Может ли результат возведения иррационального числа в иррациональную степень быть рациональным?

Может ли результат возведения иррационального числа в иррациональную степень быть рациональным числом?
Ответ на этот вопрос утвердителен.
Приведём два доказательства этого утверждения.
В первом доказательстве будем использовать число sqrt(2)^sqrt(2) - корень квадратный из постоянной Гельфонда-Шнайдера. Либо это число является рациональным, и тогда из иррациональности корня из двух следует доказательство утверждения, либо иррациональным. В последнем случае возводим это иррациональное число в иррациональную степень, равную корню из двух и получаем рациональное число 2; таким образом, утверждение также доказано.
Отметим, что верной является вторая гипотеза: число sqrt(2)^sqrt(2) иррационально и даже трансцендентно. Это следует из теоремы, доказанной в 1934-м году Гельфондом и Шнайдером независимо друг от друга. Доказательство теоремы послужило решением седьмой проблемы Гильберта.
Второе доказательство основано на рассмотрении уравнения x^x=2. Можно показать, что корень этого уравнения, принадлежащий интервалу (1,2) является иррациональным числом. Таким образом, мы получаем пример, доказывающий наше утверждение.
В ходе доказательства иррациональности корня мы используем утверждение, заключающееся в том, что корень натуральной степени из целого числа является либо целым числом, либо иррациональным. С доказательством этого утверждения, основанным на теореме о рациональных корнях многочлена можно ознакомиться в ролике, опубликованном на канале Бориса Трушина: • ✓ Как доказать иррацио...
(В ролике рассматриваются корни из натуральных чисел, но доказательство легко переносится на случай целых чисел).

[@viccaboson4064]

Первое, что сразу приходит в голову: e^ln(2) = 2 т.е. при возведении иррационального (и даже трансцендентного!) числа e в иррациональную (и даже трансцендентную!) степень ln(2) получили натуральное число 2. Конечно, можно сказать, что это тривиальный пример. Да, но от этого он не перестает быть верным 😉

[@FrolovSergei]

Да, отличный пример, но при условии, что мы считаем известным (доказанным) иррациональность числа e (иррациональность ln(2) почти непосредственно следует из иррациональности e). По поводу трансцендентности с приставкой "даже". Без неё обойтись и не получится! Если a и b - иррациональны, а a^b - рационально, то хотя бы одно из чисел a и b трансцендентно. Действительно, если a и b - иррациональные алгебраические числа, то a^b трансцендентно в соответствии с теоремой, упомянутой в ролике. То бишь в этом случае число a^b рациональным быть не может.

[@viccaboson4064]

@@FrolovSergei Ну, дык ведь иррациональность числа е была доказана, кажется, еще Эйлером, поэтому мы можем просто использовать это как общеизвестный факт

[@papalyosha]

@@FrolovSergei иррациональность ln(2) следует из не из иррациональности e, а из трансценденти. Тем не менее существует доказательство, которое конструктивно и не использует неэлементарных фактов. Пусть a=√2, b = 2log₂3. Тогда a^b = 3 - рационально. Но а - иррационально и b - иррационально (если бы log₂3 было бы рациональным m/n, то 2^m=3^n).

[@СедьмоеМарта]

e^ip = -1 )))

[@FrolovSergei]

@@papalyosha "иррациональность ln(2) следует из не из иррациональности e, а из трансценденти." Категорически с Вами согласен! Из трансцендентности, конечно же, а не из иррациональности. Спасибо за поправку!

[@mrhru1]

По первому доказательству. Читал, что в 60-х или 70-х годах (не помню точно) редакция журнала Квант получила письмо письмо от школьника с этим доказательством. И была очень удивлена и обрадована его элегантности.

[@FrolovSergei]

О, я этого не знал! Благодарю за интересный комментарий!

