難関高校の整数問題の定番です 城北

数学を数楽にする高校入試問題81 予約始まってます
amzn.to/3l91w2K
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川端哲平の自己紹介
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明、法政二などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミー、Z会進学教室で教えていました。（高校受験　大学受験）
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[@suugakuwosuugakuni]

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

[@アルカリマンガン]

解説の間違いを訂正していただけないでしょうか 動画内でx,yは自然数であるとなっていますが 0も平方数なのでこの段階で0を排除するのは明らかな間違いだと思うのですが？ もしかしたら自然数には0も含む派の方でしたなら申し訳ございません

[@okishidan]

和と差の積が出てきた時の安心感よ

[@satton5360]

（最初に平方数を 1 ，4 ，9 ，16 ，25 ，36 ，49 と書き出してみて，49 － 36 ＝ 13 ＞ 12 を試して） a － 6 ＝ t も a ＋ 6 ＝ u も平方数になる，つまり u ＝ t ＋ 12 で，この2つの平方数の差は12。 k ≧ 6 で k と ( k ＋ 1 )^2 の差（ 2k ＋ 1 ）＞ 12 となるとわかるから，1 ～ 36 の中だけを考えればよいとわかる。 差が12となる平方数の組み合わせは（4，16）だけ。したがって， a ＝ 10

[@Natsume_jp]

aが10のみであることを文章で表現する手法は私も考えましたがちょっと面倒ですね 以下私の解答文 平方数の数列: 1,4,9,16,25,36,49... 6足しても6引いても平方数ということは平方数同士の差が12の部分の平均値がaである 平方数の性質として、後のものほど間隔が開いていくので平方数の隣接する間隔が12を超える部分は考える必要がない 隣接する平方数同士の差は奇数になっているので解に当てはまらない 1つ飛ばしの場合は4と16の間の10が当てはまる 2つ以上飛ばした場合は1と16の間の時点で10を超えるので当てはまらない よってaは10である。

[@satton5360]

@@Natsume_jp 最初に書いたカッコ内の1行目，数学の考察系問題の解法の手順「１から順に試してみる」で， 上がかなり早めに絞れることがわかるので， あとは中学数学らしく，「文字式で表して説明」の適用で書いた次第。

[@satton5360]

（補足）最初のコメント中，カッコ内の平方数の書き出し，「0（＝0^2）」が抜けていました。

[@naoo3452]

このチャンネルは解法がわかっていれば暗算で解けるレベルの問題を気持ち良く解かせてくれるから好き

[@Dec25Oct31]

(n+1)²-n²=2n+1 なので、隣り合う平方数の和は奇数となり、nが大きくなるほど差も大きくなることが分かります。連続する奇数の和で12を表せるものは、5+7しかないので、間の平方数は2n+1=7,n²=3²=9とわかるので、求める自然数は10とわかります。

[@tkym4533]

今の問題の場合、平方数の差が12と偶数なので、2n+1とはならないのでは。

[@Dec25Oct31]

@@tkym4533 さん 「隣り合う」平方数の差は奇数です。 ですから、平方数の差が12と聞いただけで、二つか四つ…(偶数個)の差があるだろうとわかります。 (もちろん、(2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1)奇数+奇数=偶数なので) そして、4つの奇数の和は最小でも1+3+5+7=16となりますから、12の差は2つの連続する奇数の和で表すしかなく5+7の差がある(4)→+5→(9)→+7→(16)が見つかると言うわけです。

[@tkym4533]

@@Dec25Oct31 さん　1からの奇数の和は平方数になる→平方数の差は連続する奇数の和になる→差が12=5+7と理解しました。自分にない発想でした。勉強になりました。

[@swordone]

2つの平方数の差が12で、 平方数は1から連続する奇数の和だから、 平方数の差は連続する奇数の和。 12になる連続奇数和は5+7。 平方数は1+3=4と、1+3+5+7=16で、 a=10

[@MINAMI494]

初めて聞いた ありがとう😊

[@chan-yu-papage-oshi]

差が12ってのは気づいたけど、xとyの連立方程式が作れるのは凄い👏👏目が覚める授業でした😘😘

[@kk3835]

連立方程式などを駆使した問題だね。

[@桜佳奈]

6:00（ｘ＋ｙ）と（ｘーｙ）の差は２ｙなので偶数。 私は小さい方の平方数をaと置いて(a+k)^2-a^2=12 からkが１，２，３の時に解が有るかどうか調べました。 （概要の誤植：数学を個別に習い『たい』方は是非！）

