[UT#2] Théorème fondamental de l'analyse (Démonstration)

[@oljenmaths]

👁 Une nouvelle version de cette émission est à présent disponible ! 🎥 [UT#2] Théorème fondamental de l'analyse - kzbin.info/www/bejne/b3Wzcp-Og8yZo6s

[@antoine7743]

Extrêmement bien fait. Cette démo que j'avais eu du mal à comprendre à l'époque m'a parue limpide. Bravo!

[@pierronaurelia9864]

J'adore votre chaine ! C'est très rigoureux et vous expliquer tellement bien merci beaucoup pour votre aide !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup, bienvenue sur la chaîne 😃 !

[@ulrichfofe1244]

Merci infiniment pour ce magnifique travail! Je peut enfin démontrer l'un de mes théorèmes préférés en mathématiques

[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [46/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): kzbin.info/www/bejne/barafHiphqiqpqc Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: [e-mail] 🌞 Bonne écoute !

[@mrbuns999]

Serait-il possible de ré expliquer la fin de la démo lorsque tu utilises eta et epsilon s'il te plaît ?

[@oljenmaths]

@@mrbuns999 Je vais refaire cette émission mi-septembre, ce sera mille fois plus clair 👍🏻!

[@mrbuns999]

@@oljenmaths super! merci beaucoup!

[@SteevyenMPSI]

6:00 si je ne m'abuse, ici on a la définition de la continuité uniforme, qui est valable pour une fonction continue sur un segment (par théorème de Heine)

[@oljenmaths]

Alors non, mais c'est moi qui me suis mal expliqué dans cette émission antique, qui sera probablement refaite cette année. Le « x » est sensé être fixé dès le début de la démonstration, et ce qui apparaît à 6:00 n'est que la transcription de la continuité en x. Mais en effet, le théorème de Heine permet d'être tranquille, même si on avait besoin d'une constante η valable sur tout le segment.

[@SteevyenMPSI]

@@oljenmaths ah d'accord ! Merci beaucoup pour votre réponse

[@KamalAzhar-t7q]

Oui c'est la continuité uniforme qui est utilisée ici. Le théorème de Heine quelque part.

[@Max-bg6zn]

Merci, j’avais détesté au lycée quand on avait dit la relation aire et primitive sans rien expliquer.

[@idrisrayane3795]

4:45 j'ai pas compris qu'est ce que on a fait je veux dire par quel droit en mis f(x) dans l'integrale !!

[@oljenmaths]

Très bonne question. La réponse, c'est que f(x) = int_x^{x+h} f(x) dt ! Suite à quoi on peut utiliser la linéarité de l'intégrale.

[@moaadmaaroufii9518]

Bonjour, j'adore la manière avec laquelle vous avez introduit la relation entre les intégrales et les primitives. Un petit souci, lorcequ'on a utilisé l'inegalité triangulaire on a supposé que les bornes de l'integral sont ordonnées , je propose de laisser une double valeur absolue pour éviter ce problème. Merci en tout cas et excellent travail.

[@oljenmaths]

Oui, c'est très juste, j'ai oublié de mettre une deuxième paire de valeurs absolues. C'était l'une des toutes premières vidéos sur ma chaîne, je dois dire que j'étais loin de penser que la chaîne prendrait une telle ampleur! Merci pour ce commentaire 🙏!

[@The-Patrick]

Bonjour. Est ce que vous pouvez m'expliquer ce problème d'une manière détaillée. J'ai révisé la démonstration et je ne vois aucun erreur entre passage d'une ligne à une autre ?

[@smartcircles1988]

C'est magnifique

[@VaheTildian]

Cette version de la démonstration est plus courte et plus accessible que les autres. Je considère que c'est un bon point de départ pour comprendre la suite

[@maxencepetri3511]

Bonjour. J ai beaucoup apprécié ta vidéo. Je voudrais savoir quel logiciel utilises tu pour simuler un tableau noir ? Encore bravo pour tes cours.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 ! Pour l'image du tableau, c'est une simple image trouvée sur Google en tapant 'blackboard'. Quant aux logiciels utilisés par la suite, c'est un joyeux mélange: ✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY 📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop. 🎧 Audio recording & editing: Audacity. 🎬 Video montage: Adobe Premiere.

