ПРЕДЕЛ ОТ ИНТЕГРАЛА!!! | ОЛИМПИАДА «‎Я ПРОФЕССИОНАЛ»‎

[@Profimatika_vyshmat]

А если Вы студент 1-го курса и боитесь не сдать сессию, то советую записаться на мой курс по анализу и построению графиков функций! profimatika.ru/graphs

[@Ally-dc2wy]

Работала раньше с интегралами немного (в 11 классе, когда проходили первообразную) на самом элементарном уровне, в вузе их еще не проходили, а про переменный верхний предел вообще никогда не слышала. Задача на картинке изначально показалась страшной. Я эконом. факультет вшэ (миэф, если кто-то знает), так что нас прям сильно матаном не грузят, и вышмат я не особо люблю. Однако все, что было в видео я поняла, задача оказалась довольно простой. Объяснено всё ну очень красиво и выглядит так, будто когда-нибудь навык считать такое может пригодиться :) Спасибо, Максим! ❤️

[@Profimatika_vyshmat]

Спасибо, приятно слышать) МИЭФ знаю, конечно, каждый год по несколько учеников индивидуальных с МИЭФа приходит заниматься матаном😅

[@edmundcharles1685]

Интересная, хотя вроде и несложная, задача! Объяснение прямо очень подробное, после такого никаких вопросов быть не может)

[@uasilii]

Чистейший кайф) раз ты сегодня спрашивал в чате про семестровую работу из МФТИ, надеюсь, будет её разбор)

[@Denis-17]

Очень крутое объяснение. Будь у меня такой преподаватель можно было бы и в ШАД поступать. Спасибо!

[@МаксимНеважно-р5ф]

Интересная задачка, хотя я ее решал совсем по другому. Мне почему-то сразу в голову пришла идея написать численную оценку интеграла через формулу Симпсона, но для этого нужно помнить формулы остатков в правилах многоугольников, трапеций и парабол.

[@poli_popo]

Класс! Переменные пределы интегрирования считать не доводилось ранее )

[@infas0tka693]

Можно было ещё перед применением правила Лопиталя заменить (cos(x))^4 на эквивалентную ему в нуле единицу.

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

С спасибо . Но , можно чуть иначе ! Решаем задачу « в лоб». {разумеется нужен крепкий «лоб» } Предварительно напомним несколько полезных в будущем формул ( может кто не знает ?) (1) [tg(x)]’=1/[cos(x)]^2 ; (2) [cos(al)]^2=[cos(al)]^2/{ [cos(al)]^2+[sin(al)]^2 }=1/{ 1+[tg(al)]^2 }. Представляем в (2) al=arctg(x) - получаем : (3) cos( arctg(x) )=1/(1+x^2) . (4) [tg( arctg(x) )]’={1/[cos(arctg(x) )]^2}*[arctg(x)]’=x’=1 . Из (4) - с учетом (3) - получаем : (5) [arctg(x)]’=1+x^2. За неимением на клавиатуре знака интеграла , обозначим первообразную функцию от f(x) : НИ{f}(x) . Формула интегрирования « по частям» доказывается по определению взятием производной от обеих частей тождества : (6) НИ{u*v’}=u(x)*v(x)-НИ{u’*v} . Применим (6) и (5) для вычисления «в лоб» предложенного интеграла . (7)J(t)=НИ{arctg(t^3)*t’}=t*arctg(t^3)-НИ{t*3*t^2*(1+t^6)}=J(t)=t*arctg(t^3)-(3/4)*t^4-3/10*t^10 . По известной (надеюсь 😊) формуле Ньютона- Лейбница : Y(x)=J(5*x)-J(3*x) . Теперь можно рассмотреть предлагаемый предел . ( везде при ‘x’ или ‘q’ - стремящемся к нулю !) Напомним , что предел произведение равен произведению пределов , предел суммы равен сумме пределов ( разумеется , если все пределы существуют). lim{sin(x)/x }=1 ; (8) lim{ arctg(x)/x }=!! arctg(x)=q , x=tg(q) !!=lim{ q/tg(q) }=lim{ cos(q) }/lim{ sin(q)/q }=1/1=1 ; (9) ?=A=lim{ cos(x^4)*[x/sin(x)]^4*[Y(x)/x^4] }=lim{cos(x) }*[1/lim{ sin(x)/x }]^4*[ lim{ J(5*x)/x^4 }+lim{ J(3*x)/x^4 } . (10) lim{ cos(x^4) }=1 ; (11) lim{ [sin(x)/x]^4 }=1^4=1 ; (12) lim{J(5*x)/x^4 }=(7)= (5^4*[ lim{ arctg(5*x)/(5*x) } ]^3-(3/4)*5^4*-(3/10)*5^10*lim{ x^6 }=5^4*(1-3/4)+0=5^4/4 ; (13) lim{ J(3*x)/x^4 }=…….. =3^4*(1-3/4)+0=3^4/4 . ………. Получаем Ваш ответ . С уважением, Лидий

[@Micro-Moo]

Здорово. Крепкий лоб прилагается.

