Perché 1 non è numero primo?

[@aldocajani6434]

Ottimo video . Aggiungerei che 1 non può considerarsi numero primo perché inserito nel "Crivello di Eratostene" negherebbe l'esistenza di numeri primi.

[@GaetanoDiCaprio]

Interessante, non ci avevo pensato. Grazie!

[@mci9324]

Bellissima spiegazione perfettamente attinente alla realtà delle cose. E' sempre opportuno riportare con i piedi per terra anche i concetti più astratti della matematica, che non significa svalutarli (anzi!) ma riportarli per quello che sono senza credere che sussistano su misteriosi livelli di realtà (magari accessibili tramite chissà quali strambi riti di iniziazione). Quindi un numero è primo, per definizione, se e solo se è divisibile per i due numeri DISTINTI: se stesso e uno.

[@paolodesimone6799]

chiaro, sintetico e preciso... bello il riferimento al vocabolario per spiegare il senso delle scelte !

[@dangg44]

Io aggiungerei anche un'altra considerazione, il numero 1 non è primo poiché i numeri primi hanno due divisori, mentre il numero 1 ha solo se stesso e nessun'altro.

[@GaetanoDiCaprio]

Corretto

[@andreazamponi6424]

@@GaetanoDiCaprio si ma in questo caso specifico potrebbero essere due soluzioni "coincidenti".....

[@GaetanoDiCaprio]

@@andreazamponi6424 1 non ha due divisori distinti

[@guidoantonelli5549]

Sono d'accordo che sia una convenzione. Aggiungo due considerazioni. La prima si riferisce al fatto che nella scomposizione di un numero si potrebbero aggiungere primi a volontà con esponente 0, che ovviamente aggiungono solo fattori 1 al prodotto. La seconda osservazione riguarda il fatto che nel calcolo del toziente di un numero l'1 viene stranamente preso in considerazione e considerato coprimo con il numero stesso.

[@GaetanoDiCaprio]

Sulla prima osservazione non sono d'accordo, in una scomposizione la notazione con le potenze è davvero un'abbreviazione della ripetizione di un certo fattore, quindi l'esponente zero non ha senso in quel contesto. Sulla seconda osservazione sono totalmente d'accordo, effettivamente quella "scelta" è stata fatta perché conveniente in quel contesto. Grazie per l'interessantissimo commento.

[@ritaclaudiamontemurro4505]

Illuminante!

[@wizardvirgilio]

Chiar.mo prof. Di Caprio, credo che ci sia anche una questione legata al c.d. "crivello di Eratostene". Infatti, se 1 fosse primo, allora ogni suo multiplo sarebbe non primo; ne segue che la primalità di 1 implichi la non primalità di 2, 3 e così via. Inoltre, 1 appartiene agli elementi invertibili di Z e in tale insieme non ha senso parlare di primalità.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie mille del contributo!

[@universomultiverso3591]

C'è sempre da imparare. Grazie per la delucidazione.

[@Gigiazza71]

Nel prodotto 1 è elemento neutro, ergo non cambia il risultato associato all'operazione. Essendo ininfluente non serve includerlo.

[@GaetanoDiCaprio]

Sì

[@mulhamalati2481]

1 non può essere primo perché è invertibile nei numeri naturali.

[@alieno1183]

se volessimo reinserire nella matematica il numero 1 come primo bisognerebbe dire che la scomposizione in fattori al primo 1 solo quello che l'esponente sia zero o visto che ogni numero elevato è zero è sempre uno, no ?

[@GaetanoDiCaprio]

In una scomposizione in fattori l'esponente zero non ha alcuna utilità

[@roccoitandculture]

Complimenti per la spiegazione 🙂

[@dinochiari3647]

L'1 non serve includerlo nei numeri primi anche, perché nel crivello di Eratostene si andrebbero a cancellare tutti gli altri numeri che siano primi o composti essendo un divisore neutro. Questo vale anche per lo 0 che assorbe tutti i numeri. Quindi i numeri 0 ed 1 non sono né primi né composti.

