Как найти границу фигуры, заметаемой "падающей лестницей"?

Отрезок единичной длины двигается таким образом, что его концы находятся на координатных осях (в первом координатном углу), и при этом закрашивает (всей своей длиной) часть плоскости, по которой двигается. Найдите уравнение линии, отделяющей закрашенную часть плоскости от незакрашенной.
Задачу можно рассматривать как задачу нахождения уравнения границы фигуры, заметаемой "падающей лестницей", представленной отрезком единичной длины, верхняя часть которой скользит по стене, не отрываясь от неё, а нижняя скользит по полу, не отрываясь от него, при условии, что в начальный момент времени лестница расположена строго вертикально, а в конечный - строго горизонтально.
Понятно, что фигура ограничена двумя отрезками единичной длины, лежащими на координатных осях и расположенными под прямым углом, а также кривой, соединяющей несовпадающие концы этих отрезков. Сосредоточимся на нахождении уравнения именно этой кривой.
В ходе решения задачи нам понадобятся как методы аналитической геометрии для построения уравнения прямой в отрезках, так и методы математического анализа, в частности, дифференциального исчисления, позволяющие проводить исследования функций на наличие точек экстремума, в частности, точек максимума.
А ещё в ролике мы познакомимся с замечательной кривой - астроидой и увидим компьютерную анимацию, демонстрирующую процесс заметания фигуры "падающей лестницей".

[@romank.6813]

Я решал по-другому. Пусть в какой-то момент икс низа лестницы находится в а, тогда игрек верха лестницы в √(1-а^2). Даём a маленькое приращение da, получаем новую прямую с точками пересечения в (а+da,0) и (0,√(1-(a+da)^2). Пишем уравнения прямых, ищем точку пересечения, в уравнении для этой точки выкидываем всё, что выше da в первой степени. Найденная точка пересечения и будет точкой на искомой кривой. С результатом в ролике совпало.

[@Serghey_83]

Огибающей будет АСТРОИДА

[@FrolovSergei]

Если быть чуть более точным, то четверть астроиды.

[@OLEGEK23]

Отлично, интересная задача. Единственное что - я бы предложил анимацию падения смонтировать вначале для наглядности. Слова не так наглядно передают смысл данной кривой, хотя всё вполне понятно))

[@FrolovSergei]

Спасибо за просмотр и за отзыв! Ну а вдруг зрителю после просмотра анимации уже не захочется узнавать уравнение кривой? Мол, и так примерно понятно, как она проходит. А так есть стимул досмотреть ролик до конца. 🙂 Впрочем, не думаю, что очень сильный.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei «Ну а вдруг зрителю после просмотра анимации уже не захочется узнавать уравнение кривой?» А что, довод резонный. (Заметьте, именно довод, а вовсе не отмазка.) А то какие все нежные, анимацию им подавай. 🙂

[@nikolaymatveychuk6145]

Как-то сложно, я решил проще, просто ввёл функцию двух аргументов и понеслась. h = √(1 - x²) - точка, в которой лестница прикасается к вертикальной оси f(a, x) = h*(1 - a/x) = √(1 - x²)*(1 - a/x), где f(a, x) - это высота "лестницы" в координате a, когда нижний край лестницы находится в координате x. Чтобы найти максимальное значение функции для некоторого конкретного a, нужно найти экстремум этой функции по параметру x (так же говорят в математике? если нет, то сейчас станет понятно о чём я) Сначала находим производную по dx: df(a, x)/dx = √(1 - x²)*a/x² + (1 - a/x)*(-x)/√(1 - x²); df(a, x)/dx = √(1 - x²)*a/x² + (a - x)/√(1 - x²); Теперь приравниваем её к нулю и выражаем x через a (чтобы избавиться от этих самых иксов) √(1 - x²)*a/x² + (a - x)/√(1 - x²) = 0; (1 - x²)*a + x²*(a - x) = 0; a - ax² + ax² - x³ = 0; a - x³ = 0; x = ∛a; подставляем в нашу функцию, удаляя второй аргумент (так как он теперь не является независимым) f(a) = √(1 - ∛a²)*(1 - a/∛a) = √(1 - ∛a²)*(1 - ∛a²); f(a) = √(1 - ∛a²)³. ГОТОВО!

