir supergern! Hier meine Mail - ich freue mich immer total über Inspiration:* [e-mail] PS: Wenn ihr meine Arbeit hier bei YT unterstützen möchtet, schaut euch doch mal die YT-Mitgliedschaft an. kzbin.infojoin Bin sososo dankbar für den Support, den ich über die Mitgliedschaft bekomme 💛. Marlon, Rolf, Jörg, Wolfgang, Eck, Stefan, M, HP, Erich - love you! 😍

[@horstwerner4939]

Bist du im Besitz des Buches Guten Tag Herr Archimedes von Konforowitsch?

[@nucki222]

Ein SUPER Lösungsweg! Ich war auf Substitution programmiert und habe es auf diesen Weg gelöst.

[@murdock5537]

Sehr schöne Aufgabe - und überzeugend gelöst. Ein leicht anderer Ansatz: f(x) = √(4 - x^2) g(x) = 2/x = 2x^(-1) f(x) = g(x) → 4x^2 - x^4 = 4 → k∶= x^2 → (k - 2)^2 = 0 → k = 2 → x = +/-√2 Über df(x)/dx = dg(x)/dx (an den Stellen x = +/-√2) = -1 lässt sich sehr schön zeigen, dass es sich um einen Tangentialpunkt handelt. Alternativer Lösungsansatz: Aus Einheitskreis x^2 +y^2 = r^2 = 4 → x = y = +/-√2, da sin⁡(α)/cos(α) = tan⁡(α) = 1 🙂

[@magdaliebtmathe]

Elegant!!! Das klappt auch! 😍

[@ole6116]

Super logische Erklärung :D, ich muss sagen ich konnte nach etwas überlegen einfach erkennen das Wurzel 2 als Ergebnis rauskommt aber mit Lösungsweg deutlich besser.

[@magdaliebtmathe]

Super gesehen mit der Wurzel. :)) Freut mich megaaa, dass dir mein Lösungsweg gefällt, Ole!

[@Kleermaker1000]

X^2 + Y^2 = 4 und X x Y = 2 => 2XY = X^2 + Y^2 => X^2 - 2XY + Y^2 = 0 => (X - Y)(X - Y) = 0 => X = Y ( und dann natuürlich auch Y = X :) ). Dann gilt für die zweite Gleichung: X^2 = 2 und Y^2 = 2. Dann ist square rt. X^2 = +/- square rt. 2 und auch square rt. Y^2 = +/- square rt. 2. Also, X und Y sind beide +/- square rt. 2. Und das stimmt für beide Gleichungen.

[@goldfing5898]

2:30 kleiner Versprecher, es heißt nicht "plus minus zwei", sondern "plus minus Wurzel aus zwei". Ansonsten genialer Ansatz, auf den ich nicht gekommen bin, obwohl ich sehe, daß beide Gleichungen symmetrisch sind. Ich hätte es standardmäßiger gelöst, d.h. die zweite (einfachere) Gleichung xy = 2 durch Division nach y aufgelöst: y = 2/x und dann in die erste Gleichung eingesetzt: x^2 + (2/x)^2 = 4 x^2 + 4/x^2 = 4 dann mit x^2 durchmultipliziert: x^4 + 4 = 4x^2 dann 4x^2 subtrahiert: x^4 - 4x^2 + 4 = 0 was auf eine biquadratische Gleichung führt. Diese kann man allerdings ebenfalls durch die 2. binomische Formel lösen: (x^2 - 2)^2 = 0 also x^2 - 2 = 0 also x^2 = 2 und damit x = +- sqrt(2) (sqrt = square root = Quadratwurzel) und dann oben eingesetzt: y = 2/x = 2/ (+- sqrt(2)) = +- sqrt(2) Es kommt natürlich dasselbe heraus.

[@magdaliebtmathe]

Ohhhh, es ist jemandem aufgefallen! Ich hab tatsächlich überlegt das Video wegen dem Versprecher neu aufzunehmen 😃😅🙈. Bin da mittlerweile echt (zu?) pingelig mit mir selbst geworden. 🙊🙉 Aber ich wohn ja auf einem Segelboot und da ist das Licht zeitlich sehr begrenzt gut genug für den Greenscreen. Tja, und nach der Aufnahme mit dem Versprecher hat die Sonne beschlossen sich hinter den Wolken zu verkriechen sodass es im Boot zu dunkel für ne zweite Aufnahme war 💁🏽‍♀️. Aber bislang bist du der Erste, dem das Versprecherlein aufgefallen ist. Superduperaufmerksam und präzise wie’s sich für gute Mathematiker gehört. I like!!🧚🏼‍♀️🤍

