Sistema lineare con parametro e applicazione del teorema di Rouché Capelli. Algebra lineare. Esempio

Sistema lineare con parametro in cui applichiamo il teorema di Rouché Capelli e determinazione delle soluzioni per un parametro stabilito.
Dopo aver visto la teoria dei sistemi lineari parlando del teorema di Rouché Capelli , in questa lezione propongo un esercizio (da compito d'esame) in cui nelle equazioni che compongono il sistema lineare sono presente dei parametri (nell'esercizio specifico un parametro reale ) e al variare del parametro reale si deve stabilire quando il sistema è possibile determinato , possibile ed indeterminato , o impossibile .
Il problema del sistema lineare parametrico è di semplice risoluzione grazie all'applicazione del teorema Rouché Capelli , e quindi allo studio del rango delle due matrici di cui si è parlato in altre videolezioni .
Una volta completata la discussione , sono state calcolate le soluzioni del sistema per un determinato valore che è stato assegnato al parametro reale .
#salvoromeo #algebralineare #sistemaconparametro .

[@christianonizuka]

Buongiorno, la ringrazio per i suoi video, lei è il professore più chiaro nelle spiegazioni che abbia mai visto.

[@salvoromeo]

La ringrazio per l'apprezzamento

[@roccomarani8094]

Grande prof! Sempre chiaro e preciso in tutte le lezioni, ci vorrebbero più insegnanti come lei. Grazie e complimenti!

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per il feedback .

[@federiccobene]

Pazzesco, lei professore meriterebbe una statua in suo onore

[@roccorosa2080]

Finalmente il video che aspettavo, sempre di grande qualità. Grazie per il tuo prezioso contributo!

[@salvoromeo]

È un piacere .È stato uno degli argomenti che ho avuto richiesto dagli utenti via email . Non poteva assolutamente mancare .

[@giorgianapop6459]

Buongiorno professore, la volevo prima di tutto ringraziare per il lavoro che fa, raramente si trovano professori come lei che riescano effettivamente trasmettere la passione per la propria materia ai propri studenti in modo chiaro e coinciso. Avevo una piccola domanda, nel caso si fosse calcolato il rango del sistema modificando nella matrice associata unicamente la terza riga rendendo elemento speciale il 2 in(1,2) e l'1 in (2,3), è comunque considerato corretto scegliere diverse incognite come libere? (a calcoli terminati, in quanto avevo provato a calcolare il rango in modo autonomo ho dovuto scegliere come I.L. z e x).

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio intanto La ringrazio per l'apprezzamento della mia didattica . Certamente che può eseguire riduzioni diverse rispetto a quella scelta da me .La cosa importante è ottenere sempre gli elementi "speciali " . Dopo le tue riduzioni hai trovato comunque che il valore a=1 riduce il rango a due ? Indipendentemente dalla riduzione adottata i valori del pagamento che fanno abbassare il rango deve essere sempre il medesimo . per le incognite libere stessa cosa .Si possono scegliere altre incognite libere rispetto a quelle scelte da me . Anche se hai scelto x e z , fai la prova che la quaterna (0,0, -2/3, 1/3) sia soluzione ovvero (nel tuo caso ) scegliendo x=0 e z=-2/3 controlla se y ti risulta zero e t=1/3 . Se non hai commesso errori di calcolo va più che bene .

[@emanuelepazzola9840]

grazie, una salvezza come sempre prof

[@Shadowlink_ct]

Grazie mille prof per quest'altra chiarissima videolezione, ho solo una domanda, dopo aver studiato il caso a=1 si deve studiare anche il caso a diverso da 1?

[@salvoromeo]

Buongiorno Francesco se richiesto di studiare il caso diverso da 1 , certamente che lo deve fare .Ho preferito (nella videolezione ) trattare solo il caso a=1 .

[@Shadowlink_ct]

@@salvoromeo Capito, grazie ancora prof!

[@simo___one5132]

c'è qualche consiglio / trucchetto su come scegliere le incognite libere oppure si scelgono a caso?

