✓ Первый замечательный предел. Непрерывность тригонометрических функций | матан

Математический анализ #028
00:00 введение
04:01 непрерывность тригонометрических функций
12:37 обратные тригонометрические функции
21:44 первый замечательные предел
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 2 и 10): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@user-nz6no7cf5q]

Сижу, делаю домашку в демидовиче по замечательному пределу и тут видео Бориса)

[@user-js6sx9uc6t]

Бауманец?

[@user-nz6no7cf5q]

@@user-js6sx9uc6t мифист)

[@F3nc9]

будущий инженер как и я)

[@matveybucharsky388]

Мехмат передает привет

[@Tinctura2.0]

КОГДА ВИДЕО ПРО ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ ?????????

[@user-en6of4ru3h]

учусь сейчас в мирэа. Проходим замечательные пределы на третьем занятии матана. Про доказательство - ничего) Просто дали формулы, чтобы пользовались на здоровье. Спасибо вам за то, что вы делаете и помогаете хоть как-то понимать то, что происходит на занятиях😃

[@user-uh4bz3lh8l]

Это первая серия, в которой потребуются знания из 8ого класса. Как хорошо, что мы как раз это все это изучили и можно дальше изучать прекрасный матан, от прекрасного Трушина :)

[@fweq1916]

Спасибо за видео, Борис ❤

[@user-hv7sf4li6u]

Спасибо вам большое, как раз проходили на мат. анализе недавно, и тут видос подъехал

[@tyompavlov5768]

Борис, я думаю, что тему Мат анализа вы доносите очень достойно!

[@letsplay1626]

Здорово. Прямо как на первый курс вернулся. Спасибо

[@dmitry438]

Ура! Матан! Спасибо за Ваш труд! А будут видео про функции нескольких переменных?

[@Legoved]

Ураааааа матан!!

[@mathself1]

Спасибо! как раз мне не хватало разъяснения про строгое определение синуса/косинуса

[@muzjazz3722]

Как я люблю вас и ваши объяснения! спасибо

[@rosalyrdw]

Урааа! Будет ли матан так же часто?

[@tshja3io12e]

Хорошее видео, буду его пересматривать

[@inferen]

Спасибо большое! Не хватает видео с примерами решения задач. А так здорово!

[@fn37msnsd]

Хорошее объяснение, все стало понятно 💫

[@timurpryadilin8830]

учусь на математика не в россии. у нас матанализ начался во втором полугодии 1 курса, курс состоял из 24 лекций, и нам смогли совершенно честно определить тригонометрические функции через ряды. исходя из определений в виде рядов мы вывели все тригонометрические уравнения и пределы. это, правда, была одна из последних тем, после нее был интеграл римана. правда, уже в начале курса мы решали задачи с тригонометрией, но в них явно прописывалось, что можно предполагать верными все общеизвестные свойства (включая первый замечательный предел).

[@karlosolissalazar6692]

Спасибо за видео. Привет из Перу, Борис. ✌️

[@user-yr5dq8qr5f]

Да, это проблема с тригонометрическими функциями, видел даже где то статью где пытаются строго это вводить, обговаривая проблемв нынешних курсов маатана (они ровно те что вы озвучили) ,но есть в этом подходе и логика, пускай даже так определим (а это нужно определить, потому постоянно будем использовать) , но в будущем каждый студент уже будет иметь в виду как правильно было бы это сделать, после изучения тфкп/3 курса матана

[@MichaelNaumov]

Из альтернативных подходов. Можно ввести акртангенс через интеграл. Тангенс как обратная функция. А синус-косинус через универсальную тригонометрическую подстановку. Частично этот подход строго сделан в книге Ethan D. Bloch - The Real Numbers & Real Analysis

[@user-fx9xc5yf6t]

Большое спасибо! Видео очень интересное, а также полезное!

[@usernamer519]

МАТАН!! спасибо!

[@tttttt58589]

Борис - 👍👍👍👍👍

[@aokigakharamathchannel1958]

Здравствуйте, Борис. Спасибо за ролик! Вообще, можно попытаться использовать комплексные числа как модель евклидовой плоскости, что легитимизирует многие выкладки из школы. Можно рассмотреть группу G обратимых по умножению комплексных чисел и используя функцию абсолютного значения определить группу S1 (это комплексные числа с абсолютным значением 1 по умножению) и убедиться, что эта штука изоморфна ℝ/ℤ по сложению. Заметим, что (0, +\infty) по умножению тоже является группой. И далее мы проверяем, что G изоморфна S1×(0,+\infty). Это легитимизирует использование полярных координат, кстати. Ну и теперь мы просто заметим изоморфность групп ℝ/ℤ и ℝ/⟨2π⟩ (определить π можно так же, как вычисляли его греки - предел при стремлении n к бесконечности периметров вписанных в окружность радиуса 0.5 правильных n-угольников). Ну и пользуемся изоморфизмом и ясно, что, скажем, sin x есть мнимая часть числа, которое имеет ясно какие полярные координаты. Очевидная проблема с этим подходом - он требует нормального изучения алгебры с самого первого семестра, что обычно бывает только в некоторых мехматах и иже с ними (ММФ НГУ, МКН СПбГУ, МФ ВШЭ,...), что сильно ограничивает возможность кому-то рассказать о такой схеме

[@user-rv2su6vw6o]

Спасибо большое!