[@rainerinedinburgh5807]

Raffiniert! Ich bin etwas anders dahingekommen (allerdings weniger schnell). Ich habe sofort den Kreis um den Ursprung mit Radius 2 erkannt, und die zweite Gleichung ist ja eine Hyperbel: y = 2/x. Ich habe eine Skizze vom ersten Quadranten gemacht. Die Hyperbel muss entweder am Kreis vorbeilaufen, oder ihn berühren, oder ihn an zwei Stellen schneiden. Symmetrieüberlegungen sagen uns, dass wenn es zwei Schnittpunkte gibt, sie beiderseits der Geraden y = x liegen müssen, und wenn es ein Berührpunkt ist, dann muss er auf dieser Geraden liegen. Die Schnitt- oder Berührpunkte müssen ja einen Abstand 2 vom Ursprung haben (das ist ja der Radius), und wenn es nur einen solchen Punkt gibt, also eine Berührpunkt, dann muss er die Koordinaten (Wurzel(2),Wurzel(2)) haben. Ausprobieren, fertig! Die negative Lösung entnehmen wir dem dritten Quadranten.

[@magdaliebtmathe]

Hey Rainer! Das ist doch eine tolle elegante Lösung! Viel geometrischer als meine 🙃. Super gemacht!

[@happybaxmann5790]

Wilde Lösung gefällt mir!

[@magdaliebtmathe]

Wild wie ich! Haha! More is about to come! 🦊🦊🦊

[@eisikater1584]

Wurzel aus 2 ist eine meiner Lieblingszahlen. 1,41 bzw. 141% ist nämlich beim Vergrößern der Streckungsfaktor auf die nächste DIN-A-Größe. Bei alten Kopierern musste man den von Hand eingeben. Wer da leichtfertig 2 eingab, konnte eine RIESIGE Überraschung erleben.

[@magdaliebtmathe]

Hey Eisi! Das ist ja witzig, wusste ich gar nicht! Also, dass man das am Kopierer mal eingeben musste 😃😃. Ich finde die Wurzel 2 auch toll. Wie viele Nachkommastellen kannst du auswendig? 🦊

[@eisikater1584]

@@magdaliebtmathe Na, 2 halt. Mehr brauchte man nicht für den Kopierer. :) -- Übrigens, Rechenschieber hatten wir keine mehr, es gab schon Taschenrechner. Die konnten sogar eine (eine!) Zahl zwischenspeichern.

[@ehemalssimehtt3739]

❤ Magda & Magda liebt Mathe ❤

[@magdaliebtmathe]

[@goldfing5898]

Das ist ein Kegelschnitt, nämlich der des Kreises mit Radius 2 um den Ursprung mit der Hyperbel y = 2/x. Das Problem ist symmetrisch , da x und y gleichberechtigt sind und vertauscht werden könnten, ohne daß sich die Lösung ändert. Das sieht man auch bald rechnerisch: Aus xy = 2 folgt 2xy = 4. Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2xy (linke Seite) bzw. 4 (rechte Seite): x^2 - 2xy + y^2 = 0 (x - y)^2 = 0 x - y = 0 x = y Dann einfach y durch x ersetzen in der zweiten Gleichung: x^2 = 2 x = +- sqrt(2) Wegen y = x lauten die Lösungen also (+sqrt(2), +sqrt(2)) und (-sqrt(2), -sqrr(2)). Das sind auch die beiden Schnittpunkte der Kurven.

[@timurkodzov718]

👏👏👏👏👏 Genialer Lösungsweg. Ich habe das leider mit Satz von Vieta gelöst: I) x²+y²=4 II) xy=2 |^2 II)x²y²=4 => z⁴-4z²+4=0 (z²-2)²=0 z²=2 z=±sqrt(2) Also x=sqrt(2) und y=sqrt(2) oder x=-sqrt(2) uns y=-sqrt(2)

[@magdaliebtmathe]

Wieso "leider", Timur? Ist doch auch super schön!

[@timurkodzov718]

@@magdaliebtmathe Danke Magda 😊

[@stevieg1227]

Ich finde das sehr hilfreich wenn die Gleichungen graphisch dargestellt werden. Das macht das Ganze weniger abstrakt.

[@magdaliebtmathe]

Da bin ich ganz bei dir! 😃😃😃

[@m.h.6470]

Ja, die Binomische Formel ist mir auch gleich aufgefallen :) Nettes kleines Gleichungssystem.