[@Vladimir_994]

Спасибо вам, Сергей, от всей души. Смотришь ваши видео ролики и получаешь истинное удовольствие. Считаю, что любой "трезво" мыслящий ученик, получит ОЧЕНЬ много нового для школы. Хорошо бы показывать ваши видео в школе!!! Вы очень хороший и настоящий УЧИТЕЛЬ по математике. Удачи, успехов и ждём новых удивительно полезных уроков по математике. Спасибо, огромное спасибо вам, Сергей.😇😇😇❤❤❤👍👍👍

[@FrolovSergei]

Владимир, Вам большое спасибо за просмотр моих видеороликов и за добрые и тёплые слова в мой адрес! Но учителем я себя не считаю. Я позиционирую себя просто как человека, рассказывающего о своих решениях различных математических задач. И я очень рад, что находятся зрители, которые находят мои видеоролики полезными для себя. Ещё раз спасибо!

[@ShamsTebrizi]

Было интересно. Но ваше доказательство выглядит куда более громоздким, при этом требует дополнительных знаний: теорему Кузьмина - Гельфанда и теорему о корне m из двойки в степени n.

[@FrolovSergei]

@@ShamsTebrizi Судя по всему, Ваше сообщение адресовано мне, а не автору треда. Если это так, то сделаю уточнение. Я использовал первую теорему Больцано - Коши о непрерывных функциях, а не ту, которую Вы указали (если указанная Вами вообще существует).

[@ShamsTebrizi]

@@FrolovSergei Вы же сказали, что первый ее Родион Кузьмин доказал, вот я и периначил немного ради справедливости. А вот еще и Коши надо добавить в ваше доказательство. Вот уж воистину многие знания во многие печали :-)

[@FrolovSergei]

@@ShamsTebrizi Информация о Гельфонде, Штайнере и Кузьмине, содержащаяся в ролике, носит факультативный характер. Ни одно из двух доказательств, приведённых в ролике, ни имеет никакого отношения к трудам этих достойных учёных мужей.

[@AlexseyKozlov]

Отличное видео, продолжайте, пожалуйста

[@FrolovSergei]

Спасибо! Будем продолжать!

[@user-akhmetshin]

Удачи вашему каналу! 😊

[@FrolovSergei]

Благодарю!

[@МаксимСебелев-х5я]

Отличный ролик, спасибо)

[@FrolovSergei]

Вам спасибо за просмотр и за отзыв!

[@Misha-775]

На ум лезет e^i*π = -1. Скажете, i*π - не иррациональное? А представьте тогда его мне в виде дроби) Иррациональное - irrational - нерациональное - не представимое в виде дроби. Ладно про чистую i можно поспорить - она не из "школьного" мира, но в комплексной плоскости умножение на i - это просто поворот на 90° иррационального π. Вот вам и красивый Эйлеров пример, товарищи!)

[@Micro-Moo]

Красивое доказательство - неконструктивное!

[@pavelbelov1319]

Уже писали про e. которое для этого и предназначено, но из любого рационального числа можно извлечь корень иррациональной степени, что тоже будет иррациональным числом. Но если мы возведем резуьтат в степень корня, получим первозданное число. Например, (10sqrt_e)^e = 10. И таких примеров бесконечно много.

[@FrolovSergei]

Итак, Вы утверждаете, что если a - рациональное число, а b - иррациональное, то число a^(1/b) - иррациональное. Так вот, Вы ошибаетесь. Вот Вам парочка тривиальных контрпримеров: a=0, a=1. И один менее тривиальный: a=2, b = 1/log_2(3) (здесь log_2 - логарифм по основанию 2).

[@pavelbelov1319]

@@FrolovSergei Сергей, где же я такое утверждал? Я всего лишь говорил, что таких примеров бесконечно много. Как, впрочем, и аналогичных приведенным вами.

[@FrolovSergei]

@@pavelbelov1319 Павел, вот где: "из любого рационального числа можно извлечь корень иррациональной степени, что тоже будет иррациональным числом." Я это интерпертировал это как совокупность следующих двух утверждений: 1. Из любого рационального числа можно извлечь корень иррациональной степени. 2. Этот корень является иррациональным числом. А Вы что-то другое имели в виду?

