【受験生必見】東大レベルの整数問題←数学の発想力がつきます

多分１分では解けないと思います。
普通の参考書には載っていないような
「発想のステップ」を丁寧に説明したので
何度も見て復習してみてくださいね！
＊東大模試や京大模試にも一部として出そうですね！
実際に8月に同様の問題が東大模試に出ましたよね？？
↓
類題：8月河合塾東大オープン模試（数学攻略LABO第４回）
• Video
ちなみに昨日の復習問題の答えは
actor / actress / celebrity / (TV)personalityなどが挙げられます。
5月に行われた第１回全統記述模試英語で
celebrity（芸能人）を書かせる英作文が出題されてましたね！
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[@passlabo]

【重要】必ず動画を見た後でご覧ください ↓ ↓ ↓ 今回の動画で、221が素数ではなく、223が素数という話をしましたが、その補足です。結構使えますので参考までに！ ↓ まず素数かどうかの判別は、動画でもお伝えした通り、僕の場合は500未満の数の場合、下記のように考えています。 (1145141とか、全ての数に対して、素数の判定はできないので、そこだけは誤認注意です) ◾️ステップ1 3,7,11の倍数でないことを確認 (2,5は見ただけで分かるはず！) (3,11はそれぞれの桁を見て計算) ◾️ステップ2 上記でない場合は、その数のルートを計算します。 →例えば323であれば、18^2=324よりは小さいので、約数を持つとしても考えるのは17以下、ということがわかります。 ◾️ステップ3 あとはそれまでの約数を愚直に計算していくのも良いですが、僕の場合は◯^2となるものから引き算を考えます。 →例えば323であれば、すぐには考えづらく素数かもしれない、と思われがちですが、18^2=324のため 323=18^2-1=(18+1)(18-1)=17×19ということがわかり、素数でないことがわかります。 ◾️かなり大きな数字になると、なかなか使いづらいかもしれませんが、上記の考えでいくと、 「素数×素数」の数が見えやすいです。 例えば9991なんかは、パッと見よくわからない人が多いと思いますが、上記を使うと10000-9=(100+3)(100-3)=103×97 と感覚的にわかります！ 長くなりましたが、ぜひ使ってみてください！ ここまで書きましたが、素数の判定というよりは、素数でないことの判定に近いですね^_^

[@user-sb1zk6rw9r]

＿人人人人人人人人人人人＿ ＞ なぜ1145141を選んだ ＜ ￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

[@SirPickles777]

@@user-sb1zk6rw9r 余計な1があるのでセーフ

[@kazusaka4063]

うわこれ　俺にとっては珠玉の教えや　感謝！

[@kantaro1966]

部分分数分解も語呂がいいけど正則連分数展開は語呂もよくてなんかかっこいい

[@user-zc1cu1zj9m]

某Mで草

[@passlabo]

鈴木貫太郎 もっちゃんのやつですねwリズム感や響き、分かりすぎます笑

[@kantaro1966]

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe さん おーあれを観ていてくれたんですね‼️美男美女とアンパンが出ているのでタクミさんのチャンネルの再生数上位5番ですからね(41万回)

[@passlabo]

鈴木貫太郎 おお！凄い再生数ですね！確か貫太郎さんが意外と早く勘付いていた？のが印象的でした笑

[@db-ky6fu]

アンパンで意思疎通できてるの草

[@user-sm3id1ns6g]

部分分数展開の発想は知らなかった ためになりました！

[@user-jl8zl1xv6x]

互いに素の条件を使う問題実際に駿台に出たわ！感謝ですわ...

[@user-kj7cf2qx4v]

部分分数分解の発想ためになった〜

[@user-ho1vt4il9f]

判定の方法マジで助かった。全く知らなかった。いっつもそんなんに時間使いすぎて時間なくなるパターンだった

[@user-tg7od8fb4x]

音を出さずに見ても教えてもらえるくらいわかりやすい

[@user-qz5zc2mn8h]

考え方って、同じ問題をなぞるだけで結構定着するから面白いですよね。 問題集を完璧にするのが何より大切だっていうのがよくわかります

[@passlabo]

久々にPCでコメント整理してた時、とある方のコメントを固定しようと思ったら、間違えて削除を押してしまった。こんなにも儚く消えるものなのか。。。大変申し訳ないことをしてしまった。。。。

[@user-gs7rj6mg2f]

逆にそんな事出来るんや。

[@charlieputh6325]