[@user-op2ce7qi3e]

Шикарно,в универе вообще не толково объяснят ,единственное желание на паре -заснуть .У Вас реально отлично выходит объяснять,желание появляется учить матан

[@user-me7zh2lv5h]

@fck peace например, какие лекции? ( для непродвинутых, но желающих понять, что к чему)

[@Trickster_Skeleton]

УРА! Надеюсь видео будут ёмкими и выходить они будут регулярно.

[@user-or6pu7ub3b]

Борис Викторович, приветствую Вас! Замечательные пределы это очень хорошо! Но меня коробит одна детская геометрическая задачка про среднюю линию, где, по моему мнению, и мнению моего наставника , условие задачи задано некорректно. Очень прошу Вас откликнуться и пояснить у себя на канале что здесь и как. А условие задачи записано примерно так: В трапеции ABCD угол А равен 60°, угол D равен 45°, боковые стороны равны 10 и 12, а меньшее основание равно 8. Найти среднюю линию трапеции. Если провести высоты из В и С , то по условию они получаются разные, впрочем сами убедитесь.

[@aastapchik8991]

Посмотрел видео - очень интересно рассказываете про тригонометрическвие функции

[@user-ox4hz3hn5j]

Ролик 6 минут назад вышел...

[@naza_ua]

@@user-ox4hz3hn5j 😂😂😂😂

[@user-eu1fr7hk4y]

Я когда - то просто фанатела от матана,просто как в море погружалась. Сейчас смотрю с удовольствием, лучше чем фэнтези. Успехов. 🙋‍♀️

[@alvasmas]

Как фэнтези - очень интересно, но ничего не понятно

[@user-eu1fr7hk4y]

@@alvasmas от простого к сложному. Я так с внуками занимаюсь. Начинали с точки, двух точек, трех.... придумывала, что "видят" точки вокруг, как взаимодействуют . Для себя даже в музыке "высокие" гармоники выделяла и слышу, именно, ту мелодию. Интересноооо.. ... Успехов 🙋‍♀️

[@alvasmas]

@@user-eu1fr7hk4y спасибо

[@user-pi8fo9ry2w]

Очень классно, что ты снимаешь про матан, продолжай в том же духе))) 👍👍👍

[@user-qz6vh5ym2u]

Спасибо огромное! Вы невероятно вовремя) Наверное, у всех первокурсников сейчас первый замечательный предел. Так что да, я как раз делал домашку)

[@kra6ik402]

Все мы знаем что когда делим sinx/x то иксы сокращаются и остаётся sin, а амплитуда колебания простого синуса это 1 вот вам и ответ))) (Шутка, конечно это не так работает)

[@tolich3]

А sin - это по-английски "грех".

[@injirchannel2859]

@@tolich3 А грехов, как известно, семь, значит, ПЗП равен 7

[@tolich3]

@@injirchannel2859 Грех один - первородный.

[@lowqid5505]

Борис, доброго времени суток! Расскажите, пожалуйста, как понимать, что такое «синус действует из [-pi/2 ; pi/2] в [-1 ; 1]» и вообще любое другое подобное выражение?

[@Xyxvelik]

Сижу решаю замечательные пределы,а тут вот такое, спасибо)

[@sila_reki_sila_taigi_sila_gor]

вот сейчас вывод первого замечательного предела как никогда кстати

[@user-qz6gb6me7t]

Мини-введение в электротехнику, теорию цепей и обработку сигналов)

[@verbe6893]

Как раз это проходим в шк

[@tshja3io12e]

Вот Вы обещали 2 замечательный предел, давайте выполняйте!!!!!!!!! Уже год жду

[@vintik1688]

kzbin.info/www/bejne/apy8hISjf52jg68

[@sila_reki_sila_taigi_sila_gor]

всмысле год?

[@vazhaamiranashvili3657]

Здраствуйте Борис. Нас в школе учили расчитывать такие пределы с применением теоремы Лопиталя. Правда школа была физико-математической.