[@masahitomori8417]

よく考えてある問題。解いた時の爽快感があります。応用と工夫によって解ける問題はすごく面白いと思います。どっかの高校みたいにまだ習得しない分野の法則を用いて解かないといけないような高校受験問題を作成する高校の数学教師はあまり感心しません。

[@mh35jp]

まず、求める自然数から6を引いたものをx^2とする(xは非負整数) この時、x^2+12=(x+a)^2と置くことができる(aは自然数) 整理すると2ax+a^2=12 aもxも0以上なので、a^2は12以下 aは自然数なので、a=1,2,3 あとはそれぞれ代入すると、a= 2,x=2となり、求める数はx^2+6なので10となる

[@Yoshi-pm9nr]

頭の中で思いついて暗算した結果と解説が一致してて良かった

[@あさり-h8p]

これくらいのレベルだとサムネ見たらパッと解法と答えが浮かぶから再生しないでスルーするんだけど、やっぱり合ってるか気になって戻ってきて再生しちゃうんだよなぁ……。そして、また似たような動画がオススメに出てしまう……。無限ループだ…。

[@六甲北神]

2乗数は1から順番に奇数を増やして 行くのが鍵 1＋3＋５＋７＋９＋・・・ ６引いても２乗数　６足しても２乗数 ならば　奇数＋奇数が12で　2乗数の差が12になる2乗数を探せばいい 4＋12＝16 1＋3＝4 5＋7＝12 12の半分は6 4＋6＝10 よって　aの値は10

[@長久命長介]

平方数を並べると奇数と偶数が交互なので、２つの平方数の差値が偶数ということは、隣の平方数ではなく、１つ（３つかもしれないが）飛ばした２つの平方数ということがわかる。 次に、平方数は数字が大きくなればなるほど差値が大きくなるので、差が12と小さいのであればかなり数字が小さい世界で考えればいい。 後はしらみつぶし、でも選択肢は少ないので時間はかからん。

[@Aki-jm3pf]

a+6=(n+m)^2 a-6=n^2 と置く（nとmはそれぞれ自然数） 上記の仮定より (n+m)^2-n^2=12 n=(12-m^2)/(2m) n,mが自然数であることからmは1,2,3のいずれかである（m≧4のときnが負の値を取り自然数でないため） m=1のときn=11/2となり自然数でないため不適 m=2のときn=2 m=3のときn=1/2となり自然数でないため不適 よってn=2,m=2のとき題意を満たす したがってa=10 a+6=16=4^2 a-6=4=2^2 であり題意を満たす

[@murakamifcttamo]

問題文の6を12に変えるとa=13,37になって答えが複数存在する問題が作れる ちなみに12以上の4の倍数なら答えは複数存在します

[@tak3328]

掛け算で表す、2数の大小、偶奇の組み合わせ…この考え方は高校に入ってからも十分使える。

[@LoveTonsure]

パッと思いついた別解です。 ①「隣り合う平方数の差」は1, 3, 5, 7, 9, 11, ... という等差数列になります。(∵(n+1)²－n²＝2n+1, for n=0, 1, 2, ...) ②なのでこの等差数列の中で、部分和が12になる場所を見つけてやればそれが答えになります。 ③数列の中に12そのものが現れることはありません。（最初に考えていた時、「連続する2つの平方数の差が12になるはずがないよなあ…」と悩んでいました。よくよく読み返してみたら問題には「連続する」平方数という縛りはないのでした。） ④2数の和だと5+7=12のみが条件を満たします。2n+1=5となるときの左側値nは2、2n+1=7となる時の右側値(n+1)は4です。a=(4²＋2²)/2=10。 ⑤3数の和だと、{3, 5, 7} は既にオーバーで、それより下で探そうにも {1, 3, 5} しかなく、これは明らかに12ではありません。 ⑥4数以上の和は常に12より大きくなります。 よって答えはa=10のみです。 (補足)④のとき、4²と2²の中間値が整数になっていることの確認も必要ですね。採点者のポリシー次第では確認忘れで減点されると思います。

[@マロン太郎-n7g]

本の出版おめでとうございます。 本日、書店で注文させていただきました。 楽しみにしています。

[@mesty20]

