Lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung | Herleitung Lösungsformeln

[@linchen1771]

Vielen Dank für dieses tolle Video! Du kannst Themen so gut und anschaulich erklären, das ist einfach unfassbar. Du rettest vielen Studierenden das Unileben. Mach weiter so! :)

[@marcusmeysel2589]

Danke, es ist so herrlich wenn in einem YT Video keine Sekunde mit Eigenwerbung oder sonst was verschwendet wird, sondern es einfach nur um das geht, was im Titel steht! Danke!

[@sunay1676]

pädagogisch und inhaltlich TOP!!!

[@leightonlorenzo3507]

you probably dont give a shit but if you are bored like me during the covid times you can stream all of the new movies and series on InstaFlixxer. Been streaming with my girlfriend recently :)

[@vincenzogael5483]

@Leighton Lorenzo Yea, I have been watching on instaflixxer for months myself :)

[@mateoduke9834]

@Leighton Lorenzo Yup, have been using InstaFlixxer for years myself :)

[@alfonsovance3073]

@Leighton Lorenzo yea, I've been watching on InstaFlixxer for since november myself =)

[@angelobobby4475]

@Leighton Lorenzo Yea, I've been watching on instaflixxer for months myself :)

[@linamuller1370]

Sehr übersichtlich und nachvollziehbar erklärt! Das beste Video, dass ich zur Lösung von Differenzialgleichungen finden konnte! Du hast ein Talent dafür, die Fragen zu beantworten, die sich wahrscheinlich viele Studenten von ihren Dozenten erklärt gewünscht hätten. Dankeschön!

[@AnikaBraut]

Ich schaue deine Videos um die Vorlesungen von Mathe 2 nachzuarbeiten. Eigentlich bin ich immer super unmotiviert, aber du erklärst das so gut, und verständlich, dass ich sogar Spaß dabei habe. Danke für die tollen Erklärungen.

[@theman83744]

Beste Erklärung ich je gesehen habe! Genau wie alle Videos. Bitte mehr DGL Videos und auch partialle!

[@MathePeter]

Geht klar! Steht schon auf der Liste :)

[@jos-jy7lq]

Ja same, war hier voll am verzweifeln... Hatte nie gecheckt warum man überhaupt integriert

[@alexschwind9361]

Bester Mann.Die Energie, die er bei seinen Videos hat nimmt einen wirklich mit.

[@MathePeter]

Schön wenn du meiner guten Laune angesteckt wirst! Viel Spass!

[@jos-jy7lq]

Die Begeisterung mit der du die Betragsstriche auf die andere Seite ziehst ist fast ansteckend xd thanks man

[@lukaspohl689]

du bisch einfach mein Retter

[@MathePeter]

Jederzeit gerne! 😊

[@lorisdemuth374]

Du machst Daniel Jung ganz schön Konkurrenz. Klasse Videos👍

[@cunlinguist4056]

Meiner Meinung nach is Peter um Welten besser (gib dir die Udemy Kurse) die sind großartig.

[@jos-jy7lq]

@@cunlinguist4056 stimm ich zu

[@admiralspyro9722]

Deine Videos sind auf einem Niveau mit denen von Daniel Jung, deine Rhetorik und Tafelbild ist sogar noch besser. Jetzt müssen nur noch die Views und Abonnenten auf einem Niveau mit seinem sein!

[@MathePeter]

Danke Admiral Spiro, oder sollte ich sagen... Kizaru? :D

[@jos-jy7lq]

Stimme ich voll zu

[@MisterPyOne]

@@MathePeter Ich hoffe die views und Abbos kommen in Zukunft.

[@forty4seven46]

Daniel Jung ist im Vergleich zu Mathe Peter eine Null... der kann absolut nichts erklären und verweist in jedem Video auf seine 200 anderen Videos ohne Verlinkung.

[@dtpx778]

Auf einmal macht das ganze Leben wieder Sinn, DANKE :D ! ! !

[@gunrunner110]

Vielen Dank für deine Videos! Ich studiere Chemie und tue mir sehr schwer mit Mathe, da ich es in der Schule habe schleifen lassen. Deine Videos sind eine große Hilfe! Bin dir wirklich dankbar!

[@GGLiEx]

Beste dgl Erklärung auf KZbin ! Danke

[@CrispinGD]

cooler Typ, megagut erklärt, nicht langweilig. Ich glaube du hast verstanden, dass Ingenieure Mathe nur bestehen wollen und nicht detailliert verstehen müssen. Mache auch deinen udemy Kurs - noch besser!

[@Verrain]

Ich glaube du hast nicht verstanden, dass du mit den Videos von Mathepeter Mathe verstanden hast. Mehr zu verstehen ist da nicht. Das hier ist eine allgemeine, analytische Herleitung und gilt somit immer (für lineare DGLs 1. Ordnung). Höher kann mans nicht erklären.

[@King-wx4id]

Wirklich genial erklärt 👌🏼 hab in der Vorlesung nicht viel verstanden, weil nichts erklärt, und keine bsp. gemacht wurden... vielen Dank

[@dreiundelfzig6452]

Warum hörst du schon bei der ersten Ordnung auf 😭 Der Leidensweg beginnt doch erst dort PS: meine Oma findet dich klasse!

[@MathePeter]

Wollte erst mal mit einem Video zum Thema starten, um zu sehen, wie gut das Thema ankommt und wie es nachgefragt wird. Gibt noch sehr viel zu tun :)

[@Tim28259]

@@MathePeter mach mal BITTE damit weiter^^

[@Techtusiast_AT]

@@MathePeter Ich dachte ich hab schon DGL 2. Ordnung auf deinem Kanal gesehen. Wir haben sie gestern verzweifelt gesucht :D

[@updatedotexe]

@@MathePeter Ja, kannst du da bitte weiter machen?

[@farahkisso8181]

Ich hoffe die Nachfrage ist mittlerweile gestiegen 🙏 Die Videos die du machst sind einfach genial 👍❤️

[@Rolexx-hh3zv]

bester Mathe Channel ever :) riesen Dank für die vielen tollen Videos

[@TheCennoxx]

Sehr gut und verständlich erklärt!

[@Kendoka89]

Super Video, jedoch würde ich mich sehr über weitere Videos in dieser Richtung freuen, speziell DGL 2. Ord. . Du erklärst echt super und in einem angenehmen Tempo und setzt nicht auf einmal jedwedes Wissen über das Thema und vorheriges voraus, sondern wiederholst noch kurz ggf. einige Rechengesetze, was ich gut finde, gerade weil manchmal das ein oder andere nicht mehr so präsent ist.

[@MathePeter]

Videos dazu kommen noch!

[@hermannlons8851]

Einfach nur sensationell erklärt, danke

[@captaingenyus843]

Warum versteh ich hier alles in 15 Minuten und in der Vorlesung nach 90 Minuten noch nicht…

[@EliTheBiker]

Kann mich den Kommentaren nur anschließen, ganz toll strukturierte Videos! Höhere Ordnung und Differenzialgleichungssysteme fände ich auch super. PS. Wenn man die Integrationskonstante direkt im Logarithmus schreibt ergibt sich es auch ganz gut :)

[@Jo-tr3ci]

Hey Peter super Video ,Danke . Ich hab eine Frage zu 8:20 wieso ist das minus f(x) ? Hast du bei der Formel von den getrennten Variablen das minus im Exponenten vergessen ? Vielen Dank für die Antwort :-)

[@MathePeter]

Das Bei 8:20 ist ein = Zeichen, kein Minus. Hab nur unsauber geschrieben :) Die Formel selbst richtet sich nach der DGL ganz am Anfang. Wenn du umstellst nach y'=f(x)*y+g(x), dann kommt in der Formel kein Minus im Exponenten vor. Wenn du aber umstellst nach y'+f(x)*y=g(x), dann schon. Ich persönlich mag aber die erste Version lieber. Ein Minus weniger, um das man sich kümmern muss haha.

