Punti di accumulazione, punti di frontiera , punti interni. Come riconoscerli ? Descrizione - esempi

Come riconoscere e trovare i punti di accumulazione , i punti interni e i punti di frontiera di un insieme numerico .
Capitoli :
01:12 Intorno di un punto e intorno di infinito .
08:35 Punto interno
19:16 Punto di frontiera
32:10 Punto di accumulazione
L'insieme di numeri reali oltre ad una struttura algebrica e d'ordine , possiede anche una struttura topologica e per definire alcune prioprietà di queste strutture si è partiti dal concetto di intorno di un punto definito come un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto stesso .Sono stati definiti (con esempi annessi ) i concetti di intorno destro e sinistro di un punto , e il concetto di intorno di infinito
Si passerà alla definizione di punto interno per un insieme che non coincide affatto con il concetto di appartenenza ad un insieme numerico , per poi passare al concetto di punto di frontiera e punto di accumulazione , molto importante per i concetti di analisi matematica , dove si farà largo uso di questi concetti .
Grazie ai punti di frontiera , sarà possibile dare una definizione di insieme numerico chiuso e di insieme numerico aperto .
Non saranno date solo le definizioni , ma per ogni concetto spiegato non mancheranno gli esempi
#salvoromeo #puntidiaccumulazione #puntidifrontiera

[@thul5581]

Complimenti per la chiarezza di esposizione. Grazie a lei ho capito concetti che finora erano ostici.

[@demonacogiuseppe484]

Sembrerà banale ripeterlo, ma è veramente così! Super Complimenti, lezione chiarissima, densa e non lascia nulla al caso!

[@nicolameneghini2284]

Sto seguendo le prime lezioni, spiegazioni veramente perfetta. complimenti

[@salvoromeo]

Buonasera Nicola , grazie per il tuo punto di vista .Mi fa molto piacere che ti stai trovando bene .Buona permanenza nel mio canale .

[@antotot04]

il livello di chiarezza delle spiegazioni in questo video e' inarrivabile. Grande Salvo!

[@monicatrevisani5264]

Professore, complimenti per la chiarezza. Sono in pensione e senza lezioni come queste sarebbe davvero difficile riprendere lo studio. Grazie 😊

[@salvoromeo]

Buonasera ,lieto che i miei contenuti siano utili . Grazie mille per il gradimento. Buona serata 😊

[@giovannigomiero3570]

Professore, lei è una garanzia come sempre! NUMERO 1

[@filippobessi7399]

Complimenti per la spiegazione prof!

[@eliaruffino7107]

numero uno, ho capito tutto alla perfezione

[@niki9676]

Grazie mille professore, questa è una delle poche volte che mi sento in dovere di commentare: mi sta aiutando molto per l'esame di analisi 1😉

[@salvoromeo]

La ringrazio , molto lieto che i miei contenuti didattici si stiano rivelando utili .

[@raffaelederoberto]

Video perfetto! Grande Totò!

[@genio690]

professore lei è molto prezioso, grazie

[@giorgiorst]

Bravo professore, fortunati i suoi studenti ...

[@daniellachiche270]

Top !

[@brunobucciarati4902]

Grazie mille professore 😭 finalmente ho capito questi concetti

[@salvoromeo]

Di nulla è un piacere

[@8r3ak3R]

Buongiorno mi scusi, una curiosità: nella definzione di intorno di un punto reale come mai definisce "intorno" un generico intervallo APERTO? se si considerasse un generico intervallo chiuso che errore si commetterebbe? grazie per la delucidazione.

[@carolafranco7206]

grazieeee❤❤❤❤

[@user-hn1od1mg6q]

il miglioreeeeeee

[@El-oy5dx]

Buongiorno professore, c'è un motivo per il quale nelle definizioni di punto interno e punto di frontiera non si possono considerare intorni destri/sinistri? non rientrano anche questi nell'insieme degli intorni di un numero? grazie

[@salvoromeo]

Buonasera sono definizioni .Se considerassimo intorni unilaterali si perderebbe il significato .Immagini una definizione di punto interni con una definizione che considera solo un intorno destro .In questo caso per l'insieme [1,4[ , il punto 1 sarebbe interno ,contro l'evidenza che si tratta in realtà di un punto di frontiera .

[@mrpgb]

Grazie professore per la bella lezione! Una domanda: l’intervallo per la definizione di intorno deve essere necessariamente aperto?

[@salvoromeo]

Buonasera Giordano .Si definisce intorno di un punto x0 un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto x0 . Se siamo in R² lo immagini come un cerchio centrato nel punto P0 ,,se siamo in R³ come una sfera centrata in R³ , ma il concetto di generalizza in modo astratto in Rn .

[@yassinexp5758]

Professore buongiorno ho un orale di analisi il 28 e ho un dubbio. Ho capito tutto ciò che ha spiegato ma non comprendo perché allora infinito è punto di accumulazione per i naturali, in particolare mi riferisco alle successioni.

[@andreaCammoranesi]

Grazie infinite, le sue spiegazioni sono meravigliose. Per vedere se ho capito, l'insieme degli interni di N (cioè N col cappellino) è vuoto giusto? Dalla sua definizione non esistono interni perché non esiste neanche un intorno tutto contenuto in N, ma quando spiega i punti di accumulazione di N, fa l'esempio di un intorno di 2 con 1,2,3, che quindi sarebbe un intorno contenuto in N. Cosa non ho capito? Grazie.

