Thomaths 11 : Les Coniques

Dans cette vidéo niveau licence, on va voir ensemble cinq approches des coniques en dévoilant leur beauté géométrique !
Plus précisément :
0:00 Intro
0:30 Définition bifocale
8:03 Coupes d'un cône
10:52 Définition monofocale
14:05 Définition en perspective
17:53 Définition en coordonnées
21:25 Quelques propriétés remarquables
Comme d'habitude, n'hésitez pas à poser vos questions dans les commentaires et à partager cette vidéo si elle vous a plu ! Et retrouvez-nous sur Twitter @Thomaths2 :)
Pour nous soutenir sur LiberaPay :
fr.liberapay.com/Thomaths/
Sources/Pour aller plus loin :
- la jolie vidéo de Micmaths pour construire des coniques à la plage : • Les coniques à la plag...
- livre "Geometry of Conics" d'Akopyan et Zaslavsky, Mathematical World Vol. 26, AMS, 2007
- livre surprenant, car sans mots, "Geometry in Figures" d'Akopyan accessible via users.mccme.ru/akopyan/papers...
- livre de Jean-Claude Sidler "Géométrie projective", Dunod, Paris, 2000
- livre "Geometry and the Imagination" de Hilbert et Cohn-Vossen, AMS, 1952
- site bibmath sur les coniques : www.bibmath.net/dico/index.php...
Les images proviennent de Wikimedia Commons, Unsplash, de notre stock personnel ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.

[@HS-gt7yr]

Je mets pause régulièrement pour bien comprendre et à chaque fois que je me pose la question de "pourquoi il dit ça ?" je finis toujours par dire "bah oui il a raison !". Trop fort Tomaths :)

[@AA-ln6ku]

Au lycée j'ai fait un véritable blocage sur les coniques (et les différentielles). Pourtant fan de géométrie depuis aussi loin que je m'en souvienne. Vous venez d'éclairer cet univers à mes yeux. Merci infiniment ❤

[@jmjhno5165]

La démonstration de Dandelin est stupéfiante! Ca m'a rappelé Tadeshi Tokieda qui présentait une preuve du théorème de Monge en passant à la dimension supérieure (cônes et sphères pour montrer l'alignement dans le plan des intersections de tangentes).

[@Thomaths]

Oui, il y a plusieurs exemples de théorèmes qui proviennent en fait de l'espace. Surtout en géométrie projective, car à l'origine c'est la théorie de représenter notre monde tridimensionnel sur une feuille de papier, donc les objets d'étude viennent de l'espace.

[@elisabethdefay8942]

Très intéressant, merci beaucoup !

[@alikoh66]

Rien à dire la première fois que j écoute quelq' un qui ressent ce qu il dit génial,!!!!!!

[@abbamed269]

Grand merci. C 'est extraordinaire et extrement bien presenté. Quel tomath!

[@jcfos6294]

Génial ! Quelle chaîne géniale de matheux !!! Les mathématiques = la beauté !!! La nature est extrêmement belle et notre esprit est armé pour la découvrir. Ça, c'est juste extraordinaire ! Un immense merci, mais les coniques vues avec les complexes fait par vous même, serait topissime. Le feriez vous ?

[@baptiste-genest]

Excellente vidéo! C'est drôle, pour moi la définition qui me parle le plus c'est incontestablement la dernière ^^'.

[@cauldronrevs6951]

Très inintéressant pour aborder les intersections en géométrie descriptive en chaudronnerie par exemple, merci.