[@FrolovSergei]

Только желательно ещё пояснить, почему данная стационарная точка, найденная Вами, является точкой максимума. А, по сути, главное отличие Вашего решения от моего заключается в том, что Вы взяли в качестве параметра абсциссу нижней точки лестницы, а я - угол между лестницей и стеной. Считаете, что Ваше решение проще? Ну, я бы, скорее, не согласился. Например, "мою" функцию дифференцировать проще. Всего-то нужно найти производные синуса и котангенса, а они непосредственно берутся из таблицы производных. Но спорить не буду. В данном случае выбор того или иного способа решения - дело вкуса, как мне кажется.

[@nikolaymatveychuk6145]

​@@FrolovSergei Да, согласен, в целом база решения одна и та же. Из Вашего решения мне сложным показалось именно то, что оно требует знание большого количества фактов (в том числе производные от таких функций, которые школьник может принимать только на веру, потому что для их расчёта нужна намного более серьёзная математика). Моё же решение основано на утверждениях, которые запросто доказываются в школе, такие, как: - теорема Пифагора (её вовсе геометрически можно показать), - производная произведения (v + dv/dx)*(u + du/dx) - v*u = v*du/dx + u*dv/dx + dv*du/dx = v*u` + u*v`, а dv*du/dx сокращается, так как близко к нулю, - производная 1/x (1/x)` = (1/(x+dx) - 1/x)/dx = ((x - x - dx)/(x² + xdx))/dx = -1/(x² + xdx), где xdx снова же близко к нулю, потому (1/x)` = -1/x², - производная функции от функции u(v(x))` = (u(v + dv) - u(v))/dx = du/dv * dv/dx = u`(v)*v`(x) - производная x² ((x + dx)² - x²)/dx = (2xdx + dx²)/dx = 2x + dx = 2x (так, как dx близко к нулю) Моё решение проще в этом смысле... не остаётся магии, все доказательства лежат в пределах школьных знаний, причём крайне базовых для старших классов. Это не то же самое, что вывести производную синуса самостоятельно :)

[@FrolovSergei]

@@nikolaymatveychuk6145 Ну, эта задача из студенческой олимпиады, так что я себя никакими рамками в ходе её решения особо не ограничивал. Сам я закончил школу в прошлом веке ещё и, если мне не изменяет память (а она запросто может изменить), нам всю таблицу производных и все правила дифференцирования предлагалось принять на веру. Возможно, сейчас в школах ситуация иная. Отмечу ещё, что в своих выкладках Вы весьма вольно обращаетесь с дифференциалами. Строго говоря, так делать нельзя. По-хорошему, нужно рассматривать пределы, а вместо дифференциалов аргумента желательно использовать его приращения.

[@nikolaymatveychuk6145]

@@FrolovSergei я в Украине в школе учился и закончил 2006-ого кажется (простите. не помню уже точно). Нам тоже доказательства производных приводила учительница только в силу собственного убеждения. что кто-то из нас их поймёт, и делала это редко, но в учебниках они всё же зачастую прописывались, потому в силу любопытства можно было разобраться. Уверен, что в российской школе должно быть не хуже, особенно учитывая, что видел задачи здешних старших классов, которые в своё время ставили меня в очень глухой тупик. Насчёт вольностей в решении прошу пояснить, возможно я просто являюсь небрежным в записях своих идей. Под dx, dy, du, df я имею ввиду именно стремящееся к нулю изменение соответствующего значения (на клавиатуре просто с символом дельта есть проблемы). По сути выражения с ними можно обрамить в lim(dv -> 0, [выражение, в котором упоминается dv]). Потому фактически, работая с этими величинами я их и воспринимаю как пределы.

[@ДанилХристофоров-р4в]

Здравствуйте, я немного не могу осознать момент с функцией f(a,x) , вы написали, что она отвечает за высоту лестницы, тогда "а" это координата лестницы и "h" это точка в которой лестница соприкасается вертикальной оси, я не могу уловить разницу между "а" и "h", ваше решение привело к верному результату, значит его шаги верны,но я не могу понять как строиться ваша функция f(a,x), и за что отвечает множитель(1-a/x), откуда он взялся,можете растолковать?

