Perché i numeri sono infiniti? Il significato degli assiomi di Peano

Una frase apparentemente innocua (ma ingenua) di un testo scolastico mi dà l'occasione per presentare gli Assiomi di Peano e del perché essi caratterizzano completamente i numeri naturali e ne assicurano l'infinità.

[@ababqhqbqh7070]

Questa è una lezione intrillopidalmente intrisata 🙌🙌🙌

[@GaetanoDiCaprio]

Sono asofaticamente orbestillato dal tuo commento!

[@emanueleciancio9278]

Interessante discussione. Gli esempi visivi sono efficaci e rappresentano sempre un modo immediato per presentare alcune questioni agli studenti. Il video ha il merito di cogliere una questione che può sembrare sottile e poco rilevante, ma che se sviluppata correttamente può risultare utile anche per argomenti successivi in cui magari si utilizzano dimostrazioni per induzione. A volte nella didattica una certa approssimazione può essere necessaria e anche utile a patto di dichiarare che si sospende il rigore necessario, ma in questo caso i controesempi presentati sono talmente evidenti che qualunque studente può comprenderli. Credo che l'arte della didattica (nella scuola) sia essattamente la capacità di dosare rigore e approssimazione in modo efficace...

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie per il commento lusinghiero, sai bene che sono totalmente d'accordo con te. Spero che vorrai proporre il video anche ai tuoi studenti! Un caro saluto

[@DaveJ6515]

Anche in questo caso totalmente d'accordo. In prima introducevo i numeri naturali mostrando insiemi biunivoci. Ma in quinta mostravo gli assiomi di Peano. Ogni cosa a tempo debito, ma cogliamo ogni occasione per ricordare che la Matemtica è Logica Applicata. E, soprattutto, non è una scienza, ma un linguaggio.

[@ilhlhi]

Interessante la tua distinzione fra scienza e matematica. Ma esistono vari tipi di scienze. La sperimentale come la fisica o la normativa come la logica. Perchè allora essere radicali e non accettare che il linguaggio matematico e geometrico possono anch'essi essere oggetti di scienza, una scienza di numeri e di relazioni tra oggetti nello spazio? Scienze che partindo de un congiunto di assiomi deriva leggi ancora più "certe" di quelle della scienza sperimentale perchè sono tautologie.

[@DaveJ6515]

@@ilhlhi da matematico ho sempre sentito molto forte la necessità di sottolineare l’aspetto tautologico che lei correttamente segnala (il famoso “nulla troviamo nei conseguenti che non sia già presente nei postulati”). Ciò che mi porta a classificare con Popper la Matematica in ambito separato rispetto alle Scienze.

[@tantricsurfer]

Bravissimo! Mi iscrivo subito.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@fabiograssi3633]

Grazie mille bellissimo.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@jaxpo8044]

Interessantissimo, più i video trattano argomenti di base , più fanno riflettere . Una domanda , prof, Quando Peano considera due numeri essere successivi e due numeri invece non successivi ? In altre parole non è necessario definire o chiarire qualcosa in proposito?

[@GaetanoDiCaprio]

Nell'approccio assiomatico devono esserci dei termini PRIMITIVI che non hanno definizione. Le loro proprietà discendono dagli assiomi.

[@antog9770]