隣合う自然数それぞれの平方数の差はその隣合う自然数2つの和となる。 (n+1)^2 - (n)^2 = 2n+1 = (n+1) + (n) よって今回の場合、2つの平方数の差が偶数なため、1つ飛ばして隣合う自然数の平方数の差は (n+1)+2(n)+(n-1)=4nとなる。 12÷4=3なので、平方数は2^2と4^2である。よってa=8。 同様に3つ飛ばして隣合う平方数の差は8nであり、12÷8=1.5と小数になってしまうため、これ以降は成り立たない。 a=8

[@Lv-bi8rf]

不覚にも4と16の差が12だと思って10が思いついた

[@_safari4476]

ある平方数と平方数の差が12になるような組が4,16しかないことは簡単に示せますから 先にゴールを見つけられたなら、そこから記述の方針を立てるのがよさそうですね

[@光宙老師]

本当に頭がいい人はむしろ差が12に注目して、その方法で短時間で片付けると思う。

[@user-be-yan]

直感でそこに行けるの普通にすごいと思うけどな 頭ごなしに否定するのも…

[@archa_m]

@@ferrarinejp1 全て求めよって書いてないので😅😅

[@ferrarinejp1]

@@archa_m 逆に答えが１つとも書いてないです。😓😓その主張が正しいなら、例えば「x^2=4を満たす整数解を求めよ」って問題で2だけ解答して満点もらえますか？この場合、すべてと書いてなくても±2と解答する必要があります。

[@mcqueen206]

平方数にする式の作り方がわかりました。ありがとうございました。

[@松尾貴-n4q]

かっこいい解答じゃないけどとりあえず、書いておこう 小さいほうの解をX、大きいほうの解をX+Y（X>1）と置くと （X+Y）^2-X^2＝12 Y^2+2XY-12＝0 X=（12-Y^2）/2Y Xが正の整数よりY＜4、分母が偶数だから分子も偶数であることが必要条件、よってYは偶数。 よってY＝2　X＝4 この解法は条件をそのまま式に書いてあとは計算力で処理する感じですね。

[@hiDEmi_oCHi]

ここでも川端先生の大好きな和と差の積ですね😃

[@contactMiu]

ぱっと10が思いついて、でも他にも解があるんだろうなと思ったけどなくて、あれ？って感じでした。 導き出し方をきちんと書くことを求められる問題ですかね。

[@aoyama2019]

平方数の差が12 (

[@sakamig]

僕もその答え方を考えましたが、差が偶数なら、4n+4（正の平行根の差が2）だけじゃなくて、8n+16（差が4）とか12n+36（差が6）などの可能性もありえるので却下しました。 今回は4n+4でうまくいきましたけど、正の平方根の差によってはうまくいかないこともあり得ます。

[@aoyama2019]

@@sakamig さん。 お返信、ありがとうございます。 ここで問題となるのが、 求められているのが 差はルートの中身(n)ではなく、 平方数そのもの(n^{2})の差である点です。 またnは自然数で、 平方数を偶数にするものは元も偶数である点も 重要です。 平方数そのものの差は12で16未満です。 そうすると平方数の差は そのほかのコメントでもありますが、 4*n+4, 8*n+16, ...と続きますが、 8*n+16の段階ですべての自然数の場合で 差の12を上まってしまうため、 候補は4*n+4しかありません。

[@匿名匿名-y8u]

aが自然数なのでa+6=x^2は自然数と言えると思いますが、a-6=y^2は0になる可能性があるので文字を置く時点では必ずしも"自然数"とは言えないと思いました。 また、そのため、「x,yは自然数」と書かれていて「x,yは自然数だからx+yの方が大きい」と説明されていますが、 「x,y≧0の範囲で考えても一般性を失わない」「x,y≧0の範囲で考えているからx+yの方が大きい」といった表現が妥当かと思いました。

[@LoveTonsure]

これ、「自然数（natural number）」という単語をどう定義するかの問題なんですよね。 日本の中学・高校教育では「正の整数」を自然数と定義しますが、整数論や情報理論などの分野では0も自然数の仲間に入れてしまうことがよくあります。なので特にコンピューター関係では、定義に紛れがある「自然数」という言い方を避けて、紛れのない「正の整数（positive integer）」「非負整数（non-negative integer）」という言い方をすることがよくあります。 ちなみに脱線ですが「プログラムに使用させるメモリサイズ」みたいなパラメータに指定する値として、あえて「正の整数」ではなく「非負整数」を指定できるようになっている場合があります。こういうものに0を指定すると、「使用禁止」になる場合もあれば、「無制限＝使えるだけせんぶ使ってよい」の意味になることもあります。 （この場合にマイナスはありえないんだから、たとえば-1を「無制限」の意味に使えばいいじゃないか、と思うかもしれませんが、「符号付き整数型 vs 符号なし整数型」という問題があって、特にメモリサイズ・ディスクサイスなどの場合は現実的でありません。）