[@Jo-tr3ci]

@@MathePeter Ah okay, dann ist es mir auch klar. :-) Danke dir für die echt super Videos

[@bahramalizada6438]

Du rettest mein Abi

[@soulintent7052]

Hallo Mathe Peter, ich hoffe du kannst mir erneut helfen: 1) 6:35 warum lassen wir die Konstante variieren ? Was für eine Idee steckt dahinter? Es ist mir klar, dass wenn die Konstante nicht von x abhängt wir die allgemeine Lösung der linearen homogenen DGL berechen. Nur weil wir jetzt partikuläre Lösung haben wollen, multiplizieren wir einfach ein c, welches von x abhängt? Also mir ist die Multiplikation an y_h und die Abhängigkeit des c von x nich nicht ganz klar geworden. Warum multipliziert man? Warum gehen wir davon aus, dass es von x abhängen muss? Der Gedankengang zu diesem Ansatz fehlt mir bzw. kann nicht nachvollziehen und das ist das ausschlaggebende, denn die Schritte danach sind nur ableiten, einsetzen, gleichsetzen und umformen. 2) Bei unserem Beweis wird im Bezug auf lin. hom. DGL 1 Ordnung gesagt: "Der Kern hat die Dimension 1 und besteht aus den Vielfachen von y_h(x):= e^Integral[ p(x) ] dx . 2.1) Als erstes zeigen wir, dass y_h eine Lösung der homogenen linearen DGL y' = p(x)y ist und das kann ich noch nachvollziehen. 2.2) Dann müssen wir zeigen, dass der Kern die Demension 1 hat. Der Ansatz lautet: betrachte F(x):= u(x)*e^ - Integral[ p(x) ] dx mit einer weiteren Lösung u der homogenen linearen DGL. Was ich an dieser Stelle nicht verstehe ist: - Warum ein Minus (siehe 2.2) im Exponenten vor dem Integral steht bzw. woher dieser kommt - Was genau Dimension 1 bedeutet. Ich hoffe du kannst mir helfen und ich wäre dir sehr dankbar dafür. Liebe Grüße

[@MathePeter]

1) Die Methode "Variation der Konstanten" hat sich Lagrange ausgedacht. Er hat wahrscheinlich viel rumprobiert und unglaubliche Gedankengänge gehabt, die wir nur erahnen können aus seinen Tagebüchern. Als er gemerkt hat, dass seine Idee wirklich funktioniert, hat er sich gefragt, ob die Methode allgemeingültig ist. Und ja das ist sie, wie im Video zu sehen ist. Wir greifen im Grunde nur auf die genialen Gedanken eines Genies zu und tun so, als wäre es ganz natürlich das so zu rechnen, weil wir es jetzt wissen, dass wir damit auf eine Lösung kommen. 2) Das Minus im Exponenten kommt nur dann zustanden, wenn du die DGL umschreibst zu y'+p(x)*y=0. Ich persönlich mag es aber im Sinne der Formel lieber schreiben als y'=p(x)*y. Der Kern einer Abbildung ist einfach gesagt nur die Menge aller Nullstellen. Also hier alle Funktionen, die die homogene DGL erfüllen. Bei einer linearen DGL 1. Ordnung kann das nur eine Funktion sein. Bei einer DGL 2. Ordnung hat man dann eine Linearkombination aus 2 Funktionen, etc. Wenn also bei einer linearen DGL 1. Ordnung von einer "weiteren" Lösung die Rede ist, muss man sicher nur zeigen, dass die vermeintlich zweite Lösung identisch mit der ersten ist. Wäre das nicht so und gäbe es eine weitere (linear unabhängige) Lösung, dann hätte der Kern ja nicht mehr die Dimension 1.

[@soulintent7052]

@@MathePeter Hallo Mathe Peter, vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich verstehe den Punkt zwei leider immer noch nicht, denn: 1) Du schreibst y'+p(x)*y=0. Ich denke du meinst y'- p(x)*y=0 und warum sollte man das so umstellen wollen? Ich verstehe den Sinn dahinter nicht. 2) Du sagst: "Ich persönlich mag es aber im Sinne der Formel lieber schreiben als y'=p(x)*y". Wenn ich das aber tue, dann geht mein Beweis nicht auf: F(x) = u(x)*e^Int( p(x) ) dx F'(x) = u'(x)*e^Int(p(x))dx + u(x)*p(x)*e^Int(p(x))dx e^Int(p(x))dx * (u'(x) + u(x)*p(x)) = 0 und das, was in Klammern steht im letzten Schritt wird nicht 0, wegen u'(x) = p(x)*u(x) u'(x) - p(x)*u(x) = 0. Hätte ich ein Minus im Exponenten, dann würde ich dort u'(x) - u(x)*p(x) in den Klammern stehen haben und das ist 0. 3) ich tue mich bei der Ableitung zur Zeit schwer. Wir wollen e^Int( p(x) ) dx ableiten und ich weiß da steckt die Kettenregel drin, was ich nicht verstehe ist dieses p(x), welches an e^Int( p(x) ) dx dran multipliziert wird. Hier ein Beispiel mit Zahlen: f(x) = e^Int(x^2)dx so wäre das laut dem Ansatz, den ich nicht verstehe f ' (x)= x^2 * e^Int(x^2). Die Funktion wurde aber nicht integriert! Es wurde doch einfach die Operation integriere x^2 gesetzt aber das Ergebnis des Integrals steht da noch nicht! Erst, wenn ich das Ergebnis stehen habe, macht es für mich Sinn: f(x) = e^(1/3*x^3) => f ' (x) = x^2 * e^Int(x^2) Das Problem ist, dass nicht alle Funktionen p(x) elementar integrierbar sind, wieso ist es dennoch erlaubt als Ableitung p(x) zu schreiben? Man wird doch in solchen Fällen nie p(x) erreichen, sondern nur eine Annäherung an p(x). Total komisch: ich kenne in manchen Fällen Stammfunktion nicht, weil diese sich nicht elementar berechnen lässt, aber die Ableitung der Stammfunktion kenne ich und das ist p(x). Es ist sogar nicht notwendig eine Stammfunktion zu kennen. Da frage ich mich dann, woher soll ich denn bitte wissen, dass p(x) tatsächlich rauskommt. Ich muss doch irgendwie überprüfen können, ob tatsächlich p(x) rauskommt, indem ich eine bestimmte Funktion ableite.

