Serie armonica . Divergenza della serie armonica con dimostrazione

Serie armonica : come dimostrare che diverge utilizzando il criterio di convergenza di Cauchy .
Una delle più importanti ed affascinanti serie numeriche è la cosidetta serie armonica , che come ben sappiamo è divergente positivamente .Al fine di dimostrare ciò ci serviremo di una condizione necessaria e sufficiente che ci permette di affermare il carattere divergente di tale serie numerica .La serie armonica così come la serie armonica generalizzata rappresenta una delle più importanti serie utilizzate per poter "confrontare" altre serie dal carattere non noto e stabilire tramite altri criteri se queste ultime sono convergenti o meno .
nelle successive lezioni giustificheremo la denominazione di tale serie e parleremo della serie armonica generalizzata che rappresenta un'estensione della stessa serie armonica , ma di queesto ne parleremo prestissimo .
-Introduzione alle serie e serie geometrica :
• Serie numeriche:breve ...
-Criterio del rapporto :
• Criterio del rapporto ...
-Criterio della radice :
• Criterio della radice ...
#salvoromeo #serienumeriche #seriearmonica

[@marcopilati7464]

Mi fai tornare 20enne, caro prof. Che nostalgia quegli anni spensierati di Analisi I al Righi di Bologna. Il mio prof. si chiamava Mancini, tipo bizzarro, pazzoide, dicono che fosse Triestino, o che si fosse specializzato a Trieste. Una creatura sfuggente e mitologica, come tutti gli altri nostri prof. dell'epoca (uno per tutti: Ferretti). Chissà se Mancini vive ancora, mi domando spesso? Spero di sì, e che sia felice. Ci eccitavamo in massa alla mattina quando mettevamo assieme tanti pezzettini che o convergevano (1/n^2) o divergevano (1/n); aspettavamo la dimostrazione - yahwwwnnn 😴 -, poi tutti quanti in mensa (il pranzo ci costava 550 lire, vino incluso!! Sennò 500 lire appena per gli astemi, per i virtuosi/noiosi... il che rendeva il rapporto dei prezzi iniquo, secondo me: ma Bologna è Bologna, città accoglientissima per tutti, specie gli alcoolizzati...), e infine a bighellonare sotto gli infiniti portici della mia città-labirinto, mai stata più tanto Rossa e Turrita. E incasinata e beòna. Beona, ma pur sempre Dotta. Infine, alla sera eccoci in discoteca (ai quei tempi esistevano ancora le balere all'aperto, ma erano ormai divenuti ritrovi per gente... troppo adulta. E noi obbedivamo solo all'impulso ormonale, sai com'è)... I nostro occhi, gonfi per il mattino trascorso sui libri di Analisi, erano per questo più belli e infuocati. Seriamente: è un vero peccato che si nasca giovani e si muoia vecchi. Pensa (per assurdo) al contrario, prof: a 80anni studiamo l'onnipresente Cauchy, ci laureiamo, esercitiamo ognuno le proprie professioni, rendiamo migliore il Mondo e poi giungiamo al capolinea: ai fatidici 20 anni, gli ultimi rimasti. Il resto della somma. E di qui in poi, tutte le sere al Roxy Bar, a bere del whiskey... eccetera, cogli occhi sempre più lucidi, sempre più belli. Ancora più seriamente, prof: tu sei una icona, e non so se te ne rendi conto. Possiedi una grazia, una PAZIENZA, una chiarezza espositiva, una malia accattivante, ed è bellissimo ripassare con te i miei più "noiosi" ricordi di gioventù che giusto una serie armonica è in grado di dissotterrare. Il giorno in cui me ne andrò per sempre, porterò con me quella dannata dimostrazione, domandandomi però se sia giusto che chi, goliardico e leggero come io sono fin da "vecchio", abbia avuto l'opportunità di laurearsi a discapito di studenti più seri, maturi nonostante la giovine età, ragazzini che prendevano sul serio questi concetti fin da subito, avendo per questo sacrificato la loro parte ludica a vantaggio di una loro formazione ferrea. E che risparmiavano 50 lire, sicuramente non bevendo vino a mensa, il che magari ha reso davvero loro possibile migliorare il mondo, mentre quelli come me ci hanno solo provato. Si possono vivere altre vite, dici? Se sì, prometto che mi laureerò allo scadere del tempo minimo, e che porterò a casa un bel 30 e lode in Analisi I, l'esame più bello e stimolante dell'intero programma di studi del CdL in Fisica. Nell'attesa, grazie, grazie per le tue meravigliose, preziose lezioni. Grazie davvero, prof. Continua a deliziarci così.

