Matemática Fuvest 2014 2ª fase M03

Resolução da questão M03 da Fuvest 2014, 2ª fase. Trata-se de uma questão "clássica", de polinômios. Para resolvê-la é necessário lembrar de dois teoremas: que se os coeficientes do polinômio são reais e que se um complexo é raiz, então o conjugado também é raiz. E que um polinômio pode ser escrito de forma fatorada.

[@LuizaMonteiro-r2t]

Esse vídeo ajudou muito a relembrar a matéria, obrigada!!

[@SpitznamenWOW]

Curto muito suas explicações mas esse exercício é bem mais simples que isso cara. Ótimo vídeo de qualquer maneira! Vou deixar meu pensamento: a) P(x) = 1.(x-r1).(x-r2).(x-r3) P(x) = 1.(x+1).(x-1-αi).(x-1+αi) P(x) = (x+1).[(x-1)-αi)].[(x-1)+αi] ~> diferença de quadrado P(x) = (x+1).[(x-1)²+α²] Pelo teorema do resto, sabe-se que quando x=1, P(x)=8 P(1) = (1+1).[(1-1)²+α²] = 8 2α² = 8 α = 2 pois α>0 O B é consequência da forma fatorada de P(x) ali em cima.

[@matematicafundacao]

Luan, obrigado pela visita. Entendi sua resolução, e o bacana na matemática é que podemos chegar ao resultado de formas diferentes, não é? Agradeço pelo comentário, um abraço. Cesar

[@julianacananea8918]

Valeu pela aula

[@bernardopapadakis]

Muito bom

[@Aizshing]

Ótimo vídeo! Bom trabalho!

[@MilenaLaRubia]

professor eu não poderia usar o teorema do resto no final do primeiro item para calcular o alfa?

[@dlmbarbosa]

poderia, era só fazer q P(1)=8

[@gustavomolina4833]

Pode ser feito muio mais facilmente por Girard devido as raízes complexas sempre se anularem acha-se. e depois na B é só aplicar B Ruffini depois de achar b e c num sistema devido ao resto 8 que ele fala. FUVEST é conceitaiada frenetica!

[@bernardopapadakis]

Sei que fazem 9 anos, mas se por algum motivo você ainda souber resolver isso, tiver tempo e disposição para me explicar com mais detalhes, ficaria agradecido!

[@mestresasori9241]

Professor não daria p EU montar um sistema só substituindo o X pelas raízes no item A?

[@angeelcat2]

Eu fiz de um jeito que você faz a letra a e b ao mesmo tempo hahaha; a) pelo teorema das raízes complexas, em todo polinômio de coeficientes reais, se o complexo é raiz junto a seu conjugado. Então temos as raízes -1, 1+di, 1-di; Por Girard, a soma 1+do+1-di-1=-a; logo, a=-1; Ainda, fazendo p(1)=8 e p(-1)=0, achamos no sistema que b=3 e c=5. Então ficamos com o polinômio x³-x²+3x+5=0, e reduzindo fica x²-2x+5=(x²-2x+1)-(2i)²=(x-1)²-(2i)²=(x-1-2i)(x-1+2i)=0, então as razões complexas são 1±2i. a=2; a b já está respondida, já que é o resultado dá redução por briot ruffini de -1

[@gabrielmoraes8923]

Ágatha Queiroz resolvi igual a vc. Aplicando girard e montando um sistema. A partir disso, achei todos os coeficientes e na b é so fazer briot ruffini

[@elkincampos3804]

Para o item b é só usar o fato de que p(x)=(x+1)*(x^2-2*x+(alpha)^2+1).

[@JoaoPaulo-xy4pq]

Seria possível resolver a questão por sistema ?

[@juliosimplicio]

Nossa, questão trabalhosa levando em conta o tempo de execução e outras matérias para fazer no dia... Mas bacana.

[@thenriquevicentini]

Ao colocar o x em evidencia não ficaria x.(a² - 2) ao invés de x.(a² - 1) ?

[@matematicafundacao]

oi Thiago, observe que há x + xa² -2x, o que resulta xa²-x e daí x(a² - 1) . Obrigado pela pergunta e bons estudos.

[@thenriquevicentini]

Ah sim, perdi esse detalhe, muito obrigado pela resposta Cesar, seu conteúdo é excelente!

[@MegaAlanzika]

É sempre q posso escrever o polínomio p(x) = (x-r1).(x-r2).(x-r3) ?

[@matematicafundacao]

Sim, para um polinômio de grau 3 vc pode! Valeu.

[@12345678910111213796]

Na verdade, não é tão simples. O teorema da fatoração tem mais um fator. Se temos um polinômio de terceiro grau da forma: P(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d Podemos fatora-lo como: P(x)=a.(x-x1)(x-x2)(x-x3) *nao se esqueça de incluir o coeficiente líder “a” como fator sempre. E o número de raízes é sempre igual ao grau do polinômio( se o grau for 4, iremos até o x4...).

[@andreluizdasilva3315]

Na letra a nem precisava dividir, era só fazer P(1)=8

[@deniscastro7524]

Alguém que está no 1 bimestre do 1 ano do Ensino Médio já é capaz de fazer esse exercício?

[@matematicafundacao]

Denis Castro Olá. Vai depender de cada estudante e de sua aptidão para Exatas. Acho difícil, mas não impossível, que um aluno do 1º ano de ensino médio já resolva essa questão, geralmente isso é visto no 2º ou 3º ano. Mas isso vai depender da escola, da matriz curricular, do professor, etc. Obrigado e bons estudos!

[@deniscastro7524]

cesar rosa Entendi. Já estava preocupado , pensei que eu estava ''atrasado''.