[@GaetanoDiCaprio]

Ovviamente non ha senso prendere in considerazione lo zero come divisore (la divisione per zero non è definita)

[@dinochiari3647]

@@GaetanoDiCaprio invece quando si studiano i limiti se mettiamo 0 al denominatore non è proprio 0 ma un numero molto piccolo che si avvicina senza assumerne tale valore. In questo caso il risultato tende all'∞. Praticamente ∞ non è un numero preciso ma un concetto di limite.

[@GaetanoDiCaprio]

@@dinochiari3647 Eh già

[@user-lb8rz5wr3x]

Allora non ho visto il video e non ho letto alcun commento. Digito rapidamente per chiudere subito tutto....la risposta dovrebbe essere: perché la richiesta facente parte della definizione di numero primo "divisibile per se stesso e per uno" richiede che questi due numeri siano DISTINTI.

[@GaetanoDiCaprio]

Guarda il video...

[@user-lb8rz5wr3x]

@@GaetanoDiCaprio Mi ricordo molto vagamente di essermi accorto (proprio mentre apprendevo che ogni numero o è primo o può essere espresso come prodotto di fattori primi) dell'opportunità di non considerare il numero uno, ma fu un'idea molto vaga che mi balenò a causa di un allineamento istantaneo di un grappolo di pensieri, certamente senza soffermarmi così precisamente e chiaramente con le motivazioni esposte in questo video. Che dire.... ottimo come al solito!

[@GaetanoDiCaprio]

@@user-lb8rz5wr3x grazie

[@daniele7929]

Altro che metà del Novecento... Ho fatto le elementari negli anni '80 del Novecento e la definizione di numero primo era ancora quella vecchia :) Credo di aver visto la nuova per la prima volta all'università negli anni '90

[@GaetanoDiCaprio]

🤔

[@maurostucchi2717]

Però ora escludendo l'1, il teorema fondamentale dell'aritmetica non risulta più valido per i numeri primi stessi: 17 non può essere espresso come PRODOTTO! 17 sarà uguale a 17, che però non è un prodotto di primi, è un singolo numero. Come la mettiamo? :-)

[@GaetanoDiCaprio]

Un numero si può vedere come caso "degenere" di prodotto con un solo fattore

[@maurostucchi2717]

@@GaetanoDiCaprio grazie per la risposta, ma probabilmente non mi sono spiegato bene io. Se tolgo il numero uno dai primi non posso più dire che 17 è il prodotto di 17x1, devo cambiare la definizione. Qualcosa del tipo: ogni numero può essere espresso come prodotto di numeri primi o (nel caso del 1 dei primi) semplicemente come se stesso medesimo. Sembra retorica, ma non lo è ;-)

[@ec7092]

@@maurostucchi2717 Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che: «Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori.» Usa l'or esclusivo ovvero l'aut ... aut ... o l'uno ( cioè primo) o l'altro (cioè prodotto di numeri primi). L'unicità della fattorizzazione, a meno dell'ordine, è garantita proprio dall'esclusione dell'1.

[@glorfindel75]

ma essendo 1 neutro rispetto al prodotto, perchè preoccuparsi di quegli infiniti modi di esprimere i numeri maggiori di 1? Sarebbe come moltiplicare per 1, il che non cambia il senso del teorema.

[@GaetanoDiCaprio]

Non si tratta di "preoccuparsi", il teorema fondamentale parla di unicità e se si include il numero 1 come primo non c'è più unicità.

[@PierluigiDiletti]

Interessante !

[@GaetanoDiCaprio]

:-)

[@rosadidomenico6670]

Quindi ci sono nr. composti(che hanno almeno 3 divisori), appunto nr. PRIMI che hanno necessariamente 2 divisori(NN li chiamerei banali, in Math NN esistono nr. banali), ma l' *1* come si classifica? Grazie.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie per la domanda! Il numero 1 non è né primo né composto: la classificazione in primi e composti si applica ai numeri maggiori di 1. Per quanto riguarda i numeri "banali" sono d'accordo con te, nessun numero è banale! Ma io ho parlato di "divisori banali" che non è una mia invenzione (ci mancherebbe), vuol dire semplicemente che è banale il fatto che quei numeri (1 e il numero stesso) siano divisori di un certo numero.