[@user-oz.Goodwin]

"Может ли результат возведения иррационального числа в иррациональную степень быть рациональным?" - На первый взгляд, вопрос кажется разумным... Но только на первый взгляд... Если хорошенько подумать, то хорошо зная "природу" иррациональности, можно сразу дать ответ, без всяких доказательств! Любую условность, а иррациональность именно условность, всегда можно нейтрализовать обратной! Лайк поставлю, но только за то, что заставил задуматься, не более..

[@Micro-Moo]

Нет, это ничего не доказывает. И при чём здесь «условность»? Можете не отвечать, вопрос риторический.

[@mathkc1034]

Интересно и поучительно! Я тоже на матмехе учился! Подписался на вас!

[@FrolovSergei]

Спасибо за просмотр и за отзыв! Но я не учился на матмехе, увы.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Тогда тем более поучительно. А то уже достали некоторые коллеги разными отмазками типа «у нас этому не учили», а своей головы, получается, у них нет.

[@programmer78]

Спасибо за видео... упоминание теоремы Больцано-Коши пробудило ностальгические воспоминания про мат-мех и про шуточный стих, описывающий, якобы при каких обстоятельствах они эту теорему сочинили :)

[@FrolovSergei]

Вам спасибо за просмотр и за комментарий! Если Вы имеете в виду петербургский матмех, то с Вами, возможно, земляки.

[@programmer78]

@@FrolovSergei, да, я имею в виду Мат-Мех СПбГУ. К сожалению, мы уехали из Санкт-Петербурга (и из России) 2 года назад. Но очень скучаем. Удачи вам!

[@FrolovSergei]

@@programmer78 Жить за границей - это здорово, особенно в настоящее время. У вас там, к слову сказать, Ютьюб, скорее всего, закрывать никто не собирается, а у нас к этому всё идёт. Но у меня пока вариантов других нет, буду жить здесь, пока живётся. Благодарю за пожелание! И вам удачи и успехов!

[@Micro-Moo]

Есть песенка со словами: «Он Лагранжа и Коши Не долбал в ночной тиши...»

[@programmer78]

@@Micro-Moo у нас было стихотворение такое: Раз Больцано и Коши Обкурились анаши И потом под эту тему Сочинили теорему Наверно, это не то, что надо было вынести из обучения на мат-мехе, но мозг - штука хитрая, что хочет, то и запоминает.

[@MelnikovValentin]

А можно ли как-то, обойдясь так скажем школьной математикой, доказать иррациональность числа 2^sqrt(2) без док-ва трансцендентности?

[@FrolovSergei]

А вот это отличный вопрос! Ответ на него мне неизвестен, но интуиция мне подсказывает, что с помощью одной только школьной математики даже иррациональность этого числа не доказать.

[@ЮраН-ь2к]

Интуиция подсказывает, что можно. Но до доказательства надо додуматься, а это небыстро.

[@FrolovSergei]

@@ЮраН-ь2к Наши с Вами интуиции - в противофазе. 🙂 Дайте, пожалуйста, знать, если додумаетесь.

[@ЮраН-ь2к]

@@FrolovSergei Я пока не додумался, но напомню, что производные, пределы, первообразные и ряды входят в школьную программу.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Моя интуиция сработала таким образом, что я поставил лайк и вам, и комментатору, за противоположные интуитивные предположения. Если кому-то моё решение кажется противоречивым, готов рассказать анекдот про... пофигистов.

[@dushkin_will_explain]

Первый вариант доказательства называется «неконструктивным». Обычное же дело в математике :)

[@Micro-Moo]

Обычное. Но, как правило, достаточно нетривиальное. Прекрасный вариант доказательства, я думаю.

[@maksbaks7768]

Сразу лайк

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@dizogdizog2591]

Хороший контент.!