[@ВладиславПойманов]

Спасибо за очередной шедевр. Получается часть астроиды. Любопытно, но я как то развил одну задачу по геометрической оптике и там у меня тоже астроида получилась перемасштабированная. Выглядит примерно так - какова траектория наблюдаемого в воде предмета при горизонтальном перемещении наблюдателя?

[@FrolovSergei]

Да, именно так, часть астроиды. Интересный пример с возникновением астроиды в задаче по геометрической оптике! Вам спасибо за просмотр и за комментарий!

[@Micro-Moo]

Поскольку всегда находится много любителей придраться, предлагаю сделать оговорку, исключающую одну из очевидных придирок. Это не падающая лестница. Это такая кинематика, при которой концы лестницы всегда находятся в контакте со стеной и полом, каким-то образом прижимаются к ним. Да, а понимаю, что оговорка тривиальная. Она уже содержится в ваших словах «не отрываясь от неё». Дело в том, что если бы была реально падающая лестница, задача была бы другой, значительно сложнее. В какой-то момент левый верхний конец лестницы как раз и отрывается от стены, а дальше движение более сложное, вплоть до отскакивания от пола. Эта задача тоже решается, траектория от трения зависит, и т. д.

[@FrolovSergei]

Разумеется! Не зря же я словосочетание "падающая лестница" и в названии ролика, и в описании, и на обложке заключаю в кавычки.

[@Micro-Moo]

@@FrolovSergei Понятно, спасибо. Я бы тогда заключил в кавычки только слово «падающая». 🙂

[@maxm33]

А он отрывается? Сходу это неочевидно. Но, видимо, да: ближе к низу лестница набирает горизонтальную составляющую скорости и левый конец должен оторваться от стены.

[@Micro-Moo]

@@maxm33 «...ближе к низу лестница набирает горизонтальную составляющую скорости...» Да, именно так. Это ещё от трения зависит...

[@Ihor_Semenenko]

Положим лестница мягкая, покрытая пластилином, а трение под нижним концом растет по мере удаления, т.е. падает она плавно и не отскакивает) На самом деле оторвется лестница от стены или нет - нужно считать в конкретном случае, для которых нужна масса лестницы и трение ее по стене и полу. Что касается подскока, то в момент падения она ляжет строго на пол, а дальше что будет - задаче не интересно.

[@alfal4239]

Эти корни только под ногами путаются, зачем они? Дифференцируем, находим x = sin^3, y = cos^3. И всё.

[@FrolovSergei]

Если нас устроят параметрические уравнения кривой, то да, и так можно поступить. А если хотим выразить y через x, то без корней не обойтись, если не на одном этапе решения задачи, так на другом.

[@aristofer]

Я ожидал какого-нибудь уравнения из "семейства" эллипсов, окружностей и астроид. В итоге вышла астроида)

[@Anna.Bystrik]

To these commenters who mention the ladder's mass and gravity independence (discussing the conditions of the ladder separating from the wall): that is the case only assuming constant friction coefficients, zeroth order approximation wrt speed. Allowing a velocity-dependent friction model would make this analysis mass and gravity-dependent. As all friction models are essentially heuristic, our imagination is restricted only by our willingness to complicate the issue mathematically and by the actual data that can be collected on fallen ladders :)

[@John-nw1wb]

A great idea. I'll start experiments tomorrow with my 5m ladder. As friction over earth is rather high I'll enforce the ladder to move by climbing at it's top. :-)

[@ВладиславПойманов]

Более короткое решение Пусть t - угол между лестницей и полом. 1. Уравнение лестницы y(t)=sin(t)-tg(t)*x 2. Изменим угол на t+dt: y(t+dt)=sin(t+dt)-tg(t+dt)*x 3. Найдем точку их пересечения в пределе малых dt: y(t)=y(t+dt). Получим x=d(sin(t))/d(tg(t))=cos(t)^3 4. Подставим в формулу для y(t) и получим y=sin(t)^3 5. Подставим cos(t) и sin(t) через x и y в ОТТ откуда x^(2/3)+y^(2/3)=1

[@alfal4239]

Оно не короткое, оно длиннее, чем у автора: 1. Уравнение лестницы y(t)=sin(t)-tg(t)*x 2. Производная dy/dt обращается в ноль при x=cos(t)^3 3. Подставим в формулу для y(t) и получим y=sin(t)^3

[@ВладиславПойманов]