[@salvoromeo]

Buonasera Marco , mi permetta di dire che ricevo spesso messaggi speciali ,ma questo per adesso è uno dei più originale che abbia letto . Si figuri che ho letto il suo messaggio tantissime volte e mi complimento per la sua padronanza di linguaggio che purtroppo oggi si sta perdendo . Non sono giovanissimo (47 anni ) ma posso immaginare quanto siano stati belli gli anni post 1950 ...anche senza i vari social .Meglio una balera che un post su Instagram per intenderci . Dal punto di vista didattico le università di quei tempi erano molto diverse e la qualità era di gran lunga maggiore , ma non voglio addentrami in questi discorsi che andrebbero approfondito in separata sede . Davvero grazie per il Suo bel messaggio e se mi permette desidero fissarlo in cima ai commenti . La ringrazio per l'apprezzamento nei miei confronti , ma sono un semplice matematico che divulga sui social tutto quello che può , ma fortunatamente non sono l'unico . La ringrazio per il suo messaggio ricco di sana ironia , nostalgia e assolutamente carico di saggezza . Le auguro una buona serata

[@marcopilati7464]

No, no, grazie semmai a Lei, davvero,@@salvoromeo . Dio volendo, seguirò le sue lezioni per tutta la vita , diciamo fino a che la testa continuerà a funzionarmi. Peccato però non poterci dare del tu... 😏

[@AndreaPancia1]

Chiarissimo professore. Grazie. Questa serie ha sempre costituito per me una vera e propria sfida mentale. La somma di infiniti termini che però "tendono a zero" mi fa pensare alla convergenza..

[@salvoromeo]

Buongiorno Andrea è un ragionamento istintivo e molto comune .Deve mettere in analogia l'integrale definito (improprio ) tra 1 e +infinito della funzione 1/x . Nonostante il limite per x che tende a +infinito della funzione 1/x è uguale a zero , l'integrale non risulta finito . Sono due cose molto analoghe . Come dire la successione tende a zero ma non abbastanza velocemente da poter confinare la somma in un numero reale .Spiegazione molto poco rigorosa ,ma che rende l'idea .

[@aledo3D]

Bravissimo!! Ti fai capire benissimo e si vede che ci metti passione. 🔥🔥

[@salvoromeo]

Grazie è un piacere per me .

[@gabrielelemmi5131]

Innanzitutto la ringrazio per la qualità delle sue lezioni! E vorrei esporle questa mia incomprensione: da cosa derivano i termini alla destra della disequazione al minuto 21:15 circa? (i termini 1/2n sommati k volte)

[@lorbi4585]

Grazie mille!!!!!!!!!! Molto chiaro!

[@napatronics]

Sei un grande

[@dalton4573]

Bravissimo,complimenti e like! :) Ma quanta pazienza hai! nemmeno un taglio!! XD

[@salvoromeo]

Grazie :-)

[@daniellachiche270]

Top !

[@sabosamba99]

Molto belli e chiari i suoi video! Grazie!

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento .Mi fa piacere che i miei video siano utili , sebbene potrei dire molte altre cose che vengono omesse per evitare di allungare la durata delle videolezioni.

[@sabosamba99]

@@salvoromeo Io mi sono iscritta al suo prezioso canale: nel caso faccia approfondimenti o nuovi video, la mia visualizzazione ci sarà sicuramente!

[@pinomugo8960]

13:10 come mai usi il modulo benchè la serie è a termini tutti positivi ? grazie

[@salvoromeo]

Si ha ragione , in questo caso considerando una serie a termini positivi il valore assoluto è superfluo , tuttavia "zucchero non guasta bevanda " .Infatti ho utilizzato il teorema relativamente la serie armonica .Grazie per l'osservazione .

[@dasermetter]

Non sarebbe più facile dimostrarlo con il limite notevole 1+1/n elevato alla n?

[@user-sp9il2jj1o]

*Già, é quello che mi chiedo anch'io! Sono dei metodi superati!*

[@federicodigiovannangelo4041]

Buongiorno prof scusi il disturbo, volevo chiederle se il criterio di Cauchy è applicabile anche per altri tipi di serie che non siano quella armonica, e nel caso lo fossero con che principio faccio la disequazione che scrive dal minuto 19:46 al minuto 22:36, nel caso in cui noi poniamo k=n. La ringrazio in anticipo per la sua disponibilità e le faccio i miei complimenti per la sua capacità di rendere argomenti difficili comprensibili a chiunque!

[@paoloferrari5268]

il criterio è una condizione necessaria e sufficiente, la serie armonica ne è soltanto un controesempio

[@user-sp9il2jj1o]

*Per calcolare la somma armonica da 1 ad n esiste una formula oppure no?*

[@user-sp9il2jj1o]

*La sommatoria della serie armonica da 1 a 1000 quant'é?*