[@匿名匿名-y8u]

@@LoveTonsure はい、そのように解釈の揺れる言葉だからこそなおさら、自然数と勝手に表現してはいけないと思っています（中学高校の数学の範囲では断りなく正の整数という意味で使用してもよいとは思いますが）。そういう意味で「"自然数"とは言えない」とダブルクォーテーションをつけた意図もあります。また、大事なのは自然数の定義の話よりも、「『自然数だから〇〇である』ではなく『自然数の範囲で考えても一般性を失わない、その範囲においては〇〇と言える』という表現の方が妥当だろう」、というロジックの話をしています。自然数というのが（0を含むかどうかは関係なく）自分で勝手に決めた条件なので。

[@精神年齢中学生]

1,4,9,16,25,36・・・としていくと分かる通り平方数は指数関数的に値が大きくなる。 例えば169とかになると前が144、後が196となり、ある値を境に前後の平方数との差が6より必ず大きくなる。 つまり下からしらみつぶしに見ていけばそれ以降は差は必ず6より大きくなる。 実際に次の 9,16,25はそれぞれ差は7,9と6より大きくなる。これより後の平方数は条件を満たさないことがわかる。 条件を満たすaは10 これなら10-6=4 10+6=16となり条件を満たす。 直感で答えはこれしかない、と言うことが一発で分かります。 こんな感じで3秒くらいで答え出しました。

[@いけまさ-c8g]

答えだけでなく、数式で解く必要があるのでは？

[@精神年齢中学生]

@@いけまさ-c8g y=x^2を微分すると2x>0で単調増加関数。 もう一回微分しても正の値、即ちある点での接戦の傾きはxの値が大きくなればなるほど大きくなる。このことから求める値は一意に定まる。故に一つ見つければ答えはそれしかないと述べて良いことになります。これをちゃんと記述しようと思うと中学生には難易度が高すぎるでしょうが。 グラフを書いてあげれば答えがそれしかないことは一目瞭然です。 別に数式的な処理をしなくていいとは一言も言ってませんよ？ 答えを出すだけならこれで十分だと言う話です。

[@いけまさ-c8g]

@@精神年齢中学生 入試問題なので、数式で解く必要があるのでは？ 数式が無く、答えだけ書いても部分点だけでしょうね。

[@精神年齢中学生]

@@いけまさ-c8g 中学入試なので答えのみかと。 高校入試だとしても微分を用いて値が一意に定まることを示した上で10が条件を満たしておりこれ以外存在しないと述べれば正解かと。 まぁ人によっては罰される可能性大いにあるので普通に数式で解きますね。

[@いけまさ-c8g]

@@精神年齢中学生 高校入試って事は、タイトルや動画冒頭でわかりますよ。 微分は高校で習うので、高校入試では使えませんね。

[@ymd3926]

隣り合う平方根の差は必ず奇数になる。 6を引いても足しても平方根になるということは２つの平方根の差は12になる。 12は偶数なため２つの平方根の間にはひとつ平方根があることになる。 ◯◯◯◯ ◯◯◯◯ □□◯◯ □□◯◯ □だけなら4になり平方根である □+◯でも16になり平方根になる 6引いて4になり、6足して10になる。つまり10である。

[@頑張れ日本-c5h]

なかなか面白いですね😊 最後の偶数か奇数かの話は考えの中になかったです😅

[@katoy844]

x, yと置かずに平方数の差の和が12になるのは4,、9、16の場合だけなので、10=4+6と考える方法の方が速いかもしれませんね。平方数の差が3-5-7-9-11-...となることを知っていたら暗算で答えが出せる人もいるでしょう。

[@taisukekaz]

