[UT#3] Problème d'interversion limite/intégrale (Contre-exemple)

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Dans cette vidéo, je produis un contre-exemple à l'affirmation "l'intégrale de la limite égale la limite des intégrales", dans un sens que je précise. Je fais notamment référence à l'émission [Ø#24] sur la manière dont chercher un contre-exemple en mathématiques, en expliquant comment des échecs successifs peuvent mener à la victoire. Cette procédure de recherche est amplement détaillée dans le livre auquel il est fait référence ci-dessus.
✍️ Erratum
3:50 Il n'y a pas de carré sur a_n et sur a. Il s'agit d'un plantage remarquable sur le calcul de l'intégrale d'une fonction affine réalisé par mes soins.
✒️ Notions abordées: construction d'un contre-exemple, suite d'intégrales, problème d'interversion entre deux opérateurs, aire sous la courbe.
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[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [47/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): kzbin.info/www/bejne/barafHiphqiqpqc Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: [e-mail] 🌞 Bonne écoute !

[@JJ-Osty]

Merci beaucoup et bravo. La démarche de recherche du contre exemple est expliquée de façon lumineuse, d'autant qu'elle illustre (i) combien on gagne à considérer nos échecs initiaux non pas comme des fautes ou des errements inutiles mais au contraire comme des paliers fertiles, le carburant d'une élaboration future, pourvu qu'on s'accroche et (ii) que l'on ne progresse guère en partant "au hasard", tant les ornières calculatoires nous guettent, mais en affinant notre questionnement en préservant au maximum l'intelligibilité de la démarche (c'est avec des buts servis par l'intuition que vous ajustez vos fonctions graphiquement).

[@vassilibernat3727]

Rhaaaaa j'ai réfléchis pendant 8 ans pour comprendre l'endroit où j'avais pas capté pour le a carré pour voir dans la description que c'était une erreur :/ Sinon génial tes vidéos comme d'habitude

[@alaechoulli6111]

Mec t’es un génie

[@fredphy1]

Merci mais je ne comprends pas, dans le contre exemple, pourquoi "lim fn" tend vers 0 (les triangles qui s'écrasent sur 1). Super chaîne.

[@oljenmaths]

Il faut voir la chose point par point. 🔹Prendre un x donné dans l'intervalla [0,1[ (le cas x = 1 ne pose pas problème). 🔹Constater qu'au bout d'un moment, tous les triangles vont être complètement dans l'espace laissé entre x et 1, donc que l'image de x vaut 0. Ainsi, pour chaque point x, il existe un rang à partir duquel fn(x) = 0, ce qui permet de démontrer que la limite ponctuelle de la suite des fonctions (fn) est la fonction nulle 👍🏻.

[@jean-paulmartelle300]

Bonjour et encore bravo pour tes intéressantes présentations. Il me semble toutefois qu'il y a une coquille dans le contre-exemple avec l'intégrale de la fonction affine : on devrait trouver an/2 + bn (et non a²n/2 + bn). Idem pour sa limite. Bien cordialement.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup ! J'ai épinglé ce commentaire, indiqué l'erreur en description et rajouté un petit avertissement au moment où l'erreur apparaît. Plusieurs mois après avoir réalisé ces vidéos, je me rends compte, sans vraiment de surprise, que plusieurs coquilles se sont glissées ici et là. Je suis donc très content à chaque fois que l'on m'en signale une, parce que je n'ai pas l'énergie nécessaire pour tout visionner à nouveau.

[@armstrongkevin1448]

TRES BIEN EXPLIQU2 VOUS LA MAITRISSER CAREMENT

[@ivanb1084]

Bonjour, je ne comprends pas le terme; fonction affine par morceau? C'est deux fonctions affines sur differents intervalles ?

[@oljenmaths]

C'est, moralement, une fonction dont le graphe est constitué de plusieurs segments / demi-droites. Plus de détails ici: fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_affine_par_morceaux

[@Thoth608]

bonjour , j'ai une question est ce que tout fonction dérivable sa dérivée est continue ?

[@oljenmaths]

Négatif. On peut considérer une primitive de la fonction partie entière pour fournir un contre-exemple convaincant 👍🏻.

[@karimtouis5215]

Bonsoir très bonne présentation mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi la limite fn(t) =0?

[@oljenmaths]

Bonsoir ! L'idée, pour démontrer que la limite de fn(t) vaut 0 pour tout t, consiste à distinguer le cas où t

[@lebronjames6461]

Ah Mr Touis, c'est vraiment vous ? de lpv

[@herveclavier5857]

Je ne comprends pas d'où sortent vos carrés sur a_n puis sur a. Quand on intègre a_n t entre 0 et 1, ça donne a_n / 2, non ?

[@oljenmaths]

Désolé, il s'agit simplement d'une erreur. Il serait temps que je refasse cette antique vidéo correctement… 😑. ✍️ Erratum (dans la description) 3:50 Il n'y a pas de carré sur a_n et sur a. Il s'agit d'un plantage remarquable sur le calcul de l'intégrale d'une fonction affine réalisé par mes soins.

[@herveclavier5857]

@@oljenmaths Ah d'accord ! Je n'ai pas pensé à regarder dans le commentaire.

[@Mim-gh2ik]

On peut avoir une expression explicite de fn ?

[@oljenmaths]

Bien sûr ! Ce sont des fonctions affines par morceaux, donc il suffit à chaque fois de rechercher des équations de la forme ax+b, où (a,b) sera uniquement déterminé par les deux extrémités de la portion de courbe considérée 👍.