[@MathePeter]

(1) Ich meine, wenn deine DGL lautet y'=p(x)*y oder y'-p(x)*y=0, dann ist die Lösung y=c*e^Int(p(x)dx). Und wenn sie lautet y'=-p(x)*y oder y'+p(x)*y=0, dann ist die Lösung y=c*e^Int(-p(x)). Da hat jeder seine eigenen Vorlieben, beide Schreibweisen haben ihre Berechtigung. (2) Wenn du die Konstante variieren lässt, wieso soll plötzlich die Ableitung davon Null werden? Setz sowohl die Funktion F=u(x)*e^Int(p(x)dx), als auch ihre Ableitung F'=u'(x)*e^Int(p(x)dx)+u(x)*e^Int(p(x)*dx)*p(x) in die DGL vom Anfang ein. Dann kommt am Ende raus, dass u'(x)=0 und damit u(x)=c eine Konstante sein muss. War aber schon von Anfang an klar, weil bei einer homogenen DGL der partikuläre Anteil wegfällt. Variation der Konstanten bringt also keine neuen Erkenntnisse. Wahrscheinlich war es das, was ihr zeigen solltet. (3) Alle betrachteten Funktionen sind haben als Voraussetzung, dass sie stetig differenzierbar sind. Damit mal ohne Probleme ableiten und integrieren kann. Und da Ableiten das Gegenteil vom integrieren ist, gilt z.B. [Int(x^2dx)]'=x^2. Das Integral und die Ableitung löschen sich aus, über bleibt der Integrand.

[@dezzardhd4070]

Danke für das Video! Sehr verständlich und gut für den Einstieg in Differentialgleichungen. Jetzt müssen nur noch ein paar weitere folgen. Ich muss in der Technischen Mechanik mit Differentialgleichungen arbeiten, aber leider hatte man uns das in Analysis nicht erklärt. Naja... Zum Glück gibt es KZbin und Fachliteratur. :D

[@MathePeter]

Noch ein paar andere Vids sind erst mal geplant, danach gehts mit DGL höherer Ordnungen weiter ;)

[@steffenjohn1921]

Top motiviert und super erklärt! ;-)

[@danieltatarinov4376]

Ich hätte ein paar Fragen zur Herleitung: 1. Woher kommt die Formel y=yh+yp 2. Woher wissen wir, dass wir durch das Abhängigmachen der Konstante c von x jede mögliche g(x) behandeln(falls c(x) überhaupt g(x) ersetzen kann) und damit also c überhaupt von x abhängig machen dürfen in der Behauptung, dass damit das allgemeine y erreicht wird? 3. Warum wird durch das Einsetzen von c(x) gegen Ende der Herleitung aus y im nächsten Ausdruck yp?

[@MathePeter]

Die Aufspaltung in einen homogenen und einen partikulären Lösungsbestandteil liegt am "Superpositionsprinzip": Summen von Lösungen sind weiterhin Lösungen. Die homogene Lösung löst die Gleichung für g(x)=0 und eine partikuläre ist eine von unendlich vielen, die das gestörte System (g(x)≠0) löst. Das ist vergleichbar mit Orts- und Richtungsvektor der Parameterdarstellung von Vektoren. Hier sind die Vektoren unsere Lösungsbestandteile im Vektorraum der Funktionen. Die Variation der Konstanten funktioniert, weil die homogene Lösung die vollständige Basis des Lösungsraums aufspannt. Die Variation der Konstanten macht die Basis "flexibel", um durch das direkte Einbeziehen der Störfunktion eine spezielle Lösung zu finden. Darum wird auch durch das Einsetzen am Ende eine spezielle (partikuläre) Lösung.

[@karlbrinker5228]

Eine Sache ist mir noch unklar. Warum ist jetzt in dem Fall g(x)!=0 der partikuläre Teil nicht die gesamte Lösung, sondern kommt nur dazu? Das verwirrt mich vor allem weil du bei 9:47 y=>yp schreibst. Sonst ist übrigens alles super verständlich. Vielen Dank für diese Video!

[@MathePeter]

Danke dir! Ein Partikel ist ein Teilchen; Eine partikuläre Lösung ist eine kleine Teillösung von unendlich vielen weiteren. Bei 9:47 wird nur ein Ansatz für die partikuläre Lösung getroffen aus der sich eine solche Teillösung berechnen lässt. Die Gesamtheit aller Lösungen bestimmt sich bei linearen DGL durch yh + yp. Das zu beweise ist Aufgabe der Vorlesung, aber gern kann ich dazu auch mal noch ein Video machen.

[@karlbrinker5228]

@@MathePeter Das nochmal ein wenig zu erläutern und zu beweisen, sodass es Normalsterbliche auch verstehen wäre wirklich nett. Echt cool, dass du Kommentare auf so alte Videos beantwortest, vor allem so schnell. Ich glaube ich kenne keinen Kommilitonen, der dich nicht kennt und dem du nicht bereits durch eine Prüfung geholfen hast. Noch mal vielen Dank für deine harte Arbeit!

[@FreedZ]

Deine Videos sind um ein vielfaches besser als alles was man auf KZbin findet! Vermisse die Teile DLGs höherer Ordnung :(

[@MathePeter]

Vielen Dank! Mache erst mal noch was zu Bernoulli DGL und Trennung der Variablen und später auch noch die höheren :)

[@jaromatt3747]

Wie gehe in damit um, wenn noch eine Bedingung wie y(1)=1 gestellt ist? vielen Dank für das video!

[@MathePeter]

Das ist ein Anfangswert. Schau dir mal die Beispielvideos von mir an zu Linearen DGL 1. Ordnung, da ist ein Anfangswertproblem gegeben. Einfach am Ende in die Funktion den x- und den y-Wert einsetzen und nach c umstellen :)

[@НиколайС-л4ы]

Meine Oma fimdet dich klasse! weiterso!

[@MathePeter]

Liebe Grüße an deine Oma :)

[@jos-jy7lq]

Denke das ist eines der höchstes Komplime die man so bekommen kann xd

[@bm-ub6zc]

alle lieben dich!!!!

[@axeln5832]

Frage bei Minute 8:10: Die Ableitung der homogenen DGL wird hier also gleich der Ableitung der inhomogenen DGL gesetzt, aber meinem Verständnis nach müsste die Ableitung der homogenen DGL plus g'(x) der Ableitung der inhomogenen DGL entsprechen, aber dg/dx ist im Normalfall nicht Null. Wo habe ich meinen Denkfehler?

[@MathePeter]

Die Störfunktion g wird nicht abgeleitet, weil sie nicht in yh drin vorkommt. Nur yh wird abgeleitet und in die DGL eingesetzt.

[@konne7714]

sehr stark erklärt! danke!

[@wertzuio2127]

Oh mann, morgen Mittag Mathe Klausur, mal schauen ob mich die TUM trotzdem noch von hinten nimmt, aber das ist echt ne schicke Lösungsformel

[@MathePeter]

Viel Erfolg! Wie ist es gelaufen?

[@wertzuio2127]

@@MathePeter Besser als ich mir je erhofft hätte, auch wenn die Lösungsformel nicht zum Einsatz kam

[@MathePeter]

Hammer!! Starke Leistung, drücke dir die Daumen :)

[@feiwang9892]

total verständlich und prägnant! ausgezeichnet gut! ❤️

[@erikajauregui4318]

Wunderbar Peter!

[@DS_Takuya]

Hammer Video !! Kannst du auch genau so ein Video machen für DGL 2. Ordnung?

[@MathePeter]

Ja wird es auch noch geben :)

[@musabsalihakten8264]

4:56 Wie meinst du das? Also wenn z.b |y|= 4 ist und e^c = 2 ist. Dann erhalte ich -2 ? Und dadurch kann dann mein C zu jeder möglichen negativen Zahl werden? :)

[@MathePeter]

Ja in etwa so ist das gemeint :) |y| heißt ja, dass das y positiv oder auch negativ sein kann. In jedem Fall wird das Ergebnis positiv. Und genau dieses ± kannst du auch die andere Seite bringen, wo es vom c aufgesaugt wird. Somit wird aus "±c (mit c>0)" ein neues "c (mit c>0 oder c

[@jessiepinkman7403]

Ich habe eine Frage zu 6:25 . wenn wir sagen c= e^c . wie kann denn c null sein?