僕は2乗の値の差に注目して回答しました。 aに6足しても6引いても平方数となるため、a+6もa-6も平方数となり、その差は12となります。 自然数を二乗した値、つまり平方数を1、４、9、16、25、36・・・と列挙します。 隣り合う平方数の差、つまりnを自然数として、n^2と(n+1)^2の差は2n+1となります。結果、隣り合う平方数の差は必ず奇数になるため、12にはなりません。 次に一つ飛ばして隣り合う平方数の差、つまりn^2と(n+2)^2の差は4n+4となります。4n+4が12になるのはn=2の時で、その時のaは10となります。 そして2つ飛ばして隣り合う平方数の差、つまりn^2と(n+3)^2の差は6n+9となります。いま、nは自然数ですので6n+9はn=1で最小15となりますので12になることはありません。以降、3つとばし、4つ飛ばしで隣り合う平方数の差の最低値は12以上となります。 以上より、aは10と答えが出せました。

[@miyamakuwagta]

川端先生からの出題なので和と差の積で解きなさいという行間を読み、予習で同じ解法を考えました。なおその際には先生の「更に細かいこと」のとおり、12は偶数なので偶数かける偶数にて絞りました。

[@mr75km]

解説に引き込まれました。

[@matsuign]

これが実戦だったら間違いなくa＝7から順番に当てはめていくと思う…。

[@nishitoku]

整数問題はよく出題されますが、今日のは高校入試問題としては、レベル高いですよね。

[@h.s.1143]

偶数個(0含む)おきに連続した平方数の差は奇数であるので、その逆に、6+6=12という偶数の差をなすということは奇数個おきに連続する平方数であることがわかる 加えて、12という非常に小さい数なら3個おき以上は考えられないので1個おきのみを考える すると「平方数〜5の差〜平方数〜7の差〜平方数」のパターンのみが考えられる そして、5の差をなす連続した平方数は4と9であり、9に対して7の差をなす連続した平方数は16である よって、12の差をなす2つの平方数は4と16であることがわかり、それらから6ずつ離れた自然数として10を得る

[@上野勇-j3d]

1から15までの平方数を用意しておきます。例えば、1・4・9・16・25・36など。 それぞれ6を引いてあと、また6を引いたり6を足したりします。 あら！16でビンゴです。つまり16から6を引いた10が正解となります。

[@はやぶさ-e5n]

その平方数ふたつの差は12であり、36と49の差が13ある。ここで平方数の差はどんどん大きくなること&差が12なので平方数ふたつの偶奇が一致を考えれば(1²,3²)(2²,4²)(3²,5²)(4²,6²)だけ考えれば良い。すると実際2²と4²が差12なので間の数はA.10。

[@霧島陽介]

偶数と奇数の考え方までは思いつかなかった

[@ぼぅ-t9y]

差が12という偶数だからふたつの平方数は偶数と偶数、もしくは奇数と奇数。差が12しかないから適当に16から考えてみよう、と思ったらすぐに見つかった。 ふたつの平方数のうち大きい方が12未満って事はありえないし、「隣合った偶数の平方数のペア」を見つけたのだからそれより大きいはずも無い、で終わりました。

[@darugontt]

普通に１～７までの平方数を並べて間隔を見るだけで出来ました 小さな数ですしね 大きな数なら式を考えますけど

[@江戸川こなん-g2y]

平方数の間隔は数が大きくなるとどんどん開いていくから、ある程度小さい数ってのを予想して差が12になるようなものを片っ端からしらべるのとどっちがいいか…

[@ysato9720]

直感で10と出たのは良いんだろうか…

[@shijaumakael]

自分は方程式を立てずに、平方数と平方数の感覚がどんどん広がっていくことを使いました。 平方数と次に大きい平方数ですら、差が12以下になるものは少ないので、しらみ潰しで……

[@akiru1000]

12差の平方数を考えるということで 1 4 9 16 25 36 49 これ以降は差が13差以上になるので考えなくて良い。 その中で12差はというふうに考えた。 和と差と平方数の方程式は考えもしなかったや。

[@qwert5462]

今回もすごく分かり易かったなあ。どこに注目するかを解説してくれるので、今後の他の問題にも役立てられるはず。こういう解説を中高生の頃に受けたかったなあ。byおじさん

[@C6H8O7-.]

