Oraux X-ENS - 17 - Une preuve de Cayley-Hamilton

[@pascalmalle2240]

Merci pour ce magnifique exercice.

[@goveur]

J'adore cette preuve de Cayley, elle est genialissime

[@MathsEtoile]

De la magie noire j'ai juré

[@clementbaillet2298]

une preuve de CH que j’aime bien, c’est celle qui utilise la densité des matrices diagonalisables dans M_n(C)

[@hardcoreelectro31]

Jolie démonstration !

[@guillaumebussinet2493]

Il y a une démonstration aussi pour les matrices à coefficients dans C en utilisant la densité des matrices diagonalisables dans Mn(C) mais par contre la démo est un peu courte

[@nazizismail8229]

Très élégant !

[@twentyc192]

OHHHH C'EST TROP FORT MERCI BEAUCOUP

[@samosamo4019]

C est joli et même elegant. Je pense l idee c est la formule de Cauchy. L inverse c juste la resolvante! C est normal d obtenir zero. C est parfait! Ca fait plaisir. J ai bien aime.

[@sabrelaser7867]

Oui c'est exactement la formule de Cauchy en dimension n appliquée a f(z)=det(zI_n-A). Le (z I_n -A)^-1 est analogue au 1/(z-a) (qui donne f(a) en dim 1) pour ici avoir f(A), A matrice

[@samosamo4019]

@@sabrelaser7867 oui mon ami . Il aurait dû le dire pour motiver la preuve. Les maths sont faciles si on veut Les rendre faciles.

[@MathsEtoile]

Effectivement si on connaît la formule de Cauchy c'est beaucoup plus naturel !

[@nicopb4240]

Sublime

[@killihanma3146]

Quand je l’avais fait en 5/2 j’étais vraiment émerveillé J’ai chassé les démonstrations de ce théorème mdr

[@nicopb4240]

mais frérot je me souviens de toi, je t'ai vu sur le discord de la prépa montes quand je suis arrivé en mpsi, toi tu partais faire MP ailleurs.

[@killihanma3146]

@@nicopb4240 Exactement mec exactement

[@thsand5032]

Pour CH sur C => CH c'est le coup classique de rappeler que CH est en soi une identité polynomiale dans Z[X_ij], et on plongz facilement Z[X_ij] dans C en prenant des z_ij alg independants dans C. Pour ma preuve préférée, c'est une preuve qui formalise chi_M(M) = det(M - MId) = 0. On considère A anneau et M matrice à coefficients dans A. On peut alors considérer l'anneau A[M] - dans cet anneau, on peut montrer que M (en tant qu'élément de A[M]) est une valeur propre de M (en tant que matrice à coefficients dans A < A[M]) sur le A-module (A^n)^n - plus précisément, (a_ij) [e_1, ..., e_n] = [Ae_1, ..., Ae_n] et [e_1,...,e_n] est un vecteur propre de (a_ij)_ij de valeur propre A (ici, le vecteur [e_1,...,e_n] a pour coordonnées des vecteurs de A^n). Il suffit ensuite d'utiliser le fait que si V est un A-module, v appartient à V^n et Mv = av (a élément de A), alors det(M-aId)v = 0, que l'on prouve en écrivant det(M-aId) comme produit de la transposée de la comatrice de M-aId avec M-aId. Dans le cas qui nous intéresse, on obtient que det(M-MId) envoie la base canonique de A^n sur zéro, et est donc nul.

[@holomurphy22]

Cayley-Hamilton est valable sur tout corps K (pas seulement réel ou complexe). En fait, même sur certains anneaux mais ça je l'ai jamais vraiment retenu. Une preuve vraiment rapide pour tout corps K est de montrer que pour tout v dans K^n, le polynôme minimal locale de A en v (c'est le générateur unitaire de l'idéal des polynômes P tels que P(A)v = 0 ; un tel générateur existe car K[X] est principal), noté Q, divise X_A (c'est une condition nécessaire et suffisante pour Cayley-Hamilton). Et ça c'est très facile à voir, en écrivant A dans la base des v, Qv, (Q^2)v, ... on obtient une matrice compagnon de polynome caractéristique Q. Enfin bref la conclusion découle directement.

[@SimoneChoule81]

incroyable

[@kamalbenmarouf3349]

👏👏👏

[@arbustebuste7273]

Une preuve cool est que c'est vrai pour la matrice a_ij = X_{ni+j} dans la cloture algébrique de Z(X_1,...,X_n²), car elle est diagonalisable. Par plongement CH est vrai pour toute matrice à coefficients dans un anneau commutatif unitaire.

[@mathemarthur]

Salut, pourrais-tu revenir sur comment attraper l’inverse d’une matrice avec la série stp?