[@trushinbv]

А как вам доказывали, что производная от минуса равна косинусу? )

[@vazhaamiranashvili3657]

Да, Вы правы, в данном случае для применения теоремы Лопиталя требуется доказать именно этот предел :) Просто вспомнил, что мы решали пределы 0/0 с помощью этой теоремы.

[@trushinbv]

@@vazhaamiranashvili3657 а Лопиталя вам доказывали?

[@vazhaamiranashvili3657]

@@trushinbv Уххх, сейчас и не вспомню, дело было почти 35 лет назад в тбилисской физ-мат школе им. Комарова :) Дело в том, что нам учитель давал материал, которого не было в тогдашнем учебнике средней школы. Т.е. фактически многое из того, что учат уже на первом курсе физфака. Насколько я помню, теорему Лопиталя легко доказать зная понятие предела. Так что, наверное все-же давали доказательство.

[@AzTeG]

Класс 👍

[@judvigolchawa9797]

помню в вузе на первом курсе на проработке одногрупница озвучивает задание: найти "типики и тахики" функции... у препода челюсть отвисла...

[@newmixer]

В школе надумал себе, что тригонометрия и начала мат.анализа это очень сложно и конкретно запустил. Потом, в институте, было тяжко, пока немного не разобрался. На мой взгляд, как преподавателя физики (по диплому), всей математики не хватает связи с реальным миром. Тот же синус, когда показываешь детям (своим), что это просто развертка вращения точки на окружности и он связан с звуковыми волнами, маятником и прочем им становится понятнее что это не просто закорючки на бумаге. Надеюсь ;) С удовольствием смотрю практически все ваши видео! Спасибо за огромную работу!

[@user-lf8ve6xw1u]

В ролике на 18ой минуте сказано, что арккосинус убывающая функция, [0; pi] в [-1;1], а должно быть [1;-1]. Я верно понимаю?

[@user-wv9pb1ye2d]

Борис на 11:12. Cosx = sin(x+p/2). Что-то мне это не совсем верным кажется. Четверти с разным знаком. Может быть все же должно быть Cosx = sin (p/2 - x). Или я что-то недопонимаю. Поясните пожалуйста.

[@antoonio]

давай 2 замечательный предел, ооооооББББЕЕЕЕЕщщщщщщщаааааЛЛЛЛЛЛ

[@tageer_9644]

ждем видео про кризис оснований математики

[@naza_ua]

Повернення улюбленої рубрики... Шкода, що я вже це в універі пройшов😥💙💛

[@trushinbv]

Так. Ті, хто дивилися найперші серії вже закінчують бакалаврат )

[@muzjazz3722]

@@trushinbv Откуда украинский знаете?

[@crazyfreakkitty]

@@muzjazz3722 Он двойной агент пхпхп

[@arty5876]

@@muzjazz3722 через переводчик

[@user-qx3pn8mh5k]

Выкск хороший

[@user-oz6ii3tf6n]

Не помню как мне в универе доказывали замечательный предел, но точно помню, что если видел предел вида 0/0, inf/inf, то применял правило Лопиталя.

[@trushinbv]

Для Лопиталя нужно знать производную, а чтобы найти производную синуса, нужно знать этот замечательный предел. Поэтому Лопиталем его нельзя доказывать )

[@aakh3500]

На сколько я помню тригонометрию со школы, то речь шла об остром угле прямоугольного треугольника из точки начала координат, тогда один катет будет лежать на оси абцисс, другой будет проецироваться на ось ординат, и если гипотенуза будет радиусом окружности с центром в начале координат, то из определений синуса и косинуса и подобия треугольников ясно что лучше всего длину гипотенузы принять за единицу, и следовательно синус и косинус это координаты второго конца гипотенузы, первый у нас по построению в начале координат. Все что касалось трансцендентной части излагалось примерно так, что вот во всем множестве этих прямоугольных треугольников будет такой что радиус будет равен дуге окружности и вот этот угол будет иметь меру 1радиан

[@user-el2pi3ci2z]

У нас тоже так было. Синус определялся как отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус как отношение прилежащего к гипотенузе. Координаты точки на окружности выводятся из теоремы пифагора

[@user-se2uy5yg3h]