un'osservazione: da questi cinque assiomi, così come presentati nel video, e accettando come pertinenti i controesempi presentati sempre all'interno del video, si può dedurre che: - lo 0 è l'unico numero definito come Naturale; - non è esplicitato che "0" abbia come successivo "1", così come ogni altro numero avrà il proprio; - il fatto che ogni numero diverso debba avere un successivo diverso non implica che debba averne solo 1, ma soprattutto non implica che ogni numero naturale, a parte lo 0, debba essere il successivo di un altro numero; quindi, partendo dall'esempio a 5:58, un insieme che vede al proprio interno solo i due sottoinsiemi N=(0, 1, 2, 3...) e E=(A, B, C...), entrambi infiniti per ipotesi, in cui "0" in N non è successivo di alcun numero e "A" in E non è successivo di alcun numero, soddisferebbe comunque i 5 assiomi pur essendo incoerente col reale insieme dei numeri Naturali. Anche un insieme così fatto rispetterebbe i 5 assiomi: (0, 1, - a questo punto i successivi di 1 sono i seguenti, dando origine a una riga che si sdoppia in due righe - 2 e 3, 4 (successivo di 2 nella prima riga) e 5 (successivo di 3 nella seconda riga), 6 e 7, 8 e 9,...). Quindi, l'esempio in 5:58 lo vedo poco calzante col tema del video, perché l'aggiunta di frutta e verdura all'insieme non crea un esempio attaccabile dal 5° assioma, in quanto il nuovo insieme continuerà a contenere tutti gli elementi dell'insieme dei naturali, così come richiesto dal 5° assioma, che al contempo non chiede che ci siano solo gli elementi dell'insieme dei Naturali, e allo stesso modo non va contro gli altri assiomi. Trovo che l'aggiunta di rigore aggiunta dal video per completare la definizione del testo scolastico citato all'inizio non sia sufficiente per costruire una definizione univoca dell'insieme dei Naturali; invece, per dimostrare che gli elementi in N sono infiniti, sarebbero bastati i primi quattro assiomi. Personalmente trovo che l'unione del 2° e del 4° assioma in unico assioma del tipo "ogni numero naturale è l'unico successivo di un altro numero naturale, ad eccezione dello 0 che non è successivo di nessun numero naturale" possa essere più forte nella definizione dell'insieme dei Naturali. Detto questo, ringrazio per la qualità dei contenuti del canale, che trovo molto interessanti, e spero di aver fatto cosa gradita con questo commento, almeno per proporre uno spunto di riflessione in più sul tema o per permettermi di correggere eventuali inesattezze legate alla mia personale comprensione di questi cinque assiomi, così come presentati, che possono avermi portato a scrivere delle considerazioni errate.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie del commento attento e puntuale. Cerco di rispondere punto per punto: OSSERVAZIONE: "il fatto che ogni numero diverso debba avere un successivo diverso non implica che debba averne solo 1" RISPOSTA: Il video presenta gli assiomi di Peano in una maniera "semplificata", cercando di renderli meno formali. Quando dico "successivo" intendo una FUNZIONE: nel concetto di funzione è implicito che l'immagine di un numero è unica, quindi è sottinteso che di successivo di un numero ce n'è esattamente uno. OSSERVAZIONE: "partendo dall'esempio a 5:58, un insieme che vede al proprio interno solo i due sottoinsiemi N=(0, 1, 2, 3...) e E=(A, B, C...), entrambi infiniti per ipotesi, in cui "0" in N non è successivo di alcun numero e "A" in E non è successivo di alcun numero, soddisferebbe comunque i 5 assiomi pur essendo incoerente col reale insieme dei numeri Naturali." RISPOSTA: Come già mi è stato fatto notare in un altro commento, nello sforzo di semplificazione ho dato una versione del quinto postulato NON CORRETTA. La versione corretta è: Se un insieme A di numeri contiene lo zero e di ogni numero contiene anche il successivo allora A COINCIDE con l'insieme dei numeri naturali. Questo chiaramente esclude che ci possa essere la catena (A, B, C, ...) separata dalla catena principale. OSSERVAZIONE: "per dimostrare che gli elementi in N sono infiniti, sarebbero bastati i primi quattro assiomi." RISPOSTA: Assolutamente corretto. Tuttavia il quinto assioma è necessario per caratterizzare "completamente" i naturali (ad esempio i numeri reali soddisfano i primi 4 assiomi, ma non il quinto). Anzi, per essere precisi, si può dimostrare che gli assiomi di Peano caratterizzano i naturali a meno di isomorfismi, cioè se due insiemi diversi soddisfano gli assiomi di Peano allora sono isomorfi rispetto alla funzione successore. Di nuovo grazie per il commento, per me è fondamentale avere fruitori così attenti del canale: è lo strumento fondamentale per migliorare il canale.

[@dinochiari3647]

Che lo 0 non abbia precedenti accade fermo restando nell'insieme dei numeri naturali. Se estendiamo i numeri naturali agli interi relativi allora anche lo 0 avrebbe i suoi precedenti come {...-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1; 2;3...} e questi precedenti sarebbero i numeri negativi con segno "-" davanti. Anche i numeri interi relativi sono infiniti. Sembrano il doppio ma in realtà hanno lo stesso ∞ dei naturali. Basterebbe mettere in corrispondenza biunivoca positivi e negativi in questo modo: 1→-1; 2→-2 e così via discorrendo.