@@alfal4239 я чисто по времени ролика ориентировался

[@FrolovSergei]

@@ВладиславПойманов Вот что бы я точно не стал делать - так это сравнивать текст с видеороликом. :-) Это совершенно разные жанры! Я уже не говорю о том, что текст гораздо быстрее читается, чем проговаривается вслух, тем более, при моём небыстром темпе речи. И о том, что значительная доля времени в ролике тратится на объяснение условия, построение чертежей, демонстрацию картинок и анимации, а также на пояснения, которые для искушённого зрителя совершенно излишни, но могут оказаться полезными новичку в решении такого рода задач. А если я захочу своё решение изложить сжато в виде текста, то я тоже смогу ограничиться четырьмя-пятью сотнями символов.

[@Micro-Moo]

Что, красивая задача. Задач на заметание много, и они обычно довольно трудные. А здесь красота в том, что задача вполне обозримая, не столько трудная, сколько тонкая.

[@gorleghado2938]

Теорема Коперника старая добрая)

[@romank.6813]

Вот за задачку на ночь спасибо! Ролик завтра заценю, а теперь баиньки с мыслями о падающей лестнице. Под её грохот засыпать легче.

[@Micro-Moo]

Конечно. Это умиротворяющее чувство, когда понимаешь: хорошо, что я в это время не стоял на той лестнице. 🙂

[@One-androgyne]

Спасибо большое за такой развернутый и понятный ответ и красивую анимацию! Такое ощущение что низ лестницы движется с большей скоростью чем вверх и при этом ометает больше площадь чем вверх лестницы! У меня даже появилось пару задачек для дальнейшего исследования задачи!

[@FrolovSergei]

Вам большое спасибо за просмотр и за комментарий! Изначально, кстати, я создал анимацию (не вошедшую в итоговый ролик), в которой низ лестницы двигался с постоянной скоростью. При этом теоретически скорость верха лестницы должна изменяться от нуля до бесконечности. Выглядит это не очень: сначала верх лестницы двигается очень медленно, затем разгоняется и резко "падает". От этого варианта я отказался и реализовал вариант, в котором угловая скорость вращения лестницы относительно её середины постоянна. Именно этот вариант и вошёл в ролик. Но движение у нас сложное, поскольку движется ещё и сама середина лестницы, относительно которой происходит вращение. Так что скорости верха и низа мне сходу не найти, надо взять бумажку и ручку. Но в любом случае не может быть такого, что низ всегда движется быстрее верха. Действительно, и верх и низ преодолевают одинаковые расстояния за одно и то же время, а значит, их средние скорости совпадают. И если на каком-то временном промежутке низ движется быстрее верха, то на другом верх движется быстрее низа. А что значит "низ заметает большую площадь, чем верх", не очень понятно.

[@One-androgyne]

@@FrolovSergei Я наверное имел ввиду что касательная внизу данной кривой астроиды будет как бы падать и площадь под ней будет большей чем касательной сверху как бы сползающей в низ, но потом да, все поменяется местами наоборот)))

[@-wx-78-]

22:05 Лестница как бы проскальзывает вдоль ветви астроиды. Я задумался: а если не проскальзывать? Типа приложить линейку нулём к (0; 1) и «катить» вдоль кривой пока точка касания не придёт в (1; 0). Ноль линейки опишет эвольвенту, предположительно в виде четверти эллипса с полуосями ½ и 1. Надо вспоминать дифференциальную геометрию. 😉

[@FrolovSergei]

А это Вы хорошую задачу предложили!

[@Micro-Moo]

Вы объяснили, почему при падении с лестницы иногда говорят «звезданулся». Мы-то по наивности думали, что это эвфемизм, а на самом деле потому, что лестница падает по астроиде, это слово восходит к слову «звезда». 🙂 (Хотя на самом деле реальная лестница падает не так, она в общем случае отрывается от стены.)

[@alfal4239]

@@Micro-Moo "Вы объяснили, почему при падении с лестницы иногда говорят «звезданулся»." -- Это только иногда говорят такое слово. Гораздо чаще вырывается похожее слово, но на одну букву короче. 🤑

[@Micro-Moo]

@@alfal4239 «Гораздо чаще вырывается похожее слово, но на одну букву короче.» А вы обратили внимание, что я упомянул термин «эвфемизм»? А также «иногда»?

