整数問題【高校入試】立命館高校

[@suugakuwosuugakuni]

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

[@漢字偏差値71]

解説を見て、分かりました。

[@spopon2071]

整数の分解。鮮やか！

[@ミイラ-n6x]

解説ありがとうございました。数学的思考方法を学ばせていただきました。 凄く面白くて、凄く勉強になりました。感謝です・・

[@minami4513]

答案用紙にはどう書けば正解になるんだろうか？ 求めたのは１3の二乗のあまりなんだし。 前半部分は17の倍数だからあまりがゼロになることは 口で説明したりされたりすればわかるんだけど それを答案用紙にあらわさないといけないよね。

[@ひであき-w9t]

中学生なら力ずくで解いておしまい。高校生に出すのなら合同式を使わせる必要があるので、2乗ではなく2000乗くらいにするんでしょうね

[@NaitouKoumuten]

まず、2019に最も近い17の倍数を探しました。 1700+340=2040 →ここからさらに17を引いて 2023 あとは x=2023 として、(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 xは17の倍数、そして 16 < 17 なので、余りは 16

[@kinagashiotoko6580]

答えを導くまでに、文字を多用して複雑な計算をしていますが、このような求め方でなくても解けます。 元の2019を17で割ると13が余り、それを二乗すれば169が表れます。この積は17の倍数である170より1足りないことから、余り16があることが導けます。

[@nakadori]

確かに（17x119-4)^2で考えたいものです。

[@HIKARI0005]

式展開するよりもaに1入れたほうが早くないのかな

[@nakadori]

確かに（17x119-4）^2で考えて時短したい。試験なので。中学受験で出ても不思議のない問題ですね。

[@山川-w5s]

分かりやすい！！！

[@ちょっと前までの俺]

169は、あと1多ければ170となって明らかに17で割れる →割りきれる数より1少ないからあまり16 と気づければもう一段階早くなりそうですね。 modを知っているからこその観点かもしれませんが……

[@qma_achan2515]

13^2さえも（17ー4）^2＝17^2ー8×17+16として、余りが16であると出しました。

[@takuyas7056]

13*13は169って覚えてるから見ただけで余り16ってでるよ。 169って出た時点で凄い綺麗な問題だなって思いますよね。 2019年の問題で2019を問題に入れ込んでるし、問題製作者はそのあたりのこだわりをもってるんやろね。

[@馬ちゃん-c9z]

中学生でも合同式を知っていると簡単に解けますね。 計算問題だから式書かなくて良いならスピーディに解けそう。 理屈は単純なので数学好きな中学生は覚えると色々計算が楽になります。

[@immatureangel5367]

中学でmodは、いらないかなー そもそもちゃんとした整数問題は私立でしか出ないし

[@52te62]

必要はないけど知ってると早いね

[@暇なのかもしれない]

数学好きな中学生です✌

[@user-bz2ov2un2d]

高校入試で合同式の内容でるもんなんね。やってて損はないのかもって感じか

[@ザカリテ]

２０１９＝１１８＊１７＋１３ １７をａと置くと、ａがついた物は全て１７の倍数なので （１１８ａ＋１３）＾２ は１３の二乗だけを計算すれば良いと思います

[@湯ヶ峰恵奈]

いつも真面目に解説していただき楽しませてもらってます 全く脈絡のない話で恐縮ですが・・・ヤホーの芸人さんとコラボとかどうでしょう？ 楽しそう・・・すみません・・・(*´Д｀)

[@ダバオ-c4y]

市川でも過去に同じような問題がありましたね。

[@おもむろ-c7p]

高校入試って案外小学校6年生あたりの算数の問題も聞いてきますよね

[@数学太郎]

-4にした方が良いというのが他の方のコメントにある通り。 その他に、2019が17n+いくつなのかを確認する方法。 まず、1700は17の倍数 289は17の倍数（高校受験生なら20の2乗までは覚えていて欲しい） よって和1989が17の倍数。 2019はそれに30（17+13or34-4）を足したもの 17n+13or17n-4と表せると分かる。 nを求める必要はない これなら暗算でできる。 ちなみに1989は平成元年だから2019年が平成何年か分かったりすると計算早くなるし、 19〇〇と20〇〇の引き算は自分や周りの人の年齢で考えるとわかりやすいのでおすすめ

[@高橋隆太-f6u]

中学生は英才教育系でガチガチ勉強してないとパッとは思いつかんかもやけど、 高校生以降なら(特に受験生なら) 13^2=169って出た時点で16が余りになるのはパッと分かって欲しいですな ↓だらだら途中式全部書いとくとこんな感じ 13^2=169 =17×10-1=17×(9+1)-1 =17×9+17=17×9+16