[@sferaebbasta9888]

buonasera professore, grazie innanzitutto per la lezione! lei ha ricavato le soluzioni per a = 1. E per quanto riguarda invece a ≠ 1? vanno ricavate? se si, possiamo applicare lo stesso metodo? grazie in anticipo.

[@salvoromeo]

Buonasera,rispondo con piacere .Nel caso in cui a è diverso da 1 il sistema è sempre indeterminato ma vanno considerate tutte le equazioni e va scelta opportunamente una sola incognita libera .La procedura è analoga a quella di prima .Per l'occasione nelle lezioni successive ho realizzato un video su come risolvere un sistema indeterminato .Qui ovviamente non avendo un valore specifico del parametro reale a (sappiamo solo che è diverso da 1) possiamo concludere che le incognite saranno in funzione del parametro a che resta ovviamente indicato .

[@sferaebbasta9888]

@@salvoromeo grazie mille❤️

[@roccoaltamura9271]

Sei il King... indiscusso

[@gabbo9813]

mi scusi ma nell'ultimo esercizio che ha fatto se ho ridotto la matrice in un altro modo e prendo diversi parametri liberi va bene lo stesso? o il risultato deve essere necessariamente come il suo?

[@salvoromeo]

Buonasera , certamente , si possono scegliere anche altre incognite libere e non per forza quelle scelte da me .Non ho presente adesso l'ultimo esercizio (dovrei guardarlo ) ma in un sistema può optare anche per altre incognite libere 😊

[@giovannimirone611]

Buonasera professore, a breve avrò l'esame di GeA e esercitandomi nei sistemi lineari mi sono bloccato in un sistema lineare parametrico: {-x+y-z+bt=b ; x-y=0 ; y+z+t=2; -x+2y+t=2 . Ho avuto delle incertezze nel calcolare il rango: se b=-2 il r(4) è diverso da r(a|b) quindi è impossibile, se b=-4 il rango è massimo e dunque sistema possibile e determinato (-2,-2,-4,0). Non so se effettivamente sia questo il risultato corretto, la ringrazio comunque per tutti i video che ha fatto perché mi sono stati fondamentali nel svolgere il resto degli esercizi

[@salvoromeo]

Salve Giovanni , purtroppo è sbagliato .Riveda tutti i calcoli e applichi il teorema di Eugén Rouchè -Alfredo Capelli con i valori giusti . Di sicuro avrà sbagliato i calcoli e sono usciti valori dei parametri che non sono significativi .

[@giovannimirone611]

@@salvoromeo Grazie mille professore per la risposta, effettivamente mi ero confuso con dei segni. Se potevo permettermi di fare un'ultima domanda per chiarire tutto questo argomento, per capire se i risultati/risultato sono corretti, basta sostituire al risultato (fatto dopo il sistema con il parametro libero) un numero qualsiasi e vedere se le varie equazioni sono poi uguali ai termini noti?

[@prandrex1066]

Buongiorno Professore e buone feste... Ma al minuto 10:20, lei ha sottratto la riga 2 dalla riga 3. Così facendo, il primo membro della terza riga non dovrebbe essere "a^2 +1"? Dato che prima c'era un 2 nella matrice e quindi sottraendo 1 al 2 viene quel risultato...

[@salvoromeo]

Buongiorno Andrea buone feste anche a te . (a²+1)-2 =a²+1-2 =a²-1

[@Antonio-hi2pj]

prof al minuto 5 ,perche a^x lo trascrive solo come a^ e non a^+1 , come 3at solo 3a e non 3a+1 quando elabora la matrice ? visto che dietro le incognite è sott'inteso 1

[@alee4098]

buongiorno prof.ssore, negli esami di matematica generale solitamente è richiesto di calcolare, oltre ai valori di k, ed al numero di soluzioni al suo variare, il valore di esse. Come bisogna procedere?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio. Se il sistema è determinato si procede a trovare le componenti x,y,z ecc ecc tramite il metodo di Cramer o in casi rari e agevoli tramite la sostituzione . Se il sistema lineare è indeterminato si procede invece come ho fatto nel video .Si stabiliscono le incognite libere e si procede come ho fatto sempre .Ho realizzato (sempre in questa playlist) il metodo per risolvere un sistema indeterminato con esempi abbinati . Se non dovesse trovarlo mi scriva pure e sarò lieto di condividere il link del video in questione .