[@MathePeter]

Erst mal ist das ein anderes c. Sowas wie c_2 = e^(c_1). Und die Null kommt erst durch die Fallunterscheidung zustande, weil ja am Anfang auch y=0 die Gleichung löst.

[@prinzvegeta6212]

Sehr geil erklärt :D Vielen Dank

[@barissezer5254]

Warum kann man sagen dass dy/y ln(|y|) ist wenn y eine Funktion ist und nicht einfach eine variable sagen wir y wäre x² dann wäre das integral von 1/x² ja -1/x und nicht ln(x²)

[@MathePeter]

Das Integral von 1/x² ist nur dann gleich -1/x, wenn du nach x integrierst. Hier wird aber die Funktion 1/y nach y integriert und nicht nach x. Das ist das gleich, wie wenn du 1/x nach x integrierst, nur dass die Variable jetzt y heißt und nicht x.

[@barissezer5254]

@@MathePeter ahhh verstehe danke

[@LaserStandard]

Vielleicht kann mir ja einer erklären, warum man die homogene und die partikuläre Lösung miteinander addieren muss, um die Gesamtlösung zu erhalten.

[@MathePeter]

Das wird mit unter dem Namen "Superpositionsprinzip" geführt. Es lässt sich beweisen, dass eine homogene Lösung + eine partikuläre Lösung wieder eine Lösung der inhomogenen DGL ist. Außerdem lässt sich beweisen, dass sich jede Lösung linearer DGL in homogene und partikuläre Lösung aufteilen lässt.

[@devin528]

hallo Peter, Wie kann bei 6:18, c = 0 sein? Wenn wir wissen das c vorher e^c war. Und unser c = 0, dann e^0 = 1 wäre. Vielen Dank schonmal :)

[@MathePeter]

Der Fall c=0 ergibt sich für den Fall, dass y=0 ist. In dem Fall darf nämlich nicht durch y geteilt werden beim Umstellen der DGL.

[@cihathatay9302]

Vielen Dank für die verständliche Erklärungen, wie immer. Sorry, aber ich komme mit einem "Minus" nicht klar, dass es bei dir nicht zu sehen ist. In meinem Unterlagen und Bücher ist ein Minus vor dem e^Integral. Ich weiß, das es sich mit der Vertauschungsregel der Vorzeichen sich ändern kann. Bei der unbestimmtes Integral, wie soll man es erkennen?

[@MathePeter]

Weiß leider nicht, was in eurem Skript steht, sonst könnte ich dir den Zusammenhang erklären. Am Ende funktioniert es aber genauso wie in diesem Video!

[@LebenWerden]

Hallo MathePeter. In einigen Büchern wird der inhomogene Teil als Störfunktion bezeichnet. Was genau wird in einer DGL denn gestört? Linke und Rechte Seite einer DGL sind dann ungleich?

[@MathePeter]

Das ruhende (homogene) System wird gestört. Ich denke das kommt aus der Anwendung. Die Schwingungsgleichung zum Beispiel ist eine lineare DGL 2. Ordnung. Eine freie Schwingung wird modelliert durch eine homogene DGL. Eine erzwungene Schwingung wird modelliert durch die Hinzunahme einer äußeren einwirkenden Kraft und macht sich als Inhomogenität bemerkbar. Dadurch "stört" sie das System.

[@sadikozdemir2438]

besser kann man es nicht erklären. SUPER TYP. Vielen DANK!

[@nicolaspauli9883]

Kleine Frage am Rande: habe ich das richtig verstanden, dass (bei 2min) das integral kein weiteres dx bzw. dy braucht da es ja schon eins besitzt ?

[@MathePeter]

Ganz genau. Auf beiden Seiten wird schon mit den unendlich kleinen Differenzen dx bzw. dy multipliziert. Jetzt werden die kleinen Rechteckflächen noch aufaddiert und gleichgesetzt. Das passiert da im Wesentlichen beim Integrieren. Wenn du es noch mal ausführlich und grafisch veranschaulicht sehen willst, schau dir dazu unbedingt dieses Video an: kzbin.info/www/bejne/Z4CafKGgiadja7c Wie findest du den Übergang von der Summe zum Integral?

[@nicolaspauli9883]

@@MathePeter Vielen Dank ! Ich habe mir das Video angeschaut und finde den Übergang super einleuchtend. Ich habe endlich den Zusammenhang der Schreibweise des Riemann Integrals und dessen Herleitung verstanden. Rein Theoretisch hätte ich ja also anstatt dem Integralzeichen "S" ein Summenzeichen benutzen können von 1 bis unendlich, und später dann die "Grenzen" als Menge für die möglichen x werte definieren können oder ?

[@sooslal6552]

AAAAAAAAAAAAAAAAAlter danke man, ich hab unser halbes Skript durchforstet um mal eine Erklären zu bekommen warum das mit dem C so läuft wie es eben läuft und einfach nichts gefunden. Mega die Hilfe danke.

[@formexhd1974]

Warum steht in formelsammlungen für die homogene Lösung c x e hoch -f(x) ??

[@MathePeter]

Weil in deiner Formelsammlung die DGL lautet y'+f(x)*y=g(x). Anderes Vorzeichen in der DGL = Anderes Vorzeichen in der Lösung.

[@baumwolle1981]

6:46 Was ich da nicht verstehe ist, warum y=c(x)*e^(\int f(x)dx) abgeleitet werden muss. Da kommt doch keine Ableitung mehr vor.

[@MathePeter]

Du willst ja alles in die Ausgangsgleichung einsetzen. Und da kommt die Ableitung y' drin vor. Also leitest du das y(x)=c(x)*e^(\int f(x)dx) einmal nach x ab und setzt es ein zusammen mit dem y selbst.

[@King-wx4id]

Aber eine Frage, wieso macht man einfach so diese Variation von Variablen ? Weil dann behandle ich des ganze ja als Funktion, und damit ist es ja keine Variable mehr oder😅 Mach ich damit einfach des ganze einfach allgemein gültig, und kann somit eben auch Funktionen "als Variable" benutzen?

[@MathePeter]

Dass dieser geniale Weg funktioniert, hat sich Lagrange ausgedacht. Da kommen wir normal Sterblichen nicht einfach so drauf haha. Wenn man aber die Idee einmal hat, lässt sie sich ziemlich beweisen. Kannst du dir vorstellen wie ein Sudoku Rätsel: Das zu lösen ist schwer, eine gegebene Lösung auf Richtigkeit prüfen ist leicht. Das Verfahren zu entwickeln ist wie ein Sudoku Rätsel lösen. Wir haben jetzt nur noch den einfachen Job das fertige Rätsel auf Richtigkeit zu prüfen

[@King-wx4id]

@@MathePeter Ok alles klar👌 man fühlt sich dann immer so dumm😂 aber vielen Dank für die Antwort, und wirklich sehr geniale Videos, hab lange gesucht und viele Seiten durchgelesen und Videos geschaut... Aber du erklärst echt mit Abstand am besten

[@Pphil321]

In meinen Formelbüchern finde ich für die allgemeine homogone Lösung immer das gleiche Ergebnis wie bei dir, allerdings ist dort immer ein Minus vor dem Integral im Exponent... und die inhomogene Lösung ist hier meist nicht als Bruch dargestellt. Kannst du das kurz erläutern mit dem negativem Exponent ?

