Найти предел последовательности | ШАД

Источник:
efiminem.github.io/supershad/
#ШАД
#математика
#Яндекс
#алгебра
#высшаяматематика
#вышмат
#предел
#тригонометрия
#функция
#матанализ

[@andreyan19]

Уважаемые зрители, не волнуйтесь! Решение правильное, однако, оговорю один момент Стоило оставить под знаком предела о(pi) Вышло бы: lim |sin (pi*n + pi/3 + o(pi))| Поскольку у нас стоит знак модуля, pi*n можно просто убрать (оно бы меняло только знак синуса) И останется lim |sin (pi/3 + o(pi))| = (sqrt 3)/2 Постарался разобраться в вопросе, не серчайте 😌

[@arsenzatikyan]

Очень красиво!!! Давайте еще!!!

[@kerimtagirov]

Новый ролик для меня, замечательно!

[@_neepaw]

Спасибо большое за ваши видео! Хотелось бы также увидеть разбор задач экзамена на линейную алгебру и теорию вероятностей!

[@andreyan19]

@@_neepaw всегда пожалуйста:) Основной сегмент моей работы - именно математический анализ (нравится больше других) Для видео по теорверу и линейной алгебре нужен еще опыт)

[@AT_geometr]

А я просто в аргументе синуса вычел пи n раз. Синус от этого может только поменять знак, но модуль и от этого избавит. А предел нового аргумента синуса просто ищется, если домножить его на сопряженное.

[@abl30]

В уме

[@andreybyl]

Только плюс-с точкой за такое решение, «за о-малое уже не пишу конечно»

[@andreyan19]

@@andreybyl благодарю за конструктив! Да, по правде говоря, тоже сейчас пытаюсь разобраться в вопросе с о-малым Как добьюсь нужного результата, обязательно исправлюсь или удостоверюсь в истинности

[@andreybyl]

@@andreyan19 Все точно также, просто тащите o(1) до конца и в конце у вас получится предел от lsin(pi/3+o(1))l, а дальше теорема о пределе композиции, с учетом того, что «внешняя» функция lsin(…)l непрерывна, можно внести символ предельного перехода внутрь

[@user-fw9ej9gj1h]

Спасибо за видео. Но позвольте, переход на 2:40 неправильный, потому что когда начинается переход по формуле синуса суммы там должно быть ещё о-малое, которое вместе с pi*n уже не позволит получить, то что получилось.

[@andreyan19]

Благодарю! Вы имеете ввиду, что о-Малое должно было остаться? Мы перемножили n (который был за скобками) на о(1/n) и получили о(1) А это в пределе уже 0

[@user-fw9ej9gj1h]

@@andreyan19 Просто я не могу припомнить теорем, где можно было бы так предел заносить для числовых последовательностей. Потому что иначе, что нам мешало занести сразу предел под синус и получить другой ответ.

[@andreyan19]

@@user-fw9ej9gj1h тут дело в том, что в силу непрерывности синуса, мы можем lim (sin f(n)) написать как sin(lim f(n)) f(n) = pi*n + pi/3 + pi*o (1) И там уже, в пределе, для любых целых положительных значений n будем получать +- (sqrt3/2) Но из-за модуля будет только плюс Однако, Ваш вопрос изучу более подробно и, если вдруг неправ, - исправлюсь:)

[@urchmaks]

2:56 почему о малое не пишем?

[@andreyan19]

При перемножении n на о(1/n) мы получим о(1) (когда раскрывали скобки) А это в пределе уже просто 0

[@evdokimovm]

А почему вы говорите, "до первой степени" на 02:17? "o малое", или o(g(n)) это ведь множество функций f(n), меньших чем g(n) [в нашем случае g(n) = 1/n], то есть, lim_n->inf f(n)/g(n) = 0. В данном случае первый элемент такого множества это "-1/9n^2" (затем "5/81n^3" ну и т.д). Это уже член второго порядка, разложения (1 + 1/n)^1/3 в ряд Тейлора, откуда эта аппроксимация и взялась. И n здесь во второй степени уже. P.S.: ... и если я правильно понимаю, то уже к этим членам мы подставяем pi*n (перемножаем, я имею ввиду, для раскрытия скобки которая на 02:39 получилась), и уже здесь pi*n сокращается. Просто становится незначительным при n->inf. Разве мы можем просто так взять и сократить n в знаменателе внутри самой o(1/n) без всякого обоснования?

[@andreyan19]

@@evdokimovm в закрепленном комментарии объяснил, как точно нужно было сделать:)

[@andreyan19]

Насчет разложения до второй степени Дело в том, что после перемножения pi*n на -1/9n^2 Уже при n -> inf это слагаемое обнулится

[@evdokimovm]

@@andreyan19 > Уже при n -> inf это слагаемое обнулится Да, я об этом в своем сообщении и сказал по сути) Ну, дело в том что я не профессионал и сходу не понял куда просто так пропало n в знаменателе прямо внутри o(1/n) и захотел понять более строго, в общем, разобраться захотелось. Разложил в ряд Тейлора и все стало ясно. А вот o(pi) прямо из синуса убирается чисто из соображений непрерывности, я правильно понимаю?) Типа, оно (o-малое) все равно к нулю стремится

[@andreyan19]

@@evdokimovm оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 Вообще, данный момент хорошо прописан в Зориче😌 Там как раз демонстрируются примеры вычислений пределов с о малым :)

[@evdokimovm]

​@@andreyan19 я отвлёкся 😁 Извиняюсь за дотошность и что снова достаю с этой темой, когда казалось бы все и так понятно. > оно убирается, поскольку sin (pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 Но ведь sin(pi/3 + o(pi)) стремится к sqrt 3/2 как раз потому что o(pi) стремится к нулю, да-же?) Это тоже кстати через ряд Тейлора можно показать. Как-то так (pi*n уже отбросили): при x -> 0, sin(theta + x) = sin(theta) + x*cos(theta), ну и так как theta = pi/3, а x = o(pi) (который стремится к нулю) то остается только sin(theta)

[@fondofgreatexponent3414]

У косинуса в конце нет предела, это очевидно доказывается.

[@andreyan19]

@@fondofgreatexponent3414 если бы мы рассматривали предел функции (то есть |сos (pi x)| тогда да, предела бы не было Но у предела последовательности иначе

[@user-ts3es1qy5e]

Некорректно в A бесконечномалую опускать. Лучше потом на непрерывность синуса сослаться.

[@andreyan19]

Можно было бы под знаком предела оставить, конечно, Но после домножения о-малого на n получили бы о(1) А это уже в пределе можно действительно убрать