Potenzen vergleichen, trickreich rechnen

[@frankstefanhorn3561]

Hat mich jetzt richtig plattgemacht, NIE hätte ich vermutet, dass diese 7er Potenz mit der ersten auch nur annähernd gleichziehen kann... 😯...

[@avirtus1]

Tolle Aufgabe. Ich habe es auch mit einer Abschätzung gemacht, allerdings habe ich die 100000^100000 nach 10^500000 erst einmal stehen lassen und mich an einer Abschätzung von 7^7^7 versucht. Zuerst hatte ich die Idee es zu 7^(7x7x7x7x7x7x7) umzuschreiben und paarweise zu gruppieren (7x7 ist ca 50); also 7^(7x50x50x50). Dann habe ich entsprechend bei beiden Werten die 125000te Wurzel gezogen um die Zahlen handlicher zu machen: 10^4 vs 7^7 (=7x7x7x7x7x7x7; was wieder ca 7x50x50x50 ist). Man sieht sofort, daß die rechte Seite größer ist, allerdings habe ich sie bei meinen Rechenschritten ja auch größer gemacht. Immerhin war am Anfang ja nicht klar, welche Zahl ich vergrößern darf um die Relationen zu bewahren... Also habe ich die gleichen Näherungen noch einmal durchgeführt und dabei die rechte Seite kleiner gemacht mit der Näherung 7x7 soll nur 40 (anstatt 50) sein, wodurch die Zahl allerdings kleiner wurde als die linke Seite. Beim dritten Versuch hat es geklappt mit der Näherung 7x7 soll 45 sein, wodurch die rechte Seite größer als die linke Seite wurde, obwohl ich sie mit meinen Näherungen kleiner gemacht hatte. Im Prinzip war die Grundidee also die gleiche wie bei dir, aber ich brauchte drei Anläufe eine geeignete Näherung zu finden, die die Annahme auch wirklich beweist. (Ich hoffe so weit verständlich - die Kommentarspalte ist nicht so gut geeignet, mathematische Beweisführungen zu kommunizieren, hahaha)

[@Tobias042]

Warum geht da nicht nach Potenzgesetz 7^7^7 = 7^49 ?

[@Fridolin1962]

Genau, das war auch mein erster Gedanke 🤔

[@frankstefanhorn3561]

7 hoch 7 geben schon im Kopf keine 49... aber nach Potenzregeln hatte ich das selber anders in Erinnerung...

[@technik-lexikon]

erinnert mich an das klassische "was ist größer": 2^(100!) oder (2^100)!

[@thorstenkrebs153]

Stark🎉

[@holgerg3824]

Ich habe einen anderen Weg verfolgt (für mich einfacher): 1. Schritt: 10er Logarithmus: log10( 100000^100000)=100000*log10(100000)=100000*5=500000 2. Schritt: log10(7^7^7)=7^7*log10(7); log10(7) ist kleiner als 1 (und größer als null). 3. Schritt: Wie groß ist 7^7? 7^7 = 7^2 * 7^2 *7^2 * 7 = 49*49*49 * 7. Das schätze ich nach oben ab: 50*50*50*7 = 125*1000*7 = 875000 4. Schritt: Wie groß ist der Fehler, den ich gemacht habe? Binomische Formel (a+1)^3 - a^3 = a^3 +3a^2 + 3a + 1 -a^3 =3a^2 +3a -1 = 3*a*(1+a) -1 = 3* 49 *50 -1. Das ist ungefähr 3*2500 -1 = 7500 -1. Und da habe ich noch 3*50 = 150 zu viel berechnet. Also 7^7 ist ungefähr 875000 - (7350-1)*7 , der abzuziehende Term ist in der Größenordnung 50000 (7*7000 =49000) , so dass insgesamt etwa 825000 heraus kommt und das ist viel größer als 500000. Das Aufschreiben dauert länger als das Kopfrechnen.

[@thorstenkrebs153]

Als ehemaliger Mathe LK Schüler feier ich deine Videos total. 🎉

[@ElvisTB]

Ich habe mir das Video angesehen, die Schritte nachvollzogen und trotzdem ließ mich ein Gedanke nicht los. Nach Potenzgesetzen ist doch x hoch a hoch b das Gleiche wie x hoch (a mal b); in unserem Beispiel mit 7 eingesetzt also 7 hoch (7 mal 7) was 7 hoch 49 ist. Wenn ich mir jetzt 100000 hoch 100000 und 7 hoch 49 ansehe, ist der 7er-Turm deutlich kleiner. Wohabe Ich einen Fehler gemacht?

[@berndkru]

x^b^c=x^(b^c), Potenzierung wird entgegen der gewohnten Weise von rechts nach links aufgelöst (rechtsassoziativ). Nicht zu verwechseln mit (x^b)^c=x^(b*c). Also 7^7^7=7^(7^7). Du hast 7^7^7 fälschlicherweise als (7^7)^7 interpretiert - in diesem Falls wäre es tatsächlich 7^49.

[@ElvisTB]

​In Ordnung. Verstehe. Dann ist a^b^c also a^(b^c). Vielen Dank, dass Sie mich darauf aufmerksam gemacht haben. 0:02 Ich denke, dass ich es jetzt tiefer durchdrungen habe. Probleme, mit denen sich mathematikaffine Menschen beschäftigen. Ich zähle mich dazu🤗

[@berndkru]

@@ElvisTB Sehr gerne, in der Mathematik lernt man nie aus.

[@ElvisTB]

@@berndkru zu umfangreich dafür. Und da habe ich noch nicht mal die Milleniumsprobleme erwähnt🙂

[@anestismoutafidis4575]

7^7^7 > 100000^100000

[@svenmartin1489]

Hätte ich voll verhauen. Ich bin davon ausgegangen, das wir 7^49 haben.

[@berndkru]

Diese untypische Reihenfolge der Auswertung von Operatoren stellt auch eine Ausnahme dar. Es ist halt eine Konvention, die man kennen muss.

[@svenmartin1489]

@@berndkru Ja, so ist es.