[@stpr-y7p]

いちばん下間違っとる

[@chucky5555-x4b]

出て来る問題が基本的で良問が多いですね。

[@osouzaiumashi]

あまり数学詳しくないんだけれどコメ欄でよく見るmodって概念は今の中3だと既に習ってるものなのでしょうか？

[@気軽に学ぶ数学キガマナ]

mod17で考えた。 2019≡13≡-4(mod17)より 2019²≡(-4)²＝16(mod17) ∴16

[@anywalker8670]

ユークリッドの互除法で二桁はマイナス処理で一桁にすると楽になりますよね。 Mod17 で≡13は≡−4でもありますから、元の数の2乗の余りは(−4)＾2＝16で時短できますね。 試験会場では緊張感もありますから、できるだけ桁数を減らして計算ミスをへらす工夫したいですね。

[@-negura]

スマートな解き方は気づければ確かにいいけど、実際の試験では汚くても答えが出る解き方を知っておいた方がいい。

[@knife-dp9le]

169を17で割った余りは、169=170-1より、17-1=16ですね。

[@aimerjoy]

因数分解してるのに289とわざわざ計算しない方がよいですよ。要は最後の13の2乗の処理だけでよく、あとは計算を省けるという点を強調すべきです。

[@福山浩範]

本番だと、この程度の計算なら、力付くで解いてしまおうと考えるのではないでしょうか❗ やはり、ここで何かしら楽な解き方があるのではと時間を使うより、後半にスタンバっている関数、平面図形、空間図形に時間を使おうと考えるでしょうから😆

[@youheisasabe5820]

中学入試でも御三家レベルなら取り問になるぐらいの問題ですね

[@しょーい-i9z]

modもそうだし、二項定理の入口にもなるね

[@原田篤行]

modの概念への入り口

[@axis8840]

中三で合同式知らんからあまりの二乗で考えれば良さそうって思ったらあってた

[@杉田剣八]

全く同じ考え方じゃねぇか

[@axis8840]

@@杉田剣八 やったー

[@杉田剣八]

@@axis8840 いや、棒読みー

[@raifuzin137]

これは普通に2019mod17=13から2019^2mod17=13^2mod17=16 と思ったけど、まさかの高校入試ということに驚き

[@しりゅう-n2r]

@@yosshiis 発展の内容だからね

[@みみ-n1l8v]

私も合同式で一発だと思いました

[@toyofumisabio]

合同式の考え方を使いましょうってことですね

[@bbbb-cc1fx]

高校受験って、mod使えないんですか？

[@mithudesu]

@@bbbb-cc1fx 使えるけど習ってないから分からないってことでしょ

[@Natsume_jp]

動画の説明は二項展開ですね。これも大学入試レベルだとn乗部分がとんでもない数だったり、使うのが最後の1つだけでなく2つも3つもだったりして興味深いです

[@TOM-zv4dc]

これ高校入試なんや😳立命館ってサバ○ナの二人の出身校だよな😅

[@たいち-i4t]

※実際の入試でこんな解き方できる人はいません

[@北島けいすけ]

マークシートテストなら0から16までのどれかの数字書いとけば当たる可能性があるという意味で この問題の期待値は 配点/17の良問やで

[@megu2995]

@@ゆま-h1n 割り切れるとき

[@raystlin924]

@@ゆま-h1n ありますよー

[@やちよ-g7e]

@@raystlin924 あるの！？

[@北島けいすけ]

スマスタ二郎 仮に余り0のものが出題されてないとしてどうやって示せばいいのよ笑

[@北島けいすけ]

スマスタ二郎 数学の前にお前日本語下手くそだね〜。最初のコメントも2通りの解釈があるしミスリード与えてるよ。俺はお前の教師ではないから別にいいけど。世の中ってのはお前が考えたことを正確に汲み取ってその通り動くようには出来ていない。お前が自分の考えを正確に記述できない限り他人は理解しないよ。お前は「いや俺はその発言の時はこう考えてて筋が通ってた」って後になってから言うんだろうけど、解釈の齟齬が生じないように文章を書く力がないことが露呈しているし、ましてやそんな人と建設的な議論ができるだろうか。 例えばお前の書いたその「普通」という言葉は、文章の解釈をどうにでも変えることができる。余り0の問題が、ほとんどないか、1つでも見つかったら、「普通と書いたから前述の主張は間違いにならない」と主張できる。一方で入試によく出題されるパターンであったとしても「その場合はさっき書いた普通という言葉に当てはまらないケースだ」と言える。お前は日本語の使い方が下手すぎて1つの解釈が定まった文章が書けないが故に、発言した後からその文章の意味を決定する癖がある。