[@namelesskalanchoe224]

Уважаемый Лидий, честно говоря, так почему-то приятно видеть Ваши комментарии под разными видео физико-математической тематики. Прям тепло на душе, сам не понимаю почему)

[@OLEG_VOLTA]

Спасибо за чиловые представления, чел! Я реально от математики не отхожу 24/7. И твои сложные штуки, так простяцки подаваемые, сильно отвлекают и разбавляют. Реально интересно…

[@Profimatika_vyshmat]

Рад слышать)

[@megazebra228]

ааа, выглядит страшно, решение огонь!

[@СырокГлазированный-з8у]

Замечательно, отличная видеокарточка

[@pavelkatkov5930]

Спасибо! Ждем новых роликов

[@romanh219]

Было интересно. Я учусь в немецком вузе и мы проходили интегралы с параметрическими границами в первом семестре. А правило Лопиталя это база)) Так что для меня эта задача оказалась не сложной, но поучительной.

[@scraba4314]

Если не секрет, то где вы учились? А то у нас по программе максимум это пределы в 1 семе)

[@robertmonroe9728]

Я ее решил в уме! Как это не решил никто? Ну окей, мне было лень считать (5^4-3^4)/4=136 и я посчитал это в гугле

[@CeBePHbIu_OJIeHb___W_W]

Аналогично! Подумал 5 минут, разложил arctg в ряд (с помощью взятия производной, которая хорошо раскладывается, а потом первообразной ряда), подставил t^3, взял первообразную, и получил верный ответ. Естественно, (5^4-3^4)/4 тоже не считал, и так всё ясно

[@azamatv84]

По поводу учили или нет этому, да не помню, давно было) а так все очень доступно и понятно

[@imperialist81]

В объяснении производной от интеграла мне кажется проще было сказать про первообразные, и что мы берём производные от них)

[@stasessiya]

по хорошему нет, потому что интеграл Римана связан с первообразной через формулу Ньютона-Лейбница, для вывода которой нужно заранее знать о производной интеграла с переменным верхним пределом

[@Micro-Moo]

@@stasessiya Правильно, по формуле Ньютона-Лейбница, а откуда эта формула берётся? Так что в принципе @imperialist81 прав. Хотя «проще сказать» это нечёткое понятие. (Не забываем про теорию нечётких множеств. 🙂)

[@stasessiya]

@@Micro-Moo текст после «Ньютона-Лейбница»: меня нет

[@user-nw3zq4ho2z]

легенда, ждём объяснения егэ правилом лапиталя

[@georrgy]

Хорошее видео, православное 👍

[@ЯнаКазинец-ф7ц]

Как раз сейчас решала отборочный, очень кстати попалось видео😅

[@TheBiserov]

Вау. Я все понял. Спасибо!

[@Homomorph]

Анекдот: сколько переменных нужно, чтобы закрутить лампочку...😂

[@zzzzzz-qo1cg]

Сначала нужно определить множество всех лампочек L и множество всех возможных состояний закручивания S. Затем требуется одна переменная λ, которая будет отображением λ:L→Sλ:L→S

[@Homomorph]

Продолжение анекдота: Одной, но при условии, что она комплексная - тогда крутится и в реальной, и в мнимой части!

[@Micro-Moo]

- Ответ: тысяча. - Почему? - А что, нам жалко переменных?

[@leonidabramov306]

Очень интересно и новое для меня

[@xgx899]

For x approaching zero, approximate ctg x^4 as 1/x^4, and the integrand as t^3. The result is (5^4-3^4)/4=136, lol.

[@АлександрГаммер-е2в]

В универе немного столкнулись с интегралом с переменным верхним пределом. Но ещё и дифференцированием его не занимались. Как-то попался такой пример на дифференцирование, просто не стал его делать. А сейчас всё понял, пригодится. спасибо.

[@maksimlysakov3134]

В математике нет царской дороги, не понимаете высшую математику значит не знаете элементарную, поэтому надо в таком случае начинать с программы 5 класса. А ведущий классный мужчина❤❤❤❤.