マスターオブ整数のやつですね。イイ復習になりました。

[@user-ht2lu8zw8o]

昨日同じような問題やってたので溶けました！！

[@x-3892]

やった❗ まじ感謝です❗

[@user-db1yz5iu2s]

今日もありがとうございます！

[@user-lb2zk1jw1l]

字が見やすくて可愛くて好きです。だから、僕もそのボールペンディズニーで買ってきました！

[@foxj2572]

この解放初めて知りました

[@mannick8454]

1対1対応の演習で似たようなやつ出てたからすぐに②まではわかった！

[@176nerimar4]

サムネと30分くらいにらめっこして考えた解法 ・分母は(2x+1)(x+1)に因数分解できる ・与式は整数より分子は(2x+1),(x+1)の両方で割り切れる ・また2x+1とx+1は任意の自然数xにおいて互いに素である(要証明) ・よって分子をp(x+1)+q(2x+1)の形に変形したとき(p,q:任意の自然数)、pは2x+1、qはx+1を因数にもつ ・分子＝(x+1)(2x+1)+60(2x+1)+385(x+1) ・x+1は60の約数(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)、2x+1は385の約数(1,5,7,11,35,55,77,385) ・同時に満たすxはx=2,3,5 ・∴一分で解けるかボケェ！

[@user-li9jx9hv2h]

すごい

[@user-dt2jb8oz8v]

復習問題 1は動画のとおり分子にnが消えるように分数式をいじればいい 2は分母の方が次数が高いしn→∞で0に行き着くから小さい値だけ調べればいい 両方とも見た瞬間に解法が浮かびました

[@user-mjiq22]

scorn 0141 分子を(n+2)(n-2)+6にすればOK

[@Tomato_love977]

二問目 nが自然数であることから、n=

[@waoza6671]

復習問題(2) n+2/n^2+2=k(整数) とおいて、判別式からkの範囲を絞って求めました！

[@user-kh9cb9cy1n]

数学がスムーズではない人のほとんどが、（その人の覚えのスピードにとっての）練習量不足が原因だと思います。大学受験までに数学が苦手なままの人はスムーズさがあまりにも乏しいがために苦痛が大きすぎて練習自体に困難が多すぎた人達だと思います。程度の差は人それぞれですがそういうことだと思います。 そこでですが「部分分数分解と思い付いたらセンスがいい」とのことですが、センスも十二分な練習量とそれにより培われた更なるスムーズさにより発揮できる部分があると思います。したがいまして、「部分分数分解だと思い付いたらセンスがいい」という言葉を言われた方は「センス＝天才のみ」のものだから数学は自分などが根性で関わってよい世界では無いと無意識の内に思ってしまいます。数学がスムーズではない人の多くが、数学は訓練の賜物だということを知らずに一部の人達だけのものだとしか思えていない、というのがスムーズではない原因になっていると思います。 ところで、私はいくつになっても数学の練習を頑張っていきたいと思います。いつの日か配信者様のような状態に近づくことができれば夢のようだと思って数学の勉強を継続しています。

[@user-vy6qo4oe3y]

ノート見やすすぎてもはやそのノートが欲しい

[@user-lt2jw1ud6z]

復習問題2問目 (n+2)/(n^2+2)=kとすると、 n+2=k(n^2+2) kn^2-n+2k-2=0 このnの2次方程式の解をα,βとすると nが自然数のときαとβの和と積がどちらも正の整数となるので 解と係数の関係より α+β=1/k αβ=(2k-2)/k k≠0 k=1 k=1.2 よってk=1 これを2次方程式に代入すると n=0.1 nは自然数なのでn=1 みたいな感じで大丈夫ですか？

[@user-mr9mp3xe9o]

自分は判別式≧0でkの範囲絞りました

[@HideyukiWatanabe]

与式= 1 + 5(101x+89)/(x+1)(2x+1)なので、 5(101x+89)/(x+1) = 505 - 60/(x+1)は2x+1の倍数 60(x+1)が整数となるのは x+1 = 2,3,4,5,6,10,12,15,30,60のとき。 以下x+1の値で場合分け。 10個くらいなら妙案思いつく前にやった方が早いだろう。 2のとき: 505-30 = 475は3の倍数 NG 3のとき: 505-20 = 485は5の倍数 OK 4のとき: 505-15 = 490は7の倍数 OK 5のとき: 505-12 = 493は9の倍数 NG 6のとき: 505-10 = 495は11の倍数 OK 10のとき: 505-6 = 499は19の倍数 NG 12のとき: 505-5 = 500は23の倍数 NG 15のとき: 505-4 = 501は29の倍数 NG 30のとき: 505-2 = 503は59の倍数 NG 60のとき: 505-1 = 504は119の倍数 NG 以上よりx+1=3,4,6のみ適する。答x=2,3,5 5分くらいかかった。部分分数分解に気付けば2分くらいで出来そうですね。