[@aminaa3973]

Elle est trop bien ta chaine dommage ca fait un peu brouillon sur le papier

[@roquebrune4509]

L'écoute avec un casque est désagréable, peut être régler le son en mono. Merci pour l'exercice

[@MathsEtoile]

A priori ça devrait être réglé dans les vidéos suivantes, n'hésitez pas à me le re-faire savoir si ça n'est toujours pas réglé :)

[@twentyc192]

Si j'ai bien compris, le commentaire de fin C'est parceque si on prends une matrice dans Mn(R) on peut la considérer dans Mn(C) et c'est bon?

[@momom6197]

Oui, mais comment généraliser à des scalaires dans n'importe quel corps commutatif ?

[@sebastiengontard2594]

@@momom6197 l'énoncé n'a pas de sens dans ce cas ("r grand" n'a du sens que lorsque l'on manipule des nombres à signe). De plus, la partie en e^{itheta} n'aurait pas non plus de sens. Je doute donc qu'on puisse adapter une telle preuve à autre chose que R ou C . Remarque au passage sur les corps finis : si on prend un corps fini K à m éléments (forcément une puissance d'un nombre premier mais qu'importe), et que l'on prend une matrice carré de taille au moins m qui possède pour valeurs propres tous les éléments de K (par exemple en prenant pour A la matrice diagonale ayant tous les éléments de K sur sa diagonale), alors, quel que soit un élément b de K, la matrice bI-A n'est pas inversible!

[@DanielFrance81]

@@sebastiengontard2594 Il n'a pas dit qu'on peut faire la même preuve sur tout corps commutatif, mais qu'on peut déduire Cayley-Hamilton sur tout corps commutatif du résultat sur C...

[@sebastiengontard2594]

@@DanielFrance81 ce n'est pas comme cela que j'ai interprété la question d'Amaury mais vous avez piqué ma curiosité : comment déduire du théorème de Cayley Hamilton sur C le théorème de Cayley Hamilton sur un corps commutatif quelconque (par exemple un F_p)?

[@DanielFrance81]

@@sebastiengontard2594 pour F_p : si c'est vrai sur C, c'est vrai sur Z. Ensuite on peut réduire modulo p.

[@benoist13]

1:43 " ... c'est ce terme là" (??)" Je suis toujours étonné de voir la confusion de vocabulaire élémentaire qui existe chez des gens probablement bien plus fort que moi : "c'est ce facteur là" Non ? Définition : deux facteurs sont séparés par une multiplication ou une division.

[@JamesBond-wh6tt]

T'as fumé toi?

[@benoist13]

@@JamesBond-wh6tt Non. pourquoi ?

[@Nathnath_N]

Ya det(XI-A) en substituant X par A dans XI (il faut donc multiplier A par I pris en tant que scalaire pour pouvoir faire la différence matricielle), et après un calcul de déterminant musclé, on arrive au résultat attendu ^^

[@MathsEtoile]

J'ai jamais fait ce calcul, il est assez terrifiant !

[@Nathnath_N]

@@MathsEtoile oui ! j'aimerais bien avoir le temps de l'essayer mais je vais devoir attendre que les concours soient passés (je suis en MP)

[@smoothlitep5309]

Ne fais surtout pas ça aux concours, conseil d'ami 🫠 A est une matrice et X joue le role d'un scalaire dedans. Mon prof de spé t'aurait dégommé haha (Il a pris exactement cet exemple pour nous dire ce qu'il ne faut pas faire et considérer la nature des variables qu'on utilise)

[@JamesBond-wh6tt]

@@smoothlitep5309nan mais en gros ce qu'il voulait faire c'est développer le polynôme puis l'évaluer en A; effectivement si on remplace X par A c'est comme remplacer un scalaire par une matrice, mais si tu développés tout le déterminant pour arriver a un polynôme, tu peux passer à un polynôme de matrice

[@josephmathmusic]

chi_A(A) = det(A-AI) = det(A-A) = 0. 😜

[@soldierboy6722]

J'hésite à faire cette blague lors d'un oral

[@yannld9524]

Ca reste quand même une preuve tout à fait valide, à condition de s'y prendre proprement.

[@chriscoolivan944]

@@yannld9524 non c'est tres faut 🤣. mon prof ma convencu

[@yannld9524]

@@chriscoolivan944 Bon j'avoue j'ai largement exagéré en disant que c'est "tout à fait valide", il faut un peu feinter pour faire fonctionner cette idée, mais c'est possible ! La page wikipedia (fr) du théorème de Cayley Hamilton donne quelques exemples de démonstration

[@chriscoolivan944]

@@yannld9524okay. si tu peut me donner ton mail je t;envoi la preuve qu'il mas donner et je te montre ou il y'a ton erreur

[@k_meleon]

Oh je l'avais dans mon td et j'ai pas réussi x)