[@magdaliebtmathe]

Schöööön, dass es dir gefällt!

[@JoergMelzer]

Habe zunächst Geogebra benutzt und dann die Probe gemacht. Weiter so 💜💜💜

[@magdaliebtmathe]

Bravo Jörg, danke dir! 💜💜💜

[@Waldlaeufer70]

Ich hab's ganz "klassisch" gelöst: Gleichung (II) nach y aufgelöst und in Gleichung (I) eingesetzt. Ergibt dann schlussendlich: x⁴ - 4x² + 4 = 0 mit u = x² substituiert: u² - 4u + 4 = 0 (u - 2)² = 0 u = 2 resubstituiert: x² = 2 x = +-√2 (I) 2 + y² = 4 y = +-√2 (II) +-√2 * y = 2 y = 2/+-√2 = +-√2 Der Trick mit dem Gleichsetzen am Anfang macht's aber schon einfacher.

[@magdaliebtmathe]

Schick! Aber wie du selbst siehst ein bisschen aufwändiger als mein Lösungsweg! 🙂 🙂

[@viktorliehr937]

Ganz genau, so habe ich es auch gemacht . Super!

[@Sloopy1988]

So habe ich auch gerechnet :)

[@eckhardfriauf]

Sehr schöne Jugend-MO-Aufgabe. Wer bereits -- durch Üben, Üben, Üben -- ein Auge für die beiden Funktionen und ihre grafische Umsetzung im Gehirn eingeprägt hat (NB: in welcher Hinrregion eigentlich?), der sieht rasch die Kreisfunktion in der ersten Funktion (x² + y² = 4). Diese kann man freilich auch mit der 3ten binom. Formel umschreiben, so dass y²= 4 - x² = (2 + x)*(2 - x) usw. weiter hilft. Dann sieht man auch x = 0 -> y = 2 und y = - 2 x = -2 -> y = 0 x = 2 -> y = 0 x = √2 -> y = √2 x = -√2 -> y = -√2 Andere Konstellationen|Zahlenpaare mit Taschenrechner?! Magda zeigt den Graph super gut ab 3:00 🙂

[@user-cg7zn8ey5k]

Kegelschnitte, wie schön!!! Gibt's da bald noch mehr Videos?

[@magdaliebtmathe]

Bestimmt! Cool, dass es dir gefällt! :))

[@AB-wo8ev]

Auch sehr clever!

[@magdaliebtmathe]

Danke, mein Lieber! ❤️😍

[@FloPiet]

Ein🧔Vater sitzt mit den 👦Sohn an den Mathe-Hausaufgaben. Sohn: "Wofür brauch ich sowas im späteren Leben?" Vater: "Irgendwann wirst auch du einmal deinen Kindern bei den Hausaufgaben helfen müssen."

[@magdaliebtmathe]

🤣🤣🤣 Der ist gut!

[@Michael-ti9rl]

Ganz so, ist es nicht. Mathe braucht man für die meisten beliebten Studiengänge : Wirtschaft, Ingenieurswissenschaft, Informatik.

[@renesperb]

Es gibt auch eine andere Ueberlegung die sofort zur Lösung führt : das System ist symmetrisch in x und y .Also kann man x = y setzen und bekommt sofort die Antwort x = y =± √2 .

[@magdaliebtmathe]

Genau! Das ist total smart, wenn man es „sieht“. 🦊🦊🦊

[@murdock5537]

Sehr schön! Sieht man so auch beim Einheitskreis.

[@opytmx]

2. Gleichung mit 2 multiplizieren und von der 1. Gleichung abziehen. Daraus folgt: x^2 - 2xy + y^2 = 0. Nach der 2. Bin. Formel muss auch (x - y)^2 = 0 sein, woraus hervorgeht, dass x und y gleich sein müssen. Die einzigen Zahlen, die dafür in Frage kommen sind +/- sqrt(2). Allerdings müssen beide (x und y) positiv oder beide negativ sein. Mit unterschiedlichen Vorzeichen geht es nicht.