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@НеляНавахо]

Элементарно. e - иррациональное число. ln N, где N - натуральное число больше 1 - иррациональное число. e^ln N = N

[@FrolovSergei]

Вы воспользовались иррациональностью чисел e и ln(N). Ну, иррациональность первого, наверно, можно считать общеизвестной. А как насчёт доказательства иррациональности второго?

[@ЮраН-ь2к]

Я не понял, что значит "трансцендентное число". Я думал, число является трансцендентным, если его нельзя представить в виде конечного выражения из операций сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел, а также возведения в целую степень и извлечения корня целой степени. В рамках такого определения 2^sqrt(2) не является трансцендентным, так как выражено формулой, принадлежащей множеству мощности алеф ноль.

[@FrolovSergei]

Формула принадлежит множеству? Что это за множество такое? А трансцендентность числа Вы понимаете неправильно. Трансцендентное число - это число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.

[@ЮраН-ь2к]

@@FrolovSergei Множество последовательностей, состоящих из цифр, скобок и знаков пяти арифметических операций. Поскольку каждое из этих множеств по отдельности конечно, то мощность такого множества последовательностей равна счётной бесконечности. А если последовательность синтаксически правильна и соблюдает баланс скобок, то она формула. _Трансцендентное число - это число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами._ Ну что ж, такое определение тоже годится, хотя оно явно отличается. Ведь корни многочленов, начиная с пятой степени, являются в общем случае невыразимыми через элементарные алгебраические операции, включая корни. Да и в третьей степени формула Кардано уже содержит в выражении кубический корень из комплексного числа.

[@Niamika]

"Дыказательство"

[@Micro-Moo]

Классно, надо взять на вооружение. «Доказательство» это, оказывается, «дык казательство же». 🙂

[@viktor-kolyadenko]

Постановка задачи не совсем корректная, мне сначала показалось, что легко найти пример. Вот если бы искать a и b в области "корни уравнения с рациональными коэффициентами" - тогда был бы вопрос. Хотя, что-то типа "[log10(20)]^(sqrt(2)" не получится легко использовать.

[@FrolovSergei]

Почему не совсем корректная?

[@viktor-kolyadenko]

​@@FrolovSergei, извините, мне показалось. Показалось, что пример легко найти. Что-то типа ... sqrt(10)^(2*log10(2)) = 2.

[@FrolovSergei]

@@viktor-kolyadenko "извините, мне показалось." Ничего страшного! 🙂

[@ЮраН-ь2к]

@@viktor-kolyadenko Легко найти не то чтобы пример, а бесконечное семейство примеров. Действительно, если взять произвольное рациональное положительное число C>1 и нарисовать график функции x^y=C на множестве x>0, то он охватит две непрерывные линии, одна при x0, обе монотонно убывают. А так как множество иррациональных чисел мощнее множества рациональных, то ткнув в произвольную точку на графике, вы с вероятностью 1 (точнее, 0.99999...) попадёте туда, где x и y иррациональные.

[@МаксимМеснянкин-л6и]

Зачем так усложнять, если достаточно привести пример 2=е^ln2

[@FrolovSergei]

Но только нужно доказать иррациональность чисел e и ln(2). Иррациональность e, конечно, можно считать общеизвестной, но как быть с ln(2)?

[@ЧингизНабиев-э2г]

Не смотря видео, ответ: да. Доказываем от противного, пусть a = sqrt(2), т.е. а - это квадратный корень из 2. Тогда, a^a (а в степени а) - иррационально, но (a^a)^a = a^2 = 2. То есть, иррациональное число в степени иррационального числа равно рациональному, что есть противоречие.

[@FrolovSergei]

Хотелось бы, конечно же, пояснения, почему число a^a - иррациональное.

[@regulus2033]

​@@FrolovSergeiдоказательство от противного, то есть, предполагаем, что любая такая степень иррациональна, и приходим к противоречию. То же первое доказательство, только в профиль.

[@FrolovSergei]

@@regulus2033 Вы сейчас о чём? О доказательстве от противного иррациональности числа a^a, где a=sqrt(2)? Или о чём-то другом?

