Cумма ряда 1/n^2. Базельская проблема: решение через разложения в ряд Фурье.

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за качественную лекцию.

[@ИванКосилов-в9ю]

Продолжайте, у вас хорошо получается.

[@Hmath]

спасибо :)

[@ПавлоКурята]

Спасибо за професіоналізм. Мне еще далеко до Вас, и мой вопрос может показаться смешньім, но я на уровне любителя, так что заранее извиняюсь. Разве не просматривается во всех єтих квадратах прообраз теоремьі Пифагора, для чего поступим очень смело и рискнем гипотенузу представить у форме дуги единичной окружности, с углом п\√6. Катетами для нее будут векторьі с рациональньіми длинами внутри окружности ( для нашего случая m=1), их здесь безконечно много. Меня интерисует какой физический смьісл (если он конечно имеется) получится у значения такой " гипотенузьі", и не сродни он будет новой експоненте. Несомненно только одно, что єто число связьівает квадрат с кругом. Вот откуда взялось число "пи" в решении Базелевской задачи. Получается что дуга окружности в каждой своей точке перпендикулярна радиусвектору, как и положено бьіть катетам в прямоугольном треугольнике. Из формульі суммьі обратньіх квадратов следует что здесь и должна присутствувать некая суперперпендикулярность.

[@dizogdizog2591]

А в точках разрыва явление Гиббса. Неравномерная сходимость в точках разрыва. Но смотреть можно) бесконечно!!!

[@airatvaliullin8420]

Еще можно найти эту сумму разложением в ряд Фурье параболы на [-pi, pi]. Даже проще получается - не надо равенством Парсеваля пользоваться. P.S. Увидел соответствующее видео на канале, прошу прощения)))

[@Hmath]

еще несколько разных способов есть. некоторые из них сделаю: довольно интересно получается :)

[@luckystar1843]

Очень классно! Жаль только не рассказали, откуда взялось равенство с квадратами коэффициентов ряда Фурье((

[@Hmath]

Равенство с квадратами коэффициентов называют обычно "равенство Парсеваля". Оно верно для всех рядов Фурье. Его я тут не получал, как и формулы для коэффициентов ряда Фурье... Как и не исследовал отдельно на сходимость и т.п. Формат коротких ютьюб-видео не позволяет всё рассказать в одном ролике ;)

[@luckystar1843]

@@Hmath О, спасибо за название) Да, понимаю, должно быть самое интересное. Название равенства было бы неплохо говорить в видео, чтобы заинтересованные зрители смогли легко найти)

[@Hmath]

да просто это равенство по-разному называют :) В русской литературе часто называют "уравнение замкнутости"

[@larsoff_]

А какая сумма ряда у 4/5^n?

[@Hmath]

если имеется в виду (4/5)^n (при n от 1 до бесконечности), то это сумма геометрической прогрессии. формула известна: (4/5)/(1-4/5)=4

[@larsoff_]

Hmath без скобок, при n от 1 до бесконечности

[@Hmath]

аналогично: (4/5)/(1-1/5)=1

[@VagifRamazanov-co8lh]

Вы уже нашли ответ?)

[@ЮрійГулий]

👌

[@mathbyautistdimag.9330]

Извини, ты сказал, что этот график функции (из отрезочков) симметричен относительнь 0, но ведь это не так?

[@Hmath]

есть симметрия относительно оси, а есть относительно точки. тут вроде как раз график симметричен относительно точки (0,0), разве нет?

[@mathbyautistdimag.9330]

@@Hmath Да, действительно, как то в голове исказилось определение центральной симметрии, извини

[@Hmath]

да ничего, я же тоже могу сделать какую-нибудь ошибку. самому у себя часто бывает трудно заметить, иногда только после кучи просмотров вдруг что-нибудь замечу :) так что, это наоборот хорошо, когда кто-нибудь еще внимательно смотрит и пишет замечание

[@ПРИКОЛИ-л6к]

Здравствуйте ! Помогите найти сумму ряда (n^2)/(2^n) . Спасибо !

[@Hmath]

www.wolframalpha.com/input/?i=sum%20n%5E2%2F2%5En%20from%20n%3D1%20to%20infinity Новые видео будут ближе к сентябрю. Если нужно решение сейчас, напишите мне вконтакт.

[@dmitryramonov8902]

Интересно! Кстати, Трушин на своем канале доказал через бином Ньютона, по школьному.

[@Hmath]

и как? понятно там "по-школьному"? :) По-моему, если какой-то школьник может разобраться в том решении, то он быстро и легко освоит весь мат. анализ :) Кроме того он использовал сразу же формулу Муавра - она уже содержит комплексные числа. Сомневаюсь, что эта формула может быть доказана как-то "по-школьному" без использования рядов :)

[@pukichsilver1665]

@@Hmath так для формулы муавра же нужно только понять что при умножении комплексных чисел их модули умножаются а аргументы складываются а так доказательство несложное и понятное у трушина

[@Hmath]

c формулой муавра, наверно и так можно. я всегда представлял, что там нужно использовать свойство комплексной экспоненты: e^ix=cosx+i*sinx, но, наверно, можно и без этого обойтись. хорошо, что вам понятно у трушина, меня до середины хватило, дальше я подумал, что это жуть как муторно и оно того не стоит :)

[@dmitryramonov8902]

@@Hmath За последнюю пару дней я много чего перечитал и пересмотрел по базельской проблеме. Прочел целый сборник доказательств, посмотрел пару геометрических версий с лампочками и фонариками, узнал про фурье тремя способами, узнал про несколько способов, где достаточно просто взять определенный интеграл. Кроме Трушина понравилось вот что: интеграл от ln(2cosx)dx. Шоковое по красоте и легкости доказательство.

[@Hmath]

про логарифм - это там где комплексные экспоненты? или как-то по-другому?

[@VSU_vitebsk]

лайк еще до просмотра