[@ND-j]

2019=118×17+13の形見たらユークリッドの互除法思い出す

[@西野道広]

2019－1700－170－136って具合に、17の倍数を次々に引いていった。最後に13余る。したがって、13²÷17を計算して余りは16。何かこういうの、習慣的にやってた😜

[@saka1029]

17²=289は計算しない方がいいのでは？

[@gracchigracchi229]

169と出た段階で17の10倍は170だからあまりは割り算しなくても16ってわかると。

[@kei1kato549]

13を知って13^2 = 169だから余り-1まで暗算

[@酒井健吉-h1d]

朝、ちらっと見てたら17a＋13とあって17b―4なら楽と思いました。

[@zasty0816yo]

@Kuchen Baum 2019=17×119-4という等式が成り立つのは事実で その式の両辺を2乗して右辺を17で割った時の余りを求めれば良いのではないでしょうか？ 高校入試のことは知らないけど中学高校大学で数学を学んできた自分からすると、 余りは正の整数で置かないといけないなんてルールは数学には必要無いと思います。

[@クリプトン-i5x]

絶対値最小剰余だっけか

[@zasty0816yo]

もちろん一般的に割る数が正の整数のとき、 余りは0以上割る数未満で答えなければなりません 文字式でおくときは負の整数が余りのようにしても良いです

[@nomadkyoto5431]

余りは？　と問われれば 、最終的に正の数では答えなければなりませんが. . . 余り －1　は正解とはしてもらえないでしょう 　しかし途中の思考過程において、 17b－4　としていけない理由はありません まあ、やってることは同じで、計算が少し楽というだけの違いですが😒 鈴木貫太郎さんの数学-動画ではふつうにやってます😄　合同式を使わなくてもです

[@姓名-b2s1u]

これ、こっちの方が楽なのについつい忘れてしまう

[@shojinsangen1971]

なぜ17の2乗をわざわざ計算して289にしたのかな？そのままの方が17の倍数ということが見た目でわかるのに

[@tbeturan9887]

2019を17で割る 2019-1700=319 319に近い17の倍数といえば340 319-340=-21 -21に近い17の倍数といえば-17 -21=(-17)+(-4) 17で割ると(-4)余る🤪 従って2019を2乗すると(-4)²=16余る

[@9876543210289]

2023=17*119だから、(2023-4)^2で16って考えたけど合同式は高校範囲外か…

[@内藤内人-e8o]

このコメ欄を見たほとんどの中学生がmod解説動画を周回しに行くでしょう。 そして無限ループへ

[@onitaicho]

コメントの「合同指揮」は「合同式」かと。慣れた受験生ならば、3の2乗の169という数を見た瞬間、17の10倍の170に１足りない数だから、実際に割り算しなくても余りは16と瞬殺したことでしょう。

[@暇なのかもしれない]

3の2乗じゃなくて13の2乗 打ち間違えてますね。 混乱する人がいないように一応書いときます

[@onitaicho]

@@暇なのかもしれない さん ご指摘、ありがとう、ございます。おっしゃる通り、13の2乗ですね。訂正いたします。

[@syousyai]

2019=-4 mod 17 だから 2019^2=16 mod 17 ってことね

[@seinnthu7949]

数学動画のコメ欄に現れる、優秀な者共の多さよ(笑)

[@suugakuwosuugakuni]

中3生はほとんどコメントしてないと思われますが笑

[@Air-p4f]

@@suugakuwosuugakuni 気が楽になりました！ 優秀な方が多くて肩身が狭い思いをしていたので…w

[@xy8066]

こういう動画は数学好きな連中しか見ませんからね。

[@ryoryo6202]

自分が中３の時に受けた駿台でもほぼ同じ問題でた

[@scott-joplin]

いつもありがとうございます。 １３＊１３＝１６９＝１７０－１だから、商が１０・余り（－１）。 つまり、商が９・余り１６。 筆算不要だと思います。

[@scott-joplin]

38年前に国立理系大学に行きましたが、【合同式】を習った記憶がありません（汗

[@lss5621]

合同式を予習していると簡単でしたね

[@ノア911]

17×119＝2023で2019の近似値だから 2019^2=(2023-4)^2=2023^2-2･4･2023+16 だから一瞬で16って分かる

[@工藤和男-d7h]

無茶苦茶早い。

[@てゆーか-i2q]

今年（2023年）の受験生なら確かにその因数分解を覚えてそう、と思いましたがこれ2021年のコメなんですね…

[@ib4950]