[@GaetanoDiCaprio]

Sì

[@tm75_88]

Gaetano grazie mille ...ma forse c'è un errore nel tuo video. Nel 5° assioma, affermi che la deduzione logica è che l'insieme A contiene tutti i naturali. Io ho imparato invece che la conclusione del 5° assioma è che A "coincide" con N. Mi sembra più logica questa seconda conclusione, perchè nel caso della tua sarebbe una conclusione che NON escluderebbe affatto quello che tu stesso affermi, cioè non escluderebbe eventuali intrusi (mele, pere,..) oltre ai numeri N.....infatti, se dici che la caratteristica di A è quella di contenere tutti i numeri N, allora A può sempre poi contenere qualsiasi altra cosa, oltre agli N. Invece, affermando che A "coincide" con N, allora sì che in questo modo abbiamo solo i numeri N ed escludiamo ogni altra cosa. Sono neofita dell'argomento, perdonami se ho detto qualcosa di grossolanamente errato. Ciao e grazie ancora. Thomas

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao Thomas! Grazie a te! Hai perfettamente ragione, mi sono fatto prendere dal desiderio di "alleggerimento" e ho voluto erroneamente evitare la parola "coincide". Grazie davvero, posso chiederti se sei uno studente o un insegnante?

[@tm75_88]

@@GaetanoDiCaprio ok Gaetano, mi dispiace per te ma ...sono contento per me!..... perchè altrimenti avrebbe significato che non avevo capito niente 😄😄 Sono alle prime armi, tanto è vero che ho capito molto meglio gli assiomi precedenti proprio grazie al tuo video. Certo sono un po' avanti con gli anni 😌...per questo forse ho meno brillantezza ma ci sto sopra un po' di più alle cose

[@GaetanoDiCaprio]

@@tm75_88 Il tuo è uno dei commenti più acuti di tutto il canale, se ti va di aiutarmi la prossima volta ti mando le slide del prossimo video prima di pubblicarlo così mi dici cosa ne pensi...

[@tm75_88]

@@GaetanoDiCaprio ti ringrazio molto Gaetano, e mi fa un grande onore .... in realtà, credo che sia stata la fortuna del principiante 😁, anche se non nascondo di aver avuto una buona osservazione. Però su altri argomenti non posso garantire. Penso che anche per te sia stata una eccezione... sei molto preparato e non ti capiterà piu. Comunque, se vuoi, certo volentieri potrò guardare le tue slide 👍

[@massimomariani3829]

Interessante discussione. Io ad esempio sono abituato a non considerare 0 come un numero naturale.

[@GaetanoDiCaprio]

Non c'è accordo tra i matematici, alcuni includono lo zero altri no

[@sergioborsani3819]

Questa imprecisione non mi sembra poi così grave, visto anche a chi è rivolta. Invece un errore ricorrente nei manuali delle sc. medie inferiori riguarda la divisione per zero. Quasi tutti riportano ad es. 3 : 0 = impossibile perché non c'è alcun numero che moltiplicato per zero mi dia 3, dimenticando che a/b=c equivale ad a=bc solo se b è diverso da zero; inoltre una legge di composizione binaria deve essere formulata in modo che il risultato esista. Poi 0 : 0 = indeterminata perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero, così il risultato potrebbe essere 3, 5 17, 59 ... quello che si vuole, dimenticando che in questo caso, come nel precedente, non si può applicare il criterio quoziente per divisore = dividendo e che se esiste un risultato questo deve essere unico. Non ho trovato una affermazione esplicita che la divisione per zero non è definita ed è priva di significato.

[@GaetanoDiCaprio]

Sono d'accordo con lei, ho preso soltanto spunto da quella imprecisione per parlare in maniera un po' più concreta degli assiomi di Peano. Per quanto riguarda la divisione per zero credo che le locuzioni "impossibile" o "non definita" spesso vengono usate in maniera intercambiabile

[@stefanocaldiron308]

ma credo che per "successivo" intenda il numero corrente + 1.

[@GaetanoDiCaprio]

Nell'impostazione assiomatica di Peano la funzione successore è primitiva. La somma viene definita a partire dalla funzione successore. Quindi nel momento in cui parla di successivo l'operazione +1 non è ancora definita!

[@silviocerliani]

Assioma 4: zero non è il successivo di ALCUN numero naturale

[@GaetanoDiCaprio]

👏