平方数はその数が大きくなるほど次のそれとの間隔が大きくなることを踏まえ、6足しても6引いても平方数なんだから、このふたつの平方数同士の間隔は小さい=aはそんなに大きい数じゃない！ って感じで解きました。

[@山田カラス]

小さい頃に数字で遊んでいて、連続する平方数の差が3、5、7……って増えていくのに気づいたので、12を満たしうる組み合わせは差が5+7の場合だけだな、ってパッと出せました。大きい数では使えないし、証明も必要ですが、連続する平方数の差が奇数になる(当たり前だけど)を覚えておくと実験を半分にできて楽かもです。

[@奈良の駅名研究家]

高校生にも解かせたい整数問題ですね！

[@赤野速雄]

俺的解法 平方数の差が12 →偶数の平方数同士か奇数同士の平方数 →平方数をn^2、(n+2m)^2とおくと、これらの差は4m^2+4mn →式を変形し m^2+mn=3 m, nは自然数だから、m=1, n=2のみ →よって、aは、n=2の2乗+6で10 解いた後の感想:簡単にやろうとしたのにめんどくさくなった。

[@真喜志宏美]

平方数は奇数列の和となる。平方数ｎの２乗は奇数２ｎ－１までの和である。 ｘ＝ａ－６、ｙ＝ａ＋６とする。この差は１２なので、ｘとｙは連続ではない（なぜならば、連続していれば２乗した数の差は奇数となる）。 一方、ｘとｙが４つ以上開いていた場合、最低でもその差は１＋３＋５＋７＝１６であるので、ｘとｙは２つだけ離れている。その間をｘ、ｙ、ｚとする。 このｘ、ｚ、ｙ間ｚ＾２－ｘ＾２＝６－１＝５、ｙ＾２－ｚ＾２＝６＋１＝７ ２ｎー１＝５なのでｎ＝３、ｚ＝９、Ｘ＝４，ｙ＝１６ よってａ＝１０

[@ichar0613]

２つの平方数の差が12なので自然数aは大きくないことが想像できる。平方数を並べて書いて行けばすぐに2つの平方数が4と16と気づく。よって10。

[@1980miku]

瞬間16と4が浮かんで、a=10だな、と思いついたので、後からa-6=Aの2乗　a+6=Bの2乗の式を作って帳尻合わせしました。これは反則ですよね。

[@sakamig]

この問題の場合はありませんでしたが、もしかしたら、答えが複数ある場合かもしれません。 なので、それだけでは不十分でしょう。

[@_safari4476]

@@sakamig ほかの答えがあればほかの答えが見つかるのでなんの問題もないのでは？

[@精神年齢中学生]

@@sakamig 平方数は指数関数的に増大していることを理解していれば他に存在しないと確信を持って言えます。

[@ブックビッグ]

平方数の性質は1から順番に奇数を足す事 1 3 5 7 もうこれで自然数Aがわかるよ！

[@カイザード50]

平方数の並びは奇数偶数交互ですよって 同一数の加減では両方奇数または偶数 よって１つ飛ばしの差が１２組み合わせ は４と１６以外ない・・よって解は１０ 並びの平方数は等差数列増加なので

[@lycopenetomato6468]

６を引いた時、平方数になるので、１，　４，　９，１６、２５、３６ ここに６を足す（＝ａ）、　　　　７，１０、１５，２２、３１，４２ さらに６を足すと、　　　　　　１３，１６、２１，２８、３７、４８ １０がaの答えになります。これじゃダメ？ ２つの平方数の差が１２以下なので、４９以上の平方数になることはあり得ないから４９以上は考えなくても良いですね。

[@gratinq]

コメント欄では「隣り合う平方数の差は奇数で連続する2つの奇数の和が12になるのは5と7だけだから～」とする答えが散見されますね。今回は足し引きする数が小さいので1つ飛ばしの平方数組がたまたま唯一の答えでしたが、足し引きする数が大きくなれば3つ飛ばしの組、5つ飛ばしの組…の可能性もあります。中学生ならたまたま出した答えが合ってたねラッキーでokですが、高校生以降はそういうところのケアもできるようになりたいですね。動画で解説された方法であれば、xとyには非負整数という制約しか設けてないのでこのケアは不要ですから、こちらで解くのが安全かもしれません。

[@酷使無双-j1p]

平方数は2n＋1ずつ増えるから、 加えるものが偶数同士なら、 平方数を一つ飛ばすことを頭に入れてないと ダメだったな。 1,4,9,16,25…… 奇数と偶数が交互に来るからな。

[@Zero8565]

ぱっと暗算で10と答えは出てくるけども それ以外無いという証明は面倒ですねぇ

[@uxySJvq88]