[@salvoromeo]

Buongiorno Andrea .I numeri naturali non sono di accumulazione per l'insieme stesso . Prenda il punto n=10 . Se considera un raggio r=1,5 ,escludendo il punto n=10 (per definizione ) in tale intorno cadono i punti n=9 e n=11 .Ma se considera un raggio uguale a 0,5 nell'intorno di 10 non cade alcun punto naturale (il 10 si esclude per definizione ) pertanto non è vero che in ogni intorno del punto n=10 cade almeno un punto dell'insieme N (diverso da 10) . Pertanto 10 non è di accumulazione per l'insieme stesso . Lo stesso vale per tutti gli altri punti pertanto N non ha punti di accumulazione ma sono tutti punti isolati .

[@simoneterraroli4373]

Bravissimo a spiegare magari averla come professore

[@salvoromeo]

La ringrazio per il messaggio...faccio del mio meglio per diffondere i concetti base di matematica via web 😊

[@raffaelederoberto]

Salve prof. Dunque nessun numero se preso rispetto all'insieme dei numeri naturali può essere considerato un punto interno di N?!

[@salvoromeo]

Buongiorno Raffaele .Esatto . Nessun numero naturale è interno per l'insieme stesso .Sono tutti punti di frontiera .

[@BruceLee-io9by]

Lezione di una chiarezza magistrale... e ne ho sentiti di professori universitari... complimenti per la chiarezza espositiva e per la sua grande capacitá didattica.

[@salvoromeo]

La ringrazio .È mio dovere dire che nel presente video ho utilizzato un linguaggio meno formale al fine di rendere il concetto intuitivo per tutti gli utenti

[@bruceketta1288]

Ti voglio bene

[@modoundoye]

Viene dal cuite😂😂

[@dinochiari3647]

Posso dire di più: come numeri naturali interni nell'intervallo {3;7} ovvero 3≤n

[@pinomugo8960]

un intervallo di numeri naturali si indica così : {x∈N: 3≤x

[@salvoromeo]

Attenzione che con il termine intervallo di intende quando segue . Dati due numeri reali h, k con h

[@pinomugo8960]

@@salvoromeo ..mi scusi, ma questa è la definizione di INTERVALLO REALE. Ma gli intervalli sono definiti su qualunque insieme arbitrario totalmente ordinato, come i numeri interi (o naturali ) o i numeri razionali. La notazione per gli intervalli naturali è appunto { 1

[@michelemione3870]

Bravo e’ dir poco

[@stefanocosentinoo]

8:35 Punto interno 19:16 Punto di frontiera 32:10 Punto di accumulazione

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano grazie per il suggerimento . Per il presente video (grazie al Suo suggerimento ) provvedo subito a inserire i capitoli nella descrizione al fine di rendere più semplice la ricerca . La ringrazio e buon fine settimana .

[@fexx]

Al minuto 18:31 si dice che 1 non è punto interno dato che non esiste un intorno di 1 costituito da numeri naturali. Ma se prendessi come delta1 e delta2 proprio il valore 1? A quel punto l'intorno esisterebbe e sarebbe contenuto nell'insieme dei numeri naturali, dato che l'intorno sinistro sarebbe 0, e l'intorno destro sarebbe 2. Sbaglio?

[@salvoromeo]

Ciao Federico , in quel caso non sarebbe mai puro interno , infatti se 1 fosse punto interno dovrebbe esistere un intorno "tutto costituiti da numeri naturali .Nel tuo caso scegliendo un delta (un raggio uguale a 1,1 , certamente 2 farebbe parte dell'intorno , ma non tutti i punti dell'intorno sarebbero numeri naturali . Quindi 1 è punto di frontiera dal momento che "in ogni "intorno cafè almeno un numero naturale (il numero 1 stesso ) e almeno un numero non naturale .

[@mohamedfarahat7515]

Buongiorno professore scusi, sa per caso come si risolve lo studio del segno di questa funzione: f(x)=1- √2 × arctan(1/x)-√(x^2 +1)

[@salvoromeo]

Buongiorno dopo radice di due vi è una x ? (oppure è un segno di moltiplicazione ?) La radice finale è argomenti di arcotangente? In ogni caso ci sono disequazioni che non possono essere svolte analiticamente ma le soluzioni si determinano con metodi inerenti i grafici delle funzioni . Spiegarlo qui (via messaggio ) è impossibile purtroppo .Si dovrebbe fare tramite video .

[@mohamedfarahat7515]

Perfetto professore, grazie mille, comunque si è una moltiplicazione; praticamente sare: uno meno radice di due per arcotangente ( uno fratto x) meno radice ( x al quadrato più uno), alla fine si è riuscito a risolvere i limiti e le derivate ma rimane lo studio del segno anche dopo aver coinvolto tante persone al riguardo, grazie mille lo stesso professore

[@johnpas3339]

Qualche testo scolastico definisce l’intorno destro di un punto a come un intervallo del tipo [a,b), non escludendo a. Analogamente per l’intorno sinistro di un punto. Che ne pensa?

[@salvoromeo]

Salve , è la stessa cosa .Io ho considerato l'intorno privo del punto a cui si riferisce l'intorno stesso .Ma se si ha l'esigenza di considerare l'intorno destro (non bucato ) si un punto , va bene lo stesso .

[@johnpas3339]

@@salvoromeo garazie prof

[@davide0381]

E quando si parla di punto aderente?

[@ritadefilippo9274]

Questa playlist e' dedicata a studenti universitari?

[@salvoromeo]

Buonasera .La playlist è visionabile sia da studenti del quinto anno scuola superiore (con qualche limitazione su alcuni video ) e studenti che affrontano il corso di analisi matematica 1 .

[@ritadefilippo9274]

@@salvoromeo Grazie.

[@giuseppe4289]

In pratica gli estremi di un sottoinsieme non sono mai punti interni