В самом начале этого видео обозначается проблема: определение тригонометрической функции для студента-первокурсника. Проблема вот чём: Если мы в качестве базы для изучения матанализа взяли аксиомы множества R - и только их! - то ссылаться на какие-то другие "школьные" знания будет нелогично. С другой стороны, определять эти тригонометрические функции именно через эти принятые нами аксиомы вещественных чисел будет как-то сложновато - как минимум, потребуется дополнительное учебное время, а его и так катастрофически не хватает... Решение этой проблемы вижу таким. Мы всё же используем эти школьные знания студента, но чтобы не отрываться от логики, мы формулируем это в виде пока что гипотезы. Назовём это Тригонометрической гипотезой. Утверждение Тригонометрической гипотезы пока (на I семестре 1-го курса) не доказано, но как только это утверждение будет доказано, гипотеза станет теоремой, и все утверждения, которые следуют из этой гипотезы (первый замечательный предел, производные тригонометрических функций, интегралы...) автоматически станут доказанными теоремами. Думаю, эта Тригонометрической гипотеза может выглядеть так: 0) Существуют функции sin x и cos x, и положительное число π, такие что: 1) Функции sin x и cos x определены на R, причём sin x - нечётная функция, а cos x - чётная. 2) cos x = sin(π/2-x). Отсюда сразу же следует, что sin x = cos(π/2-x). 3) На отрезке [0; π/2] функция sin x строго возрастает; sin 0 = 0, sin π/2 = 1. Отсюда сразу же следует, что на этом же отрезке cos x строго убывает, cos 0 = 1, cos π/2 = 0. 4) cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y. Почти всё. Отсюда почти всё следует. Осталось лишь добавить: 5) На интервале (0; π/2) sin x < x < tg x, где tg x = sin x / cos x. Это нужно для нахождения первого замечательного предела И, на всякий случай: 6) 3,14 < π < 3,15. И, наконец: ~) Функции sin x, cos x и число π определяются указанными свойствами 0, 1, ..., 6 однозначно. Вот.

[@Matematikasbali]

Да, к сожалению не всё удается объяснить от простого к сложному доказывая кажды факт. Я сначала тригу даю через геому. Есть подобные треугольники и отношения сторон у них одинаковые. А подобие зависит от угла. А потом исследуем связь угла и сторон. Но это от 0 до 90. Потом у меня тонкое место когда я распространяю на все возможные углы. Тут исхожу из того, что осн. Триг.тождество похоже на окружность. "А давайте так и доопределим их вот так для всех углов". Так школьникам получается проще понимать и решать. А потом встречаем что наше определение синуса еще вот здесь и вот здесь. И получается со временем полная картина. Но без таких мест, где мы полностью основываемся на уже доказанном не получается.

[@Matematikasbali]

А почему мы так договариваемся про синус и окружность объясняю как мы пытаемся найти точку на валу двигателя при вращении через некоторое время. Прикручиваю тригонометрию к реальности. Кстати о том, чтобы задавать синус как сумму ряда даже не задумывался, так как выглядит архисложно.

[@NXN-QUXT]

Давай как-нибудь про теорему Шольца. Как по мне очень достойная теорема про пределы

[@irinaprokofieva2813]

🙏🙏🙏🙏🙏

[@Alexander--]

Когда я впервые познакомился с таким понятием, как 1-й замечательный предел и узнал его доказательство, то оно было в точности таким же! И с тех пор надёжно утвердилось в памяти. По-другому, наверное и не докажешь, разве что только используя другой подход в определении синуса и связанных с ним вещей. Кстати, при доказательстве мы невольно использовали факт, что хорда короче стягивающей её дуги, т.е. что кратчайшее расстояние между двумя точками - отрезок прямой. Вроде бы строго это вообще не доказывается, а принимается в качестве самоочевидного утверждения.

[@trushinbv]

Доказывается. По определению, длина кривой - это верхняя грань длин вписанных в нее ломаных. Поэтому дуга не может быть короче хорды

[@Alexander--]

@@trushinbv да, точно!)

[@alex-mad]

Синус икс в нуле имеет такой же наклон, как и прямая икс. Это доказывается через производную. В программе, строящей графики, можно увидеть как две функции сливаются в одну прямую в окрестности нуля. А отношение двух одинаковых функций в окрестности точки, должно давать один. Не претендую на строгость своего доказательства, просто интуитивное понимание, почему предел равен одному

[@penguinpenguin-zm2mr]

Насколько я помню, что бы доказать что производная синуса равна косинусу, вам потребуется первый замечательный предел. Естественно, доказать первый замечательный предел опираясь на утверждение которое следует из первого замечательного предела, не составляет большого труда. Поэтому, это действительно совсем не строгое доказательство.

[@user-se2uy5yg3h]

Никакая компьютерная программа не может служить доказательством. Любая программа, производя вычисления, делает это с некоторой погрешностью, которая заложена в устройстве данного компьютера. И эту погрешность никак невозвожно избежать! Наоборот, строгое математическое доказательство показывает, что в данном случае Ваш компьютер работает правильно!

[@MsAlexandr76]

Вот давно хотел Вас спросить: Приставка ко у котангенса и у косинуса даёт разный эффект при определении?

