Serie di potenze, raggio di convergenza ,totale convergenza, uniforme convergenza, esercizi svolti

[@salvoromeo]

Errata Corrige : Al minuto 6:01 il termine generale è n! (n fattoriale ) per x^n . In questo caso la serie converge solo in x=0

[@francescozappala8822]

Grazie prof, mi aiutò 2 anni fa con algebra, presi 30 e lode. speriamo che anche l'esame di analisi 2 vada altrettanto bene!

[@LorenzoContini-u3o]

Buongiorno, al minuto 6:55 dice che la serie per x diverso da 0 non converge. Mi pare che la serie sia convergente per IxI

[@LorenzoContini-u3o]

Ho visto il commento relativo all'errore appena adesso, era n! e non n. Risolto, grazie mille!

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio, stavo per rispondere e chiarire tutto .Ha fatto bene a fare la domanda .A causa della mia leggera dislessia purtroppo mi capita di tanto in tanto di commettere questi errori . Mi fa piacere che abbia visto il commento con la correzione .Di tratta di un n! e quindi la serie diverge se x è diverso da zero . Ne approfitto per dire che se fosse stato un semplice n )come scritto alla lavagna , in quel caso convergeva in ]-1,1[ ...basta applicare il criterio del rapporto .

[@Alessandro02822ia]

Prof lei è la mia salvezza

[@filippocausio5667]

ti amo, ora le sto facendo

[@Marco-fn3ny]

Scusate professore una mia considerazione riguardo il comportamento della serie di potenze del minuto 34:38 circa , quando per R=1 , si determina il l'intervallo ( 1,3) . Per x=1 , la serie diventa 1/n quadro che moltiplica (-1) elevato n , con n che va da 1 a infinito . Siccome per ogni n, 1/n quadro è sempre positiva , il segno di un termine generico della serie dipende da -1 elevato n , che è positivo per n pari , negativo per n dispari . Alla luce di queste considerazioni , perchè la serie converge assolutamente e non è oscillante ?

[@salvoromeo]

La serie converge assolutamente poiché è una serie a termini di segno alterno e se togli il termine (-1)^n la serie diventa armonica generalizzata e a causa dell'esponente 2 (vedi mia lezione serie armonica generalizzata ) è convergente .Quindi la serie data è assolutamente convergente .

[@Marco-fn3ny]

@@salvoromeo ok grazie

[@tommasoranocchia4019]

Grazie mille Capitano!

[@ДанилЛогвиненко-с7м]

Grazie, prof, per ottima spiegazione

[@RSte3]

un dubbio nella fase iniziale si deve usare solo il criterio della radice e del rapporto? Gli altri rapporti? grazie saluti

[@albinofavareto8663]

Grazie prof

[@_fedemila_]

Scusi professore, come mai al minuto 26:56 il resto ennesimo viene a numeratore x ⁿ ⁺ ¹, mentre in un suo vecchio video veniva solo x ⁿ ?

[@salvoromeo]

Buongiorno Federico al più presto controllerò tutto e in caso di imprecisione non solo sarà avvisato ma metterò in evidenza (come commento fissato ) la correzione dovuta . La ringrazio

[@_fedemila_]

Grazie a lei! 😊

[@salvoromeo]

@@_fedemila_ Le confermo che l'imprecisione è in questo video e quindi il resto è |x^n/(1-x)| infatti basta fare la differenza in valore assoluto tra 1/(1-x) e 1-x^n/(1-x) e si ottiene quanto detto sopra . La ringrazio infinitamente per aver fatto notare l'imprecisione sebbene non inficia il concetto . Purtroppo ho una leggera dislessia (da piccolo ) e mi capita di fare tali imprecisioni di cui non mi accorgo al momento . Al più presto metterò nel commento in evidenza anche questa piccola imprecisione . Mi scusi tanto per il disagio che ho creato . Le auguro una buona giornata .

[@_fedemila_]

@@salvoromeo Nessun disagio, si figuri, qualche errore può capitare che sfugga, anzi la ringrazio di avermi risposto così rapidamente. Ammiro la sua disponibilità e la passione e l'impegno che mette nei suoi video. Grazie ancora! Buona giornata 😊

[@temperabiscotti2228]

mi scusi professore, in quali casi bisogna usare invece la nozione di "limite superiore" o inf sup per determinare il raggio di convergenza secondo Hadamard?

[@salvoromeo]

Se si riferisce al limite dell'estremo superiore immagini un termine generale in cui compare il termine cos (n Pigreco/ 2 ) in questo caso al variare di n tale valore cambia ma deve considerare il caso in cui tale valore fa rendere massimo io termine generale . Spero di aver interpretato bene la domanda .

