TEOREMA DE PTOLOMEU/GEOMETRIA PLANA/CONCURSOS MILITARES/ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA/COLEGIO NAVAL

[@josealmariferreiraferrreir3374]

Caramba!!!! 👏👏👏

[@ProfCristianoMarcell]

Tmj

[@fabricioholanda5306]

Que questão pik... Show

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!

[@crdvasco]

top

[@luzimerefigueiredo3142]

Parabéns professor

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!!

[@ProfCristianoMarcell]

obrigadíssimo!!

[@joaoalbertocaracas3907]

muito bom rever suas aulas Mestre Marcell.Deus o abençoe.

[@ProfCristianoMarcell]

Todos nós

[@MrLucaspingret]

Muito legal

[@ProfCristianoMarcell]

👍👍

[@loucomoreira683]

Lindo demais, Mestre, a resolução e parabéns. Vz ou outra o assisto e propago seu canal.

[@ProfCristianoMarcell]

Muitíssimo obrigado

[@MrLucaspingret]

O QUE VALE É A SIMPLICIDADE PARABÉNS !!!!!

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@bartolomeudesousasousa7717]

Legal!

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@lordusk7460]

Muito boa questão, obg.

[@ProfCristianoMarcell]

TMJ!!!!

[@MrLucaspingret]

Que sacada genial...

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@neysantos2147]

Lindas questão!!

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado

[@adeildocelso3204]

vídeo maravilho !!!

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@ViniciusOliveira-fv8ps]

essa questao por congruencia de triangulos fica muito linda.

[@ProfCristianoMarcell]

Legal

[@eliseupacini6720]

Gostei ! Obrigado !!

[@ProfCristianoMarcell]

TMJ

[@eduardoteixeira869]

Bonita questão, muito boa solução. Gostaria de compartilhar minha solução que fiz sem o uso do teorema de ptolomeu. Para minha solução usei a propriedade das cordas que se o ponto médio da corda é unido ao centro da circunferência o segmento formado forma um angulo reto com a corda e vice versa "se uma reta que passa pelo centro da circunferência encontra a corda formando um angulo reto com esta, então este pondo de encontro é o ponto médio da corda". Parti da informação dada PR = PQ + PS, marquei o ponto T sobre o segmento PR tal que PT = PQ e TR = PS. Uni o ponto T ao ponto Q e formei o triangulo TPQ, este triangulo é isosceles pois PT=PQ com base TQ, como é isosceles os angulos da base são iguais vamos chama-los de A. Agora vamos analisar os segmentos PS e TR, eles são iguais, mas como podemos relaciona-los geometricamente na figura? Traçando por S uma corda paralela à corda PR, vemos que esta nova corda encontra a circunferência num ponto que vamos chamar de U, unimos o ponto U a R, não é difícil perceber que o segmento UR = a TR ( por simetria, mas também por outras coisas que tentarei explicar ao final para não atrapalhar o racíocino aqui). Unindo o ponto U ao ponto T temos um novo triangulo isosceles TRU que também é isosceles pois UR = TR com base UT e novamente usamos aqui o fato que os angulos da base são iguais, e ainda mais eles são iguais a A, por que? Resposta o angulo entre os segmentos UR e TR (também por simetria ou mais sobre isto depois) também é X, comparando os dois triangulos isosceles TPQ e TRU ambos tem o angulo X e portanto os angulos da base tem que ser iguais, neste caso eu os chamei de A. Isto é muito importante para a resolução do exercício. O vertice T é o mesmo nos dois triangulos e nos dois triangulos os angulos correspondentes a este vertice são iguais a A, o que significa que os pontos Q T U estão alinhados, pertencem a uma mesma reta o que significa que o lado QT do triangulo TPQ e o lado TU do triangulo TRU estão na mesma reta, isto também é muito importante, vejamos: O angulo correspondente ao vertice U no triangulo TRU é igual a A e o angulo correspondente ao vertice Q no triangulo TPQ também é igual a A e como Q T U é uma reta significa que as cordas PQ e UR são paralelas (os angulos U e Q são alternos internos). Com isto concluímos que os pontos P Q T R U formam uma figura de dois triangulos justapostos, lembrando a figura de uma ampulheta só que não com as duas partes iguais, um triangulo é menor que o outro. Aqui vou falar outra coisa que explico melhor depois que concluir o racíocinio. Como as cordas PQ e UR são paralelas os triangulos TPQ e TRU são mais que isosceles, eles são equilateros, todos os seus angulos são iguais, ou ainda podemos dizer que X = A. Ora se os triangulos são equilateros, os angulos são todos iguais, então X = 60. Este é o raciocínio. Agora vamos tentar explicar alguns fatos. A se pegarmos o ponto médio da corda PQ e unirmos ao centro da circunferência teremos um segmento que forma um angulo reto com a corda, se fizermos a mesma coisa com a corda UR, ou seja unirmos seu ponto médio ao centro da circunferência, este outro segmento também formará um angulo reto com a corda, como as duas cordas em questão são paralelas, estes dois segmentos estão alinhado "pertencem a uma mesma reta" esta reta é simultaneamente mediatriz dos dois seguimentos. Sabemos agora que se pegamos qualquer ponto de uma mediatriz de um segmento, este ponto é equidistante das extremidade do seguimento. Assim qualquer ponto sobre esta reta é equidistante de P e Q, e os angulos P e Q tem que ser iguais e portanto X = A, o mesmo raciocínio se aplica aos angulos U e R. Acredito explica a última parte para explicação porque os triangulos são equilateros. Agora por que o segmento PS e UR são iguais e porque o angulo R é igual a X como no ponto P? Como a corda SU é paralela à corda PR, se traçarmos uma reta pelo meio da corda SU passando pelo centro da circunferência ela formará um angulo reto com a corda e esta mesma reta passara pelo ponto médio da corda PT e formará um angulo reto também com esta corda, assim não é difícil ver que o quadrilátero PSUQ é dividido em dois que são simétricos, tem várias maneiras de perceber isto e não vou me alongar aqui e assim podemos concluir que PS = UR e o angulo P é igual ao angulo R que é igual a X. Desculpe a falta de desenhos, mas não sei como colocar aqui. Espero que esteja claro. Obrigado