[@br0nduljak]

Слушал внимательно. Непонятно что такое икс нулевое. Это что, так левая пятка пожелала? Все последующие рассуждения есть "поиски чёрной кошки в тёмной комнате, в которой заведомо нет и не было никакой кошки". Уж простите за каламбур !

[@FrolovSergei]

x0 - это произвольное фиксированное число из интервала (0, 1). Вроде, в ролике об этом чётко говорится. Возможно, всё-таки, невнимательно слушали. Что именно пожелала "левая пятка"? Ввести в рассмотрение данное число? Ну, если угодно в такой терминологии рассуждать, то да. Разумеется, я решаю задачу так, как мне хочется и, соответственно, ввожу в рассмотрение всё, что мне хочется. Никаких аналогий с "поисками чёрных кошек" и близко не вижу, так что и Вы простите.

[@br0nduljak]

@@FrolovSergei Вы оригинал ! Я до сих пор полагал, что в математике любое действие должно быть обосновано. Если бы Вы в ролике заявили, что выбираете произвольное значение Х для какой-то цели, то у меня не было бы вопроса. А метод решения задачи "как мне ХОЧЕТСЯ" - это какой-то оригинальный подход.

[@FrolovSergei]

@@br0nduljak Мои действия привели к абсолютно корректному решению математической задачи. Вот и всё обоснование. А какие ещё обоснования Вам нужны? При игре в шахматы, скажем, я могу делать любые разрешённые правилами ходы, какие мне заблагорассудится. Так же и при решении математических задач я могу использовать любые корректные с математической точки зрения приёмы и методы, какие захочу. Здесь нет ничего оригинального, это совершенно заурядный подход, уверяю Вас. А если Вас интересует, с какой конкретной целью я ввёл в расмотрение x0, то это уже другой вопрос. Цель эта сформулирована в ролике (см. тайм-код 11:05). Заключается она в нахождении по заданному x0 такого y0, чтобы точка с координатами (x0, y0) принадлежала границе нашей фигуры. Фактически достижение этой цели почти сразу же приводит нас к решению задачи.

[@ЯрославФедотов-ж4ф]

Говоря о падающей лестнице, с чего вы взяли, что она (ее левый конец) не оторвется от стены в процессе падения? Решите задачу в более общей постановке: введите начальный угол A между лестницей стеной (0 < А < п/2) и коэффициенты трения k1, k2 лестницы о стену и пол. Выясните, при каких условиях на эти параметры лестница: а) в процессе падения оторвется от стены и в каком положении это произойдет, b) вообще не будет двигаться. Покажите, что лестница в процессе падения никогда не оторвется от пола. А также найдите огибающую положений лестницы в процессе падения в этом общем случае. Это намного интереснее, чем рассмотренный вами сферический конь в вакууме. Падение лестницы считать завершенным в момент, когда ее левый конец достиг пола.

[@FrolovSergei]

А Вы заметили, что словосочетание "падающая лестница" в названии видеоролика и на обложке заключено в кавычки? И что в условии задачи, которое я привожу, речи не идёт ни о какой лестнице? Это чисто математическая задача, не имеющая почти никакого отношения к физике. Я просто обозвал движущийся отрезок "падающей лестницей", только и всего. И я говорю в ролике о том, что концы лестницы не отрываются от стены и от пола; это считается заданным именно по условию! Можно считать, что верхняя и нижняя части лестницы движутся по вертикальным и горизонтальным рельсам соответственно, сконструированным так, что исключается возможность отрыва от них концов лестницы, если уж очень хочется "привязать" задачу к реальности. Насчёт того, что более, а что менее интересно - так интересы-то у всех разные. Мне, например, данная задача весьма интересна. И да, у меня весь канал посвящён "сферическим коням в вакууме", если что. А все Ваши предложения я могу Вам же и переадресовать. Возьмите и решите ту задачу, которую сами сформулировали, и снимите ролик на эту тему. Кидайте ссылку прямо сюда. С удовольствием ознакомлюсь с роликом и буду рекомендовать его всем знакомым. Уверен, что Ваш ролик будет гораздо более популярен, чем мой. Успехов!

