Metodo di eliminazione di Gauss .Risoluzione sistemi lineari

Metodo di eliminazione di Gauss e metodo di Gauss Jordan per la risoluzione dei sistemi lineari .
In questa lezione illustreremo uno dei metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari aventi n equazioni e m incognite .Rispetto al metodo di Cramer presenta diversi vantaggi soprattutto se si ha a che fare con matrici di ordine superiore a quattro .
tutto si basa sul metodo di riduzione per righe visto in occasione per determinare il rango di una matrice , sebbene in questo caso la scelta dell'elemento speciale non può essere arbitraria .
Un interiore metodo che estende quello di Gauss è il.meyodo di Gauss Jordan che con ulteriori riduzioni rende il sistema ridotto ad un sistema di equazioni in cui in ciascuna di esse vi è solo un 'incognita .
Il metodo di gauss , si può applicare a qualsiasi tipo di sistema indipendentemente che sia possibile determinato , possibile indeterminato è impossibile .
illustreremo diversi esercizi in cui faremo vedere cosa succede se un sistema è possibile determinato, indeterminato e impossibile e alla fine risolveremo il primo esercizio proposto con la variante di Gauss Jordan .
#salvoromeo #metodogauss #sistemilineari

[@robsangiovanni74]

Grazie mille prof, lezione eccellente.fosse per me le darei il premio nobel 😊

[@simonamariaeftimiu1527]

Concordo pienamente

[@Trickster_Joker96]

Buonasera professore! Mi è sorto un dubbio. Durante la riduzione della matrice, quando ha moltiplicato le diverse righe per poter fare la sottrazione con le altre, trasformando cosí alcuni membri delle righe moltiplicate in elementi speciali, non ha modificato il valore degli elementi appartenenti alla riga che è stata moltiplicata e non capisco perché. Ho visto i suoi vecchi video e, ai tempi, durante il calcolo del rango, quando moltiplicava una riga cambiava anche il valore degli elementi della stessa, e non solo quello degli elementi della riga che le veniva sottratta. Faccio un esempio: in questo video ad un certo punto ha moltiplicato la seconda riga, cioè (0,-1,5,-16) x3, per poi sottrarle la terza riga. Nel passaggio seguente però, nonostante la moltiplicazione fatta, i valori della riga sono rimasti invariati e sono cambiati solo quelli della terza a seguito della sottrazione. Non mi è stato molto chiaro il motivo dato che le volte precedenti, quando faceva moltiplicazione e sottrazione cambiava anche il valore degli elementi della riga moltiplicata. Se non è di disturbo potrebbe darmi dei chiarimenti perfavore?

[@frankoo01]

Buonasera professore, non saprei se è stata una mia disattenzione, quindi gauss Jordan si può utilizzare solo per matrici possibili e determinate? Grazie mille per queste lezioni💓💓

[@BruceLee-io9by]

Iscritto! Lei è bravissimo e chiarissimo. La sua lezione è davvero esemplare.

[@user-nf1cw5oi6v]

Professore buongiorno, ma per la riduzione di Gauss, devo per forza avere gli scalini a partire da sinistra ? O c'è la possibilità anche di partire dal centro e ottenere una matrice a scalini in altri punti della Matrice ? Grazie mille, i suoi video sono preziosi !!

[@salvoromeo]

Buongiorno certamente di può anche partire dall'ultimo elemento come elemento speciale . Ho rilasciato questa lezione poiché molti utenti dichiaravano che all'università molti docenti preferiscono avere la matrice a scala dal primo all'ultimo andando verso destra .

[@ilguerrieroxl2608]

mi potrebbe spiegare i passagi della riduzione della prima matrice

[@buti-eo6we]

Buongiorno Professore, ho una domanda. Se nella prima matrice ( minuto 5.18) io vado a svolgere l'operazione R3-R1, non dovrei andare a diminuire al valore della riga 3 il valore della riga 1? Se cosi dovesse essere, al terzo elemento della matrice della terza riga, non dovrei andare a diminuire 2? Andando a svolgere l'operazione 1-2?

[@salvoromeo]

Buongiorno ottima domanda .Giustamente Lei dice di sostituire alla "terza "riga gli elementi dati da R3-R1 e non viceversa . Ai fini della riduzione di un sistema lineare non ha tanta importanza poiché potrei benissimo sostituire alla riga tre la riga R3-R1 e quindi ottenere la riga (0, -3, -1 ,0) se ci fa caso questa corrisponde alla seguente equazione -y-z=0 . Tuttavia secondo il mio procedimento ho considerato R1-R3 che fa ottenere si gli elementi della riga cambiati di segno , ma alla fine si ottiene la un'equazione equivalente a quella precedente , ovvero y+z=0 e quindi non è cambiato nulla . Il procedimento che dice Lei invece è obbligatorio quando si deve considerare (e conservare ) il valore di un determinate di una matrice (vedi ultima lezione che ho appena rilasciato nel mio canale ) . In questo caso alla terza va sostituita imperativamente con la differenza R3-R1 e non al contrario altrimenti il determinante cambia segno...ma questo è un altro discorso .Veda l'ultimo video pubblicato inerente le proprietà dei determinanti . La ringrazio per la domanda molto interessante e istruttiva .Se non è chiaro ciò che ho detto non esiti a scrivere un altro commento .

[@gabbo9813]

buonasera professore, ho letto un po' i commenti ma non ho ben capito se gli 'elementi speciali' in questi casi devono sempre valere 1 (il mio prof universitario ha detto di sì, ovvero che i pivot possono valere solo 1). inoltre non mi è ben chiaro se il metodo di gauss-jordan è utilizzabile anche con sistemi indeterminati, facendo dei controesempi mi sembra di sì...