[@ProfCristianoMarcell]

Não há como colocar desenhos aqui. Obrigado por compartilhar!

[@thiagoramos181]

Usei teorema de Chadú

[@zelinux]

Excelente questão e a didática primorosa .

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!

[@MrLucaspingret]

Obrigado...

[@ProfCristianoMarcell]

Tmj

[@matematicashowmaster3001]

Show. Linda essa solução.

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!

[@JuniorS.ilva-Kaizen]

Questão top de maiiiiiiiiiiiiiiisss... Obrigado, mestre

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@LeomarOli]

showzasso

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@CarlosOliveira-rt8wm]

Brabo!

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@ismaelpaulo189]

Só questão topp!! Boaaa, cristiano! Posta mais questão casca grossa de plana 🙏

[@ProfCristianoMarcell]

Vou postar

[@gleydsonmedeiros4577]

Questão linda! Parabéns Cristiano.

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!!

[@brunodaniel858]

Famoso (porém, não muito conhecido) Teorema de Chadú. Para quem já o conhece, descobre de cara a existência do triângulo equilátero quando uma das diagonais é a soma dos lados do quadrilátero que a delimita. Excelente questão, mestre! 😎

[@ProfCristianoMarcell]

Justamente!!!!

[@carlosbussola]

Bela resolução! Parabéns!

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!!!!

[@JoseAntonio-zk8lh]

Linda questão. Valeu professor. Didática excelente. Show.

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado, José Antônio!!!! Um abraço!!

[@profraphaelsouza45]

Sempre top suas resoluções!

[@ProfCristianoMarcell]

Muitíssimo obrigado!!

[@ricardoteixeira3204]

Valeu nobre professor! 👍🏿

[@ProfCristianoMarcell]

Muito obrigado!!

[@nelsonfilho6779]

Magic. Tirou um coelho da cartola ... Kkk

[@ProfCristianoMarcell]

Bruxo

[@nelsonfilho6779]

@@ProfCristianoMarcell vc tem uma varinha como a do Harry Potter ... Kkkkk

[@matheuspessoa8818]

Top professor, faz sobre a circunferência de Apolônio

[@ProfCristianoMarcell]

Farei futuramente! Um abraço!