[@ЯрославФедотов-ж4ф]

@@FrolovSergei Я уже другими задачами занимаюсь, мало связанными с физикой. Эта задача вообще из школьного курса. Написал ее обобщение для школьников, кому интересно сделать научную работу. Если бы мне кто-то посоветовал такую задачу, когда я был в 9 классе, я бы с удовольствием ею занялся

[@FrolovSergei]

@@ЯрославФедотов-ж4ф А, так Ваш комментарий, оказывается, школьникам адресован! Я-то подумал, что он адресован лично мне, поэтому и ответил.

[@ЯрославФедотов-ж4ф]

@@FrolovSergei Поначалу Вам тоже, причем в первую очередь. Но так как Вы сказали, что обобщенная задача Вам не интересна, то она остается школьникам для исследования, которые любят задачи посложнее. Или - другим блогерам. Кто-то, может быть, еще скорость и время падения исследует и другие вопросы, о которых я ниже в комментариях писал. Очень большое поле для исследований, можно целую брошюру написать "О падающей лестнице"

[@ЯрославФедотов-ж4ф]

Да, еще ж и человека массой m можно рассмотреть, который, начиная с края лестницы, подымается или спускается по ней с начальной скоростью v0 и с постоянным ускорением а относительно лестницы, или который просто скользит вниз по лестнице под действием силы тяжести (при скольжении коэффициент трения человека о лестницу равен k). Исследовать вопрос, как далеко он успеет переместиться от края лестницы, пока она не начнет падать или пока не упадет. При этом длину и массу лестницы, а также напряженность гравитационного поля ("ускорение свободного падения"), естественно положить равными единице.

[@Искатель-э3й]

А если координаты Y и X не одинаковые? В рассмотренном примере координаты начальной и конечной точки [0,1] и [1,0]. А что если координаты будут к примеру [0,0.7] и [1,0] ? Надеюсь вопрос понятен) Другими словами, какое уравнение будет если длинна по вертикали не равна длине по горизонтали.

[@FrolovSergei]

Т. е. лестница начинает падать не из строго вертикального положения, а из положения наклона к стене под некоторым ненулевым углом? Я правильно понял вопрос?

[@Искатель-э3й]

@@FrolovSergei Нет, нет) Всё то же самое, только расстояние которое проходит лестница по горизонтали меньше расстояния которое она проходит по вертикали. В вашем примере лестница двигается по сторонам квадрата, вертикаль и горизонталь равны. Я же спросил, каким будет уравнение, если лестница будет двигаться по сторонам прямоугольника. Ну да, получается, что лестница не влезет как бы в прямоугольник, но можно представить, что по мере падения она уменьшается) Ну тут не суть, смысл в самих расстояниях, с квадратом понятно, а что будет если расстояния не равны. Могу даже ещё понятнее объяснить) Оставим пока лестницы. У нас есть прямоугольник (вертикаль больше горизонтали). Из двух вершин(левой верхней и левой нижней) одновременно начинают движение 2 точки. Причём они движутся так, что одновременно! достигают концов сторон, по которым движутся. И вот если соединить эти 2 точки прямой, получится такая же заметаемая фигура, только в прямоугольнике. Надеюсь теперь понятно)

[@FrolovSergei]

​@@Искатель-э3й Получается, что вертикальная координата верхней точки лестницы и горизонтальная координата нижней являются произвольными функциями от времени с теми лишь ограничениями, что вертикальная уменьшается, горизонтальная увеличивается, а также зафиксированы значения этих функций в начальный и конечный моменты времени. Такой произвол, очевидно, не даёт нам возможности решить задачу. Уравнение границы, разумеется, будет зависеть от этих двух функций. А если исключить время из уравнений движения верхней и нижней точек, то можно сказать иначе: уравнение границы зависит от того, как связаны между собой координаты этих двух точек (вертикальная верхней и горизонтальная нижней). В нашем случае они связаны через теорему Пифагора (сумма квадратов координат фиксирована), и мы получили в качестве границы четверть астроиды. А если связь будет другой, то другой будет и граница.

[@Искатель-э3й]

@@FrolovSergei Хм... ясно... Спасибо за ответ, подумаю ещё, как-нибудь на досуге)

[@FrolovSergei]

@@Искатель-э3й На здоровье!

