✓ Второй замечательный предел | матан

Математический анализ #029
00:00 второй замечательные предел
17:32 пара следствий замечательного предела
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@user-wn5el8xn6p]

Школьники, которым сейчас интересно только егэ, обязательно заходите в видео про Матан и ставьте лайк, чтобы БВ продолжал. Понимаю, сейчас вам это не надо, но на 1 курсе вам это будет важнее, чем сейчас видосы по егэ!!

[@mathself1]

Борис Викторович, спасибо за матан!Спасибо, что не забываете про старичков. Очень приятно видеть, что активность плейлиста по матану увеличилась! (что совпало с моим первым курсом, что не может не радовать)

[@tshja3io12e]

Да, у меня такая же ситуация)

[@germynord-ug6201]

Спасибо Борису Викторовичу и тем, кто принимает участие в создании лекции. Такие лекции гораздо лучше для усвоения чем пары в университетском лектории. Когда на лекции 100 человек, никто не будет останавлевать лектора вопросами, если что-то не понял. А на семинарах, тоже есть свой план: побольше нарешать задач. В результате многие важнейшие моменты ускользают от понимания и всё забывается ещё быстрее. Здесь же можно пересматривать непонятный момент. Пересматривать всю лекцию. Что замечательно, особенно когда лектор талантливый. Без регулярного повторения материала, не возможно освоить ни теорию, ни практику. Цифровая эпоха даёт возможность обучения у лучших преподавателей.

[@tshja3io12e]

Как быстро после 1-го замечательного предела вышел второй, а я уже расстроиться успела, что придётся месяц или больше нового видео ждать, а тут...спасибо)

[@sila_reki_sila_taigi_sila_gor]

МАША, а почему Stark?

[@Eugen_chessplayer]

С удовольствием смотрю ролики по мат анализу от Трушина. Хотя я и не совсем понимаю математику. Но тем не менее, я люблю ролики по этому предмету.

[@IHb486]

О Господи! Два выпуска мат. анализа подряд. Борис Викторович, вы нас балуете.

[@trushinbv]

Три же. Он стал каждое воскресенье выходить )

[@IHb486]

@@trushinbv Я в раю

[@fnhm_]

Замечательное видео! ... Про замечательный предел))

[@user-pi8fo9ry2w]

Ура, новое видео по математическому анализу)))

[@interbrigadistua3115]

Борис Викторович, огромное вам спасибо за ваш труд! Смотрел вас еще в старших классах. Вы мне очень помогли. Теперь жду с нетерпением еще видосов по высшей математике. В частности, по аналитической геометрии и линейной алгебре ( матрицы, СЛУ и т.д ) ; )

[@-Critical_Thinking-]

Линейная алгебра - бери, считай.... Муторная тема. Особенно выбешивало всё это - группы, кольца.... и так нудно.... Аналитическая геометрия - совсем ничего сложного. Ну, что у меня было.... Тоненький учебник... за одну ночь осилить можно. Базисы, вот это всё 🙂 Поймёшь что такое базис - понял всё.

[@user-no9hq2nu1s]

Борис Викторович, спасибо за ваши видео, сейчас готовлюсь к коллоквиуму по матану по вашим видео

[@alekseydidkovich2569]

*Спасибо,полезный и доступный материал для студентов))* 😍

[@rr-zn9xf]

спасибо большое очень полезно! ждём продолжение

[@user-ym7dj4nw4y]

огромное спасибо за матан,очень помогает

[@eye2267]

Здравствуйте, Борис Викторович! Очень бы хотел от вас видио про инверсию, Вы, как не кто другой объясните это лучше!

[@user-ix6mj2qf4e]

Борис Викторович, здравствуйте, а не могли бы вы записать видео о пределе sin(1/x), что это за конструкция, как это доказывается и вообще понимается; раз уж стало так много лекций про матан

[@-Critical_Thinking-]

Трушин крут! Я видео это смотрел уже (лайк стоит).... но, лишний раз сказать, что Трушин крут - это же не лишне 😀

[@usernamer519]

Спасибо!!