[@regulus2033]

@@FrolovSergei нет, человек в комментарии доказывает от противного вот такое утверждение: "Существует иррациональные x и y: x^y рационально". Просто он не указал это в комменте, я из контекста это додумал:)

[@ЧингизНабиев-э2г]

@@regulus2033 верно, я предполагал, что любое иррациональное число в иррациональной степени само иррационально и пришел к противоречию. Правда забыл это написать

[@romank.6813]

a=sqrt(5) b=log_5(4) a^b=2 Надеюсь, что это опять не улетит в спам.

[@FrolovSergei]

Не улетело! Но нужно ещё показать, что данный логарифм иррационален. Хотя это сделать достаточно легко.

[@z4777]

*Более простой пример:* *Основание: √2. Степень: логарифм 10 по основанию ✓2*

[@FrolovSergei]

Может, и более простой. Но, оценивая "простоту", стоит учитывать, что неплохо бы доказать иррациональность данного логарифма (хоть это и несложно сделать). Ну а иррациональность корня из двух, полагаю, стоит считать общеизвестной.

[@z4777]

@@FrolovSergei первое ваше доказательство бесспорно очень изящное

[@FrolovSergei]

@@z4777 Увы, но оно не моё. Я лишь воспроизвёл его.

[@ЮраН-ь2к]

Off. А вот вопрос к Вам как к математику. Есть ли математический знак, означающий "может быть равно, а может быть не равно, и неважно, больше или меньше"?

[@FrolovSergei]

Вот этого я не знаю, увы!

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei А я знаю. Поскольку это утверждение не несёт никакой информации об операндах, такой знак просто никому не нужен. В отличие от всех других отношений сравнения, для которых знаки существуют и используются.

[@timbond6176]

Банальнейший ответ a^b =5 взяв какое-либо иррациональное а или b, решаем относительно второго.

[@FrolovSergei]

Но только нужно не забыть доказать иррациональность второго числа (а, возможно, и первого тоже).

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei В результате чего просто вернулись к исходному вопросу.

[@striker4976]

Формула Эйлера же!

[@FrolovSergei]

Есть такая формула. И что?

[@maksbaks7768]

По моему мнению автор сделал истину путем математики

[@radiopapa6134]

Непомню точно, но: - четыре или даже пять лет, длилось следствие, насчет крушения двух подряд пассажирских боингов. Следаки, квалифицированнейшие персонажи, перебрав абсолютно все возможные причины, кинули клич, что они готовы принять любые варианты предположений, о причинах аварий. Дело в том, что в обоих случаях, подвёл автопилот. Я предположил, что программу автопилота писали сторонние программисты, а не штатные из Боинг. Судя по немедленной и чрезвычайно агрессивной реакции юристов боинга, дело обстояло именно так. Так вот, причем здесь иррациональные числа? Мы с вами не персонажи из марвела. Мы живем в узком диапазоне давлений, температур, временном интервале, а также, мы и наша техника, чрезвычайно чувствительны к динамике изменений даже скорости. Кроме того, в окружающей нас Природе, нет ни отрицательных значений, ни дифыеренцирования, ни экстраполяций и апроксимаций. Иррациональных чисел, тоже нет, соответственно, тнет ни корней, ни их произведений. ИндАмерикосы программисты, незнали вышеперечисленного. Там математика, которую они добросовестно выучили, хороша сама по себе. Также, как анекдот, произнесенный по фени, хорош исключительно в кругу уголовников, также и математика, она бывает разная.

[@jewgenijmoldawski3306]

Если утверждение именно такое как в видео, то доказательство тривиальное: в формуле Эйлера трансцендентное е возводится в трансцендентную степень i*pi и получаем вполне себе рациональную единицу.

[@FrolovSergei]

В условии идёт речь об иррациональных числах, а не о трансцендентных.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Разве любое трансцендентное число не является иррациональным? В чём нарушение вашего условия?