[@camacama3217]

Здравствуйте, есть задача, можете пожалуйста помочь? Нужно вывести признак делимости на 45, как в видео на вашем канале "признак делимости на 9", буду очень благодарен

[@FrolovSergei]

Так ведь 45 - это 5 на 9. Значит, объединяем признаки делимости на 9 и на 5, в результате получаем признак делимости на 45.

[@ЮрийБаринов-в5г]

За видео спасибо.

[@FrolovSergei]

Вам спасибо за просмотр и за комментарий!

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

Как-то наши ребята с теорфизики решали задачки повышенной сложности. И бились над такой задачей. Только там нужно было найти только угол в момент отрыва. Все уравнения, силы, моменты расписали быстро. А вот до условия отрыва додуматься не получалось. А я додумался. Даже ответ помню. Арксинус 2/3.

[@maxm33]

Угол между полом и лестницей? Интуитивно кажется меньше. Но это потому, что в реальной жизни трение обычно такое, что она вообще может не оторваться. Может же? 🤔 Или если начала падать, всегда оторвется?

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@maxm33 А вот это уже другая интересная задача, оторвётся она или нет. Если она была изначально строго вертикальна, то поехать она сможет только при нулевом коэффициенте трения. Если же он не нулевой, то лестнице необходимо придать начальный угол, при котором начнётся движение. Каков этот угол, это можно сделать первым вопросом задачи. И далее исследовать зависимость угла при котором происходит отрыв в зависимости от коэффициент трения лестницы об пол. Коэффициент трения о стену можно положить таким же, что и об пол. Да, угол между полом и лестницей. И я специально не написал условие отрыва, чтобы дать народу самому подумать.

[@romank.6813]

А теперь трёхмерная задачка. Палка длины 1 может кататься на роликах по координатным плоскостям. Найти уравнение границы объема, который она будет заметать.

[@romank.6813]

@@Micro-Moo С моей палкой всё норм, она трёхмерная! Если кто-то сомневается, могу эту палку кинуть... Короче, какое уравнение поверхности?

[@nikolaymatveychuk6145]

Это так не работает. Палка, у которой 2 конца, не может кататься по трём плоскостям одновременно. А если мы позволяем ей кататься по любым двум, то объём автоматически становится бесконечным, потому что встали на ролики, покатились вдоль оси координат и готово. Если же потребовать, чтобы один конец палки всегда находится на координатной оси перпендикулярной плоскости, по которому катается другой конец палки - вот это уже другое дело совсем.

[@Micro-Moo]

@@romank.6813 Если ваша палка трёхмерная, вам нужно описать её форму. Думаю, и с двумерной палкой задача получится, нужно только аккуратнее определить понятие «заметание». В любом случае, ваша задача очень даже неплохая. Предложить так быстро уравнение поверхности не смогу, уж извините меня, немощного. А у вас решение есть? На самом деле корректной формулировки здесь нет, я ошибся.

[@Micro-Moo]

@@nikolaymatveychuk6145 «Палка, у которой 2 конца, не может кататься по трём плоскостям одновременно.» Так никто не сказал «одновременно». Один из концов всегда в одной из трёх плоскостей, другой - в другой. Очень даже бывает, задача вполне осмысленная. Ну да, нужно было сформулировать точнее: палке разрешается кататься только внутри трёхгранного угла, по аналогии с задачей в видео. По таким четвертинкам плоскостей. Мне несложно нарисовать такую задачу в уме, а у вас почему-то не получилось. Думаю, автор задачи представляет её так же, как я. Давайте его спросим.

[@nikolaymatveychuk6145]

@@Micro-Moo проблема в формулировании задачи. Вы относитесь к формулировке задачи так, как будто бы она не имеет значения, а важно тут решение. Но на самом деле пока не понятно что решать. Что значит "внутри трёхгранного угла"? Начало координат с координатными плоскостями образуют трёхгранный угол по определению. Значит ли это, что точки (100, 1/√2, 0) и (100, 0, 1/√2) могут быть краями рассматриваемого отрезка? Или это значит, чо ни одна координата не может быть больше единицы? Или, как я предположил, что один конец палки всегда должен находиться на оси, перпендикулярной плоскости, по которой катается второй конец палки? Это же всё разные варианты, и пояснение "внутри трёхмерного угла" на самом деле никакого пояснения не вносит, так как все три варианта отвечают данному требованию :) По сути требование запрещает лишь наличие отрицательных координат.