[@ivanwade4851]

Подумав, пришел к такому доказательству последнего предела как следствия. Если я не прав, поправьте меня, пожалуйста. Рассмотрим доказанный ранее предел lim при x->0 (ln(x+1))/x = 1. Заметим, что x -> 0, а также взяв функцию (a^x - 1) заметим, что она ->0, при x->0. Тогда подставим ее в предел и получим: lim при x->0 (ln(a^x-1+1))/(a^x-1). Приведем подобные, а также вынесем по свойству логарифма показатель за логарифм: lim при x->0 (x*ln(a))/(a^x-1). Т.к. множитель ln(a) не зависит от аргумента, разложим предел произведения на произведение пределов: (lim при x->0 x/(a^x-1)) * (lim при x->0 ln(a)). Так: (lim при x->0 x/(a^x-1)) * ln(a). Помним, что данное произведение равняется 1, по доказанному ранее следствию. Тогда: lim при x->0 x/(a^x-1) = 1/ln(a). Далее, пользуясь формулой частного пределов, получим: 1/(lim при x->0 x/(a^x-1)) = ln(a). И: lim при x->0 (a^x-1)/x = ln(a). Что и требовалось доказать. *** Еще раз говорю, могу быть не прав, поскольку не уверен что мы можем перейти к другой функции, но если это допустимо - то все должно быть хорошо)

[@user-ib5ew1uv4r]

спасибо!!!!

[@sergeyn2214]

ln(1+x)/x тоже можно по Лопиталю сделать. И из него вывести замечательный предел

[@kotmem]

Здравствуйте, сегодня на олимпиаде попалась задачка, можете ли вы объяснить, как такие решать? *Найдите(распишите) все возможные f(x), значения которых на множестве действительных чисел принимает действительные значения:* X(f(x)+f(-x)+4)+2f(x)+2=0

[@user-kq8rh6xk4z]

Борис Трушин, вы в первых видео по матану просили доказывать некоторые теоремы, ну я доказал, а как проверить то проавильно я доказал или нет?

[@user-vz3wv9km9v]

Он объясняет лучше чем профессора в моем универе

[@trushinbv]

Просто, они ограничены во времени. И пытаются это же рассказать за 5-10 минут

[@user-vz3wv9km9v]

@@trushinbv вы мне очень помогли в понимание мат.анализа. За это хочу сказать вам большое спасибо

[@alxsam505]

Борис, добрый день! Спасибо за ваши видеоуроки! Тема с четностью (kzbin.info/www/bejne/eZbRgneIhNaIr6M) меня зацепила - голосую за её продолжение. Однако, зацепило и еще кое-что, что, возможно, не все заметили на вашем стриме о четности. Это задача на 00:53:31 -- "Все костяшки домино выложили в ряд по правилам игры. На одном конце оказалось шесть очков. Сколько очков на другом конце?" -- Дело в том, что, как мне кажется, у этой задачи есть и другое решение (кроме использованной идеи четности). Суть следующая: 1) если поставленная задача математически корректна 2) и имеет решение, то этим решением может быть только - шесть очков. Почему? Потому что, если есть логическая цепочка ведущая к ответу отличному от шести, например к двум, то существуют и точно такие же логические цепочки (которые ничуть не хуже), ведущие к ответам пусто (он же ноль), один, три и т.д. Но мы знаем, что на другом конце какое-то определенное число (ответ есть, существует), и возникает уверенность, что это число не может быть никаким другим, кроме как шесть. ========== Хотелось бы стрима на тему подобных задач. ========== Такой метод решения меня завораживает, первоначально кажется чудом чудным. Видимо, если покопаться в старых задачах, то можно найти еще что-то подобное. ================= Другой пример подобных задач. "Каждый из троих - A, В и С - в совершенстве владеет логикой, то есть умеет мгновенно извлекать все следствия из данного набора посылок, и знает, что остальные также обладают этой способностью. Берем четыре красные и четыре зеленые марки, завязываем нашим «логикам» глаза и каждому из них наклеиваем на лоб по две марки. Затем снимаем с их глаз повязки и по очереди задаем А, В и С один и тот же вопрос: «Знаете ли вы, какого цвета марки у вас на лбу?» Каждый из них отвечает отрицательно. Затем мы спрашиваем еще раз у A и снова получаем отрицательный ответ. Но когда мы вторично задаем тот же вопрос В, тот отвечает утвердительно. Какого цвета марки на лбу у В?" Тут есть возможность вслед за мудрецами повторить их подвиг, рассуждая так же как могли рассуждать они. Но зачем? 1) Мы знаем (уже постфактум), что задача корректна, 2) что ответ существует (добыт мудрецами до нас). Этого достаточно, чтобы утверждать, что если ответ есть (а он есть, мы верим мудрецам), то это может быть только ответ с двумя различными марками - красной и зеленой. Почему так? Потому что, если существует логическая цепочка, приводящая к ответу" красная-красная", то существует и логическая цепочка (которая ничем не хуже), которая приводит к ответу "зеленая-зеленая". Согласитесь, две истины на одном лбу, противоречащие друг дружке, это перебор. Вывод: Ответ может быть только "разноцветным" - "красная-зеленая" или "зеленая-красная".