[@Gallox23]

Professore e se il valore della matrice completa sarebbe stato diverso da 1 cioè se con la completa a sarebbe stato diverso cioè alla completa a=1 e alla incompleta non sarebbe stato a=-1 ma bensí un altro valore ?

[@abdelazizabdelfatah-t8d]

grazie prof!!!

[@FrancescoPezzella-c3k]

sei un grande

[@matteocarbone2311]

scusi, ma non mancano le soluzioni per a diverso da 1? con le soluzioni scritte in funzione di a e t?

[@salvoromeo]

Buongiorno Matteo di mancano le soluzioni per a diverso da 1 . Dimenticate volutamente poiché lo scopo dell'esercizio è studiare al variare del parametro a il comportamento del sistema lineare (incompatibile , determinato o indeterminato ) . Ho voluto determinare solo le soluzioni per a=1 come valore aggiunto .Per determinare le soluzioni per a diverso da zero si procede analogamente come ho fatto per il caso a=1

[@leonardopaoli8995]

tra 10 giorni ho l'esame speriamo bene

[@brunosangermano2604]

ma se scelgo incognite libere diverse è normale che il risultato cambi? e sopratutto c'è un metodo di verifica?

[@salvoromeo]

Apparentemente cambia , ma tutto è equivalente .Bisogna fare attenzione a scegliere con cautela le incognite libere , poiché a volte non tutte si prestano ad esserlo . Per la verifica si possono utilizzare o metodi che ho spiegato nella playlist di Matematica del biennio relativa ai sistemi lineari .Non ricordo in quale dei quarto video , ma basta andare a fare le sostituzioni .

[@stefaniroberto2526]

Nel minuto 27.39 hai moltiplicato i membri per -1 perché ?in base a cosa l’hai deciso grazie .

[@stefaniroberto2526]

27.30

[@salvoromeo]

Buongiorno ho applicato il secondo principio di equivalenza .

[@marianodepau6998]

Genio.

[@alessializzi6898]

sei diventato il mio migliore amico, ti amoooooooooo

[@salvoromeo]

Grazie infinite .Mi fa piacere che queste videolezioni siano per te un valido supporto didattico .

[@Salvoo38]

scusi ma il caso a diverso da 0 non si studia e nel caso come si dovrebbe procedere?

[@manu7865]

domanda che non centra niente, sono molto curioso su come registra i video.... come fa? c'è uno schermo di vetro trasperente davanti e lei, ma non verrebbe tutto invertito?

[@maurizioinrete4747]

Ipotizzo: uno schermo trasparente, poi con un software si scambia la destra con la sinistra.

[@nicologambino4120]

grazie

[@flasir6236]

Profe se fonda un patreon le do i soldi

[@manu7865]

per a diverso da 1 non ha senso calcolare le soluzioni? se è si perchè?

[@salvoromeo]

Se a è diverso da 1 e il sistema è sempre possibile (indipendentemente se determinato o o indeterminato ) si possono calcolare certamente .Qui se no ricordo male ho deciso di calcolarle per a=1 , ma avrei potuto cercarle per altri valori di a che rendono il sistema compatibile .

[@Otaner400]

e con a diverso da 1? cosa faccio? visto che esce dipendente da un incognita libera

[@salvoromeo]

Buonasera Renato .La stessa cosa che facevo per il caso a=1 , ma stavolta devo scegliere una sola incognita libera e ovviamente non essendo specificato alcun valore del parametro a (che di sicuro è diverso da 1) , tutte le componenti vengono espresse in funzione di un parametro a generico . Un tantino difficile da spiegare a parole (e molto semplice spiegarlo alla lavagna) ma credo di aver reso l'idea .