[@ДенисКоломиец-ф7й]

sqrt(2), log_{sqrt(2)}(3). Иррациональность первого расписывать не буду, это классика). Второе, достаточно показать, что log_{2}(3) иррационально, так как log_{sqrt(2)}(3) = 0.5 * log_{2}(3). Пусть q -- иррационально. Тогда и r = 0.5 * q тоже иррационально, так как если бы r было рациональным, то q = 2r тоже было бы рациональным Пусть log_{2}(3) = m/n, где m и n -- натуральные (предположение законно, так как 3 > 1 log_{2}(3) > 0) log_{2}(3) = m/n 3 = 2^(m/n) 3^n=2^m Получили противоречие, так как слева нечетное, а справа четное

[@FrolovSergei]

"log_{sqrt(2)}(3) = 0.5 * log_{2}(3)" Вы в этом уверены?

[@ДенисКоломиец-ф7й]

Ой) там конечно же не 0.5 а 2. Хорошо, хоть суть не меняется@@FrolovSergei

[@FrolovSergei]

@@ДенисКоломиец-ф7й Да, суть не меняется, согласен с Вами!

[@MelnikovValentin]

У вас, по-моему, более честное доказательство, так как приведен конкретный пример таких чисел, а не хитро доказано существование без конкретного примера)

[@FrolovSergei]

@@MelnikovValentin Да, автор треда привёл отличный пример!

[@pianotalent]

14:34 "...Treniryite mozgi..." My chto, typye??? Zachem nas tak UNIZHAT'!!!??? ETO - NE PROFESSIONALNO!

[@FrolovSergei]

О, оказывается, мои ролики иногда досматривают до конца! 🙂 С удовольствием отвечу на вопрос. Конечно же, не тупые! Но разве тренировать мозги полезно только тупым? Нет, конечно, это полезно всем! Разве нет? А если бы я здоровья пожелал? Вы бы тоже оскорбились? Типа, мы что, больные, что ли? Так? А если бы я пожелал счастья? "Мы что, несчастные, что ли, зачем нас так унижать?" Вы бы так отреагировали? И ещё. Это пожелание - отчасти шуточное. Не стоит его воспринимать совсем уже всерьёз.

[@MrDeep414]

Получается, что закон исключённого третьего какой-то скользкий. Ведь может так случиться, что мы докажем что-то используя его, но не будем знать реального ответа!

[@Мастерветров]

Поздравляю с открытием интуционализма

[@MrDeep414]

@@Мастерветров интуиционизм:

[@MrDeep414]

ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D1%83%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D0%BC

[@a.osethkin55]

Автору канала следует строже подходить к смыслу того,что является доказательством. В видео прерывается цепочка логических утверждений. По факту, пока никто не доказал, что возведение иррационального в иррациональную степень есть рациональное число. Если честно, всё видео ждал, когда автор даст определение того, что такое рациональное, но он только вскользь упомянул, так и не воспользовавшись как следует, т.е. (m/n)^(m/n).. Таких видео пруд пруди, но в серьез воспринимать их не следует (вразрез идёт с критическим мышлением)

[@FrolovSergei]

"По факту, пока никто не доказал, что возведение иррационального в иррациональную степень есть рациональное число." Конечно! Потому что это неверное утверждение. Разумеется, и я не собирался его доказывать.

[@a.osethkin55]

@@FrolovSergei ну да, это просто, ролик такой же как может ли быть 2+2 рациональным числом..можно еще обсудить почему красный именно красный. все темы, если копать глубоко могут быть основательно интересными, а здесь видео вообще поверхностно

[@FrolovSergei]

@@a.osethkin55 Первый Ваш комментарий - набор каких-то странных, непонятных и необоснованных замечаний, имеющих слабое отношение к ролику. Что там идёт вразрез с критическим мышлением, я так и не понял. Где у меня что прерывается? И чем я не воспользовался "как следует"? Во втором комментарии ролик оценивается как поверхностный. Да ради Бога, поверхностный, так поверхностный, спорить не буду. Но если вдруг Вы снимете когда-нибудь глубокий неповерхностный ролик, то буду Вам признателен, если скинете ссылку. С удовольствием ознакомлюсь.