「も」という表現がa-6,a,a+6の全てが平方数になるかと錯覚しました。

[@えいまーる]

隣合うふたつの平方数の差は、小さい方をk^2としたとき、2k+1なので、kは5以下であることがわかる。あとは1,4,9,16,25から総当り。

[@user-yf6xt4nm9s]

x^2とy^2は偶奇一致するので、xとyも偶奇一致 x+y とx−yは両方偶数って書いたら、先生解説してたw すみません 偶奇一致と大小比較は整数問題の絞り込みに超有用ですね

[@gamma関数信徒]

川端先生なので(a+6)(a-6)=n*nとおける。バヲして移項、 n*n +36=a*a 3、4、5のピタゴラス数 a=10 って言うのはダメだよな

[@ビビVV]

ぐうきの一致まで頭回らなかった

[@shuipk]

これを5秒で思いついた僕は天才ですか() もちろん後からの解説がわかりやすかった！

[@saka1029]

問題から「x, yは自然数」という条件が導ける理由がわかりません。0や負の数であってもよいと思います。

[@jirokato3894]

これ、aを７から順番にいれたら10と１分かからないで出る。意味ない。 　先生の解法と補足が威力を発揮するのは「３６加えても引いても平方数になるaを求めよ」のような入試問題らしい時。差が７２の平方数３６１と２８９だ。難易度をたかめ、問題の意味が分かってるか確かめるには、「８加えたら平方数、７引いたら平方数になるaを求めよ」がいい。平方数の差が１５になるのは、 （１と１６）（４９と６４）の二つある。正解率は極端に下がるだろう。

[@yuuppcc]

別解。 任意の自然数nと最も近いn-1とがつくる平方数の差を考えたとき、 n^2-(n-1)^2＝2n-1であるため、任意の自然数nが大きいほど2つの平方数の差の最小値は大きくなると言える。 2つの平方数(a-6)と(a+6)の差は12である。 1,4,9,16,25,36,49・・・ と平方数を羅列したが49と36の差が13と12を超えるため、2つの平方数の値がとりうる範囲は1から36である。 1から36までの平方数に12を足してみると、 13,16,21,28,37,48 となり、この中で平方数は16のみである。 したがって2つの平方数とは4と16であるとわかるため、 答えは10。

[@ださら-f4u]

隣同士の平方数とは限らないのが厄介ですね

[@flog_in_a_well_but_knows_lakes]

@@ださら-f4u これハイパー重要。 これ見落としたら間違えるような引っ掛け要素があれば問題として完璧やね。

[@yuuppcc]

@@ださら-f4u そうですね、なので範囲を特定して全ての平方数に差額分を足した方が速いかなと思いｗ

[@inyks5415]

せっかく差が2n-1と出したなら2n-1

[@yuuppcc]

@@inyks5415 なんと！確かにそうですね！ あの、実は一応「疎になる」ことを示しておくかと思って加筆したのであって、まさかそこで範囲を特定できるなんて思っておらず・・・！ ありがとうございます！

[@備前包平]

割とすぐに閃いた。

[@hakaishin2002]

2乗の数は1，3，5、7，9…と奇数分だけ加算されているのは知っていたので、答えだけなら即答出来ましたが、具体的な解法となるとなかなか面倒な事が分かりました。 確かに、数式×数式＝定数は高校でも良く出てくる分野ですからねえ…。懐かしすぎて、忘れてましたw

[@contactMiu]

主演の子を調べたらヌンチャクを振り回してる動画ばっかりでてきた

[@maishu9926]

yがどうして自然数になるのですか?0やminusになる可能性は?

[@TH-bz1yz]

ｙがマイナスの場合を考えることに意味はない（y²は同じ値で、x+yとx-yが入れ替わるだけ）が、yが0はあり得るから、ゼロ以上の整数。

[@YOU-ur8vo]

nの二乗とn+1の二乗の差は奇数だから この動画ででてきたxとyの差は多分2じゃないかなーーって考えたら すぐに分かる。

[@taiwandrive4679]

６加えても６引いてもということは平方数の差が12の所を探せばいいので、1，4，9，16，25と平方数を並べると４と16で見つかったので、間をとって10が答え。

[@三十五直木]

それは答えの１つを見つけたにすぎない。

[@ttzwtor]

それでいいんです。こんなクイズみたいな問題は直感力で良い。論理は AIに取って代わられるので人間の持ち味を大事にしたい。

[@sdgrebjt8598]