[@temperabiscotti2228]

@@salvoromeo Non credo sia la stessa cosa, almeno penso, non vorrei fare questioni di lana caprina più che altro sono rimasto incuriosito a lezione quando il professore ha enunciato il “Criterio di Hadamard” e per semplicità disse che assumeremo solo lim della radice n-esima, ma nella dimostrazione rigorosa appare il limsup che se non ho capito male per definizione è inf sup, volevo capire se non è troppo specifica e fuori luogo la domanda, quando è possibile banalizzare il concetto a semplice limite, grazie ancora per il video molto chiaro e ben spiegato come sempre!

[@Lorenzo-ro7sl]

scusi prof, riguardo l'ultimo esercizio perchè abbiamo che se il limite fa 1 la serie è divergente? Non dovremmo avere che se il limite delle somme parziali dà come risultato un numero finito L allora la serie converge e e la somma vale proprio L?

[@salvoromeo]

Buonasera non so se ci stiamo riferendo allo stesso punto , ma se si riferisce al limite del termine generale del rapporto in cui figurano gli "esponenziali " che risulta diversi da zero , quello non è il limite delle somme parziali , ma mi sto riferendo a un concetto di analisi matematica che riguarda le serie .In altre parole se il limite del termine generale della serie non è infinitesimo la serie numerica diverge .

[@Lorenzo-ro7sl]

​@@salvoromeo ah ok, quindi se non avessi notato questa cosa e avessi proceduto con il limite della serie mi sarei comunque trovato in qualche modo che è divergente?

[@danebbos_yt2392]

Mi scusi professore, ancora non capisco la definizione di totale convergenza di una serie di funzioni, dopo aver fatto tutto questo procedimento per trovare la convergenza uniforme, come faccio a trovare quella totale?

[@salvoromeo]

Buonasera per la totale convergenza basta trovare una serie numerica maggiorante della serie data , che sia convergente . Verificare la convergenza uniforme non è sempre agevole a meno di non sapere la somma della serie di funzione stessa . Tuttavia la convergenza totale spesso riesce a risolvere tale problema in quanto la totale convergenza totale implica la convergenza uniforme ma il viceversa non è sempre vero .

[@Manluigi]

Professore ha ricevuto per e-mail una mia considerazione sulle radici numeriche e le successioni per ricorrenza ?

[@salvoromeo]

Buonasera Paolo , sto ricevendo parecchie email in questi periodi da parte di molti studenti che chiedono aiuto .Purtroppo non sto avendo modo di leggerle .Sicuramente tra queste ci sarà la Sua .Nelle prossime settimane controllerò attentamente quanto inviato .Mi scuso se non posso dare una risposta immediata .

[@El_Fra]

se trovo che agli estremi converge, converge puntualmente o posso dire anche uniformemente/totalmente? o dipende dalla funzione

[@thomasscorrano5766]

Per quanto riguarda la convergenza totale/uniforme, bisogna fare il discorso della maggiorazione con un altro tipo di funzione e poi cercare in un intervallo più piccolo di quello della convergenza, praticamente (è un discorso che fa poco prima di fare degli esercizi, in questo video)

[@AntonioFagotto-n9v]

Buona sera, le fccio i miei complimenti

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per aver gradito il contenuto del video e sono lieto che sia stato (anche parzialmente ) utile .

[@cristianfrigo5999]

scusi prof ma nell'ultimo passaggio dell'ultimo esercizio andando a sostituire a x -1/3 non dovrebbe venire fuori sommatoria di n che va da 1 a più infinito di (-1)^n (-2/3)^n quindi per Leibniz converge.

[@salvoromeo]

Buonasera Cristian in questo caso è una serie di termini a segno alterno e quindi il limite del termine generale non tende a zero di conseguenza non converge poiché non viene soddisfatta un 'ipotesi del criterio di Leibniz .

[@silviaviola8828]

Al minuto 16.50 lei dice che la convergenza assoluta implica convergenza puntuale... non è vero! La convergenza puntuale è verificata se ci sono sia la convergenza uniforme che la convergenza assoluta!

[@salvoromeo]

Mi dispiace contraddirla ma se una serie è puntualmente convergente in un dato intervallo non è detto che la convergenza sia assoluta e ancora peggio uniforme .Esistono serie che sono convergenti senza che siano assolutamente convergenti , così come esistono serie convergenti in intervalli senza che siano uniformante convenienti .