[@rizgoureux2743]

Super vidéo sur un sujet qui me plait...! Toujours aucune idée pour le périmètre en revanche ;)

[@elkouachemohamed9878]

Merci beaucoup

[@delphinmesu794]

Tu es vraiment meilleur

[@captainsimon8230]

Vraiment super !!♾❤️

[@tahirousamandoulgou6037]

Salut! J'aimerais savoir comment déterminer l'air un paraboloïde de révolution. Merci d'avance 🙏🙏

[@jmjhno5165]

Super clair, comme d'habitude. Ca m'a rappelé mes cours de spécialité math en terminale. Maintenant j'aimerais bien connaître la généralisation par les complexes. : )

[@Thomaths]

Dans le livre "Conics" de Kendig Keith, le point de vue complexe est bien présenté. Malheureusement, ce livre est très cher, mais peut-être que vous le trouverez dans une bibliothèque. - Alex

[@jmjhno5165]

@@Thomaths Merci. En effet, je viens de lire le résumé et les commentaires sur amazon. Cher mais certaines critiques sont très élogieuses! Le livre est qualifié de chef d'oeuvre. Le parti pris sur la forme est étonnant aussi.

[@eliaspernel1900]

Bravo pour cette vidéo !

[@trakksfendacre]

Ouah, super vidéo ! Merci beaucoup.

[@tinfissi.brunoouedraogo]

Propre

[@didierbeck3188]

Excellent. Je suppose que c'est un sacré boulot pour rendre ainsi apparemment simple ce qui d'habitude est plutôt obscur.

[@ericonnouka4732]

Merci beaucoup. C'est tout ce que je peux dire

[@QuadriviuumTremens]

Superbe vidéo ! On en a aussi une sur les coniques en préparation (mais qui n'arrivera pas de sitôt), avec une approche différente : on s'attarde plutôt aux mises en équations, cartésiennes, polaires et aussi paramétriques, pour réaliser des classifications. Bref, tout ce qui est mal aimé par beaucoup d'étudiants, mais que l'on va essayer de rendre accessible avec l'animation. Et ce qui est curieux, c'est que lon finit aussi par la géométrie projective complexe (dans laquelle il n'y a que 3 coniques). Du coup, on y ajoutera une petite référence à la votre qui est très complémentaire !

[@Thomaths]

Hâte de voir ça ! Bon courage ! - Eve&Alex

[@QuadriviuumTremens]

@@Thomaths Merci !

[@Thomaths]

Il y a juste une chose qui me surprend dans votre message : dans la géométrie projective complexe (je parle de CP²), il n'y a plus qu'une seule conique (c'est topologiquement une sphère). Comment vous en obtenez trois ? Vous comptez les cas dégénérés ? - Alex

[@QuadriviuumTremens]

@@Thomaths Oui j'ai compté l'intersection de deux droites et la "droite comptée deux fois".

[@DominiqueREY24]

Tout d'abord, Merci beaucoup pour le contenu qualitatif et quantitatif de cette vidéo. Maintenant, question svp à @Thomamaths ou tout autre mathématicien crédible: Est-ce que le nombre Pi est un paramètre que l'on trouve dans toutes les coniques (bien caché peut être) ou seulement dans le cercle? Question annexe: Peut-on conceptualiser ou même modéliser les coniques à partir d'un cône sphérique? (Hypercone) Nota bene d'excentricité supérieur à 1. Soit P le plan métaphysique qui intersecte le cône cosmos (espace-temps de Poincaré-Minkowski plus précisément, représentation schématique pour mes capacités cognitives) je conjecture sans bagages et avant les soins palliatifs: - Le point vertex ε0 est le verbe, la fécondation et/ou la naissance, l'incarnation dégénérée corpusculaire et ondulatoire, le big bang ou big bounce. - L'ellipse est l'interaction, la vie, l'univers observable en action aux unités de Planck et au delà. - La parabole est la libération, le plongeon dans l'insondable désincarnation, l'interface de la singularité. - L'hyperbole est la connaissance, la non-existence consciente ou le 道, le cercle asymptotique qui boucle et unit les concepts paradoxaux de néant et d'infini. Et j'ai pas fumé de demi cône depuis bien longtemps!