[@magdaliebtmathe]

Ganz genau! Super erklärt, super gelöst! Danke dafür! 🙂 🙂

[@mathemitnawid]

Ich habe die 2. Gleichung quadriert, dann den Satz von Vieta verwendet,eine quadratische Gleichung aufgestellt und die Lösungen mit der p-q Formel berechnet. 😊

[@magdaliebtmathe]

Nice, Nawid! Das klappt auch! 🦊

[@Birol731]

Wieder mal eine schöne Frage. Ich habe versucht erstmal über (x+y)²=x²+y²+2xy herauszufinden, (x+y)²=8 brachte mich allerdings auch nicht viel weiter. Also kam ich auf die Idee, x=2/y umzuschreiben und in der ersten Gleichung zu ersetzen: 4/y²+y²=4 daraus folgt: 4+y^(4)=4y², wenn man y²=u definiert bekommt man: u²-4u+4=0, u=2 und y²=2, y=+√2 sowie y=-√2 und x=2/y ergibt x=+√2 und x = -√2 , weil die Multiplikation +2 ergeben muss, wären die Lösungspaare (x;y): (+√2, +√2) und (-√2, -√2) 🤗

[@magdaliebtmathe]

Du bist so fleißig - und das quer durch alle Themen, die mein Kanal zu bieten hat! Supercool! 🤩

[@Birol731]

@@magdaliebtmathe Ja, die Mathematik mit den ganzen Aufgaben, die Du hier anbietest, finde ich sehr spannend und interessant, jede gelöste Aufgabe erzeugt ein Gefühl von Glück und Erfüllung, vielen Dank 🥰🙏

[@reckoner72]

Die 2. Gleichung nach y auflösen und dann in die 1. Gleichung einsetzen klappt auch. Führt aber über x^4 und Substitution, ist daher wohl nicht für jeden machbar.

[@magdaliebtmathe]

Nice! Viele Wege führen nach Rom! 🦊

[@rivenoak]

Wurzel 2 war eigentlich auf Anhieb zu sehen. Keine Ahnung, ob ich die Aufgabe einfach schon mal woanders gesehen habe und die Lösung wusste.... den Sonderfall x+y=x*y mit x=y=2 hat man irgendwie immer im Kopp; diesmal halt mit Quadratzahlen

[@magdaliebtmathe]

Nice!! Das zeugt von Erfahrung - cool!! 😉😉

[@maikbauer3838]

1. Zeile Quadratwurzel ziehen und dann weiterrechnen?

[@magdaliebtmathe]

Hey Maik! Hab ich auch versucht, bin aber nicht gut weitergekommen mit den Ansatz. Du?

[@maikbauer3838]

@@magdaliebtmathe Wurzel; x+y=x*y; -y; x=x; in 2. Zeile einsetzen; x*x=2--->x^2=2; Wurzel ziehen. x^2*x^2=4; 2x^2=4; x^2=2; Wurzel ziehen

[@Nikioko]

x² + y² = 4 xy = 2 (x + y)² = x² + 2xy + y² = 4 + 4 = 8 x + y = ±√8 = ±2√2 x = ±2√2 - y (±2√2 - y)² + y² = 4 8 ∓ 4√2 y + 2y² = 4 y² ∓ 2√2 y + 2 = 0 y = ±√2 ± (√2 - 2) y = ±√2 x = ±2√2 - y x = ±2√2 ∓ y x = ±2√2 ∓ √2 x = ±√2 ⇒ x₁ = - √2 ∧ y₂ = - √2 ∨ x₁ = √2 ∧ y₂ = √2 x und y sind beliebig gegeneinander austauschbar. Da aber x = y, gibt es nur zwei statt vier Lösungen.

[@magdaliebtmathe]

Yippieeeh, supergut gelöst! 🙂 🙂

[@Nikioko]

@@magdaliebtmathe Noch ein schönes Problem mit x und y: Wenn x und y natürliche Zahlen sind, für die gilt: 2x - 4y = 3, was ergibt dann (16^x)/(256^y)? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) keine Lösung

[@hans429]

Fallunterscheidung! X=Y JA dann wurzel 2, nein, dann dein Weg

[@magdaliebtmathe]

😃 Gut!

[@philipkudrna5643]

Die offensichtliche Lösung ist x=sqrt(2) und y=sqrt(2) bzw auch jeweils mit umgekehrtem Vorzeichen. (also x= -sqrt(2) und y= -sqrt(2)). 2+2=4 und sqrt(2)*sqrt(2)=2. (10 sec). Da es nur eine Quadratische Gleichung ist, sollte es wohl auch nicht mehr Lösungen geben. Dann schauen wir uns mal das Video an… Nach dem Video: Die Grafik ist cool!