[@MathePeter]

Ja das ist ein Klassiker an der Stelle: In denen Büchern steht die DGL in der Form y'+f(x)*y=g(x). Bei mir heißt es erst dann f(x), wenn du die Gleichung nach y' umgestellt hast. Hab die Erfahrung gemacht, dass die Leute so weniger Schusselfehler machen, wenn ich einfach sage: "Stell nach y' um". In dem Fall hat das f(x) ein anderes Vorzeichen als in deinen Büchern, Damit auch der Exponent der homogenen Lösung, weshalb in der partikulären steht "*yh".

[@Artakwa-Gaming]

Einfach schön!

[@robingamet2823]

kann man die Formeln auch verwenden, wenn man y^2 hat? in meiner Matheübung haben wir als Beispiel y'=-2xy^2 und dort wird es mit dem Verfahren Trennung der Variablen gelöst

[@MathePeter]

Ein y^2 ist quadratisch und damit nicht mehr linear. Also kannst du auch nicht die Lösungsformeln für lineare DGL nehmen. Hier kannst du aber mit der Trennung der Variablen arbeiten, wie es in deinem Buch steht.

[@ayylmao-rj9rb]

super video, mach weiter so!

[@rilindasi2811]

Schade gibt es keinen Kurs zu DGL! Deine Kurse sind super. Gibt's ein Video zum Exponentialansatz? Danke für Playlist DGL!

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank! Es folgenden in den nächsten Monaten noch Videos dazu und hoffentlich auch mal noch ein Kurs zu Differentialgleichungen! :)

[@tlv1254]

Klasse Video! Genau damit schlage ich mich gerade rum, und lasse mich von schrecklicher Notation verwirren. Eine kurze Frage noch (falls du das jetzt 3 Jahre später noch siehst), die homogene Lösung ohne den konstanten Faktor ist dann der Propagator des homogenen Systems, richtig? Ich frage das, weil mein Prof alle Lösungswege etc. über den Propagator definiert hat, und der wiederum über die Flussfunktion. Schrecklich halt.

[@MathePeter]

Das kann sein. Ich kenne den Begriff nicht im Zusammenhang mit gewöhnlichen DGL. Die Definition musst du in eurem Skript nachschauen, die ist an dieser Stelle hier normalerweise nicht üblich.

[@tlv1254]

@@MathePeter Alles klar, danke für die Antwort! Scheinbar hat mein Prof sich was ganz unangenehmes einfallen lassen.

[@ayadkh2040]

Ich habe Mithilfe deiner Formel viele DGL1. Ordnung lösen können. Bei einer hats leider nicht funktioniert und ich weiss nicht woran das liegen könnte. Kannst du mir bitte helfen zu wissen wieso die Formel da nicht funktioniert . Die DGL lautet: Y‘=2y +x-1 Meine Lösung: f(x)= 2 g(x)= x-1 und halt dann eingesetzt um y rauszubekommen aber ich bekomm was falschen raus für c# 0 also für C = 0 stimmt mein Ergebnis. Nur wenn ich für C was anderes als Null einsetze dann kommt was falsches raus. Bitte um Hilfe !! Danke im Voraus

[@MathePeter]

Freut mich, dass du die Formeln bei so vielen Aufgaben schon umsetzen konntest :) (1) yh = c*e^(∫f(x)dx) = c*e^(2x) (2) yp = yh * ∫g(x)/yh dx = e^(2x) * ∫(x-1)*e^(-2x) dx Hier kannst du die partielle Integration benutzen, schau dir dafür unbedingt mal die DI Methode an: kzbin.info/www/bejne/f4C7nniuq9yZnaM

[@ayadkh2040]

@@MathePeter Danke für die Antwort Ganz am Ende muss e^(-2x) oder denn die ist imm Nenner

[@MathePeter]

Äh ja stimmt, habs noch schnell korrigiert 😅

[@pdashman659]

Danke für die Auffrischung. Bei der partikulären Lösung bist du auf die Integrationskonstante leider nicht eingegangen. Was passiert mit dieser?

[@MathePeter]

"Partikuläre Lösung" steht für "eine Lösung von unendlich vielen". Ich nehme einfach die eine, bei der die Konstante gleich Null ist. Aber machs gern auch mit Integrationskonstante. Wenn du dann alles zusammen fässt und die Konstanten umbenennst, kommst du wieder zum exakt selben Ergebnis.

[@RantixPlays]

Wenn ich ein AWP lösen will und das maximale Existenzintervall bestimmen will nehme ich dann die homogene Lösung oder die partikuläre Lösung oder beides Zusammen?

[@MathePeter]

Immer die gesamte Lösung, also homogen + partikulär.

[@maxinator80ify]

In der Lösungsformel für die spezielle Lösung steht ja auch ein Integral. Bei vielen Beispielen wird da keine Konstante dran gehängt. Wenn man die homogene und die spezielle Lösung addiert wird dann nur die homogene Lösung mit c multipliziert. Was passiert mit der Konstanten, welche eigentlich als Teil der speziellen Lösung addiert werden müsste? Wird sie von *c absorbiert?

[@MathePeter]

Du kannst es auch gern mit Konstante schreiben. Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen kommst du dann auf die gleiche Lösung mit einer anderen Konstante. Nennen wir sie der Einfachheit halber weiterhin C und alles sieht gleich aus. Andere Argumentation: Nimm einfach die eine spezielle Lösung, bei der die Konstante der speziellen Lösung Null wird.

[@Nooneyouknowrightknow]

cool an sich, klappt für das genannte Beispiel auch aber ich hab Probleme, das auf andere anzuwenden wie z.B. y' = -y/x + 1 + x, dort stimmt die Lösung auf die ich immer wieder komme nicht mit der eigentlichen überein (x^2/3+x/2+d/x), mit der ausführlichen Methode für den inhomogenen Part komme ich auf das richtige, was auch Wolframalpha raus hat und was wir im Unterricht hatten also gibt es irgendetwas besonderes zu beachten?

[@MathePeter]

Die Methode hier ist exakt das selbe wie die ausführliche. Nur eben in kurz. Darum kommt auch hier für die partikuläre Lösung das Ergebnis 1/2*x + 1/3*x^2 raus. Vielleicht hast du einen Teil vergessen abzuschreiben oder dich irgendwo verrechnet? yp=1/x* ∫ (1+x)/(1/x) dx = 1/x* ∫ (x+x^2)dx und da kommt tatsächlich das richtige Ergebnis bei raus.

[@illuminit]

@@MathePeter danke für die Antwort^^, muss wohl was falsch gemacht haben ja, mein Mathe-Zusatz-Lehrer kannte sie scheinbar nicht, hat sie aber auch approved und wohl das gleiche rausbekommen, ich werde da auch noch eines Tages durchsteigen, was ich falsch mache. danke für die anderen unglaublich hilfreichen Videos im Übrigen

[@antonnikiforov2033]

Ist der Betrag nicht stetig in den reellen Zahlen? Wozu die Fallunterscheidung?

[@MathePeter]

Ja, die Betragsfunktion ist stetig. Aber warum erspart diese Information die verschiedenen Fälle für y? Wir machen ja die Fallunterscheidung auf, weil wir für die homogene Lösung durch y teilen wollen. Da war noch nicht an den Betrag zu denken.

[@saschavierling8349]

hey Peter, bei mir in der Vorlesung habe ich ein negatives Vorzeichen vor dem integral beim Exponenten der Homogene Lösung. Wie erklärt sich das. Also unser Prof hat es uns so erklärt. danke schonmal !