[@lexkoal8657]

Было немного в вузе такое. В вашем объяснении сильно заступорился на 13:50. Думал, что как это производная F(t) по x дает f(t), видимо штрих это производная по т в этом случае, а уже в примере все нормально. Так как там т и х местами поменяны

[@wolfgang8001]

Страшно, что почти все понял, учась в 10 классе, когда по программе еще только начали проходить тригонометрию)

[@МаксимНестеренко-д7и]

О жиза

[@adarockstar9385]

Это прям простой пример, не за рамками вузовской программы как было сказано в видео. Главное - пройти что такое интеграл (ну и предел естественно, но их раньше интегралов проходят)

[@maksimlysakov3134]

Спасибо за видео. Ты очень красивый мужчина ❤❤❤.

[@gpuwavefront3584]

Чёрт его знает, зачем я это смотрю - но увлекает. По работе институтский матан так и не стал нужен. Спасибо )

[@gpuwavefront3584]

Кмк переусложнен момент с разбиением интеграла с параметром на два (до С и после С) - можно ведь было этого не делать, сразу бахнуть Ньютона-Лейбница от t=3x до t=5x и получить буквально тот же результат?

[@elisorium]

Зачем такое усложнение с промежуточной константой? Вроде очевидно, что по аналогичной логике мы должны вычесть функцию от нижней границы вместо нуля. Ёж точно понял, а я вот нет )

[@Victor_1945]

Круто, честно, кажется не работал с таким...

[@elja6750]

12:55 производная была по х, а по сути становится по т. Объяснить бы понятнее и подписывать внизу, по какой она переменной. Спасибо.

[@MathPTU]

а в чем прикол, когда мы выводили формулу Ньютона Лейбница мы пользовались как раз итегралом с переменным пределом, брали от него производную, да и на кр задачи, где нужно было какие то хитрые такие приемы сделать много было

[@m1lwq]

подскажите пожалуйста, каким планшетом вы пользуетесь для работы? очень хочу себе тоже такой купить для учебы но выбрать никак не могу

[@Profimatika_vyshmat]

iPad Pro 12.9)

[@fdqegxdhr]

предел при х стремящимся к 0 косинус делить на синус не существует же, функция расходится около нуля можно сказать по модулю стремится к бесконечности

[@alter.007]

Не смотрел. Но мы имеем определённый интеграл, и пределы интегрирования стремятся к нулю - и по идее должен получиться ноль 😊

[@Micro-Moo]

Сразу возникает вопрос: можно ли придумать пример, опровергающий это рассуждение «по идее»? Это ещё нужно доказывать, что при стремлении пределов интегрирования к нулю (или, например, к одной и той же константы) любой определённый интеграл стремится к нулю. Интуитивно это выглядит очевидным, но я пока сомневаюсь, что это можно доказать. Хотя... нет, похоже это доказывается, так и есть.

[@alter.007]

Ну вообще-то по формуле Ньютона-лейбница любой определённый интеграл равен нулю.

[@alter.007]

Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом, конечно.

[@Micro-Moo]

@@alter.007 «Любой определённый интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределом...» Ну да, понятно. (А то вы меня испугали насчёт любого 🙂)

[@Profimatika_vyshmat]

почитайте про дельта функцию) как пример функции с стремящимися границами к нулю, интеграл от которой равен 1

[@_legoved_]

а не проще ктг в тг перевести и в низ дроби поставить? чтобы без произведения сверху

[@Profimatika_vyshmat]

Согласен)

[@Micro-Moo]

Предел от интеграла? Беспредел от интегральщика. 🙂

[@SunakSunak-b9t]

Предел по X от предела по dt, если предел по dt расходится то вопрос вдоль какой кривой в пространстве X#dt брать придел, если предел по dt сходится то ответ предела нет

[@silendil]

а не проще ли было ctg дставить как 1/tg ? чуть менее грамоздко будет

[@artemkudryavtsev3424]

Cos то зачем дифференцировать? Его сразу можно вынести

[@Victor_1945]

Не очень понял, почему интеграл стремится к нулю, объясни поподробнее, пожалуйста...

[@maxgreenword8790]

А почему нельзя котангенс заменить на 1/тангенс? Проще не выйдет?

[@Profimatika_vyshmat]

@@maxgreenword8790 можно, не пробовал)

[@puzzlo_2]

спасибо. очень интересный пример с весьма внезапным ответом. было здорово послушать рассуждения, как обычно. с удовольствием смотрю. жена пугается таких страшных цифр )

[@ВикторПоплевко-е2т]

Это норма, что я учусь в 11-м классе и это смотрю(мне интересно)?