[@trushinbv]

Про домино. Там вполне мог быть ответ «любое» или «любое, кроме шести»

[@alxsam505]

​@@trushinbv Спасибо за ваш ответ, Борис! Но, пожалуй, с ним я не соглашусь. Сразу оговорюсь - я ни разу не математик, математического образования у меня нет. Но..но..я вижу сходство задач с марками и с доминошками. Сходство здесь в симметрии - в одном случае в цветовой, в другом в числовой. Задача с марками: Что будет, если предположить, что ответом мудреца было сочетание цветов марок "Зеленая-зеленая"? Если кто-то хитрый начнет манипулировать цветами, поменяет их, - зеленый на красный, крсаный на зеленый, - то ответ должен измениться на противоположный: "Красная-красная". Но ответ не может измениться, потому что обмен цветами между марками ничего не изменил в самой задаче. Т.е. ответ может быть только "красная-зеленая" (или "зеленая-красная", что в данном случае одно и то же). Единственный ответ, при котором манипуляции с цветами не меняют сам ответ. Задача с доминошками: Доминошки симметричны в том смысле, что, если мы заменим, например, на всех доминошках тройку на двойку, а двойку на тройку, - никто этого не заметит. Как только мы объявили, что на одном конце шестерка, доминошки с шестерками выпали из этой симметричности (остальные номиналы остались симметричными). Предположим, что на другом конце оказалось что-то из набора {0-5}, и снова запускаем кого-то хитрого, который проводит манипуляции с номиналами доминошек. Ответ при этом не должен измениться, манипуляции ничего не изменили в структуре доминошек. Такое возможно только, если ответом будет шестерка, манипуляции с которой запрещены уже самим фактом ее объявления как стартовой доминошки. Я таки вижу сходство задач с марками и с доминошками. Как это развидеть?

[@trushinbv]

​@@alxsam505 Разница в том, что в задаче про марки из условия следует, что данных достаточно, чтобы дать однозначный ответ. В нашей же задачи такой гарантии нет.

[@alxsam505]

@@trushinbv Кажется, понял. Т.е. мы должны знать, что 1) кто-то эту задачу решил 2) и правильный ответ это что-то конкретное из набора {0-6}. Достаточно в задачке про доминошки добавить учителя, который дал задачу классу, и мудрого ученика Васю, который правильно ответил - озвучил номинал доминошки на другом конце. И задачка а-ля "Красно-зеленые марки" готова! Спасибо, Борис!

[@antoonio]

нооооооовввое видеооооо,, Вы обещали!!!!!!!!!!!!!! давай , не ленись)))))

[@paukrus]

Замечательно

[@leonidsamoylov2485]

Конечное число - оговорка на 3:43. Потом уже «как надо». Но всё равно блестяще как всегда. Спасибо

[@trushinbv]

А какая там оговорка?

[@leonidsamoylov2485]

@@trushinbv конечнре число членов последовательности внутри интервала.

[@andreygoldfine]

@@leonidsamoylov2485 «вне этой окрестности лежит лишь конечное число членов», все правильно там

[@trushinbv]

@@leonidsamoylov2485 там как и в определении предела - «вне». Но, возможно, немного невнятно ))

[@biyrololo]

Давайте разбор олимпиады по математике 10 классов?

[@alexandrkozlov7010]

Разберите задачу из химии или физики, например, где есть содержательная математика (с применением матана). Причём не с позиции химика, физика, а именно математика.