[@Xyxvelik]

У нас также объясняли

[@romanbykov5922]

обожаю доказательства методом пристального вглядывания в картинку :)

[@user-bv3dj1zs7s]

Если все упирается в определение длины кривой (а вроде так), то можно сначала дать производные, потом диффгем (у меня он был в конце первого семестра), а потом уже все вроде как честно

[@alex-mad]

Ряд Тейлора будет обсуждаться на этом канале?)

[@muzjazz3722]

Очень хотелось бы, а то где не прочитаешь, просто рассказывают что это такое, но как он взялся нигде не найду

[@fullfungo4476]

@@muzjazz3722 ​ если знаете английский, то могу порекомендовать видео от 3Blue1Brown “Taylor Series”. Это 11-ая серия в плейлисте про мат. анализ

[@lordtimey]

@@muzjazz3722 про то, из каких соображений его первоначально вывели, можно почитать статью самого Тейлора на английском языке "Incrementorum Directa et Inversa". Если же с английским плохо, то можно почитать Леонарда Эйлера "Дифференциальное исчисление" на стр 242 - идея абсолютно та же самая. При выводе он использует метод конечных разностей, применяя его сразу к бесконечно малым приращениям аргумента функции dx, приводя табличку приращённых аргументов и приращённых значений функции: При x имеем y При x + dx имеем y + dy При x + 2dx имеем (y + dy) + d(y + dy) = y + dy + dy + d2y = y + 2dy + d2y При x + 3dx имеем (y + dy + d(y + dy)) + d(y + dy + d(y + dy)) = y + dy + dy + d2y + dy + d2y + d2y + d3y = y + 3dy + 3d2y + d3y При x + 4dx имеем ... При x + ndx имеем ... Таким образом, при переходе от x к x + ndx имеем переход от y к: y + ndy + n(n-1)dy/2 + ... и так далее, следуя по разложению бинома. Имеем y(x + ndx) = y(x) + ndy + ... Затем полагают, что n = ∞, тогда произведение бесконечно большого числа n на бесконечно малое приращение dx даёт конкретное конечное изменение ω: ndx = ω => n = ω/dx Подставляя значение n в наш первоначальный ряд, принимая во внимание, что n бесконечно превосходит конкретные значения в разложении (n * (n-1) переходит в просто n^2) и что dy/dx = f`(x), d2y/dx2 = f``(x) и т.д. и получается ряд Тейлора. Из комментария мало чего будет понятно, поэтому просто советую прочитать данную литературу.

[@user-fx7pt8gd1s]

нам говорилв в вузе, что существует подход, при котором косинус (а, соответственно и все остальное) вводят через скалярное произведение векторов

[@anatolysolunin4991]

Узнал, что косинус 120 градусов равен синусу 30-ти. Очень удивился.-)

[@injirchannel2859]

С минусом же?

[@anatolysolunin4991]

@@injirchannel2859 , с минусом - да. Но это не равно.

[@Bru2009ia]

Крест Впихивиают -Шиамианы Миониахи Бенедикцианцы -Шион Кионниари Снимиалсси -аВиам Зиачем -аЗиабейте... вКругу -Крест. (Древнний Тест).

[@Simon_532]

Как мне кажется, объяснение математических рядов через сумму дискретных величин (даже для бесконечных рядов) должно стоять раньше введения производных и интегралов, т.к. ряды опираются изначально на понятие последовательности, а не на теорию бесконечно малых. Однако тут всплывает один неоспоримый факт: понятия производных и интегралов намного важнее для остальных технических и естественно-научных дисциплин, чем понятие рядов. Так что тут приходится выбирать: либо давать фундаментальную науку, которая застопорит учебный процесс на несколько семестров, либо же на основе базовых понятий из школы, но не совсем честно излагать необходимых на практике материал. Очевидно, за десятилетия работы вузов вторая концепция укоренилась, и никто её просто так изменять не будет, да и, в общем-то, не за чем. Так что я поддерживаю подход, изложенный в видео, и не вижу смысла его менять.

[@muzjazz3722]

Я бы хотел узнать 2 подхода

[@mrgoodpeople]

Этот предел геометрически ведь довольно очевидный. Он говорит о том, что маленький кусочек окружности очень похож на отрезок прямой.

