Summe und direkte Summe von Untervektorräumen verstehen

In diesem Video tauchen wir in die Welt der Vektorräume ein und befassen uns mit der Summe und direkten Summe von Untervektorräumen. Erfahre, wie die Summe zweier Unterräume U und W definiert ist und wie sie als Spann von U vereinigt mit W aufgefasst werden kann. Ein Beispiel mit den Geraden x und y dient zur Veranschaulichung. Entdecke auch die überraschende Eigenschaft, dass U + U nicht gleich 2U ist, sondern gleich U ist. Der Beweis und weitere spannende Einblicke warten auf dich! Schliesslich betrachten wir die Definition der direkten Summe, ihre Bedingungen und ein Beispiel im Raum R^3.
Korrektur ==============================
In Minute 00:37 sollte u_m ∈ U_m stehen, anstelle von U_m ∈ U_m
Kapitel ================================
00:00 - Einleitung
00:09 - Definition Summe
00:57 - Beispiel Summe
01:37 - U + U = U
03:07 - Definition der direkten Summe
05:11 - Beispiel direkte Summe
Quellen ================================
① Definition Summe, Beispiel, Beweis von U+U=U (S.40-41, 3.2.1 - 3.2.2, 3.2.4): www.math.uni-tuebingen.de/use...
② Definition der Summe mit Spann (S.4): www.math.tugraz.at/~ganster/l...
③ Definition der direkten Summe: user.math.uni-bremen.de/micha...
④ Definition der direkten Summe mit mehreren Untervektorräumen (S.1, 1.5.15): www.math.uni-bielefeld.de/~se...
⑤ Beispiel einer direkten Summe (1:53): • Direkte Summen von Vek...
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≫ Der Spann in der linearen Algebra: Konzepte und Beispiele: • Der Spann in der linea...
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#Vektorraum #Untervektorraum #DirekteSumme

[@MathemitNoel]

Wenn du Fragen hast, kannst du mir diese gerne in den Kommentaren stellen oder du kannst mir auch eine Nachricht schreiben. Die E-Mail-Adresse findest du in der Videobeschreibung. Korrektur: In Minute 0:37 sollte u_m ∈ U_m stehen, anstelle von U_m ∈ U_m

[@diskret7412]

Ich studiere Mathematik im Bachelor und deine Videos sind eine echte Hilfe. Du machst die Sachen mit Manim oder? Ich wollte das auch mal lernen, hab bloß Schwierigkeiten damit, wie lernt man das am besten?

[@MathemitNoel]

Es freut mich sehr, dass dir meine Videos helfen! Ja, für die Animationen nutze ich Manim. Wie man Manim am besten lernt, ist schwierig zu beantworten, weil dies sehr individuell ist. Ich kann dir erzählen, wie ich es mir angeeignet habe. Um es zu lernen, begann ich oft mit einer Skizze, wie die Folie aussehen soll. Dann schaute ich, wie ich diese Objekte erstellen und positionieren kann. Die Manim-Dokumentation (docs.manim.community/en/stable/examples.html) und KZbin-Tutorials waren dabei meine Hauptquellen. Falls ich nach ausgiebiger Suche keine Lösung fand, fragte ich auch gerne auf StackOverflow. So gehe ich auch noch heute vor. Ich hoffe, dass ich dir mit diesen Tipps etwas helfen konnte und wünsche dir viel Erfolg beim Lernen von Manim.

[@diskret7412]

@@MathemitNoel danke! Tatsächlich habe ich schon Probleme mit der Manim Installation haha, irgendwie reicht der Befehl pip install manim in Cmd nicht...

[@marcosherranzsanchez-camac2810]

Mathe by Daniel Alt

[@awesomecraftstudio]

lol

[@peterluger1400]

Das thumbnail ist falsch. U+U ist natürlich einfach U. Solange die Charakteristik von K nicht gleich 2 ist, gilt 2U = U, da Multiplikation mit 2 invertierbar ist.

[@rfommknecht]

Hey Noel, danke, dass du Inhalte anfertigst, die weitere Zugänge zur Linearen Algebra I bahnen. Ich habe zwei Fragen: (i) kann es sein, dass dir bei 0:37 ein kleiner Notationsfehler unterlaufen ist? Müsste innerhalb der Mengenklammern nicht stehen: $u_m \in U_m$? Stattdessen steht da zwei Mal U_m. (ii) Wir wissen, dass oftmals die bloße Vereinigung zweier Untervektorräume von V (= UVR_V) keinen UVR_V generieren. Das liegt soweit ich weiß ja daran, dass diese Vereinigungen nicht unter Addition für V oder skalarer Multiplikation abgeschlossen sind. Könnte man also sagen, dass eine Summe zweier UVR_V quasi eine Vereinigung + der respektiven Abschlüsse darstellt? Ich bin relativ neu in Mathe dabei und bin dementsprechend bestrebt, diese hochkomplexen Sachverhalte auf etwas einfachere Begriffe und Ausdrücke herunterzubrechen. Mit lieben Grüßen RF

[@MathemitNoel]

Hallo RF (i) Du hast recht, bei 0:37 ist mir ein Schreibfehler unterlaufen. Es sollte tatsächlich u_m ∈ U_m stehen, anstelle von U_m ∈ U_m. Danke für den Hinweis! (ii) Du hast den Sachverhalt genau erkannt. Die Vereinigung zweier Untervektorräume allein erzeugt normalerweise keinen Untervektorraum, da sie oft nicht unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. (de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vereinigung_und_Durchschnitt_von_Vektorr%C3%A4umen#Vereinigung_von_Untervektorr%C3%A4umen) Wenn du zwei Untervektorräume addierst, wie es in der direkten Summe passiert, bedeutet das nicht nur, dass du alle Vektoren aus beiden Räumen nimmst. Es beinhaltet auch, dass du sicherstellst, dass sie bestimmte Dinge gemeinsam haben: Erstens, dass der Schnitt der beiden Untervektorräume der Nullvektor {0} ist, und zweitens, dass die Vektoren, die durch die Summe entstehen, eindeutig sind. Ich hoffe, das beantwortet Deine Frage. :) Mit lieben Grüssen Noel

[@UnknownaliasGrl]

Sehr starken Schweizer Akzent. Gewöhns dir ab, ist peinlich

[@MathemitNoel]

Vielen Dank für deine ehrliche Meinung. Jeder spricht auf seine eigene Art und Weise, und das ist etwas Schönes! Der Schweizer Akzent ist genauso einzigartig wie andere Akzente auf der Welt. Jeder hat seine eigene kulturelle Identität, und das macht unsere Sprache bunt und vielfältig. Es ist grossartig, verschiedene Akzente zu hören und zu schätzen. Lass uns gemeinsam die Vielfalt feiern und voneinander lernen.