[@Micro-Moo]

А что, нужно по норме, иначе никак? Вообще-то таких школьников немало. И это замечательно.

[@Profimatika_vyshmat]

Конечно!

[@covid0668]

а что дает вузовская олимпиада?

[@Profimatika_vyshmat]

возможность поступить в магистратуру без вступительных испытаний, например)

[@АлександрУшаков-к8е]

Но ведь вы берёте производную по x, а в самом интеграле не dx, а dt. Сам x фигурирует только в границах интеграла. Можете пояснить, почему это работает?

[@Profimatika_vyshmat]

Определенный интеграл с границами, зависящими от х, также будет функцией, зависящий от х)

[@aliakseilamaka6387]

Теорема Барроу?

[@Profimatika_vyshmat]

Да)

[@viktor-kolyadenko]

Знаем, учили в ВУЗе такое, как в 15:48 по матану.

[@АлександрУшаков-к8е]

Что за приложение вы для "моделирования" математики используюте?

[@Profimatika_vyshmat]

@@АлександрУшаков-к8е Desmos для визуализаций) GoodNotes для записей

[@хороший_чел228]

если вы про приложение для графиков - то desmos

[@Saw_Skalon]

А это нормально, что я ученик 10 класса и смотрю уроки по выш мат...? Знаю уже всю программу 11-го класса, понимаю от куда что берется, это интересно. Учусь даже не в лицее, в книгах все понятно. Но это нормально, что я все это смотрю? 😅

[@nbasked]

я испугался

[@Igorious92]

Точно прямо НИКТО не смог решить? Что-то не верю. Тут же элементарные преобразования. Знаем, что arctg y = y + O(y²) Тогда ∫ arctg t³ = t⁴ / 4 + O(t⁷) = (5⁴ - 3⁴)x⁴ / 4 + O(x⁷) = 136x⁴ + O(x⁷) Знаем, что sin y = y + O(y³), cos y = 1 + O(y²) Тогда ctg x⁴ = [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] Исходное выражение: lim [1 + O(x⁸)] / [x⁴ + O(x¹²)] ⋅ [136x⁴ + O(x⁷)] = lim [1 + O(x⁸)] / [1 + O(x⁸)] ⋅ [136 + O(x³)] = lim 1 / 1 ⋅ 136 = 136. И вообще без разницы, какие там функции и интегралы внутри. Дело пяти минут, если аккуратно расписывать.

[@alfal4239]

Правильно, надо просто заменить то и другое на 1/x^4 и t^3.

[@Qraizer]

Видос о том, как 20 секунд объяснений растянуть на 6 минут 10 секунд?

[@Profimatika_vyshmat]

@@Qraizer будет ли объяснение за 20 секунд понятно всем и усвоится ли оно?)

[@Qraizer]

​@@Profimatika_vyshmat , так даже объяснять не надо. Просто молча выписать три формулы, следующие друг за другом. Первая - Ньютона-Лейбница, последняя - вон та, итоговая . Я слышал за интегралы с переменными пределами, но ни разу не сталкивался, но мне хватило понять, что нужно делать, и в уме "написать" этот итог. Что сложного в одной-единственной промежуточной формуле?

[@Profimatika_vyshmat]

@ с таким же успехом можно сразу ответ на задачу выписать и закончить видос) Цель всех моих видео-не просто зазубрить формулу, не поняв их смысл, а осознать, откуда какая формула берется и как ее идейно можно получить

[@Qraizer]

Специально для Вас три промежуточные формулы / f(x) \ ' / | f(x) \ ' | ∫ φ(t)dt | = | F(t) | | = ( F(f(x) - F(g(x) )' = F'(f(x)) - F'(g(x)) = φ(f(x))f'(x) - φ(g(x))g'(x) \ g(x) / \ | g(x) / P.S. "Для Вас" не в том смысле, как может показаться, сорри. В том смысле, что "как объяснить наглядно совсем уж нестудентам". Для студентов можно оставить только третью.

[@Qraizer]

Но в целом задача интересна, не спорю. Посмотрел с удовольствием. К слову, я "в уме" ctg превратил в tg и подзастрял. По видосу уже понял, что стоило оставить отношение cos/sin

[@borisvesh]

NB: Пределы не "решают", а находят))!

[@Micro-Moo]

Вот это и называется неприятным словом «начётничество». 🙂Да, я увидел смайлик в вашем комментарии, так что и мой комментарий со смайликом не принимайте всерьёз.