[@tiagoalves2904]

Questão muito bonita e a maneira como você desenvolveu a resolução foi incrível, muito didático. Obrigado por compartilhar conosco esses conteúdos de geometria.

[@ProfCristianoMarcell]

Muitíssimo obrigado pelas palavras! Um forte abraço!!!

[@danielqo5639]

Violentíssimo

[@ProfCristianoMarcell]

Tmj

[@matematicapravoce]

As questões atualmente são ligadas a textos enormes que os alunos se quer conseguem retirar seus pontos importantes. São os que eles dizem contextualização da matemática.

[@ProfCristianoMarcell]

Realmente!

[@thauanoliveira6331]

Parabéns, professor Cristiano!! Sempre trazendo questões incríveis com uma resolução fenomenal. Grande abraço.

[@ProfCristianoMarcell]

Muitíssimo obrigado!

[@matematicapravoce]

Boa noite Nobre professor. Gostaria de saber qual o público que gostaria de atingir com esse conteúdo maravilhoso que não se ensina nas escolas de hoje mais. Caso o senhor tenha dúvidas disso sou professor a 20 anos em escolas municipais e um raciocínio desse jamais dá pra desenvolver em uma sala de aula com 40 alunos gritando e xingando na sala de aula.suas aulas são para preparatórios específicos de provas conteudistas ou para professores que desejam atingir mestrado e doutorado?

[@ProfCristianoMarcell]

Boa noite! Minha intenção aqui é de deixar registrado um determinado conhecimento para quem deseja adquirir. Sei das dificuldades de sala de aula e realmente são desanimadoras. É lamentável!

[@fabiosilvabraga7782]

Cristiano, você vai fazer um problema de geometria que a resposta seja 2022 para a virada de ano?

[@ProfCristianoMarcell]

Coloquei no meu instagram

[@estevao697]

essa questao tbm o enunciado e o desenho dela ja é a identidade do teorema de chadu/pompieu

[@ProfCristianoMarcell]

👊👊👊👏👏

[@MrLucaspingret]

Valeu mestre

[@ProfCristianoMarcell]

Disponha!

[@sirlenegomesoliveira6956]

Concuseiro que não conhece o canal desse cara está estudando errado 😅

[@ProfCristianoMarcell]

Obrigado

[@Pokemonesar]

O Teorema de Ptolomeu: aquele que você não sabe e nem eu.

[@ProfCristianoMarcell]

kkkkkkkk

[@pedrojose392]

Chamei a medida de PQ de a de PR de b e de PS de c. Como os ângulos são congruentes as cordas que eles inscrevem também o são. a^2+b^2-2ab*cos x= b^2+c^2-2bc*cos x a^2-c^2=2b*cos x*(a-c) (a+c)(a-c)=2b*cos x *(a-c). Pelo enunciado a+c=b corta corta. 2cos x=1... cos x =1/2 x=60 graus.

[@ProfCristianoMarcell]

Boa

[@pedrojose392]

@@ProfCristianoMarcell , agora que vi. Já havia resolvido de outra forma. E flash back.

[@exercitandomatematicaprofi8152]

"roubando", PR sendo o diâmetro, PQ e PS ficam sendo raio. Fatalmente, x = 60°. Tá certo q a questão não falou q PR era o diâmetro, mas tbm não falou q não era! 😃😃

[@ProfCristianoMarcell]

💪💪

[@pedrojose392]

Boa noite! Acho que matei. Depois vou assistir ao vídeo. QR é congruente a RS pela lei dos senos. Como o quadrilátero é cíclico. PR*QS=PQ*QR+PS*QR, pois QR=RS. PR*QS= QR(PQ+PS), como PQ+PS=PR QS=QR=RS então QRS=60 o Como os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam 180 o. 2x= 120 e x=60 o. Não é que acertei. Estou melhorando!

[@ProfCristianoMarcell]

Show!!!!!!

[@loucomoreira683]

Lindo demais, Mestre, a resolução e parabéns. Vz ou outra o assisto e propago seu canal.

[@ProfCristianoMarcell]

Muitíssimo obrigado