Intégrale de 1/(1+t²)² avec changement de variable

[@__-1234]

Je suis toujours fasciné par le fait que l'intégrale d'une fonction qui n'est après tout que l'inverse d'un polynôme de degré 4, fasse apparaître pi

[@MethodeMaths]

Oui on retrouve Pi partout là où on ne l'attend pas !

[@__-1234]

@@MethodeMaths Ce que je ne comprends pas philosophiquement (même si je le comprends mathématiquement), c'est pourquoi l'inverse d'un polynôme ferait apparaître des morceaux de cercles (dont l'aire serait reliée à pi), mais pas pour le même polynôme non inversé.

[@MethodeMaths]

@@__-1234 La dérivée de arctan par exemple est 1/(1+x^2) : la dérivée de fonction trigonométrique comme arctan, arccos etc... font apparaître des polynômes au dénominateur.

[@__-1234]

@@MethodeMaths Oui, oui, je sais, mais je me demande toujours pourquoi l'inverse d'un polynôme est plus "ronde" que le polynôme lui même.

[@MethodeMaths]

@@__-1234 Les mystères des maths ! :D

[@pierrebuatois1290]

felicitations j ai decouvert beaucoup en suivant les explications pas apa

[@TheGmourad]

Super... merci

[@omaewa2539]

Est ce que c'est possible de la calculer avec une decomposition en element simple ?

[@MethodeMaths]

Non malheureusement.

[@louisp640]

Malgré la réponse du prof, que j'adore au passage, je pense que tu peux en effet faire par DES, en développant.

[@ThibaudOU]

@@louisp640 est ce que tu pensais à décomposer la fraction en éléments simples dans C(X) ? Ça nous ferait 4 termes avec des i et des -i au dénominateur, un peu lourd non ?

[@maryvonnedenis6304]

On peut le faire dans les complexes en écrivant d'abord 1/(1+t²) = (1/2i)*(1/(t-i) - 1/(t+i)) puis en élevant au carré puis en intégrant terme à terme..

[@brelbisselo7746]

Non ,le dénominateur ne permet pas de le faire

[@abdoulayekane4993]

merci

[@Novak2611]

On peut ajouter et soustraire t^2 et faire integration par partie, la primitive serait: t/(t^2+1)+arctan(t) le tous divisé par 2

[@oscar5192]

on peut aussi faire +t^2 - t^2 au numérateur et utiliser la linéarité ça donne arctan et une intégrale du type u'/u

[@MethodeMaths]

TU n'auras pas u'/u mais -t^2/(1+t^2)^2...

[@oscar5192]

@@MethodeMaths ah oui autant pour moi 🤦‍♂ ne pas écrire les calculs ça n'aide pas haha merci

[@jeanclaude637]

Super

[@jrfutube2013]

Je ne comprends pas pourquoi vous avez choisi "t" devient "tan(x)" pour résoudre le problème?

[@MethodeMaths]

La dérivée de artcan(t) est 1/(1+t²), c'est ce qui met sur la piste mais généralement ce genre de changement de variable est donné dans l'énoncé.

[@denisb.8068]

Deuxième méthode : On peut aussi l'intégrer en posant t² +1 - t² au numérateur, pour décomposer l'intégrande en deux éléments, dont l'un s'intègre par parties...

[@alvyngadji8495]

C'est exactement ce qu'on a fait nous

[@Valentin-qt8no]

C'est archi dur a voir je trouve mais bon j'arrive pas a voir les changements de variable je préfère cette technique.

[@brelbisselo7746]

Bonne intuition de poser t=tan(x)

[@idearlyotsaghe1846]

On peut introduire une suite et on prouve facilement que cette intégrale vaut ½[x/(1+x²)]+½arctan(x)+k

[@amoskassou4743]

Moi j'avais essayé de poser T=1+ t^2. Quelle est l'erreur dedans

[@MethodeMaths]

La nouvelle intégrale que tu trouves n'est pas simple à calculer.

[@amoskassou4743]

Merci beaucoup je vous suis et j'apprécie vraiment ce que vous faites.. continuer ainsi...vous m'êtes d'une très grande utilité.

[@MethodeMaths]

@@amoskassou4743 Merci ! 🙂

[@CheikhSidiyaIshaq]

Est-ce qu'on aurait pu poser: u=1+t2 et v=1/u ? Et on aurait alors à intégrer v/u ?

[@MethodeMaths]

A quel moment ?

[@touratiaziz5059]

Intéressant

[@maherom1]

Résultat final π/8

[@olivierfinot4594]

π/8+1/4😉avec sin (2x) qui vaut 1 pour x=π/4

[@jeanvandevelde7712]

Je voulais dire : 1/2 + pi/16

[@Ahdgamer5734]

Tisma ?

[@rekiaouhaji4776]

10/10 10/(1+t sin2)sins10

[@YannGogoua]

x= tan ^-1(t)

[@jacquesperio3017]

Au dénominateur, ce n'était pas (1+t^2)^2?

[@m.ldt8]

si mais il simplifie pcq dx=1+t^2dt donc il integre 1+t^2/(1+t^2)^2dt= dt/1+t^2

[@rekiaouhaji4776]

كم ثمنها

[@rekiaouhaji4776]

1}0 = 10/10

[@rekiaouhaji4776]

ادفع في بنك السوسيري

[@franck6873]

Pas sorcier

[@grand-manitou-0-72]

Hello no

[@jeanvandevelde7712]

Il s’est trompé ! 1/2 + pi/8

[@MethodeMaths]

Non le résultat est bon :)