[@MathePeter]

Wenn die DGL lautet y'=f(x)*y+g(x), dann ist es wie im Video. Wenn du den Term f(x)*y auf die andere Seite ziehst und das negative Vorzeichen in f aufnimmst, dann ändert sich auch in der Lösungsformel das Vorzeichen. Entscheidend ist also, ob du die DGL in die Form y'=f(x)*y+g(x) bringst oder in die Form y'+f(x)*y=g(x)

[@ben-yx1hb]

Warum setzen wir bei der partikulären Lösung nicht f(x)=0?.. wenn man das nämlich auflöst kommen wir auf die Form: y=Integral von g(x), die nicht unserer partikulären Lösung im konkreten entspricht, selbst wenn wir mit yh/yh erweitern.. also woher kommt der Ansatz, dass y=c(x)*e^f(x)dx ist? Trotzdem super Videos zu dem Thema, hat mir echt geholfen.. Nur dieser Punkt ist mir nicht ganz klar

[@MathePeter]

Dass das Integral von g(x) nicht zu einer partikulären Lösung führt, kannst du überprüfen, indem du diese Funktion in die DGL einsetzt. Dann hättest du g(x)=f(x)* ∫g(x) + g(x) -> 0=f(x)* ∫g(x), das wäre nur erfüllt, wenn f(x)=0 oder g(x)=0 ist. Das führt also allgemein nicht auf eine partikuläre Lösung. Und dass der Ansatz "Variation der Konstanten" hier tatsächlich immer zu einer Lösung führt, das ist ein mal wieder ein Geniestreich von Lagrange gewesen. Als Normal-Sterblicher kommt da nicht drauf behaupte ich einfach mal haha. Aber wenn man die Idee einmal hat, ist es spielend einfach sie nachzuvollziehen und zu beweisen.

[@gregorgrex8481]

Ich stolpere noch - nach der Trennung der Variablen - über das Produkt (1/y(x))*dy. Das Ypsilon in Richtung Ypsilon integrieren, wie geht das? Das ergibt doch auch gar keine Fläche, oder? Oder was soll man sich darunter vorstellen?

[@MathePeter]

Geht genauso wie (1/x)*dx zu integrieren, nur mit einem y, statt einem x. Ein Integral ist eh nur in besonderen Fällen eine Fläche :)

[@gregorgrex8481]

@@MathePeter Dankedankeschön. Ja, da habe ich mich verrannt. Aber jetzt klart's auf. Schön :-).

[@j.r.2198]

Hallo Peter, eine Frage zu der Lösungsgleichung y_h: Diese kann man nicht verwenden, wenn ein y^2 in der Gleichung steht oder (z.B. y´=4y^2)? Bzw. kann man die Lösungsgleichung dann verändern?

[@MathePeter]

Genau, Dann ist es nämlich keine lineare DGL mehr. In dem Fall kannst du die Trennung der Variablen verwenden.

[@j.r.2198]

Alles klar. Vielen Dank

[@elhaspidati1130]

Ich liebe dich 😍😍

[@hermannkieling7375]

alles ganz schön. Nur eine Frage: Die Lösung y (homogen) der homogenen Gleichung löst die homogeGleichung. Die partikuläre Lösung y (partikulär) löst als eine Gleichung die inhomogene Gleichung. Wie sieht man ein, dass die zusammenengesetzte Lösung y (gesamt) = y(homogen) + y(partikulär) die inhomogene Gesamt-Lösung ist- NAtürlich könnt man nachrechnen y(gesamt) eingesetzt in die inhomogene Gleichung.... aber gehts auch einfacher? DAnke

[@MathePeter]

Einsetzen ist die schnellste Methode, eine Lösung auf Richtigkeit zu prüfen. Die Begründung ist einfach, dass die homogene Lösung eingesetzt Null ergibt; ist ja die Bedeutung von homogen. Die partikuläre Lösung eingesetzt führt auf die Störfunktion g(x). Darum ergeben y_h + y_p eingesetzt gleich 0 + g(x) = g(x), also die rechte Seite und damit hat man eine wahre Aussage.

[@hermannkieling7375]

@@MathePeter Ich hab die partikuläre Lösung als spezielle Lösung der inhomogenen Dgl verstanden. Weil ja die Herleitung der partik Lösung durch Einsetzen der Konstantenvariation in die inhomogene Dgl entstanden ist. Wenn nun y(homog) die Lösung der homogenen Dgl ist , gilt: y(homog)´ = f(x) y(homog) Wenn nun y(partik) eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl ist, gilt: y(partik)´ = f(x) y(partik) _________________________________ Addiert man beide Zeilen , beachtet dann links, die Summenregel der Differentiation und klammert man rechts f(x) aus, dann ergibt sich auch, dass y(homog) + y(partik) die inhomogenen Dgl erfüllt. PS: bei der homogenen müsste ja noch die Umformung.... f(x)ynach links bringen.... durchgeführt werden. Weil dies aber nie dastand, hats mich irritiert. Vielen Dank für den Einsatz!!!!!!!!! Supi Wenn nun

[@felixbeutin8105]

Hallo Peter in meinem E technik Skript wurde das irgendwie etwas anders erklärt. Kurz gesagt: die partikuläre Lösung wurde als allgemeine Lösung definiert. Kann ich dir das evtl mal zusenden ?

[@MathePeter]

Kannst du mir gern zuschicken. Kann dir aber jetzt schon sagen, dass am Ende das gleiche bei rauskommt. Differentialgleichgungen und Ihre Lösungen sind im allgemeinen ähnlich definiert und haben die gleiche Lösungsstruktur.

[@meemdt7455]

Warum macht man c aufeinaml von x abhängig?

[@MathePeter]

Das ist eine clevere Methode, um die Störfunktion mit einzubeziehen und an eine partikuläre Lösung zu kommen.

[@meemdt7455]

@@MathePeter versteh ich nicht XD , Was hat sich der dude gedacht als er sich das ausgedacht hat. Ist irgendwie nicht intuitiv. Aber trotzdem danke für das Video, etwas klarer jetzt.

[@MathePeter]

War halt ein Genie. Woher soll ich wissen, was in seinem Hirn vorgegangen ist 🤣

[@mohaammadsadat6051]

Unsere Professor hat uns die Formel gegeben mit yh(x)= c * e ^-Gx also = c * e^-integral von g(x) aber bei dir ist halt ohne Minus, was ist der Unterschied

[@MathePeter]

Das liegt daran, dass ihr eine lineare DGL 1. Ordnung definiert habt als y' + f(x)*y = g(x). Wenn der Term "f(x)*y" auf der anderen Seite steht, dann ändert sich auch das Vorzeichen.

[@mohaammadsadat6051]

@@MathePeter ok danke

[@Sebastian-yn6cn]

Die Herleitung für eine homogene DGL finde ich sehr einleuchtend. Allerdings habe ich noch nicht wirklich verstanden, wie man 1. darauf gekommen ist, dass die Lösung einer inhomogenen DGL y = yh + yp ist und zweitens, dass man yp durch "Variation der Konstanten" lösen kann. Hast du da eventuell einen Denkanstoß für mich, wieso das genau funktioniert?

[@MathePeter]

Ja also die Logik ist die gleiche wie bei der Vektorrechnung in der Schule. Um auf die Gesamtheit aller Punkte einer Geraden zu kommen, brauchst du nur einen Ortsvektor (wie hier eine partikuläre Lösung) und einen Richtungsvektor (wie hier die homogene Lösung), der um eine beliebige reelle Zahl skaliert werden kann. Und wie Lagrange auf die Methode "Variation der Konstanten" gekommen ist, kann ich dir nicht sagen. Ich bin aber dankbar für diese Methode 😂

[@LebenWerden]

Hallo MathePeter, kann man nach dieser Methode eine DGL in der f(x) = konstant ist lösen?