[@guilhemescudero9114]

0:50 ; je me retrouve avec lim quand n → ∞ de la somme de k=0 jusqu'à k=(n-1) de k²/n³ Est ce possible de résoudre cela sans passer par les primitives? Si oui une piste? Peut être pourrait on utiliser un concept du genre : quel est le taux de croissance de k²/n³ par rapport à k?

[@oljenmaths]

Tu y es presque. Dans ta somme, tu peux sortir le n³. Il ne te reste plus qu'à calculer la somme des k², ce que tu peux faire de plusieurs manières différentes. J'en propose une dans l'émission suivante: [EM#6] kzbin.info/www/bejne/e5PIYoGYbqp0qsU

[@marwanelafdi8615]

il te suffit d calculer la somme d k au carre ca sera n(n+1)(2n+1).... donc c le meme taux d croissance.... tu auras comme resultat final 2... mais c pas le meme resultat qu on trouvera si on calcule par primitive... qlq m eclaire cela ??

[@Louis-vh3st]

@@marwanelafdi8615 Pareil, on est censé trouver 1/3 selon le calcul avec primitive, or je n'arrive pas à le trouver avec le calcul de la limite, je bloque après avoir calculé la somme en arrivant à : [(n-1)(2n-1)]/[(n^2)*6] Merci d'avance !

[@Louis-vh3st]

J'ai trouvé ! Il suffit de développer l'expression pour obtenir 1/3 - 3/6n + 1/6*n^2, dont la limite est égale à 1/3 évidemment.

[@smartcircles1988]

J'aimerais savoir Pourquoi vous avez utiliser les valeurs absolues ?

[@oljenmaths]

En analyse, pour démontrer qu'une quantité a tend vers une quantité b, la méthode usuelle consiste à démontrer que |a-b| est majoré par une quantité qui tend vers 0, ce qui permet de conclure par encadrement.

[@meddark3795]

6:23 la positivité de l'intégrale?

[@oljenmaths]

Je ne sais pas exactement quelle est la question mais peut-être est-ce lié au fait que j'ai oublié une paire de valeurs absolues quelque part. Je recommande la nouvelle version de cette émission qui reprend presque le même script, mais en mieux fait et expliqué. 🎥 [UT#2] Théorème fondamental de l'analyse - kzbin.info/www/bejne/b3Wzcp-Og8yZo6s

[@meddark3795]

Tu a remplacé la valeur absolu par epsilon ce qui est due à la "positivité"(l'intégrale conserve l'inégalité) de l'intégrale .la question c'était la preuve de cette positivité mais elle est immédiate à partir de la définition de l'intégrale. Merci à priori de me répondre❤

[@meddark3795]

Oui,aussi pour h

[@gabrielleveque1517]

Desolé de poster un commentaire sur une vidéo su veille mais dans la démonstration quand on transforme F(x+h) - F(x) en intégrale par la relation de chalses est ce quon utilise pas la conséquence et du coup le raisonnement serait faux ? Merci de m'éclairer :)

[@oljenmaths]

Ne t'inquiète pas, vieille ou pas, j'ai encore le temps de répondre à l'intégralité des commentaires qui sont postés. Quant au raisonnement: je dis seulement qu'une fois le théorème fondamental démontré, on pourra calculer les intégrales comme différence entre deux valeurs d'une primitive de la fonction considérée. Cela dit, la linéarité de l'intégrale, la relation de Chasles et l'inégalité triangulaire sont des propriétés qui peuvent être établies pour l'intégrale "géométrique" seule, avant même que cette "conséquence" ne soit énoncée.