[@magdaliebtmathe]

Dankeeee, Philip! Demnächst kommen noch ein paar schickere Graphiken 😃. Mit Animationen und so, ist alles gerade in Arbeit - hoffe es wird so cool wie's in meinem Kopf aussieht! 😃

[@ma.fr02]

Wenn man bei Gleichungen radiziert, KEIN Äquivalenzpfeil, sondern nur =>

[@magdaliebtmathe]

Stimmt eigentlich absolut! Normalerweise achte ich drauf 😃🙈. Gelobe Besserung! 🦊

[@ma.fr02]

@@magdaliebtmathe Du hast es auch nur beim ersten Radiziereb vergessen, beim zweiten Mal stimmte es.

[@gunterwinter2749]

Was ist den mit x=1 und Y=2??

[@walter_kunz]

Dann stimmt die erste Gleichung nicht: 1²+2²=1+4=5

[@magdaliebtmathe]

Danke fürs Erklären, Walter! ❤️

[@schmebulock4327]

Hab die aufgabe einfach im kopf gerechnet

[@endsieb]

Du bist so ein kluges Mädchen. 😮

[@magdaliebtmathe]

Ich geb mir Mühe! 😃😍

[@spacefist6685]

GeoGebra ist schon was geiles

[@magdaliebtmathe]

Find ich auch! Wobei die TI nspire iPad-App auch was kann. Zeig ich euch demnächst mal! 🤩

[@Ikosidodekaeder]

1-2 Minuten!? Eher 1-2 Sekunden. Oder bin ich der einzige der das gleich einfach gesehen hat?

[@magdaliebtmathe]

Super! Aber meistens sieht man es erst auf den ersten Blick, wenn man es schon weiß! 🙈😄

[@Ikosidodekaeder]

@@magdaliebtmathe Naja wirklich "wissen" tat ich es nicht. Ich kann aber nicht ausschließen, dass ich diese Aufgabe nicht irgendwann schon mal vor mir hatte.

[@gunterwinter2749]

Nee, ist Unsinn, hab mich verguckt

[@magdaliebtmathe]

😊😊

[@captainnutzlos3816]

Geht grad nich, bin abgelenkt von ihren hupen 😏

[@magdaliebtmathe]

🤣 Zum Glück nicht mein Problem 😆.

[@hansulrichbehner8026]

Liebe Magda, bei der Aufgabe xQuadrat + yQuadrat = 4 bist Du leider auf dem Holzweg gelandet! Die Lösung ist folgendermaßen: YQuadrat = 4 minus XQuadrat. Wir ziehen die Wurzel und erhalten Y = Wurzel von 4 minus X Quadrat. Als graphisches Ergebnis erhalten wir einen Kreis mit dem Radius 2 mit dem Mittelpunkt in (0/0). Somit ergibt sich -2

[@magdaliebtmathe]

Hi Hans-Ulrich! Das klingt gut - über die harmonische Reihe denke ich mal nach! Warum ich auf dem Holzweg gelandet sein soll, weiß ich allerdings nicht. 😅 Die zweite Zeile x*y=2 sorgt doch dafür, dass es nicht unendlich reelle Lösungen gibt, sondern nur zwei... 😃 Sollte ich mich da irren, hat Geogebra sich auch geirrt (ganz am Ende vom Video siehst du die graphische Lösung mit Geogebra).

[@gelbkehlchen]

1.Lösung mit 2. Binomischer Formel: (1) x²+y² = 4 (2) x*y = 2 |*(-2) ⟹ (2a) -2*x*y = -4 (1)+(2a) = (3) ⟹ (3) x²-2*x*y+y² = (x-y)² = 0 |√() ⟹ (3a) x-y = 0 |+y ⟹ (3b) x = y |in (2) eingesetzt, ergibt: (2b) x² = 2 |√() ⟹ (2c) x1/2 = ±√2 |in (3b) eingesetzt, ergibt: (3c) y1/2 = ±√2 2.Lösung mit Substitution: (1) x²+y² = 4 (2) x*y = 2 |/y ⟹ (2a) y = 2/x |in (1) eingesetzt, ergibt: (1a) x²+4/x² = 4 |*x²≠0 wegen (2) x*y = 2 ⟹ (1b) x^4+4 = 4*x² |-4*x² ⟹ (1c) x^4-4*x²+4 = 0 | Ich setze u=x² ⟹ (1d) u²-4*u+4 = 0 | p-q-Formel ⟹ (1e) u1/2 = 2±√(2²-4) = 2 ⟹ (1f) x² = 2 |√() ⟹ (1g) x1/2 = ±√2 |in (2a) ⟹ (2b) y1/2 = 2/±√2 = ±√2