[@user-qn5cq5be3z]

Ну да, и что при малых углах синус близок к икс😊

[@user-bp4hu7wp2x]

альтернативный и достаточно интересный подход введения тригонометрических функций вот здесь реализован. kzbin.info/www/bejne/pX6UeGxphNt5Y6s предварительно вводится поле комплексных чисел и на нём для каждого действительного числа x рассматривается последовательность (1 + ix/n)^n. доказывается, что последовательности действительных и мнимых частей этих чисел сходятся для любого x, и то, к чему они сходятся называют соответственно cos x и sin x. в дальнейшем за бесплатно получаем формулу Эйлера e^ix = cos x + isin x. Редкозубов сумел за полторы лекции всё строго от начала и до конца сделать, так что подход очень разумный в целом

[@trushinbv]

Редкозубов молодец! Привет ему передавайте, если ходите на его очные лекции. Лет 5 его не видел. А как он потом непрерывность, периодичность, монотонность (на нужных отрезках, чтобы арк-функции ввести) этих функций доказывает?

[@user-bp4hu7wp2x]

@@trushinbv kzbin.info/www/bejne/mWfQlaCnidl_kLM вот здесь это делается в первой половине лекции, приходится заниматься некоторым трюкачеством конечно, но всё строго. более того, число π очень интересно определяется, как наименьший положительный корень уравнения sin x = 0 (предварительно доказывается, что такой в принципе есть). на очные лекции Редкозубова, я не хожу, учусь на мехмате, но вот именно его курс по анализу мне кажется наиболее стройным и последовательным из всех, что я видел в записи

[@user-bp4hu7wp2x]

@@trushinbv самое сложное в этом всём подходе доказать формулы синуса и косинуса суммы, опираясь на вот эти странные определения через экспоненту. а дальше доказывается непрерывность синуса и косинуса в нуле и из формул суммы уже выводится непрерывность на всей прямой

[@trushinbv]

@@user-bp4hu7wp2x да, интересный подход

[@user-jb6tw4ge7o]

Про длину дуги кое-что понимаю, а в чём "дикость" единичной окружности? Простите за глупый вопрос, никакого сарказма, только желание понять. Спасибо за ответ)

[@user-se2uy5yg3h]

Попробую ответить. "Дикость" этой единичной окружности в том, что очень сложно, опираясь только на аксиомы множества действительных чисел определить, что это такое, а особенно - что такое длина дуги, и что такое - угловая величина дуги... Тут дело ещё вот в чём. Мы всё проходили элементарную геометрию в школе - рисовали прямые и окружности с помощью циркуля и линейки, заучивали доказательства теорем... Но если отвлечься от этих наших рисунков в наших тетрадках, отвлечься от этой "очевидности", например, от "очевидности" того, что "прямая может пересечь окружность не более, чем в двух точках" - а вместо этого опираться только на аксиомы и логику - то эта самая "элементарная геометрия" окажется вовсе не столь уж элементарной. Наоборот, эта самая "элементарная геометрия" оказывается довольно сложным разделом математики...

[@user-se2uy5yg3h]

Но всё вовсе не так печально. Евклид, правда, сформулировал свои пять постулатов, но мы вовсе не обязаны следовать именно им. И таким образом, плоскость у нас - это всего лишь множество упорядоченных пар вещественных чисел, а 3D пространство - это всего лишь множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел. Немного техники - и мы можем умножать вектора в 3D пространстве хоть скалярно, хоть векторно!.. Ну а если нам захочется порассуждать о 4D или о 5D, или же о вообще бесконечномерном пространстве - то и тут никаких проблем нет!..

[@masterscheduler47]

9 часов вечера... я проходил это 40 лет тому назад... зачем я это смотрю?... но смотрю! и интересно ведь! И как жаль, что в моё время не было не только этого канала, а инета вообще и Борис не был моим преподавателем 😉

[@trushinbv]

Я не родился ещё 40 лет назад

[@itpoctouyrpok1066]

У меня один только вопрос. Как tg x и ctg x может быть непрерывно?

[@itpoctouyrpok1066]

Это оговорка, или я что-то не так понимаю?

[@trushinbv]

Они непрерывны в каждой точке, где они определены

[@arkadytokaev7016]

Непрерывны на интервале.

[@a1kury]

Где это видео было год назад😭😭😭😭

[@dgiyosidin]

Да Ви прав почему это так

[@dgiyosidin]

🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

[@f9ka975]

в книге "Математика в огне" рассказывался весь мат анализ с нуля и там вывели сначала площадь а потом уже вычислили замечательный предел (я прочел от туда только отрывок где как раз рассказывалось про площадь из за этого сейчас нахожусь на данном видео ).

[@delafrog]

Почему обращение к геометрическими понятиям при определении тригонометрических функций является нечестным?

[@fullfungo4476]

Так sin и cos изначально определяются в геометрии Евклида. То есть в пространстве без «центра» и без определенного «направления» с помощью углов в треугольниках. А тут мы раз, и перешли в систему координат с «центром» и с двумя «направлениями», где даже понятия угла толком никакого нет. И вместо угла мы берём длину дуги (даже не длину ломанной). А что такое длина дуги? В Евклидовой геометрии вроде понятно, а тут окружность это множество точек: x^2+y^2=1, а не построение циркулем. Так что и понятие угла, и понятие поворота, и понятие длины дуги надо вводить заново.