[@gabrielleveque1517]

@@oljenmaths ma question n'a pas de réel rapport avec les propriétés de l'intégrale c'était juste pour situer la ligne de calcul qui me posait problème. Donc à la ligne où on utilise la relation de chasles, on transforme F(x + h) - F(x) en intégrale de f (donc géométrique) (ici les bornes sont donnés par chasles et elle ne me pose pas de problèmes), mais faire ça ne nécessite pas d'utiliser le théorème fondamentale de l'analyse que l'on cherche à démontrer ? Je ne comprend pas comment ce passage de différence de primitive à intégrale est fait sans utiliser ce que l'on cherche à démontrer. Merci de votre réponse :)

[@oljenmaths]

@@gabrielleveque1517 C'est bon, j'ai compris 🤩! En réalité, c'est ma "conséquence" qui prête à confusion. L'égalité qui est écrite comme conséquence découle directement de la relation de Chasles _si F est définie comme en haut à gauche du tableau_. Ce qu'on cherche à faire dans cette démonstration, c'est à démontrer que la fonction F est dérivable, et que sa dérivée vaut f, ce qui nous permettra ensuite d'écrire la "conséquence" en remplaçant F par n'importe quelle primitive de f (et non pas par l'intégrale de a à x de f, ce qui ne permettrait aucun calcul).

[@gabrielleveque1517]

@@oljenmaths oooh tout est clair maintenant merci beaucoup. Et merci pour votre travail qui est exceptionnel et qui est très pratique pour ne pas perdre toute appréhensions des objets pas traités depuis longtemps en classe préparatoires qui se perdent sous la montagne de nouvelles choses souvent construites sur les choses qu'on oublie :)

[@oljenmaths]

@@gabrielleveque1517 Merci beaucoup 🙏. J'espère avoir le temps de refaire ces vieilles vidéos que j'ai faites à mes débuts, ça pourrait être tellement plus clair aujourd'hui 😅.

[@heyy989]

Bonjour, Pensez vous qu'il est possible de présenter cette démonstration (en plus détaillée) à des terminales en maths expertes ? Merci d'avance,

[@oljenmaths]

Je pense que pour des maths expertes, cette version conviendrait beaucoup mieux (elle est complètement dans leur programme): 🎥 [DET#11] kzbin.info/www/bejne/o3bYepKHjcZrarM

[@heyy989]

@@oljenmaths merci bcp !

[@heyy989]

@@oljenmaths Très élégant votre manière d'expliquer la formule de la valeur moyenne d'une intégrale 👍

[@mattcornic804]

Bonjour ! Merci pour votre vidéo. Epsilon c’est quoi, une valeur de x ?

[@oljenmaths]

Epsilon, c'est un réel quelconque. Moralement, l'intérêt est de pouvoir le choisir "aussi petit que je veux". Si tu regardes la ligne que je finis d'écrire à 6:05, en français, ça donne à peu près: "pour tout Epsilon positif, je peux trouver un voisinage autour de x tel que pour tout y dans ce voisinage, la distance entre f(x) et f(y) est plus petite que Epsilon". C'est la définition propre, avec les quantificateurs, de la continuité de f en x.

[@TchapetNgaminiRolainMaes-sc2cc]

Très beau

[@jean-michelpoure9006]

Merci, très clair.

[@sihamhamza2636]

Je ne comprend pas Sh

[@oljenmaths]

J'avoue ne pas vraiment comprendre la question, parce que la démonstration ne fait pas intervenir de quantité strictement négative, mais voici une tentative de réponse malgré tout :-). 3:26 - Mon but est de démontrer que la fonction F est dérivable, de dérivée f. Pour cela, je dois démontrer que le taux d'accroissement de la fonction F en un point x a pour limite f(x). Je considère donc dh, valeur absolue de la différence entre les deux (quantité positive), pour montrer qu'elle tend vers 0. 6:34 - À ce stade, j'ai démontré que dh tend vers 0 lorsque h tend vers 0, ce qui permet de conclure. N'hésite pas à demander des précisions si jamais ce n'est pas clair, peut-être en donnant le minutage de la vidéo à partir duquel ce n'est pas clair.

[@stoscherzando]

J'ai une question, que représente le t dans dt ? Est ce une autre variable que x avec juste un autre nom pour ne pas les confondre, ou cela a un rôle plus particulier ? Merci pour la vidéo !