[@salvoromeo]

Buonasera ha detto bene .Devono essere 1 per agevolare i calcoli .

[@Simone-zu7rh]

buonasera, intanto grazie, volevo chiedere nel minuto 9:35 perche non lascio 16 e lo rendo 1? tutti gli elementi nella diagonale devono essere 1 per forza?

[@salvoromeo]

Buonasera , Le rispondo subito con piacere .Ho ridotto poiché 16 e -48 si posso dividere per 16 , ma giustamente se avessi avuto 16 e -47 (è un esempio ovviamente ) allora potevo evitare di dividere per 16 . Tuttavia avrei avuto comunque 16z=-47 e quindi la componente Z sarebbe stata Z=-47/16 . Quindi la divisione l'avrei fatta comunque . La cosa importante è che abbia capito il metodo di riduzione e ottenere la matrice a "scala " . Spero di averLe chiarito il piccolo dubbio .

[@Simone-zu7rh]

@@salvoromeo grazie mille, molto chiaro finalmente 😊

[@Simone-zu7rh]

@@salvoromeo scusi il disturbo ultima domanda, mano mano che mi sposto nelle righe in basso per rendere nulle quelle su cui sto lavorando, quando faccio i calcoli devo sempre tenere conto della riga subito sopra a quella su cui sto operando o posso prendere come riferimento anche la prima in assoluto? anche se sono nella quarta riga ad esempio? Quindi se sono su R4 per i calcoli prendo sempre R3 o posso prendere anche R2 o R1?

[@martydelprete8633]

Buonasera, ma perché al minuto 5:40,quando moltiplica la prima riga per due, questo passaggio non lo scrive?

[@salvoromeo]

Buonasera , è un passaggio che faccio a mente vista la facilità del calcolo .Scrivere esplicitamente la prima riga per 2 non è di fondamentale importanza , ma se preferisce farlo per evitare di competere errori di calcolo ben venga .Tuttavia una volta eseguita la differenza , deve nuovamente ripristinare la riga originale . La cosa importante è specificare che la (nuova) riga R'2 è data da 2*R1-R2 .anche se fa il passaggio a mente come ho fatto io..

[@antonio2130]

Mi scusi prof per risoluzione sistemi parametrici e indifferente usare gauss o cramer?

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonio .Cramer lo può utilizzare solo quando la matrice incompleta ha rango massimo e per giunta quadrata (in altre parole quando il determinate della matrice incompleta è diverso da zero ) . Quando invece la matrice incompleta è rettangolare l'utilizzo di Gauss è la scelta migliore , ma esistono anche altri metodi qualora non si volesse utilizzare Gauss . Visioni la mia lezione in cui ho svolto un sistema parametrico utilizzando le riduzioni per righe e sarà ancora tutto più chiaro.Se non trova la lezione (precedente a questa ) mi avvisi e con piacere Le fornisco il link

[@antonio2130]

@@salvoromeo innanzitutto la ringrazio per i video e per la risposta, il mio dubbio su gauss deriva dal fatto che a volte non riesca a ridurre a scala una matrice in quanto al posto dello 0 sotto un potenziale pivot vi sono parametri da eliminare, se riesce a mandarmi il link mi farebbe un grosso favore.

[@salvoromeo]

Certamente sto per inviare la lezione .Il problema è quello che lo studente si ostina a ridurre per forza a scala mentre può benissimo studiare il sistema lineare e vedere per quali valori del parametro k questo è impossibile , indeterminato o determinato , indipendentemente dalla riduzione a scala .

[@salvoromeo]

@@antonio2130 ecco il link m.kzbin.info/www/bejne/rJnSh2eBfst7jZY

[@antonio2130]

@@salvoromeo la ringrazio prof, lei con elementi speciale intende pivot e se si non dovrebbe essere un numero a sua volta preceduto da 0?

[@frangarflectar8944]

Professore spero mi possa rispondere. Sono un "autodidatta" e sto studiando dall'Artin. L'Artin da una definizione diversa di matrice a scala, la riscrivo qui: (a) Il primo elemento non nullo in ciascuna riga è I. Tale elemento è chiamato pivot. (b) Il primo elemento non nullo della (i+ I)-esima riga si trova alla destra del primo elemento non nullo della i-esima riga. (c) Gli elementi al di sopra di un pivot sono nulli Fin quando si parla dei primi due punti è d'accordo con ciò che lei dice in questo video, ma al punto C non mi trovo. Mi chiedo: è un "passaggio" non essenziale? L'Artin parla di altro?

[@naiko1744]

Se gli elementi al di sopra di ogni pivot di una matrice a scala sono nulli, allora essa è tipicamente detta a scala "ridotta", un caso particolare della matrice a scala

[@bruno68berretta53]

Buongiorno, anzitutto i complimenti per la spiegazione poi si può notare che in questo modo si può calcolare l'inverso di una matrice, senza fare calcoli laboriosi...

[@salvoromeo]

Buonasera , si confermo che esiste un metodo basato sulle riduzioni che permette di ricavare l'inversa della matrice . Forse un domani farò un breve video .

[@dinochiari3647]

Al minuto 18:23 la z è un'incognita libera. Proviamo a dare un valore: z=-1→y=2→x=-4 z=0→y=0→x=1 z=1→y=-2→x=6 In un grafico tridimensionale dovrei ottenere 3 rette coincidenti se i punti fossero allineati.