[@delafrog]

@@fullfungo4476а что такое длина дуги в Евклидовой геометрии?

[@fullfungo4476]

@@delafrog хороший вопрос. Если без «внешней помощи» типа координат и прочего, то определяют обычно так: Длина отрезка определяется как отношение отрезка к заданному «единичному отрезку» (есть способы для этого). Дальше, длина ломанной равна сумме длин ее отрезков. А потом говорим, что длина дуги - это предел (в данном случае максимум) длин ломанных, таких что вершины (изломы) лежат на самой дуге и отрезки образуют «часть» выпуклого многоугольника (ну что бы не бегали туда сюда и не образовывали «плохие» приближения) В координатах уже надо либо поменять понятие длины отрезка и потом повторить похожие определения для ломанных и произвольных кривых; либо с самого начала через интегралы определять. И в том и в другом случае надо потом ещё долго доказывать, что понятие «длины» в Евклидовой геометрии и «длина» в координатах совпадают (в том или ином смысле).

[@delafrog]

@@fullfungo4476 Евклидово понятие длины отрезка не используется при определении понятия координаты точки? Длина отрезка, концы которого заданы через координаты, не использует для своего определения теорему Пифагора?

[@fullfungo4476]

@@delafrog понятие координаты вообще не от чего не зависит. Ни от длины, ни от чего. А понятие длины, да. «Классическая» длина (известная как L2, или «Евклидова норма») определяется как d(A,B) = √((Ax-Bx)^2 + (Ay-By)^2). Но вот теорема Пифагора здесь не используется как таковая. Просто берётся формула по определению, а не как какое-то следствие. Ну и дальше снова-таки надо доказывать ещё, что это определение как-то соотносится с привычным определением длин в Евклидовой геометрии.

[@buff9943]

sin(x)/(x)×180=pi x-->0

[@chech705]

А можно определить синус и косинус как некие функции с нужными нам свойствами, и доказать, что они единственные с такими свойствами?

[@trushinbv]

А что именно мы назовем "нужными нам свойствами"? Непрерывность будем закладывать? А первый замечательный предел? )

[@chech705]

@@trushinbv непрерывность, периодичность, основное тригонометрическле тождество, сумму синусов

[@trushinbv]

@@chech705 я вот даже не уверен, что получится легко доказать, что |sin x| < |x|

[@KirillBon]

Теорема о двух милиционерах, 🤣

[@user-yb4zx5nv3d]

Что с эквивалентностями функций?

[@engineerandreev1974]

"Все отнять и поделить" Шариков)

[@user-dq2et7wy3q]

Он дёргается потому что это периодически функция.

[@verbe6893]

Аооао

[@pzelact4328]

баян

[@dima_math]

Есть аксиоматический подход к определению тригонометрических функций. kzbin.info/www/bejne/i5eTZGOHoragn68

[@trushinbv]

А как доказать, что такие функции есть? И как вводится пи?

[@dima_math]

@@trushinbv Пи там определяется как площадь единичного круга. Что же касается существования тригонометрических функций , то автор предлагает пока просто предположить, что они существуют, а доказательство оставляет до следующих глав, где они определяются геометрически, а потом и аналитически. Вообще это весьма серьезный учебник (правда, на английском). Если напишете адрес, могу скинуть пдфку.

[@trushinbv]

@@dima_math ну, тогда в любом случае, вводить так синус до понятия площади (aka «мера Жордана») не получится

[@dima_math]

@@trushinbv так там площадь раньше вводится и кстати тоже аксиоматически

[@trushinbv]

@@dima_math я про это и говорю. В моём «матане» до площади мы ещё не скоро дойдём )

[@user-se2uy5yg3h]

А я вот категорически не согласна вот с этим утверждением Бориса Трушина. Он сказал, что если определять синус и косинус, как сумму ряда, то "там будет сложно определять все эти свойства синуса и косинуса, их периодичность, болтание вокруг единицы...", примерно так он сказал, увы, я не смогла процитировать точнее... Вот ничего подобного! Если нам: 1) даны определения синуса и косинуса, как суммы рядов (они называются рядами Тейлора); И если мы: 2) имеем представление об абсолютно сходящихся рядах, о знакопеременных рядах, а также 3) имеем представление о функциональных рядах и о равномерной сходимости функциональных рядов, и поэтому 4) мы можем сразу же сказать, например, что производная синуса есть косинус, а производная косинуса есть минус синус; то, в таком случае: МЫ ЛЕГКО И ПРОСТО СМОЖЕМ вывести все наши "школьные" знания об этих функциях!!! И любой студент сможет решить эту задачу, а кто не сможет решить, тот сможет списать...