[@oljenmaths]

Lorsque je considère l'intégrale de 0 à 1 de la fonction carré, je peux écrire l'intégrale de 0 à 1 de t²dt, ou bien de x²dx, ou bien de w²dw: peu importe le symbole utilisé, l'idée est que dt indique que la variable selon laquelle on intègre, c'est t. Dans ce cas, comme la variable x est déjà prise dans une borne de l'intégrale, j'ai choisi t pour désigner la variable d'intégration. Mais j'aurais pu choisir y ou n'importe quel symbole: peu importe tant que je ne choisis pas x.

[@nohadok5776]

mercii monsieur en 5:23 j'ai pas compris (quand h tend vers 0 t se balade entre x et h+x mais si h est trés petit t est trés proche de x) merciii encore une fois

[@oljenmaths]

L'idée, c'est que 't' est la variable d'intégration, donc si tu veux travailler sur la fonction à l'intérieur de l'intégrale, c'est-à-dire la fonction qui à 't' associe |f(t)-f(x)|, tu peux la considérer sur l'intervalle [x,x+h], ou bien [x+h,x], selon le signe de h. Maintenant, si h est très petit, le segment [x,x+h] ou [x+h,x] est un petit intervalle autour de x. Ainsi, comme t est considéré dans cet intervalle, t est proche de x. Je ne sais pas si j'ai été très clair :/. N'hésite pas à demander des précisions au cas où !

[@salah_eddin6353]

je vous remercie monsieur , j e demande le nom du logiciel que vous utiliser pour réaliser ces vidéos , merci bien .

[@oljenmaths]

Screen recording: Camtasia + Photoshop Audio recording & editing: Audacity Video montage: Adobe Premiere

[@salah_eddin6353]

merci bien Monsieur ,

[@Fastsina]

Monsieur, Je vous remercie infiniment pour votre chaine, Je vois le passage à l'inégalité triangulaire mais je n'ai pas compris ce qui a servi autre que majorer par epsilon, et comment on est arrivé à simplifier le h à gauche, et le h/|h| à droite après l'intégration. Est-ce qu'on aurait pu effectuer les memes opération sous la valeur absolue (sans passer à l'inégalité triangulaire afin majorer avec epsilon)? Je vous en remercie par avance,

[@oljenmaths]

Bonsoir Khan ! C'est une erreur de ma part, mentionnée dans le commentaire épinglé sous cette vidéo. J'ai oublié, par inadvertance, que les bornes d'intégration n'étaient pas forcément dans l'ordre croissant (cela dépend du signe de h). Pour rectifier cela, il suffirait en effet de rajouter une couche de valeurs absolues, auquel cas on aurait |h|/|h| et la simplification pourrait avoir lieu.

[@Fastsina]

@@oljenmaths Ah oui, j'ai fait une erreur ^^' on aura donc 1/|h| * | (∫x,x+h)( f(t) - f(x) ) | ≤ 1/|h| * | [εt] (x,x+h) | ce qui donne 1/|h| *| (∫x,x+h)( f(t) - f(x) ) | ≤ |hε|/|h| et donc |δh| ≤ |ε| , auquel cas on avait besoin de séparer le 1/|h| à gauche juste pour montrer l'utilisation de la continuité et majorer avec epsilon et non pas pour simplifier dans l'inégalité? je vais apprendre à ne pas me perdre dans les details ^^' je voulais juste etre sur que j'ai bien compris , je vous remercie pour votre réponse ^^.

[@oljenmaths]

@@Fastsina |δh| ≤ |hε|/|h| = |h|ε/|h| ≤ ε: on simplifie et on peut conclure, par définition même d'une limite. Les détails sont importants, ce n'est pas une mauvaise chose de s'y perdre de temps en temps :o) !

[@lenysituation]

excellent merci

[@darthjarjar9105]

Bonjour, dune part merci beaucoup la démonstration est très claire dans l'ensemble hormis peut-être la toute dernière ligne lorsque lon sort le epsilone de l'intégrale.

