Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1/(cbrt(4)+sqrt(3)+sqrt(2))?

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1/(cbrt(4)+sqrt(3)+sqrt(2)).
Решать задачу будем в два этапа. На первом с помощью домножений числителя и знаменателя на различные числовые выражения и применения формулы сокращённого умножения избавляемся от квадратных корней в знаменателе.
В результате получаем в знаменателе выражение, содержащее корни кубические от чисел 2 и 4. Для избавления от кубических корней домножаем числитель и знаменатель дроби на множитель, сопряжённый относительно знаменателя. Подбор множителя осуществляем с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Отметим, что и знаменатель дроби, и множитель принадлежат линейному векторному пространству над полем рациональных чисел, базисом в котором выступает упорядоченный набор чисел {1, cbrt(2), cbrt(4)}. Можно доказать, что данное пространство является полем. Размерность этого пространства равна трём. Она совпадает со степенью многочлена с рациональными коэффициентами, неприводимого над полем рациональных чисел, корнем которого является cbrt(2). Он же - минимальный многочлен числа cbrt(2) над полем рациональных чисел.
Упомянутый видеоролик: • Как доказать, что a∙cb...

[@FrolovSergei]

Это перезалив. В передыдущей версии видеоролика я обнаружил неточность, поэтому решил исправить её и загрузить ролик заново. Под старой версией ролика были оставлены 2 комментария. Отвечаю на них ниже.

[@irinamladova]

Отличный разбор! Как обычно, четко, логично, наглядно и интересно.

[@FrolovSergei]

Благодарю!

[@romank.6813]

Эт, типа, Алиса зачитывает текст, составленный Сергеем Фроловым, голосом самого Сергея Фролова...

[@BukhalovAV]

Решил, избавившись сначала от кубического корня, а затем поэтапно от квадратных корней. Ответ тот же. Но потратил около получаса... Ещё и числитель пытался упростить... Но было любопытно увидеть вышмат в пусть и олимпиадной, но задаче для 7-8 класса. Всё-таки продвинутые инструменты иногда упрощают жизнь, если знаешь, где и как их применять.

[@papaschultz]

мне этот формат нравится больше. Только просьба на будущее - хотя бы пару слов о рассматриваемых сущностях. Я вообще впервые услыхал про линейное пространство, пришлось лезть в вики, поэтому для таких как я хотя бы пару слов о том что вообще происходит. Это на будущее, для следующих вещей которые не проходят в начальной школе. Да, линейное пространство оказалось штукой полезной, и, в общем, понятной. Обьяснение понятно. Решения сделано для общего случая когда все координаты вектора ненулевые. В случае когда нет, например, квадратичной координаты в знаменателе, то можно было бы выделить разность кубов, то есть в частных случаях возможны упрощения. А в общем виде да, по моему красиво.

[@FrolovSergei]

Спасибо за обратную связь! Было интересно прочитать мнение о новом формате. Что касается информации о рассматриваемых сущностях, то приходится находить компромисс между приведением такого рода информации и компактностью видеоролика. Мне кажется, что сравнительно длинные ролики смотреть будут менее охотно. Сужу, в том числе, и по себе. Заинтересовавший меня ролик по математике до 10 минут я посмотрю сразу. А просмотр ролика свыше 20 минут, скорее всего, отложу "на потом", причём ещё неизвестно, наступит это "потом" или нет. То, что между 10 и 20 минутами, - 50 на 50, в зависимости от настроения и наличия времени. Мне кажется, что 16 минут на ролик - уже многовато. А приведение полного определения линейного пространства увеличило бы его длительность на пару минут. А если бы я ещё определение поля привёл? А определение базиса? А определение линейной зависимости? А если бы я ещё стал доказывать, что L является полем? Глядишь, и уже целая лекция получилась бы минут на 40-50. :-) В любом случае, при изложении решения любой задачи приходится предполагать, что определённые знания по рассматриваемой тематике у зрителя уже имеются. Без этого, увы, никак... И да, совершенно верно, один кубический корень в знаменателе легко "убирается" домножением на соответствующий неполный квадрат суммы или разности. Поэтому интереснее рассмотреть чуть более сложный случай. Ещё раз спасибо!

[@FrolovSergei]

Под старой версией ролика пользователь Nikita Levin (@Pentagidrad) оставил следующий комментарий: Очень интересное видео, Сергей! Новый формат явно позволяет давать больше материала - я думаю, у ваших видео есть достаточно большой потенциал в этом смысле Осталось только пожелать сменить микрофон - уж больно сильно по ушам бьет. Мне кажется, даже самый дешманский встроенный микро на ноутбуке будет лучше. Ну или перестать говорить прямо в него

[@FrolovSergei]