[@trushinbv]

Ну, вот, на сколько легко? Я видел как один лектор Физтеха с таким подходом потратил две пары лекций, чтобы вывести все нужные свойства тригонометрических функций

[@user-bd4jn6cy1k]

Трушин помоги пожалуйста решить 2 задачи!!! Разбери их в отдельном видео 🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏. Первая задача: Оля за час решает 36 задач из сборника, а Олег - на 25% меньше. Сколько задач в сборнике, если Олегу требуется на 1 час больше, чем Оле, чтобы полностью решить его? Вторая задача: Прямоугольная фотография вставлена в деревянную рамку, ширина вертикальных частей которой в три раза меньше ширины горизонтальных. Периметр фотографии - 51 см, внешний периметр рамки - 67 см. Чему равна ширина горизонтальных частей рамки? Ответ дайте в сантиметрах.

[@andreygoldfine]

а если ввести синус и косинус аксиоматически, но пока не доказывать существование таких функций - это честный подход?)

[@trushinbv]

Что значит "аксиоматически" ввести функцию? )

[@mask_line11]

Какой же кайф

[@sergeyn2214]

Шёпотом: правило Лопиталя :) И ролик сокращается до 30 секунд )

[@sergey_medvedev]

помоему это очивидно .Зачем этот ролик !) саватеева на вас нет )))

[@gromitwoll6907]

Спасибо за видео, но качество картинки просто ужасное. смотрю 1080р, а ощущение как будто 240р. К тому же фокус непонятно на чем.

[@trushinbv]

А в других роликах ютуба все норм? Кажется, это какая-то проблема на вашей стороне

[@gromitwoll6907]

@@trushinbv Не-е-е, с видео других каналов все прекрасно. может быть это мой привередливый взгляд за это цепляется. Но по сравнению с Гоблином(Пучковым) который снимает видео так же на черном фоне разница в картинке колоссальная. пересмотрел другие ваши видео. по видимому проблема с видео была всегда. Возможно я преувеличил по поводу 240р. но смысл тот же. когда был зеленый фон артефакты видео не так сильно выделялись. Сейчас же картинка из-за недостатка освещенности просто сыпется и очень сильно шумит. Вы что-то намудрили с настройками кодека или битрейта. Или может сама камера не в состоянии снимать в подобной сцене.

[@elidepp3553]

С видео проблем нет.

[@gromitwoll6907]

@@elidepp3553 Если ты чего-то не видишь это еще не означает что этого нету.

[@retrogrvd1367]

tgx и ctgx с какого х непрерывны? у них есть точки разрыва

[@trushinbv]

Они непрерывны в каждой точке области определения

[@retrogrvd1367]

@@trushinbv всё множество действительных чисел, исключая x=π/2+πn, n ∈ Z для tgx и множество всех действительных чисел, кроме x ≠ πn, n∈Z для ctgx

[@trushinbv]

@@retrogrvd1367 это и есть «каждая точка из области определения»

[@retrogrvd1367]

@@trushinbv это точки в которых функции не имеют решения, точки разрыва, значит функции в них не определены. разве не так?

[@trushinbv]

@@retrogrvd1367 в ролике мы доказали, что эти функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены. С чем именно вы не согласны?

[@user-nq2mj6rz9q]

Вы всё брешете. Синусы, косинусы и т.д. - это тригонометрические функции. А тригонометрия - это, если вы не в курсе в переводе с греческого "измерение треугольников". Все эти функции - это соотношения длин сторон треугольника. Окружность тут вообще ни при чём. И при этом синусы и косинусы никогда не могут быть равны 1 или 0, так как это бы значило, что в прямоугольном треугольнике есть второй угол в 90 градусов, а это опровергает изначальное определение функций и треугольника.

[@niknik8429]

Нам никогда не приводят доказательств(

[@trushinbv]

Это где так? (

[@CogentReasons]

После введения в математику минус единицы под корнем, про честность в математике можно забыть.

[@etherialsunshine1483]

Вы не правы. Да и нет в математике никаких минус единиц под корнем, есть число i, которое в квадрате равно -1, и оно ничем не хуже всех других чисел.

[@alexanderbaranov3514]

Школы разные бывают. Ваши объяснения не совсем точны.

[@trushinbv]

Что вы имеете в виду?

[@user-dm1gj1wd4y]

Молодец, так держать. Только математика. Никаких своих "мнений" о СВО, России. Больше так не делай.))