[@maksbaks7768]

Ещё раз , то что подал математик , то , поймут только математики

[@ГлебЛитвинов-ф4ш]

Я считаю это забавным вопросом с не менее забавными доказательствами.

[@John-Doo]

В математике есть смысл - да (нет)!

[@AS_tutor]

А это было здорово!!!!

[@FrolovSergei]

Спасибо!

[@Петро-ш4ю]

Здесь ничего не требует доказвтельств! Если Вьі после возведения в иррациональную степенб получили например 0.99(9)..., то считайье что у Вас получилось целое натуральне число 1.0 .как сейчас общепринято в математике

[@Micro-Moo]

Ваш пример вообще ничего не доказывает. Поэтому доказательство всё же нужно.

[@aagrip]

(2^(1/π))^π=2

[@FrolovSergei]

Но нужно ещё доказать, что числа π и 2^(1/π) - иррациональные. Допустим, иррациональность первого можно считать общеизвестной. Но как быть со вторым?

[@serhiislobodianiuk776]

Просто берем трансцендентное число, оно в рациональной степени (кроме 0) останется трансцендентным.

[@FrolovSergei]

Это Вы к чему написали?

[@serhiislobodianiuk776]

@@FrolovSergei как еще один вариант решения.

[@FrolovSergei]

@@serhiislobodianiuk776 А какое это имеет отношение к нашей задаче? Пока что не могу понять. Мы должны подобрать два иррациональных числа, таких, что результат возведения одного из них в степень, равную другому, является рациональным числом. Это совсем не то, о чём Вы написали.

[@serhiislobodianiuk776]

@@FrolovSergei О том же я и пишу. Просто степень положительного числа может быть любым положительным числом, поэтому если t^s = 2 и t - трансцендентно то, s автоматически иррациональное.

[@FrolovSergei]

@@serhiislobodianiuk776 Ага, думаю, что понял. Пусть t^s=2, где t - трансцендентное число. Тогда s не может быть рациональным, т. к. в этом случае число t^s было бы трансцендентным или нулём (в случае s=0), но это не так, поскольку оно равно 2. Значит s - иррациональное число. Получается, Ваш первый комментарий был посвящён доказательству иррациональности степени от противного. Видимо, так.

[@maksbaks7768]

Попахивает нулём римана

[@sergiojuancha]

e^(iπ)=-1

[@malexmans6498]

iπ вообще комплексное число, вне иррациональных

[@sergiojuancha]

@@malexmans6498, π вообще иррациональное число, а i - мнимый коэффициент.

[@malexmans6498]

@@sergiojuancha разве не наоборот? Разве это не a+bi, где a = 0, а b = π?

[@sergiojuancha]

@@malexmans6498, да, и что? Не всегда e^z ∉ ℚ ∀ z ∈ ℂ

[@АлиханМуханов-ю9ы]

e^πi

[@FrolovSergei]

Проблема в том, что число πi - не иррациональное.

[@Hmath]

Сергей, может быть вы знаете ответ на такой вопрос: является ли число п/sh(п) трансцендентным? А то в одной книжке это прям сходу утверждалось, и я сам в итоге так и повторил, а теперь не могу найти подтверждение нигде больше.

[@FrolovSergei]

Алексей, нет, не сталкивался с таким, к сожалению.

[@igarazha]

Интересная задача!

[@sergeyputiagin9987]

А если взять два разных числа? е в степени корень из 2,например?

[@FrolovSergei]

Можно и два разных взять. Но тогда нужно доказать, что число e^sqrt(2) - рациональное. Сдаётся мне, что это не так.

[@vyacheslavgagloev2130]

Корень из 2 × корень из 18 = корень из 36 или 6

[@FrolovSergei]

Это Вы к чему?