Мой ответ: Nikita, большое спасибо за комментарий! По поводу звука удивили. Он не идеален, но я бы оценил его качество как "приемлемое". И я могу согласиться с тем, что у меня не очень хорошо поставленный голос, и с тем, что я, возможно, допустил какие-либо ошибки при записи голоса или в ходе его обработки. Но с тем, что аудиорекордер ZOOM H1n записывает звук хуже встроенного ноутбучного микрофона, согласиться никак не могу. :-) Я иногда во время записи голоса забываю переключить источник звука, в результате чего звук записывается со встроенного ноутбучного микрофона, и разница с записью посредством аудиорекордера колоссальная, не в пользу ноутбучного микрофона, разумеется. А говорить, вроде бы, принято как раз-таки прямо в микрофон. В противном случае при записи голоса в помещении может появиться эхо. Это хорошо слышно на роликах с моим присутствием в кадре. Стоит мне даже немного отодвинуть рекордер ото рта или направить его в сторону, и вот оно эхо, пожалуйста. И это при том, что у меня в комнате много мебели, шторы и ковёр. В этот раз вроде бы особого перегруза нет, ударные согласные худо-бедно "гасятся" ветрозащитой, хоть и не поп-фильтром... Но, как бы то ни было, спасибо за обратную связь, я Вас услышал. Буду думать на эту тему.

[@Pentagidrad]

@@FrolovSergei Спасибо за ответ. Послушал еще раз - да нет, отчетливо слышны помехи, как если бы кто-то тыкал пальцем в микрофон. Но скорее всего это вызвано произношением билабиальных согласных (б, п, например) слишком близко к микрофону. Я просто слушаю за компьютером в хороших наушниках-хедсетах, и мне прямо по ушам бьет. Upd: пересмотрел часть ваших старых видео - та же история, просто, видимо, когда есть картинка, мозг меньше внимания обращает на звуковые помехи. Вообще судя по всему, на микрофоне не выставлены некоторые настройки как надо, вроде gain и поп-фильтра (это я загуглил, я на самом деле не особо разбираюсь). Upd2: перечитал еще раз ваш комментарий - а вы уже оказывается упомянули и ударные согласные, и поп-фильтр. Последний, судя по всему, может помочь погасить эти лишние звуки при записи голоса, так что наверно надо в этом направлении думать.

[@FrolovSergei]

@@Pentagidrad Благодарю за столь развёрнутый комментарий! Да, я и сам уже тоже слышу эти помехи, о который Вы говорите, даже в динамиках ноутбука. Ветрозащита, надетая на микрофон аудиорекордера, конечно же, гасит негативный эффект от этих ударных согласных (без неё было бы всё совсем грустно), но, получается, в недостаточной степени. Полноценной заменой поп-фильтру она служить не может. Значит, нужно думать о покупке поп-фильтра. А пока можно попробовать говорить потише, чтобы уменьшить скорость вылета воздуха изо рта. Что касается того, что мозг меньше внимания обращает на звук, когда есть картинка, то это интересное предположение! Думаю, что так и есть. Соответственно, при переходе к формату видеоролика с закадровым голосом, но без наличия себя в кадре, следует позаботится о более высоком качестве звука. Буду стараться развиваться в этом направлении, тем более, что развиваться есть куда. Ещё раз спасибо за комментарии! Они дали мне обильную пищу для размышлений.

[@warlord9259]

Было интересно, но я ничего не понял 😂

[@FrolovSergei]

Ничего страшного! Здесь нет ничего особо сложного, и при желании можно разобраться.

[@FrolovSergei]

Под старой версией ролика пользователь Papa Schultz (@papaschultz) оставил следующий комментарий: красиво

[@FrolovSergei]

Мой ответ: Спасибо!

[@romanroman2505]

Теперь я знаю всё

[@xow998]

Мне кажется, что можно упростить решение, после избавления от квадратных корней в знаменателе. Для того что бы понять как это сделать, можно посмотреть ролик Валерия Волкова "Избавиться от иррациональности в знаменателе 1/(√2+∛3)" kzbin.info/www/bejne/rZ-vlmmFrcqnaM0 .

[@FrolovSergei]

Спасибо за ссылку! Посмотрю.

[@alfal4239]

Волков от одного кубического корня избавляется. А здесь два корня кубических.

[@FrolovSergei]

Посмотрел видеоролик. Собственно, al fal уже исчерпывающе ответил. Но, тем не менее, отвечу чуть-чуть более развёрнуто. Там рассматривалась более простая задача. Действительно, корень кубический в той задаче в знаменателе был только один. Поэтому легко догадаться, что в качестве сопряжённого множителя следует взять неполный квадрат суммы чисел, разность которых стоит в знаменателе. А в нашем случае кубических корня два. Поэтому сходу подобрать сопряжённый множитель крайне сложно.

[@xow998]

@@FrolovSergei , где же 2 то кубических??? , ОДИН!!!. 2 квадратных.. Это несколько усложняет решение конечно, по сравнению с Волковым, на одну итерацию, но так и должно быть. Слагаемых в знаменателе 3 и итераций 3.

[@FrolovSergei]

@@xow998 Вы написали в первом комментарии: "Мне кажется, что можно упростить решение, после избавления от квадратных корней в знаменателе." После избавления от квадратных корней мы получаем в знаменателе два кубических корня, а не один.

[@maxm33]

Где тут высшая алгебра??

[@FrolovSergei]

Не знаю. Название задачника, разумеется, придумал не я. Что называется, за что купил, за то и продал.