[@Thomaths]

Bonjour ! Pour votre première question : oui, pi apparaît aussi dans les coniques. L'aire d'une ellipse d'axes a et b vaut pi*a*b, par exemple. Pour l'annexe : oui, une "conique de dimension 3" (une quadrique) est une intersection d'un plan avec un hypercône. - Alex

[@DominiqueREY24]

Bonjour Alex. Merci pour votre réponse et d'avoir attiser ma curiosité. Dominique

[@houarnevcadranier7034]

Merci beaucoup pour cette superbe vidéo. J'ai personnellement plein de questions à propos des coniques que je trouve magiques. La première qui me vient à l'esprit c'est : Mis en perspective, une ellipse dans un carré donne un ellipse dans un trapèze, voire même dans un quadrilatère, lorsqu'il y a 2 points de fuite. Dans cette mise en perspective, les points de contact entre l'ellipse et le quadrilatère et l'orientation des axes de l'ellipse sont assez facile à tracer intuitivement, mais je n'ai pas trouvé la corrélation sous forme de formules mathématiques. 2ème question : On retrouve les hyperboles lorsqu'on considère l'intersection de la course du Soleil au cours d'une journée avec un plan. Le plan possède 3 degrés de liberté (sa latitude, sa déclinaison, et son inclinaison). Le soleil a 1 degré de liberté (sa déclinaison - qui n'a rien à voir avec la déclinaison du plan) . A partir de ces 4 variables, je serais curieux de connaitre la formule qui exprime l'angle des asymptotes de l'hyperbole en question. 3ème question : Toujours dans une approche "solaire" des coniques, L'intersection de la course du Soleil au cours des solstices avec un plan donne une hyperbole. Mais l'intersection de la course du Soleil au cours des équinoxes donne une droite (car dans ce cas, la course du Soleil est un cone dégénéré avec un demi-angle de 90°) Si l'on trace ces 2 courbes (l'hyperbole des solstices et la droite des équinoxes), la droite des équinoxes n'est pas équidistante des 2 foyers de l'hyperbole. Ma question est : Est-ce que cette droite à des propriétés particulières ? Et sait-on la tracer uniquement à partir des caractéristiques de l'hyperbole ? Je suis conscient que je débarque comme ça avec mes questions et que sans schémas, elle peuvent vraiment être dures à saisir,. J'espère néanmoins qu'elles vous interpelleront, pour que vous soyez intéressé de creuser la question. En vous remerciant.

[@Thomaths]

Bonsoir, merci pour vos questions très intéressantes. Je suis désolé de répondre aussi tard. Pour la première question, pour l'instant je n'arrive qu'à construire facilement le centre de l'ellipse : on part d'un quadrilatère complet ABCDEF et on conjugue harmoniquement les points "à l'extérieur" E et F par rapport aux quatre côtés. Ainsi on obtient les points de contact de l'ellipse que je note W, X, Y, Z. Notons par M et N les milieux des segments WY et XZ respectivement. Alors EM et FN se coupent au centre de l'ellipse. Je vais réfléchir comment obtenir les axes géométriquement. Ce n'est vraiment pas évident. Pour la deuxième question, j'avoue que sa complexité me dépasse. Il doit être possible de tout mettre en équation... Pour la troisième question, il n'y a pas une seule hyperbole, mais une infinité. Si vous tracez toutes ces hyperboles, alors je pense qu'elles vont avoir un foyer commun. Alors la droite dégénérée est la directrice du foyer par rapport aux hyperboles (commune à toutes les hyperboles !). Si je trouve des réponses satisfaisantes à vos questions, je vais faire une vidéo "questions/réponses" avec des illustrations. - Alex

[@houarnevcadranier7034]

@@Thomaths Merci pour l'intérêt que vous portez à mes questions. Je vais essayer d'avancer aussi de mon coté sur ces questions, mais malheureusement, je n'ai pas votre niveau 😉

[@Thomaths]