[@923-m3z]

Пусть b=i*(pi), a=e, тогда a^b=-1 , -1 рациональное число

[@FrolovSergei]

А число iπ - иррациональное?

[@923-m3z]

@@FrolovSergei ну с ним точно что-то не так😁😁

[@FrolovSergei]

@@923-m3z Да, в том-то и дело, что оно не является иррациональным.

[@923-m3z]

@@FrolovSergei но ведь при умножении числа pi на любое число, получается иррациональное число, тут переменная b - иррациональное число т.к. его получили при умножнни числа pi : мы взяли число pi в количестве раз, равном числу i, и в итоге всё-равно получили иррациональное число, разве нет?

[@FrolovSergei]

@@923-m3z Нет. Множество действительных чисел -это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Из этого следует, что иррациональное число - действительное.

[@Shaitan-Stro]

Смотреть не стал. Но ответ сводится к вопросу: можно ли рациональное число возвести в степень единица делёная на иррациональное число и получить в ответе иррациональное число. Очевидно, что можно.

[@igorkudeyar]

Математика - чистейшая паранойя. От мате к мати. Женская логика. Вроде бы все четко и логично, - а в результате не можем прибавить двух комаров к трем арбузам. Потому что мир объемен , а математика линейна, одномерна. И вот секта умников соревнуется в глубине паранойяльности, - кто изощреннее вывернет мир наизнанку так, чтобы все поверили. www.youtube.com/@KUTOGEO

[@FrolovSergei]

Спасибо за комментарий! Но я считаю, что всё, что Вы написали, не соответствует действительности. В дискуссию вступать не буду, ибо жизнь коротка и времени очень мало. Да и смысла в дискуссии нет...

[@Alpasonic]

1.) Математика - не религия. В нее не требуется верить. Математика нуждается "просто" лишь в понимании и любви. 😅 2.) "Математика линейна и одномерна" - этот интеллектуальный шедевр достоин Титана Мысли с какого-нибудь Журфака. - Человек слышал слово "математика". Но о существовании математики даже не подозревает. 3.) Математика - "чистейшая паранойя"?. Допустим. Но не забудьте при этом, что побочным продуктом этой "чистейшей паранойи" является существование всей нашей цивилизации. В том числе Вашего смартфона и компьютера, с которого Вы шлепаете по клаве, чтобы послать свой глубокомысленный коммент в интернет. Который тоже побочный продукт математической паранойи. Фактически мы с вами тоже ее побочный продукт . Как-то невольно вспоминаются стихи Роберта Бернса (правда про поэзию. Но как же чудно перекликается с математикой и с Вашим комментом). - "Поэзия глупа!. - В суждении таком есть свой резон... Но не забудь при этом, что не всегда Дурак рождается поэтом. Он может быть и просто дураком."

[@igorkudeyar]

@@FrolovSergei Согласен, дискуссия здесь не сделает математику естественной, а не продуктом землемерия и торговли. Нужна не дискуссия, а исследование многомерности вычислений. Не существует "один", - существует "один предмет", - а это уже не линейность, а двумерность. Но есть еще и третье измерение числа - его относительность. И четвертое - время."Один кирпич у пловца" и "один кирпич у строителя" - это разные кирпичи. "Один кирпич у пловца в заплыве" и "один кирпич у пловца после заплыва" - разные кирпичи.

[@igorkudeyar]

@@Alpasonic сразу видно - человек не задумывается , о чем говорит. Так и математики - не задумываются о сути чисел - городят формулы напропалую. "Два" - расскажи, что это? "Два человека" - это уже о чем-то, - два измерения, плоскость, а не торгово-землемерная линейность. "Два живых человека" - это уже трехмерно. Но есть и четвертое - время. Не учитывая в вычислениях этих измерений все "расчеты" - чушь.

[@Alpasonic]

@@igorkudeyar Не удивлюсь, если окажется, что Вас выгнали из местной церковно-приходской школы за Ваш бунтарский дух и откровенное богохульство.😅 Have a nice weekend😘