[@MathePeter]

Ja klar klar!

[@LebenWerden]

@@MathePeter Was ich noch nicht verstehe ist, warum die Konstante man nicht schreibt, im Integral von g(x)/e hoch ... siehe Minute 9:55

[@MathePeter]

Weil wir nur eine spezielle Lösung brauchen. Ich nehme die mit Konstante k=0.

[@LebenWerden]

@@MathePeter Mit k ≠ 0 hätte man die allgemeine Lösung?

[@MathePeter]

Nein die allgemeine Lösung ist y = yₕ + yₚ, also ALLE homogenen Lösungen + EINE partikuläre. Ich nehme die eine partikuläre mit k=0. Aber gern lass k allgemein, dann kannst du beim Zusammensetzen von y das k (der partikulären Lösung) und c (der homogenen Lösung) zu einem neuen C zusammenfassen. Damit hast du den selben Effekt, als hättest du das k gleich weggelassen. Also sowohl für das Weglassen, als auch für das Stehenlassen gibt es eine Begründung und beides führt zum selben Ergebnis: Das was du im Video siehst.

[@Verrain]

Wieso entfällt die Integrationskonstante, wenn C'(x) integriert wird?

[@MathePeter]

Mehrere Begründungen. Such dir aus, welche dir besser gefällt: (1) Die partikuläre Lösung ist EINE Lösung. Ich nehme die mit Konstante=0. (2) Wenn du die Konstante behältst, dann und alles zusammenfasst, sieht die Lösungsstruktur genauso aus wie wenn du Konstante=0 gewählt hättest, nur mit einem anderen Namen für die Konstante.

[@olivermiller9076]

Sehr gutes Video, allerdings habe ich eine Frage. Wieso sollte man so wie in diesem Video vorgehen, also Trennung der Variablen und anschließend Variation der Konstanten, wenn man es wie im ersten Video dieser Playlist machen könnte, also über die allgemeine Lösung mit der entsprechenden Lösungsformel? Ich schreibe bald Mathe 2, daher ergab sich die Frage. Mit beiden Wegen kommt man ja zur selben Lösung oder ist das Verfahren mit der Trennung der Variablen und Variation der Konstanten für Professoren ``richtiger``? Ich bedanke mich im Voraus für Antworten!

[@MathePeter]

In diesem Video hier werden die Formeln hergeleitet. Das heißt die Formeln zu verwenden bedeutet auch die beiden Methoden "Trennung der Veränderlichen" und auch "Variation der Konstanten" zu nutzen.

[@niroo2781]

Was, wenn y = 0 sein kann im 2. Schritt?

[@MathePeter]

Das ist der Fall, der am Ende die Konstante c=0 liefert. Erst durch diesen Fall kann c tatsächlich alle reellen Werte annehmen.

[@niroo2781]

@ Also c > 0, dann wählen wir die Konstante als e^c Wenn c < 0, dann wählen wir die Konstante als -e^c Und wenn c = 0, dann entspricht das dem Fall, dass y = 0 ist. Also intuitiv wird immer eine Konstante gegeben, und ich muss dann die Konstante irgendwie schlau anpassen

[@MathePeter]

Die 3 beschriebenen Fälle sind richtig zusammengefasst. Damit hast du die Allgemeinheit der Lösungen und weißt, dass c eine beliebige reelle Zahl sein kann. Damit wird auch jedes Anfangswertproblem eindeutig lösbar sein.

[@niroo2781]

@@MathePeter okay cool, danke 💪

[@MathePeter]

Ja genau. Es wird dir ein Anfangswert vorgegeben und du suchst die Konstante, also die eine Funktion, die durch den Punkt hindurchgeht. Wenn du es so konkret aufschreibst, solltest du nur noch die Konstanten unterschiedlich benennen. z.B. c = e^k, falls c>0 und c=-e^k, falls c

[@KidNapPingNo1]

Erstmal fantastisches Video wie immer! VdK konnte ich super verstehen bis auf eine einzige Sache. In den ganzen Übungen im Studium wird die Variation der konstanten angewendet und dann ist die Aufgabe fertig. Das ist aber doch eigentlich nur die partikuläre Lösung. Müsste man nicht nach der Variation der konstanten noch die y_h dazuaddieren? Wird auch in den ganzen Lösungen der Aufgaben nie gemacht. Oder fließt es da irgendwie klammheimlich über dir integrationskonstante mit ein? Würde mich sehr über eine Antwort freuen weil mich das Problem in den Wahnsinn treibt…

[@MathePeter]

Du hast vollkommen Recht. Mit der Variation der Konstanten kriegst du die partikuläre Lösung raus. Und die Gesamtheit aller Lösungen ergibt sich bei linearen DGL über homogene + partikuläre Lösung. Wenn es von eurem Prof vergessen wird, ist das falsch. Ich finds aber auch nicht allzu tragisch, weil er dann einfach voraussetzt, dass ihr das wisst und es beim Berechnen der einzelnen Lösungsbestandteile belässt.

[@Artakwa-Gaming]

Leider dürfen wir in der Klasur nicht den kürzeren Weg, welchen du hier beschreibst bei Trennung der Variablen, benutzen. Wir müssen das ganze durch Substitution und korrekte Integrationsgrenzen aufstellen.

[@MathePeter]

Tut mir echt Leid. Es gibt immer wieder unfähige Dozierende...

[@FelixandFilms]

Kennt jemand dieses Whiteboard? ist das überhaupt ein Whiteboard, oder ist das so eine Wandfarbe auf der man schreiben kann? Würde mich freuen wenn das jemand weiß (ev. auch mit Link) - möchte mir das auch zulegen. LG Felix

[@iExoNz]

hey Peter ich hätte mal eine Frage, wie muss man rechnen, falls sich vor dem dy/dy ein Konstante befindet wie z.B t*dy/dx ?

[@MathePeter]

Einfach durch t teilen und weiter rechnen, wie im Video. Trotzdem auf eine mögliche Fallunterscheidung achten, also nur durch t teilen, wenn t≠0 ist und ob es auch eine Lösung gibt, wenn t=0 wäre.

[@iExoNz]

MathePeter Vielen Dank für die Antwort, bist der beste ❤️

[@boebales1]

Hallo Peter, die Differentialgleichung (e^x+e^-x)y' + (e^x-e^-x)y = (e^x+e^-x)^2 bereitet mir Probleme. die homogene Gleichung yh ist ja in dem Fall c/(coshx)? jedoch komme ich nicht auf die Lösung des inhomogenen teils yp kannst du mir weiterhelfen? der Störterm auf der rechten Seite wird ja zu 2 (coshx)^2 ?