[@oljenmaths]

Merci ! C'était la deuxième émission publiée au format vidéo sur ma chaîne, je dois dire que je saurais expliquer cela beaucoup mieux aujourd'hui. J'espère avoir le temps, un jour, de reprendre ces émissions de jeunesse pour clarifier certains points obscurs, dont ce fameux epsilon !

[@darthjarjar9105]

@@oljenmaths je viens de voir que vous aviez refait une démonstration, cest super merci beaucoup !! 👌🏻

[@oljenmaths]

Les deux démonstrations sont différentes, et voici comment: 🔸 La première établit un résultat général avec des techniques généralement vues en première année dans le supérieur. 🔸 La deuxième établit un cas particulier du théorème fondamental de l'analyse. Cela dit, même si ce n'est qu'un cas particulier, on comprend tout de même beaucoup mieux ce qu'il se passe.

[@fadilouattara7245]

J'ai tout compris sauf que j'aimerais savoir comment l'on sait que f(x) est une constante lorsqu' on utilise l'astuce

[@laurentgarnier8738]

f(x) est une fonction de la variable x alors que l'intégrale dépend de la variable t. Au regard de la variable d'intégration t la variable x, et donc toute fonction de x, est vue comme une constante.

[@我妻由乃-v5q]

Excusez moi monsieur, je ne comprends pas la première égalité. F(x+h) - F(x) ne sont pas des intégrales? Comment on a pu utiliser la relation de Chasle?

[@我妻由乃-v5q]

Pardon, je crois avoir compris pourquoi c'est bien une intégrale.

[@oljenmaths]

Bonjour ! En fait, tout part de la définition de la fonction F que j'écris vers 1'20''. On voit que F évaluée en n'importe quel réel s'exprime comme une intégrale. Ainsi, F(x+h) et F(x) sont deux intégrales que tu peux écrire. À partir de là, tu vas voir qu'en inversant les bornes d'une des deux intégrales à cause du signe -, F(x+h)-F(x) est la somme de deux intégrales et que tu peux appliquer la relation de Chasles. N'hésite pas à me dire si ce n'est pas clair !

[@maximepolis7466]

Merci beaucoup !

[@arthurdhonneur276]

Très belle démonstration qui me fait me rendre compte à quel point j’aime cette discipline, mais tout bêtement je ne comprends pas la conséquence. On démontre que F’= f , ok super très clair ça mais pourquoi l’intégrale vaut F(p) - F(q) ? Comment l’on passe à la conséquence finalement ?

[@oljenmaths]

Merci ! Pour la conséquence, ce n'est pas immédiat, mais pas compliqué non plus. 🔹 On démontre que deux primitives d'une même fonction continue diffèrent d'une constante, voir par exemple ici: [DET#12] kzbin.info/www/bejne/aHaTXqhtYsqFiJI 🔹 Pour la conclusion, c'est ici, à 10:05 - [DET#11] kzbin.info/www/bejne/o3bYepKHjcZrarM - émission qui reprend la démonstration du théorème fondamental de l'analyse dans un cas particulier, ce qui n'en demeure pas moins très intéressant !

[@arthurdhonneur276]

Øljen - Les maths en finesse genial merci beaucoup !

[@DavidLaizeau]

Bonjour, Je ne comprends pas la fin : l'intégrale tend vers 0 mais devant l'intégrale il y a 1/|h| et donc c'est une forme indéterminée 0/0 ... donc comment conclure que le tout tend vers 0 ?

[@oljenmaths]

Bonjour, Ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale est plus petit que eps. Par conséquent, 1/|h| * |intégrale(...)| est plus petit que |h|/|h| * eps, donc que eps. Il n'y a pas de forme indéterminée: on revient ici à la définition même de la limite, en montrant que la quantité considérée est aussi petite que l'on veut. PS: J'ai oublié une paire de valeurs absolues autour de la dernière intégrale.

[@fahmighabi8456]

Pourquoi utilisez-vous la valeur absolue dans la démonstration ?

