Sistema lineare indeterminato .Come determinare velocemente le soluzioni dei sistemi indeterminati

Come determinare le soluzioni dei sistemi lineari indeterminati velocemente.
Dopo aver trattato la teoria dei sistemi lineari facendo riferimento al teorema di Rouché Capelli è il momento di affrontare il tema di come determinare le soluzioni (infinite) qualora il sistema sia possibile indeterminato , scegliendo opportunamente le incognite libere che generano tutte le soluzioni espresse come n-uple reali
Saranno presentati due esempi aventi difficoltà progressiva .
#salvoromeo #sistemaindeterminato #incognitelibere

[@lucadigiulio9783]

Buongiorno professore. vorrei chiederle: si puo capire dall’inizio qual è la variabile da NON scegliere come incognita libera? perche noi nell’ultimo esempio abbiamo provato con t e non andava bene, ma possiamo capirlo da subito in qualche modo? Grazie mille!!🙏🏻

[@Samy-rg9xd]

salve professore non ho ben capito perchè eliminiamo la terza equazione al minuto 12:09. Lo facciamo perchè è un sistema omogeneo? anche perchè a prima vista mi sembra che non ci siano combinazioni lineari tra le equazioni. Inoltre le volevo chiedere se l'esercizio fosse venuto anche senza eliminare l'equazione.

[@salvoromeo]

Buonasera ho eliminato la terza equazione poiché è combinazione lineare delle prime due .Il fatto che sia omogeneo ha poca importanza .Provi a scrivere la matrice completa ed esegua le riduzioni .Si renderà conto che l'ultima equazione si eliminerà .

[@Samy-rg9xd]

@@salvoromeo ah va bene professore quindi anche se avesi continuato l'esercizio senza eliminare l'equazione me ne sarei accorto in seguito da solo

[@dinochiari3647]

Al minuto 10.03 l'equazione dipendente sarebbe x-y-z=0. Mentre x-y-z+t=0 e x-y-z+2t=0 sono indipendenti.

[@CreepyMemes]

l'equazione x-y-z+2t=0 e' combinazione lineare di x-y-z+t=0 e x-y-z=0. (il doppio della prima meno la seconda)

[@Gallox23]

Professore ma io la elimino perche la seconda riga della matrice mi esce tutto zero e wuindi il rango é uno essendo la riga nulla oppure perche essendo combinazioni le righe io la elimino per wuale motivo elimino la riga seconda e wuindi arrivo ad una solo equazione??

[@salvoromeo]

Buonasera se ci riferiamo al secondo esercizio elimino la seconda equazione (riga ) poiché è una c.l delle altre due righe in accordo quanto detto nelle precedenti lezioni propedeutiche a questa . Di conseguenza il rangondi entrambe le matrici è due e quindi sistema compatibile .

[@pinomugo8960]

quindi due righe possono essere non indipendenti pur non essendo proporzionali ? esempio la prima e la terza.

[@salvoromeo]

Ciao Pino se ci fai caso delle 4 colonne della matrice incompleta noterai che solo due colonne sono non proporzionali ..Di conseguenza poiché lo spazio delle colonne è uguale a quello delle righe , di sicuro una delle righe la dobbiamo eliminare .Se moltiplichi la prima riga per 2 e sottrai la terza , ottieni esattamente la seconda riga . Direttamente ho scelto due righe non proporzionali come la prima e la seconda , evitando la terza .

[@emanuelesorgato6516]

Professore, posso utilizzare questo metodo per risolvere qualsiasi sistema omogeneo?

[@salvoromeo]

Buonasera Emanuele .Certamente se il sistema è omogeneo e determinato ovviamente non deve fare niente in quanto l'unica soluzione è la n-upla nulla (0,0...0) .Se invece è indeterminato allora ammetterà infinite soluzioni e il metodo indicato nel video lo può applicare in ogni circostanza .

[@emanuelesorgato6516]

@@salvoromeo grazie mille prof

[@emanuelesorgato6516]

@@salvoromeo un'altra domanda: calcolando il rango della matrice incompleta con il teorema degli orlati mi da come risultato 1, in quanto il determinante del minore di ordine 2 è uguale a 0. Dove sbaglio?

[@michelecenti5736]

Credo di aver trovato un legame fra i vettori, i sistemi e le matrici, mi corregga se sbaglio... Quando risolviamo un sistema è come se stessimo controllando se un vettore di componenti x,y,z (dove x,y,z sono i valori a destra delle equazioni) è generato o comunque appartiene al sotto spazio generato dai vettori rappresentati dalle componenti delle equazioni. Quando il sistema non ammette soluzioni vuol dire che semplicemente il vettore non è generato dai generatori presi in considerazione, se il sistema è risolvibile ma indeterminato vuol dire che i generatori non sono una base ed in fine se il sistema è determinato vuol dire che le equazioni rappresentano non solo dei generatori, ma sono anche base dello spazio che generano.

[@salvoromeo]

In inefficienti di ogni equazione (ad m incognite) sono da considerarsi come le componenti di un vettore aventi m+1 componenti ) Se i vettori sono l.i , vuol dire che le n equazioni sono indipendenti

[@dinochiari3647]

Con il sistema indeterminato si ottengono linee rette coincidenti. Se il sistema fosse impossibile le rette o sono parallele o sghembe nel caso che i parametri non risultino proporzionali.

[@salvoromeo]

Geometricamente significano quello che hai detto .Bravo .

[@alessandroalbano9817]

il mio prof parla anche di risoluzione di cramer, nelle prossime lezione l'ha già trattata?

[@salvoromeo]

Per quanto riguarda la risoluzione con Cramer ho rilasciato questa lezione "light" in cui illustro come trovare le componenti del sistema lineare . Dico light poiché mi sono limitato ad un sistema di due equazioni a tre incognite per fare capire il senso e non perderci nei calcoli . Ovviamente il discorso si estende anche per sistemi a tre equazioni e tre incognite , così come quattro equazioni quattro incognite ecc ecc. . Provi a visionare la lezione che sto condividendo tramite link a fine messaggio .Squisito il metodo provo a risolvere un sistema possibile e determinato con tre equazioni e tre incognite .Sarà una piccola soddisfazione vedere le soluzioni con tale metodo . Ecco il link m.kzbin.info/www/bejne/fGfTcqSZhdh5d7c&pp=ygUTY3JhbWVyIHNhbHZvIHJvbWVvIA%3D%3D

[@GiuseppeSanteramo-k7y]

cos'è il rango?prof è meno chiara questa

[@salvoromeo]

Buongiorno , per il rango deve visionare una delle lezioni precedenti della playlist .Tutte le lezioni della playlist sono disposte in ordine cronologico e quando nomino un concerto senza dare spiegazioni vuol dire che è stato spiegato in una lezione precedente (in questo caso il rango ) . Se non trova la lezione sul rango non esiti a scrivere un commento .Sarà mio dovere (e piacere) linkare la relativa lezione dedicata interamente al rango . Sono a Sua disposizione eventualmente .

[@lucadigiulio9783]

Buongiorno professore. vorrei chiederle: si puo capire dall’inizio qual è la variabile da NON scegliere come incognita libera? perche noi nell’ultimo esempio abbiamo provato con t e non andava bene, ma possiamo capirlo da subito in qualche modo? Grazie mille!!🙏🏻

[@mattiaburgoni4117]

Nel video ha detto che devi andare a tentativi, provi e vedi se il determinante dei coefficienti prima dell uguale è diverso da 0. Guarda a 13:50. Non penso ci siano altri modi.