[@user-xu9qc9tc9q]

1分では無理でしたが、割算する発想はできました。

[@api6219]

整数問題奥が深い

[@user-nv4rw1kx8s]

復習の下は秒で1以外無理だろってなって。 上は暗算だから計算ミスあるかもしれないけど、 分子を(n+2)^2-4(n+2)+6とすると、n+2が6の因数になる条件を求めればいいだけになるので 1,4？計算ミスは堪忍して

[@foxj2572]

どうやったらそんなの思いつくんだ…

[@user-mjiq22]

10:44 本当は〇〇になればよい。っていう答案は採点者によく見られて結構危険なんだよねw

[@user-gk4qo5fh8q]

柔らか青豆 2x+1がこれらの数になり、かつ60/(x+1)が整数になることが題意を満たすための必要十分条件だ。ってとこですかね

[@user-mjiq22]

いろはにほへと そうですね、条件に①,②とか番号つけて最終的に同値記号で結んであげるのも良いかと

[@user-wm6vr4yr8m]

標準 習った知識をいろいろ活かして n=1,4とわかる やや難？ 困惑し、まずn>0より、n=1から代入していくことを決意。すると1となった。同じようにn=2を代入し、答えが2/3となった。あ、これはnを∞にもっていったら0に収束することに気づき、n=1のみと悟った。

[@user-ei7sw7xn5b]

ポキトキ 後半の問題はそれを答案とするにはf(x)=(x＋2)/x^2＋2という関数(定義域x＞0)が単調減少ということを示す必要があるね

[@foxj2572]

標準ってどうやって分かるんですか？

[@shinchangreen36]

@@foxj2572 分子を(n＋2)(n −2)＋6にして6/n＋2が整数になれば良いとしました。

[@user-rs3ek2ek4j]

自己整理 目的意識 素因数分解したいとき、近い平方の値を利用する 2次式 1次式 ーーー=ーーー にする 2次式 2次式 (同じ形plusゴミ) また、この形になったらBBB 連続する2つの数は互いに素 互いに素以外のものだと足した時困る 困難は分割せよ

[@user-sq8tj3ze7v]

帯分数はすぐ出たけど 部分分数と分母が互いに素が 出なかった

[@TV-wy9fh]

BBBかっこいい…

[@moyashi7382]

復習問題⑵ │n+2│≧n²+2が必要であることから絞りました

[@flat2072]

(低次)/(高次)の定石ですね。

[@user-kq9fc5qw1l]

天才に近づいた気がする

[@user-cq2lp7lq3i]

おもしろいなー

[@user-jg9zv4xu3i]

貫太郎さん、動画で素数の判定法話してましたね。

[@wtr_frwtr_wtr]

（標準） (n^2+2)/(n+2)=n-2+6/(n+2) 6/(n+2)が整数であればよいので n+2=1,2,3,6 よってn=-1,0,1,4 ∴n=1,4(∵n∈N) (やや難？） (n+2)/(n^2+2)が整数のとき n+2≧n^2+2 これを解くと0≦n≦1 n∈Nよりn=1のとき (1+2)/(1^2+2)=1 よって条件を満たす 以上よりn=1

[@hoguri3774]

scorn 0141 横から失礼します🙇‍♂️ (n^2+2)/(n+2)=(n^2−4+6)/(n+2) =(n+2)(n−2)+6/(n+2)となり、 (n+2)(n−2)/(n+2)と6/(n+2)に分けられ、約分してn−2と6/(n+2)になるという意味だと思います。

[@user-tz4qj7qz2r]

部分分数分解したあとのa,bのあつかですが、a+2b=505,a+b=445以外の解がないことは証明要らないのでしょうか？

[@143658906]

部分分数分解についてなんだが、実はもっと楽なやり方ある↓(多分知っているんだろうけど) Q(x)が重根をもたないような多項式であり、それらの根をq1,q2,...とする。P(x)/Q(x)を∑ai/(x-qi)と部分分数分解するとき、ai=P(qi)である。

[@mimioo2453]

ちゃんと見れた！ おはようございます！

[@user-rf1sg1mm9v]

おさえべきポイントが沢山詰まった良問ですな。朝からありがとうございますm(*_ _)m

[@user-qn4pv6or9x]

復習問題の2問目だけ出されたら？ということであえて単独で考えてみたんですけど、 「n+2≧n^2+2かつnが自然数」を満たすnは1のみ という考え方でいいんでしょうか?