2019=1717+302 302=340-34-4

[@YUGO686]

こういう問題を解く授業だったら、もっと楽しかっただろうな。

[@ddrhjwsooglb]

13の2乗は17₋4の2乗だから 17で割ったら余りは16だな

[@DD-yc4ro]

河野玄「こんなもんmod」

[@eternal-hanninmae]

式みた感じ16がしっくり来たから16！って思ったらなんか合ってた。怖。

[@アセチルコアラ]

やばw令和のラマヌジャンじゃん

[@SN-qy5tg]

時間が不足した時のマークシート解答の能力だな！いつも当たれば神がかりだねww

[@tyu2730]

16！ってことは、20,922,789,888,000だね

[@SN-qy5tg]

@@tyu2730 船の上で計算すると速いらしい。

[@ufor_jp]

@@tyu2730 誰か言うと思った笑

[@coconut-n2r]

思ったより簡単で、サムネだけ見て、出来たーって思いながら動画見てみたら、まさかの最後の最後で170-153をミスって間違えたという話

[@二戸孝明-b9s]

中学生が解く?

[@まるまる-f3n]

まぁ、そんなに難しくないと思ったけど、これ高校入試か。とんでもないな。

[@Hゆいな]

一度解法覚えたら誰でも楽に出来るぱたーんですね。

[@azumamurakami7842]

2019=119X17 - 4 (17a - 4)^2 4^2 =16

[@七転八倒九州大学]

天才？笑

[@ヤスヨシタイキ]

俺もそうやった

[@りん-s9b]

動画でやってた余り13を4足りないで表したやり方かな…？ 13+4は17になるし

[@azumamurakami7842]

この場合、17は足そうと引こうと自由なわけです。合同式ってここが面白いですね。

[@にゅうし-w2d]

合同式を知らなくても、これなら高校受験でも考えればできるのかなって思いました

[@ひまつぶ氏ファン]

合同式の性質を理解した解き方っすね

[@himechack]

立命館高校ってたしか髪の毛の色で女子生徒いじめて不登校にしたところじゃなかった？

[@GG-pp5bd]

合同式の方が早いけど(個人差あり)別になんでもいいよね

[@三十三対四間堂]

中学生のみんながみんな合同式を知ってるわけでは無いんだよ

[@GG-pp5bd]

@@三十三対四間堂 だから何でもいいよねってこと

[@enjoyeverything777]

ちょうど同じような問題今日といたからあーってなった

[@褶曲山脈]

余りを13と見るのではなく-4と見るほうが楽ですね

[@岩瀬重美-b3y]

ご指摘の通り169を17で割らなくて済みますね。 2019mod17=(-4)から2019^2mod17=(-4)^2mod17=16

[@user-fn2xd6vu5q]

ノ合同式

[@cider9841]

誘導があったらいいんだけどないんかな

[@masapdesu]

2019の4乗を17で割ったときのあまりにしたら、普通に計算したら無理問題になりそうですわ。

[@teihenTV]

2019÷17=118 +13 13×13÷17=9 +16

[@teihenTV]

動画見たら…同じじゃねえか

[@和同開珎-b5e]

modとか知らんから俺が間違ってるの覚悟で言うけど、9+16ってのは違うくね？9あまり16って意味だと思うけどするなら17+9+16だと思いました。

[@teihenTV]

正しい使い方とか俺も分からん だから控えめ程度に+の前に空白入れといた

[@まえだまえだ-y4b]

右辺を 118+13/17 とするか 118…13 としましょう。 下の式も同様です。

[@teihenTV]

@@まえだまえだ-y4b 「…」があったか🤭 くもんで習ったこと全く身についてなくて草

[@pockey201223]

あまり13だから（-４）として結果（-4）×（-4）で16あまる。確か因数分解習ったときだなぁ。52年前だぁ。

[@あいうえおかきくけこ-p9o]

118＝aとしないで、そのまま118のままでも手数はかわらん　てんぱってっと、aって何だっけと忘れる人がいるからね 採点してると、代数使っていて、何を代数にしたかこんがらがって間違える人結構多いいんよ

[@べる3]

どっちも同じくらいの時間かかりそうで草

[@令和66年]

計算ミスをしやすいかどうか、も大事だからな

[@蜜柑-r9v]

灘中入試で出てきそう

[@takuyas7056]

灘中なら問1で出そうだね。 みんな2桁の二乗なら覚えてるやろうし暗算で出しそうだな。

[@n-yan670]

普通に計算すれば小学生にも普通に解けますねｗ。

[@tczfpbh6p878]

