А ты понял, зачем в этой задаче косинус?

Математика Геометрия Задача из ЕГЭ

[@nativen40]

Большое спасибо за объяснение🌹🌹🌹 планиметрию изучала 30 лет назад, но так интересно было вспомнить😊

[@alexander4e780]

Ведь, исходя из п. "А", треугольники АМD и AND равны=> MD=DN, из свойств параллелограмма и равнобедренной трапеции получаем, что CD=DN => CD/DN=1

[@victornovik4025]

△АМD ≠ △AND Да, АМ = АN, сторона AD общая, ∠ADM = ∠ADN. Но остальные углы не равны и MD≠DN

[@alexander4e780]

​@@victornovik4025 спасибо) был невнимателен

[@ncrean66]

MD = AB = DN)​@@victornovik4025

[@biscuitwithmilk6671]

Мне кажется, что отношение CD к DN нашли неправильно.

[@user-sh2mk4mq4e]

МД продолжить и сделать симметричный внизу треугольник.

[@user-gt4lq4hi4m]

Там ведь 1 к 1 будет. Но странно, что косинус не задействовали никак

[@eodor180]

как это никак, у нас HC это это ⅔x, найдено от косинуса, и от него остальные стороны

[@user-xp6fw9gz8k]

Что-то вообще не собран в расчётах, лень напрячься и пройти рассуждения с начала. На этом проходе отношение получилось 6/7.

[@user-xp6fw9gz8k]

ABMD - равнобедренная трапеция, если обозначить угол C через альфа, то ADM = альфа. ADN тоже = альфа. AMD + AND = 180 градусов (вписанные углы и их дуги). По т. синусов AD / sin AMD = AM / sin альфа, AD / sin AND = AN / sin ADN. Левые части равны, значит, равны и правые. Откуда AM = AN.

[@victornovik4025]

Как доказывали что ABMD равнобедренная трапеция?

[@user-xp6fw9gz8k]

@@victornovik4025 можно как в видео (параллельные прямые вырезают равные дуги, равным дугам соответствуют равные хорды). А я делал: ADM = альфа, ABM = 180 - альфа, опираются на дополняющие дуги. DMC и ADM - накрест лежащие. DMC и BMD - смежные. Имеем два равных угла в трапеции.

[@victornovik4025]

@@user-xp6fw9gz8k понятно, спасибо. Т.е. вы использовали тот факт, что два вписанных угла ADM и ABM, опирающихся на одну хорду АМ, но лежащих по разные стороны от нее, вместе составляют 180. Я просто хочу решить эту задачу без доказательства равнобедренности трапеции, но не хватает мелочи и решение чуть-чуть ускользает. Кстати, равенство AN = AM я вывожу из подобия треугольников △MAN ~ △CDM (у них два угла равны). Отсюда AN/MD = AM/CD. Если MD = CD, то AN = AM.

[@Sebastian_petejro]

Мне бы такого учителя по геометрии

[@Sebastian_petejro]

Равносторонний треугольник

[@YuriyKurnat]

А что же с философами ?! Они решили эту задачку ?! Те которые математики 😅 ?!

[@user-jh7hq1zi8x]

эммм.. а зачем тут в условиях есть косинус? ну не просто так же...

[@math_and_magic]

так с помощью него и нашли отрезок одной из секущих

[@user-vn1wj3qq1j]

а) Соединяем M и N, M и D. E - точка пересечения AD и MN. ∠AMN = ∠ADN (оба опираются на дугу AN), Кроме того ∠ADN = ∠BCD = ∠C = ∠A. ⇒ ∠AMN = ∠C = ∠A. С другой стороны: ∠ANM = ∠ADM (оба опираются на дугу AM) и ∠ADM = ∠A (каждый равен 90° минус угол с касательной; а углы MD и AB c своей касательной равны, поскольку те равны половине дуг, равной длины). Значит ∠ANM = ∠ADM = ∠A = ∠C. Таким образом ∆AMN - равнобедренный, и его катеты AM = AN.

[@user-vn1wj3qq1j]

@@victornovik4025 Это очевидно. Два луча у этих углов, ВС и AD - параллельны, а два другие - CD и BN - лежат на одной прямой. Значит углы ∠ADN = ∠BCD равны. ∠C - это другое обозначение ∠BCD. ∠C = ∠A - как противоположные углы параллелограмма. Кроме того ∠ADN и угол ∠AMN вписанные в окружность и опираются на одну дугу AN, а значит равны.

[@ncrean66]

Если AN = AM, то ABDN параллелограм и ND = AB = CD

[@awrRoman25]

ABDN - трапеция. Это из условия следует, так как N лежит на продолжении CD, которая параллельно AB. Но AB не равно DN

[@ncrean66]

Если AD диаметр, то ABDN параллелограм, а не трапеция - независимо то косинуса угла BAD). Если центр окружности ниже AD, то тогда да, трапеция. Если выше, то чертёж вообще неправильный). Задачка похитрее, чем кажется.​@@awrRoman25

[@M17..]

Сд к дн должно быть один к одному исходя из первого пункта задачи

[@victornovik4025]

△АМD ≠ △AND Да, АМ = АN, сторона AD общая, ∠ADM = ∠ADN. Но остальные углы не равны и MD≠DN

[@goonikes]

MD=DN=CD, CD/DN=1. Остальное от лукавого.

[@awrRoman25]

Из AM = AN не следует что MD = DN.

[@Sebastian_petejro]

Там все просто

[@brlbrl5566]

Почему хорды одинаковые не понял ,для тупых по медленнее и более детально можно обьяснять .

[@awrRoman25]

Точки A, B, M, D лежат на окрестности, значит сумма углов ADM и ABM равна 180 градусов. Но так как BM и AD параллельны, то сумма углов ABM и BAD тоже равна 180. Получается что углы ADM и BAD равны. Так как точка N лежит на продолжении прямой CD, которая параллельна AB, то угол ADN равен BAD (как накрест лежащие). Получается что углы ADN и ADM равны (так как каждый из них равен BAD). Далее просто, в окружности напротив равных углов лежат равные хорды.

[@user-bf2rw8fn9t]

Почему никогда не слышу слова конгруэнтный? Помню оно было в школе.