Bonsoir, j'ai trouvé dans le livre de Bruno Ingrao "Coniques projectives, affines et métriques" des constructions géométriques des axes et foyers d'une conique donnée par 5 points. Cela résout en particulier votre première question. Ce n'est vraiment pas facile. En quelques mots, les axes d'une ellipse sont caractérisés par la propriété suivante : ce sont deux diamètres conjugués orthogonaux. Conjugué signifie que les tangentes au bout d'un diamètre sont parallèles à l'autre diamètre. Avec cette caractérisation, on trouve les axes une fois qu'on a le centre. Plus de détails sont dans le livre cité, et seront peut-être dans une future vidéo :) - Alex

[@houarnevcadranier7034]

@@Thomaths Merci pour l'info. Impatient de voir ça en image.

[@didierbeck3188]

Question (historique) subsidiaire : si j'ai bien compris ce que j'ai trouvé par ailleurs, les anciens Grecs avaient déjà fait le lien entre la définition comme section d'un cône par un plan, la définition bifocale et la définition monofocale, mais ça s'était perdu, et Dandelin aurait retrouvé le lien (ou une façon de faire le lien) ?

[@Thomaths]

Bonsoir, je ne suis pas expert en histoire des maths, mais je ne pense pas que ce soit seulement Dandelin qui ait retrouvé ce lien. La géométrie projective a connu un grand essor aux XVIe et XVIIe siècles, surtout avec Desargues et Pascal. Dandelin est né à la fin du XVIIIe siècle. Mais c'est le premier à avoir trouvé un argument aussi facile, direct et géométrique. - Alex

[@alexrvolt662]

15:18 il y a quelque chose qui me trouble un peu. La figure qui est présentée ne correspond pas á la situation dans laquelle un objet circulaire, observé de maniere "inclinée", est vu comme une ellipse. Il s'agit ici de la situation inverse : un objet elliptique (dans le plan rose) est vu circulaire par l'oeil situé en S, comme on peut le voir sur le plan bleu. Or, la réciproque me semble non-triviale. En effet, si j'incline un objet circulaire, je le vois comme une ellipse, mais quel est le cone (ou plutot : l'ensemble des cones) correspondant? J'ai plus de mal á le voir

[@Thomaths]

Bonjour, merci pour ton commentaire ! En fait, il faut considérer qu'un cône n'est pas forcément appuyé sur un cercle : tu peux avoir un cône elliptique, un cône un peu "aplati" en quelque sorte. Pour être plus précis, si tu prends une ellipse et un point au-dessus du centre de celle-ci, l'ensemble des droites de ce point aux points de l'ellipse forment un cône dit elliptique. Dans ce cas, il existe des plans qui le coupent avec un angle particulier de sorte que l'intersection soit un cercle. C'est précisément la réciproque de la situation que tu décris. D'ailleurs, un cône peut même s'appuyer sur n'importe quelle courbe simplement fermée du plan. Ça donne des cônes plus originaux :) - Alex

[@user-bm3ur8cz7e]

Pour les capteurs d'onde, il s'agit en fait de paraboloïde, parabole est un abus de langage

[@gloirekyungu5993]

Quelle est l'importance des coniques aux humanités terminales ?

[@Thomaths]

C'est un sujet passionnant, mais pas nécessaire à la survie. Les propriétés optiques peuvent être utiles dans la vraie vie (comme les miroirs paraboliques), et les coniques apparaissent comme le mouvement des astres autour du soleil. - Alex

[@jamelbenahmed4788]

Oui la tomate est un fruit non même pas presque…

[@houarnevcadranier7034]

Je n'ai eu aucun retour à mon précédent message. Sniff 😢

[@Thomaths]

Pardon on a eu beaucoup de questions ces derniers temps, on réfléchit à faire un épisode spécial pour y répondre :) dans le cas contraire, Alex te répondra quand il aura une minute ! Merci pour ton intérêt en tout cas ! - Eve

[@jamelbenahmed4788]

😂ah c’est vrai ils ont arrêté de lire les commentaires et 😂😂😂