[@MathePeter]

Die DGL lässt sich umschreiben zu 2*cosh(x)*y'+2*sinh(x)*y = 4*cosh^2(x) und weiter zu y'=-tanh(x)*y+4*cosh^2(x). Die homogene Lösung stimmt! Für die partikuläre Lösung einfach die Formel aus dem Video benutzen: yp=yh* ∫g(x)/yh dx. Damit kriegst du yp=1/cosh(x)* ∫2*cosh^2(x)dx. Wenn du jetzt die Umschreibung cosh^2(x)=1/2*(1+cosh(2x)) benutzt, kommst du schnell zur Lösung :)

[@boebales1]

@@MathePeter Danke für die schnelle Antwort! :) Ich habe mit yh= c/coshx bei yp weiter gerechnet und dann kam bei mir irgendetwas komisches raus. Wieso lässt man hier bei der Berechnung von yp die konstante c weg? Bzw. Wie kommt man von 4*cosh^2(x) / (1/cosh(x)) auf die 2*cosh^2(x) im Integral? Ich glaube das ist das eigentliche Problem :D

[@MathePeter]

@@boebales1 Weil sie auch im Nenner des Integrals vorkommt und Konstanten dürfen jederzeit aus dem Integral rausgezogen werden. Die c's kürzen sich einfach weg :)

[@MrEmoKillaaa]

Hi Peter, kannst du auch ein Video zum Runge-Kutta-Verfahren machen? Vielen Dank für all deine Klasse Videos!

[@MathePeter]

Ja na klar :)

[@MrEmoKillaaa]

@@MathePeter top danke dir! Schaffst du das in 2 Wochen? :D Sorry für die freche Anmaßung

[@MathePeter]

Das schaffe ich leider nicht 😂

[@MrEmoKillaaa]

@@MathePeter Haha, ok alles klar. Dann mach dir keinen Stress wegen mir. Danke dir dennoch! Mach auf alle Fälle weiter so, wie du erklärst ist wirklich erstklassig!

[@jop2612]

Danke erstmal für deine Videos! Bis jetzt habe ich damit noch alles verstanden :D Aber die DGLs fallen mir leider sehr schwer. Also in der Theorie versteh ich es eigentlich, aber sobald die Gleichungen etwas komplizierter werden, weiß ich gar nicht mehr, ob sie homogen oder inhomogen ist, bzw. was dann davon die Störfunktion ist und ob ich einfach so das Trennen der Variablen anwenden darf, oder eine homogene + partiklär Lösung benötige. z.b. x' = ((5x²+5x)*cos(t)) / (10x+5) ist die Störfunktion dann (5x²+5x)/(10x+5) und muss ich diesen Teil dann einfach weglassen zum Trennen der Variablen und dann nur für die Partikulärelösung berücksichtigen? Es verwirrt mich irgendwie auch, dass bei uns die Bezeichnung anders ist, also mit x(t)... Wäre sehr dankbar, wenn du, oder jemand anderer in den Kommentaren, mir helfen könnte :)

[@MathePeter]

Ich kann verstehen was du meinst, ging mir am Anfang auch so. Bei deinem Beispiel heißt die Funktion x und die Variable t. Wenn das x nur linear vorkommt, dann hast du eine Lineare DGL und kannst in homogen&partikulär unterscheiden und die Lösungsformeln benutzen. Bei dir kommt das x mit einem Quadrat vor. x^2 ist nicht linear. Darum gibt hier sowas wie homogen und partikulär nicht. Einfachster Fall wäre hier Trennung der Veränderlichen oder du musst eine seltsame Substitution durchführen, weil du einen Spezialfall hast. Deine Aufgabe lässt sich sehr einfach mit Trennung der Veränderlichen lösen, weil die Funktion x und die Variable t sich multiplikativ trennen lassen. Alles x auf die linke Seite und alles t auf die rechte Seite. Sieht nach einer Partialbruchzerlegung aus, die du dann noch durchführen musst.

[@jop2612]

@@MathePeter Wow, vielen vielen Dank für deine schnelle und hilfreiche Antwort! Ich konnte das Beispiel jetzt fast lösen: ich habe Trennen der Variablen gemacht und dann integriert: integral von (10x+5)/(5x²+5x)dx = integral von cos(t)dt -> ln(|x²+x|) = sin(t) + c | exp(..) x²+x = exp(sin(t)+c) eigentlich wäre man hier eh schon fast fertig, man müsste ja nur noch nach x umstellen, aber das hab ich irgendwie nicht mehr geschafft, was mich ärgert. :/ Aber ich habs dann mit einem online-Rechner gemacht ^^ und das richtige Ergebnis ist: x=(-1-sqrt(1+4*exp(sin(t)+c)))/2 oder x=(-1+sqrt(1+4*exp(sin(t)+c)))/2

[@MathePeter]

Sehr gut! Wenn du es selbstständig lösen willst, dann mach das einfach mit der pq-Formel. x^2+x-q=0, wobei q=exp(sin(t)+c)

[@jop2612]

@@MathePeter Achso, PQ Formel. Ich habe viel zu kompliziert gedacht^^ Jetzt hab ich es hingekriegt :D Vielen vieln Danke, wirklich nett von dir, dass du mir geholfen hast (:

[@lostwheels5951]

Das ist wirklich die allgemeine Lösung. Meine Frage wäre, wie ich auf die Ansätze für unterschiedliche Störglieder komme. Z.B. wenn g(x) = const. was beim Ladevorgang eines Kondensators AWP = U0 entspricht. Hier komme ich auf eine "allgemeine Lösung" y(x) = C1 + C2* exp(-1/tau * t). Für das AWP ist C1= -U0 und C2= U0 folgt U(t)= U0*(1- exp(-t/tau)). Bei g(x) = x² benutzen einige für yp(x) = a.x² + bx + c als Ansatz. Die Frage ist warum so viele unterschiedliche Ansätze existieren, wenn mit deiner Herleitung alles erschlagen werden kann ? Bitte um Antwort. (Keine Ahnung warum YT das durchstreicht)

[@MathePeter]

Bei linearen DGL 1. Ordnung brauchst du keine Ansätze, sondern kannst sofort lösen. Ansatzfunktionen sind bei höheren DGL praktisch, wo es um die Summe von Störfunktionen geht.

[@Marco_Lucca]

Die Krönung

[@ahmadalnabulsi3421]

Vielen Dank

[@Sebastian-vj7mw]

Danke

[@shadowonthewall1892]

heirate mich!

[@surferjo4581]

unfassbar, die schuppen fallen von meinen augen

[@yoshibar2536]

Wenn c=e^c, kann c trotzdem nicht null sein. Eine bessere Erklärung wäre, dass, wenn y=0, die Lösung ohnehin trivial ist. Täusche ich mich da? Deine Erklärung kommt mir wie ein Zirkelschluss vor.

[@MathePeter]

Genau das wird doch in 4:19 im Abschnitt "Konstante c" erklärt. Du solltest dir erst mal ein Video zu Ende anschauen, bevor du rumnörgelst. Kommt alles im Video vor...

[@yoshibar2536]

@@MathePeter Ich wollte in keiner Weise respektlos sein. Wahrscheinlich habe ich es einfach nur nicht begriffen. Ich schätze dich und deine Videos sehr und bedanke mich dafür, dass du diese machst. Tut mir leid für meine unglückliche Formulierung.

[@MathePeter]

Sry alles gut, hatte nur einen Schreck gekriegt, dass ichs vergessen hab zu erwähnen. Ist ein wichtiger Punkt, gut dass du dran gedacht hast! Sollen schon Profs beim Beweis vergessen haben 😄

[@amerhk4245]

super gut

[@elgornik451]

... und nicht sofort zum Endergebnis kommen möchtest :D

[@MathePeter]

Solls ja Leute geben 😄

[@gregorgrex8481]

bravo!

[@Mika_Gepardi]

Legende

[@LorenoR_Zorrox]

super videos, aber du irritierst mich mit deinem grinsen, fühlt sich an als würdest du mich ausgrinsen, und mir dabei tief in die seele am schauen :D

[@frogtopia8624]

Dieser e-Term ist aber seltsam.

[@MathePeter]

Wieso? 😄