[@hamacchochannel]

俺もそう思ったけど、どうなんやろう

[@zerozerozeropaper]

変な小技じゃなくて本質を貫いている、この方は出世するよ 東大ってすごいね

[@user-ei7sw7xn5b]

筒井旺輔 いや、この局面で部分分数分解は小技な部類じゃね？この解説で言う①②までが定石だと思う

[@user-ug7ps3sp1b]

正答率の低い【英文法の整序問題】解説をして欲しいです❗️

[@user-pm1nn8ks4y]

gcd(505x+445,2x+1)から絞った

[@user-rq1fd8hq9n]

復習 上　1,4　今回のstep2からの考え方 下　1　分母が必ず分子以下である必要があるから

[@neruneru_nerune0]

答えは一緒になりました！ただ2は整数となるであって自然数である必要は無いため絶対値の分子が分母より大きいでは無いでしょうか

[@victorymountain72]

部分分数分解をBBBは初めて聞いたなぁ笑

[@user-hq2ww9gt4m]

ビッグバンドビートですねー

[@NatureJapan3776]

なんかいきなり昔のものが出てきたので解いてみた。φ（．．） 1+(505(x+1)-60)/(x+1)(2x+1) から (x+1)は60の約数というのが必要条件なので、あとはどんどん当てはめていった。

[@user-gh3bc8fn4o]

YOSHIKIが整数になるって聞こえて笑ってもおたw

[@user-xb8hi2tu6c]

復習は 標準がｎ=1と4 やや難がn=1 になりました！

[@foxj2572]

復習の標準の解き方を教えて欲しいです

[@user-wo6dw1ow6l]

あーちなみに開放は見た瞬間に一応わかりましたw

[@s.r.259]

TV tink0 解法では？

[@user-ej6xv9go7l]

練習問題見たとき最初に浮かんだのが「相加相乗平均」だった

[@maitakahashi7924]

簡単にするとこまで行けた！

[@himaseijin57869]

分数の分母が互いに素だと何故整数にならないのでしょうか？どなたか理由を教えて頂きたいです。

[@user-es8tr4fs9m]

数さんの人有利やんな 積分でも極大値でもやるし

[@kapibara6737]

マスターオブ整数の興味深い問題の第１問じゃないっけ？こんなんだった気がする

[@user-zh3ix5cp5s]

マスターオブ整数の第四部の第一問ですね

[@user-hy4hy8yx4y]

第四部とかむずそうだったから手つけてないわ。

[@User_matcha]

考え方②までは行ったがBBBを使う発想が出てこなかった....

[@user-xs2xu1yb6d]

復習問題2番 (n+2)/(n^2+2)が整数となるには分子－分母が0以上になる必要がある。 (n+2)-(n^2+2)＞=0 -n^2+n＞=0 n^2-n＜=0 n(n-1)＜=0 これにより満たす自然数は0と1しかなく、nに当てはめると0と1の両方が問いを満たすため答えは1 QED

[@user-dd1mc9xs1u]

BBBは僕の中ではブンブンって読んでます

[@red20201]

上と下の一次の係数が１２１の時はどうなるの？

[@kamenneet]

ごり押しですが ②のやり方で 505x+445が少なくともx＋1で割り切れることと 505x+445=505(x+1)-60から x+1は60の約数である ってできませんか？

[@user-yd1nv8xq1b]

復習問題両方とも分からなかったです。どなたか教えてくれませんか？

[@user-fd7eu9tg7l]

大阪ですが私の学校の先生もBBBって言います

[@user-yu1nn6ll9u]

受験生だけど問題見てすぐに割り算しようと思ったのはセンスあり？

[@user-tt1sv9ru5y]

互いに素の話は2x＋1を因数分解して、x＋1を因数に持っていないからではダメですか？

[@user-lv9uv5nk2c]