@@武田和夫-s9x 隙あらば自分語り

[@武田和夫-s9x]

@@tczfpbh6p878 あざす！小石川で自分語りになりますかぁー大学出てないんで(๑ ᴖ ᴑ ᴖ ๑)

[@高田史拓-e8o]

@@武田和夫-s9x 😅😅😅

[@ああああ-d7o]

@@武田和夫-s9x 小石川とか関係無く自分のこと話してたら自分語りなんだよなぁ

[@aigisace6615]

@@ああああ-d7o だからなに？

[@アポロ-q6k]

ユークリッド？

[@9cmParabellum]

2019^2019だったら一気に正答率が落ちるんだろうな

[@エビス-u5i]

2019^2019でも今回のやり方で解けるんですか？

[@9cmParabellum]

@@エビス-u5i 2019=119×17 -4 2019^2019=17M +(-4)^2019 (-4)^2019 =-4×16^1009 =-4×(17-1)^1009 =-4×(17N +(-1)^1009) =17P -4×(-1) =17P +4 というわけで余りは4です。

[@nomadkyoto5431]

2023年なら 出しても. . . . 😏

[@squp4173]

これを中学生が解くのか？恐ろしいな。

[@nakaosamu6186]

昔々高校入試でやはりこの手のMOD計算が出題されたのを思い出しました。数学の本が好きでMOD計算知っていたので良かった。 落ちたけど。^_^；国語にしろ社会にしろ全く習っていないことが出題されるんだからできっこないよね。 あとから考えたら、その本、ガウスの整数論だった・・・。途中で分かんなくなったのも無理ないわ。 しかし普通の中学校の図書室になぜ整数論が？

[@shovis454]

合同式を使ってはいけないんですね。

[@pwsuser]

最後の13^2は(17^2-4^2)と書けるので自動的に余り16と出ますね。

[@pwsuser]

間違い(17-4)^2でした

[@KEI-lz9fk]

普通に筆算で余裕

[@ikzothefinal]

高校で習う知識を引っ張り出して「○○を知ってたら楽勝」とか言う奴は問題のコンセプトをまったく理解してないよなw

[@ああ-p7k5j]

こんなの小学算数みたいなもん

[@ikzothefinal]

@@ああ-p7k5j すごいねー

[@ああ-p7k5j]

@@ikzothefinal 信じてないのかイキってると思われてるのかは知らないけどほんとだよ

[@ikzothefinal]

@@ああ-p7k5j すごいねー

[@ああ-p7k5j]

@@ikzothefinal この問題のコンセプトって何？

[@cosdydx]

169=170-1 なので17で割ったら-1≡16(mod17)が出ました。

[@ガンダムおじさん-g3z]

まぁでも2乗くらいなら筆算したほうがはやい

[@isamu4994]

頭の体操、ボケ防止として、いつも楽しんでいます。 2019=118*17+13だと13を2乗したとき、17より大きくなる。 そこで2019=119*17-4としてみたら、一目で余りが分かりました。

[@KillianConanMiller]

みんなが言ってるmodってなにーーーー！！！

[@thereisgoodname]

2019≡13(mod 17) 2019^2≡169 169 mod 17=16

[@thereisgoodname]

Yeahhhhhhhhhh

[@やのり-c2x]

なるほどなぁ

[@getinfomation]

カワバタさん、休息もよろしくおねがいしますね。

[@gttsitatsu1137]

この類の問題は普通に計算して回答しても、出題の意図に反するとして0点になると思います(実際の点数は分かりませんが)。

[@きのこ先輩-w8w]

高校入試なんて答えだけですよ

[@kiyobeta]

それなら普通に計算できないように問題作ると思うよ。

[@北島けいすけ]

ならないです。答えがあっていて説明に不備がなければ満点が貰えます。 もしそんな採点基準ならむしろそんなクソみたいな高校行かない方がいい。

[@ゆま-h1n]

意図に反したら、0点なんて場合があるの？😱

[@gttsitatsu1137]

スマスタ二郎 あるか無いかと言えばあります。入試では採点など公開されないので未知数ですが。

[@user-uw5xs6mb4c]

2019年度の受験生ならさすがに2019の二乗くらいは覚えてそう

[@laughing_man_Aoi]

2019^2019の解き方の方覚えてそう

[@まうらた]

2019^2≡13^2≡170-1≡-1≡16(mod17)

[@江戸川こなん-g2y]

mod便利

[@westvillage321]

コメ欄、やたらとマウントとりたがるキッズが多くてだな…

[@suugakuwosuugakuni]

キッズではないです笑 大人です。