[@rinux56]

Derrick N. Lehmer - per citarne uno - l'annoverava eccome l'1 tra i primi.;-)

[@GaetanoDiCaprio]

ok

[@pietrogunella8152]

azz. c'è un po' di politica anche nella matematica? si cambiano le regole per proprio compiacimento? povero uno , escluso dai giochi per motivi politici: eri il numero uno ed ora non sei più nessuno! ed io che ero rimasto a metà novecento.

[@GaetanoDiCaprio]

😅

[@mci9324]

Di sicuro nelle formule ingegneristiche e di scienze applicate, tra le variabili, compaiono pure i fisici e i matematici astratti. :-D

[@alessiodaniotti264]

Le definizioni più corrette, moderne e rigorose di elementi primi ed irriducibili di un insieme numerico escludono "di default" tutti gli elementi invertibili di quell'insieme (ossia quegli elementi per cui ne esista un altro tale che il loro prodotto generi l'elemento neutro dell'operazione, ossia 1). E negli interi (positivi e negativi) 1 e -1 sono invertibili, tra l'altro con se stessi (infatti 1*1=1 e (-1)*(-1)=1). Perciò non sono "soggetti" a tali proprietà che riguardano i divisori, i multipli e le fattorizzazioni. Questo è anche il motivo per cui non ha più molta utilità di parlare di fattorizzazioni, divisori e primi/composti quando si opera in insiemi numerici tipo i razionali (frazioni) o i reali: in tali insiemi ogni elemento diverso da 0 è invertibile (l'inverso di ogni numero A è il suo reciproco 1/A), quindi ogni elemento può essere espresso in infiniti modi come prodotto di altri elementi, di cui alcuni sono "a scelta libera". Per esempio 2 (primo negli interi) può essere espresso come (0,5)*4 o come 1,4142... (la radice di 2) per se stesso, e così via.

[@GaetanoDiCaprio]

Osservazione più che corretta, la trattazione rigorosa della fattorizzazione dovrebbe fare riferimento alla teoria degli anelli, in cui effettivamente gli sia gli elementi primi che quelli irriducibili non sono invertibili per definizione. Il taglio del video invece è molto più "elementare", l'intenzione è che fosse comprensibile a livello di scuola media. Grazie del commento!

[@davidedifelice-i4g]

io toglierei anche il 2. due motivi: 1) il nostro 2 è troppo piccolo per permettersi l'esistenza di divisori non banali. 2) 2 rappresenta, con le terne pitagoriche, un imbarazzante, anche se affascinante, controesempio al teorema di Fermat.

[@GaetanoDiCaprio]

direi che stai esagerando! 😉

[@jaxpo8044]

Mi aiutano molto le puntualizzazioni come quella che "una definizione può essere cambiata se rende la teoria più fluida". Però, su livelli più complessi, mi lascia sempre il dubbio che le implicazioni di un cambiamento possano ricadere su teoremi a valle che utilizzano conseguenze della vecchia definizione. Un discorso che mi causa gli stessi dubbi è quello che succede quando una proprietà cessa di valere. Per esempio, scusa prof sto andando solo per vaghi ricordi di un video che ho visto su KZbin tempo fa, i numeri quaternioni non godono della proprietà commutativa rispetto al prodotto. E la teoria su di essi va avanti senza di essa, però i quaternioni inglobano i numeri complessi per i quali detta proprietà vale, un po' come se fossero più "evoluti". A me questo scompiglia un po'. A te no Prof ?

[@GaetanoDiCaprio]

Sì il fatto che il prodotto di quaternioni non sia commutativo è un po' "frustrante". D'altra parte è l'ennesima conferma che l'insieme dei numeri complessi è il Campo definitivo.

[@jaxpo8044]

@@GaetanoDiCaprio anche questa sua precisazione che senz'altro è veritiera sebbene non l'abbia mai sentita, mi lascia un po' di amaro in bocca. Sempre in quel video si diceva che la robotica viene sviluppata con la matematica dei quaternioni e allora , se il campo complesso è quello definitivo, come si concilia questa cosa ?

[@GaetanoDiCaprio]

@@jaxpo8044 Quando dico "campo" intendo il significato matematico specifico della parola (struttura algebrica in cui valgono tutte le proprietà delle operazioni)

[@jaxpo8044]

@@GaetanoDiCaprio utilissima precisazione, grazie mille prof. Avrei altre 'curiosità' ma lei è già stato gentilissimo. Buona giornata.