[@oljenmaths]

Afin d'utiliser l'inégalité triangulaire.

[@nathanl.4730]

Je cherchais ce théorème mais pour une fonction qui n'est pas continue :/

[@oljenmaths]

Ah, là, c'est bien plus technique, mais ça me donne l'occasion de préciser deux choses: 🔸 La démonstration proposée ici est réalisée dans le cadre de la théorie de l'intégration de Riemann. 🔸 Le théorème reste vrai dans des théories de l'intégration plus générales, comme celles de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. Tu peux creuser par ici: cutt.ly/0u5fbHt .

[@quentincligny7524]

La première inégalité peut elle être minoré par 1/|h| intégrale (|f(x)^2|dt) étant donné que t très proche de x mais au dessus de x

[@oljenmaths]

Je ne pense pas, ou du moins, je ne comprends pas comment le produit |f(x)^2| pourrait apparaître en partant d'une différence 🧐.

[@ahmed51988]

D'abord merci pour ces vidéos élucidants et votre explication lapidaire. Je remarque qu'on a pas utiliser explicitement l'information que l intégrale est l'aire géométrique. Si on n'admet pas que l intégrale est l'aire , sera t elle fausse notre démonstration ? Si on n'a utiliser que la continuité , la linéarité , chasles , inégalité triangulaire , ne peut t on pas admettre que si F vérifie ces conditions elle sera la primitive de f. Bref , je vois pas ou on a lié la notion d'aire avec ce qui a été démontré (Par opposition a votre video de l exemple particulier ou l'introduction de la valeur moyenne lie étroitement l integrale avec l aire , et dont toute la démonstration) Et merci 😊

[@oljenmaths]

Il est vrai que mes explications étaient un peu courte sur cette histoire d'aire. Disons que l'intégrale de Riemann permet de mesurer l'aire sous la courbe, essentiellement en approximant une fonction par des fonctions en escalier (ma vidéo sur la valeur moyenne d'une fonction donne un peu une idée de ce procédé de « discrétisation »). À partir de cette horrible définition technique, on peut démontrer les propriétés citées, qui, si elles semblent parfaitement logique lorsqu'on les comprend en termes d'aires, demandent un peu de travail lorsqu'on manipule les fonctions en escalier. Et enfin, à partir de là, on peut complètement sortir la tête de l'eau avec le théorème fondamental de l'analyse, qui permet de calculer des aires grâce à des primitives: on est sur orbite 🚀 .

[@ahmed51988]

@@oljenmaths Merci pour la réponse et bonne reprise d'activité sur KZbin

[@aton5175]

le saint graale !!

[@mattcornic804]

C’est assez compliqué ! Il aurait fallu schématiser par un graphe peut être

[@oljenmaths]

Pour une version avec un dessin, je connais cette vidéo: kzbin.info/www/bejne/h4HPnaSKl8ekd5Y Si je me souviens bien, j'avais surtout fait cette vidéo pour la phrase que je prononce à 3:33, ainsi que pour montrer comment les hypothèses sur l'intégrale de Riemann s'appliquaient successivement.

[@mattcornic804]

Øljen - Les maths en finesse excellent ! Merci.

[@jcfos6294]

Au bout du compte : c'est quoi le théorème fondamental de l'analyse ? Et surtout enfin, pourquoi l'appele t-on ainsi ? Nb : qui l'a inventé, trouvé, démontré.... Et à quoi sert-il ? Un tel nom frize l'absolutisme😮

[@oljenmaths]

C'est essentiellement un théorème qui explique comment calculer des aires en se servant de primitives plutôt qu'en faisant des sommes infinies. Un bref historique est présenté ici: 📰 fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse

[@baloueak6122]

c'est bien mais tu vas trop vite :(

[@oljenmaths]

Ce n'était pas intentionnel 😔. J'espère toujours qu'en repassant l'explication une nouvelle fois, il soit possible de comprendre. N'hésite pas à poser une question avec le timestamp si tu ne comprends pas une articulation logique précise, j'essaierai d'y répondre.