@@ttzwtor 寧ろ論理こそ人間でしょ

[@oniqir1450]

僕、x,yの部分をm,nにしてやったんですけどmとnを逆にして計算してしまって答えが合わなくなっていた。

[@aniston3538]

小さい順に当てはめていって10を見つける。 SPIで出そうな問題ね。

[@トーマスナイト]

「２乗の形にします」←まさか和と差の積…？←ビンゴ

[@daisyouyu]

そもそも平方数の差って1,3,5,7…ってなってってるから、差が12になるのは4と16って分かる

[@kn590624]

文字が3個あったら求められないと思ったら一個消すんですね

[@hokkairusoh8387]

差が12だから、36より上は考える必要がないですね。 後は全然わかりませんが。

[@河村卓男]

問題読んで10だってのはすぐ分かったけど、それを証明する式は展開出来ない。

[@すもも-j7k]

高校入試の整数問題って記述ないから7から実験して10見つけて終わりよ

[@tomoyaito2678]

この位なら暗算でも解けると思うけど、計算過程を飛ばしていきなり10って解答しても満点もらえるのだろうか

[@naomi-sun]

今朝「ににんがしぃ〜…ししじゅうろくぅ〜…😴」と寝ぼけ眼で考えてた時に、ふと、「4×4=16」の16には6が付いてるので、そこから6を引いてみたら10が残り、その10から6引いたら4になって、「4って2の2乗やん！」😳と気がついて、答えが10っていうのが分かりました。😅 なので、難しい式を使う計算はしてません。

[@ArtificialIntelligence_JP]

ワイ高校生 マスターオブ整数がどれだけ偉大か知る

[@やんひら2024]

1:31 二乗ひく二乗！

[@tackun-ef3rz]

そんな時間かけてたら試験時間終わっちまうよ。 まず自然数。 つまり1、2、3、・・・ 平方根。 1、4、9、16、25、36、・・・ マイナス６とプラス６。 つまり差は12。 満たしているのは４と16。 こんなの秒殺じゃね。

[@河村卓男]

nが10なのはすぐ分かったけど文系だから式の組み立ては分からん😂

[@ゴトウ-p9h]

3秒くらいで10だと頭の中でわかりましたが、やはり動画のように理論立てて説明できないとだめなんですかね。

[@satton5360]

おそらく平方数を書き出して当てはまるものが出てきたのではないかと思います。 その後「それ以外に答えがない」ところまで説明できるかが数学の数学たるゆえんでしょう。 （これだけの理論武装をする割には，答えが10だけというのが，ちょっとアンバランスではありますが）

[@日常系アニメファン]

文字で置いて式を立てるとか場合分けするとか、これぞ数学っていう良問だと思います。次回の問題は何がおもしろいのかよくわかりません。わざわざ動画にするってことは何かあるんでしょうね…

[@satton5360]

次の問題は もちろん出典が「入試問題」だから「入試の解説」という動画の価値だとして。 中学数学としては「計算の工夫」，「（この問題で）愚直に左から計算していくのではなく，計算を実行する前に計算の負荷を軽くできる素因数の組み合わせ（ここでは100）を見つけよ」ということで，十分に動画解説の価値はあるかと。 入試問題の難問に慣れているとうっかり忘れそうになりますが，ここは（おもに）高校入試問題をベースにした（おもに）中学数学全般を扱うチャンネルだ，ということは忘れずにいた方がよいかと。

[@鯵坂皓哉]

ゴリ押しで4と16が分かってもその証明ですね

[@Tabiuta.]

答えは速攻にわかった でも解き方がわからんかった

[@記憶力衰退にびびる者]

x、y はマイナスになる場合もあるんちゃうん

[@haruhiotaku1]

1:06 xが自然数なのは当然として、yが自然数である保証は無いような気がします。

[@祐一石川-i2m]

7×7-6×6＝13なんで1〜6の組み合わせ全部試せばええだけやろ たかだか15通り 一瞬やで

[@pacificd01]

答えはすぐにわかったんだけど、 それをどうやって証明するかがわからなかったw

[@かずのり-f8e]

城北は問題むずかった記憶がある。解けない問題がちょくちょくあった。まぁ公立受かったからどうでもよし。

[@SN-qy5tg]

ホント(x+y)(x-y)が好きな先生だな ww

[@反町琥治郎]

12しか差がないから範囲がすごく狭い