ダメです

[@user-gj3qv3nc3e]

これマスターオブ整数に載っていた問題だ

[@_pluglessss_]

医学生「BBB? Blood Brain Barrier…」

[@MY-df1em]

記述式の時、実験って記述に残した方がいいですか？

[@user-hs7mi9ls1r]

うちの数学の先生も「BBB」って言ってた笑 ちなみに「解と係数の関係」を「KKK」っても言ってる笑（Ku Klux Klanではない）

[@user-vl2wy9lh9c]

わかる。 白人なんちゃらなんちゃらでは無いw

[@user-qf7gb7hn7r]

復習問題の下、やや難ではない気がします(￣▽￣;)

[@user-su7tp6nx5f]

復習の標準どうやって解くか分かりません。 教えてください。

[@shu_hrgschannel2910]

(与式)＝(n+2)(n-2)-6 / n+2 = n-2+ 6/n+2 よってn+2＝1,2,3,6 nは自然数なのでn＝1,4

[@hamacchochannel]

@@shu_hrgschannel2910 和と差の積使えばnを分子から追放できるのか、、、ありがとう！

[@bm7631]

互除法使えるんじゃね？？？

[@atp7675]

これ1分はさすがに盛ってるだろ…

[@log19_mus19]

1分以内に方針が立てばいい、と解釈しよう

[@dora6544]

中２だけど解説すらも分からなかった

[@nanaki1006]

高校入試の常連問題ですね。だから中学生が解けるってことか

[@ライ麦]

部分分数分解の解法は知りませんでした...言われてみたらその通りですね。 自分は101ｘ+89がｘ+1で割り切れるorｘ+1を5で割った商が割り切れる...で絞って解きました。

[@usまららまら]

数学LABOはなぜかこうふんする

[@user-hq5bn4ec3p]

マスターオブ整数の問題ですねこれ

[@user-fw9zx9ed1r]

見たことあると思ったら第4部の1問目のやつですね

[@user-mw1qe3ue1z]

BBBって石田先生ですよね？

[@unkochan123]

小宮シューティングスター

[@user-vg3nd1vd4r]

「分数+分数が整数になる」ことがない理由がわかりません、教えてください

[@videoeditingstudio]

ドラえもん それ思った

[@7galaxy379]

※条件 aとb,cとd,aとcは互いに素 b/a+d/c=ad+bc/ac ここでbおよびcはそれぞれaと互いに素であるから当然bcはaの倍数ではない、したがってad+bcはaを約数に持たないので整数ではない cについても同様

[@user-fz5fn2sk4g]

数3の積分と同じ考え方だ

[@hajimarinotoki]

マスオブ整数の4部にあるやつだし1分は厳しいだろ

[@icochans]

ほんとに1分で解けるの？

[@pontyaipon]

中井いさおさんいうてそうやな

[@user-xl1ko7vc2v]

やや難は分母＞分子は明らかじゃあかんの？

[@user-zp3ls2me6w]

BBB？Blood Brain Barrier？

[@user-gk5uh8fi8f]

これできないときあるんだよなぁ

[@chakamaru_UT]

最後のところがわかりません(＞＜)

[@channel-mf3tq]

もしかしたらネタバレ 復習のやつ２つともn=1じゃだめなん?

[@flat2072]

下は結果的に正しいですが、上は他にも解があります。上で間違いということはおそらく下も解答としては不適切でしょう。n=1以外の解がある(ない)ことを確かめましたか？

[@channel-mf3tq]

@@flat2072 他にも解があることはわかっていますよ 最後の復習問題でこんな簡単な答えではないと思ってたので… ですが今回私が言いたかったのはこの問題の解がn=1であることが適切であるのか、ということを確かめたかっただけです 教えてくれてありがとうございました

[@joaquin-105]

今日の予告の動画、今日駿台の授業でやったやつだ

[@user-xg8ox6pl4h]

7:35よくわかんなかったです…教えてください！

[@vv9285]

かいせいくらいだよなー

[@dsy8924]

現在30歳ですが、最近の受験生はこういう動画が無料で見れてうらやましい

[@user-rm1mr6bs4g]

部分分数分解って全部マイナスじゃないの？分からない

[@user-nb8zf8kb1g]

0.1分で解ける？に見えた

[@user-wo7gx3zr7m]

む、難しい……（笑） どーでもいいですが、ノート新しくしたんでテンション上がってます(,,･`∀･)ﾉ