[@Luchino0702]

@@salvoromeo Buonasera professore. "Mi riallaccio" a questo commento che volevo fare pure io. Quindi se non ho capito male come ha detto lei si procede come il caso a=1 però stavolta al posto di sostituire al parametro "a" un numero diverso da 1, lo lasciamo generico. Per cui arriveremo alla fine sempre con delle incognite libere da scegliere e con un parametro "a" generico anch'esso da scegliere arbitrariamente tranne a=1 per poi calcolare, in base ai valori scelti, le infinite soluzioni? E' così nella pratica oppure ho capito male io.

[@salvoromeo]

@@Luchino0702 Buonasera , ha capito perfettamente .Nello svolgimento mi sono limitato a scegliere il caso a=1 , ma nel caso in cui il parametro fosse diverso da 1 questo viene lasciato allo stato naturale e in tal caso avremmo un sistema un sistema indeterminato con una sola componente libera da scegliere opportunamente .

[@tescoppio9216]

Sottraendo inzialmente prima e terza riga e poi sommando seconda e terza mi esce fuori : a^2=0 , 3-3a=0 , 1-a = 0 quindi sia con a = 1 si con a= 0 il rango esce fuori sempre 3..

[@Gallox23]

Professore ma le incognite libere in base a cosa le sceglie.? Non capisco grazie 😂😅

[@salvoromeo]

Buonasera Riccardo con piacere la invito alla visione del video in questione m.kzbin.info/www/bejne/h5XTfHyPe7Z4a8U

[@antoninoparisi4926]

12:12 equazione di secondo grado

[@dinochiari3647]

Al minuto 31, nelle incognite libere x e y, se scegliessi x=-1 e y=3, la l'incognita z mi viene z=y=3 e t=x=-1. È soltanto un caso.

[@salvoromeo]

Si Dino , è una coincidenza , nulla di così significativo 🙂 .

[@dinochiari3647]

Cmq con a=1 la matrice del video perde solamente il rango. I veri valori nocivi sono quelli che rendono il sistema delle equazioni impossibile. Il sistema è incompatibile quando il rango della matrice completa è superiore a quello della matrice incompleta.

[@salvoromeo]

Ottima osservazione , però inizialmente , comprendo la colonna dei termini noti , noto che per a=1 il rango massimo della incompleta viene compromesso e non sapendo cosa succede per la matrice completa , per il valore a=1 bisogna stare attenti .Poi una volta che si scopre che anche il rango della completa (sempre per a=1 ) risulta uguale a quello della incompleta allora possiamo affermare che è possibile ed indeterminato . Quando invece il rango della incompleta è massimo , già non mi faccio problemi a priori e con tutta tranquillità posso dire che anche quello della matrice completa è anche massimo senza fare ulteriori indagini .

[@dinochiari3647]

Io preferisco mantenere rango 3 dando valore a=-1. Almeno ammazzo lo scocciatore "a²-1" e risparmio 3a-3 facendone un elemento speciale.

[@salvoromeo]

Buonasera Dino .Non ho considerato -1 come elemento da evidenziare dal momento che rientrava nel caso di a diverso da 1 (valore pericoloso ) . Alla fin fine il valore -1 così come il valore 4 , 1/2 , ecc ecc , non danno problemi alla matrice incompleta 🙂

[@antoninoparisi4926]

5:37 ti sei confuso tra completa ed incompleta

[@peppepititto4121]

Salve, ma alla fine non dovevamo fare il sistema anche per a diverso da 1?

[@salvoromeo]

Buongiorno .Certamente ...se richiesto il sistema va fatto .Nel video in questione mi sono limitato a considerare solo a determinare le soluzioni per a=1 per non allungare troppo il video .

[@peppepititto4121]

@@salvoromeo si deve fare prendendo il sistema di partenza senza cambiare nulla, giusto?