[@vikk8996]

@@user-cc8nn1ql9d так уже все пропагандоны похвастались сколько разных ракет массово запустила РФ по гражданским объектам и гражданам Украины, и кстати находящихся на территории Украины. Задача : какова вероятность, что одного хрена подвесят за яйца или как муссолини за ноги? Или какова вероятность, что хорошо подготовленные бойцы из росгвардии не схватят твоего хилого родственника, чтобы отправить его зачем-то на Украину? Без еды, без оружия, без экипировки. Смотри в инете про ЭТО.

[@sonnijmuh]

Зачем я с завидным постоянством смотрю ваши ролики, если мое развитие в точных науках закончилось на седьмом - восьмом классе? "Ничего не понятно, но очень интересно" - про меня.

[@ivansidorov840]

👍👍👍👍👍

[@pentium_dinamo-machine]

где продолжение??? ты обещал

[@user-lc5rv3ng9s]

9:15 разве в этом моменте не надо сказать что Xk < 1

[@r75shell]

А что это вы про зажатость с двух сторон ничего не сказали. Это же толи лемма, толи теорема.

[@ivanwade4851]

Здравствуйте, скажите пожалуйста, верно ли то, что функцию в пределе можно заменить на другую, если доказано, что та стремится к такому же значению? Просто сделал такой вывод для себя по видео, но есть сомнения..

[@German_1984]

Нет, в общем случае нельзя. Есть вероятность, что это можно сделать, если они стремятся с одинаковой "скоростью", то есть предел отношения этих функций равен 1 при x стремящемуся к предельной точке

[@toster4655]

Почему Nk T если он прописывал просто nk ?

[@toster4655]

Мне бы хотелось от автора объяснение, а не лайк

[@Qwerty-se6qs]

Предел возможности понятно объяснить = БВ

[@yukioKitamura]

ееееееееееееееее

[@vergilcry8205]

Борис Викторович, у вас есть о теории вероятности, или есть теория игр очень применима в фондовом рынке или игре в покер очень интересно было бы послушать.

[@darkvitg9285]

Чуть-чуть опоздали;(

[@antonkoktysh]

Подскажите, как правильно пользоваться заменой переменной, нужно ведь проверять все условия, в том числе, что в некоторой окрестности внутрення функция не равна предельному значению

[@user-eg7mr7ut5s]

Борис, попробуйте решить задачу: дан равнобедренный треугольник МNК, биссектриса МЕ, NE=MK. докажите, что ME = MK

[@user-of5gz6hz1q]

Какие часы у тебя?

[@bibaChes]

Зачем все эти условности, если есть ряд Тейлора:)

[@trushinbv]

А как вы найдёте производную экспоненты без этих пределов?

[@Valter25096]

Слишком тёмная обстановка (((. Когда Борис находился в освещённой комнате и на освещённой зеленой доске расписывал излагаемый материал - как-то более приятно было наблюдать за всеми этими математическими выкладками.

[@kosterg3559]

Не думал, что аквамен хорошо знает матанализ

[@aakh3500]

Предел последнего следствия доказан слишком поверхностно и нестрого -- много пропущено - паршиво-ленивое доказательство.

[@trushinbv]

Что именно пропущено? )

[@aakh3500]

@@trushinbv вот вы делаете замену x=e^y-1 потом у вас получается y/(e^y-1) -> 1 вы лихо говорите что осталось лишь перевернуть - я вот, например, спустя 20 лет после универа не вспомню на какую теорему вы тут опираетесь, другими словами в последнем доказательстве нет полученного выражения соответствующего условию. До этого в конце доказательств у вас получались выражения из дано.

[@aakh3500]

@@trushinbv для сравнения у Дональда Кнута есть очень хорошее и наглядное доказательство того что гармонический ряд расходится, помню лекцию по рядам когда наш ныне покойный профессор доказывал это высасывая из пальца что можно набрать бесконечное количество сумм больше 1/2 - студенту и с профессором не поспоришь и понять толком не получается. Прочитал у Кнута получил удовольствие от доказательства.

[@trushinbv]

@@aakh3500 Ну, если f -> 1, то 1/f -> 1

[@aakh3500]

@@trushinbv еще бы ссылочку где вы это доказываете ..., ну и стоило это явно упомянуть

[@artemfedorov8792]

Здравствуйте, Борис. Пожалуйста, больше не выпускайте ролики на политические темы. А то у вас теперь под каждым новым роликом городские сумашедшие спамят.