Thomaths 7b : Topologie algébrique (introduction)

Dans cette vidéo niveau licence, je vous propose une introduction à la topologie algébrique, c'est-à-dire aux invariants algébriques en topologie :
0:00 Intro
01:00 Composantes connexes
03:27 Dimension topologique
05:38 Caractéristique d'Euler
09:31 Groupe fondamental
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Pour aller (beaucoup) plus loin :
- Le petit livre d'Alexandroff "Elementary Concepts of Topology" (Dover Publications), accessible ici : www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/...
- Le livre "Basic Topology" de M.A. Armstrong (Springer)
- Le livre "Algebraic Topology" de Allen Hatcher (Cambridge University Press)
Les images proviennent de Wikimedia Commons, de notre stock personnel ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.

[@hatemelkadi4774]

Personnellement c’est comme ça que j’aime apprendre les maths. Merci et bravo pour la qualité de votre travail. C’est super de vous avoir sur KZbin 🫡👌🏼

[@juanarevalo4602]

Merci bcp pour cette vidéo, j'suis étudiant des mathématiques et je suis aussi en train d'apprendre le francais donc heureusement je peux faire d'une pierre deux coups avec votre chaîne. C'est une vidéo trop intéressant et claire

[@Thomaths]

Heureux de pouvoir t'aider ! N'hésite pas à activer les sous-titres pour faciliter la compréhension, on les fait nous-mêmes. Bon courage ! - Eve

[@TaroumbayeDanongar-mu8zu]

Merci pour la lumière !

[@michaeltina3866]

J'aime la simplicité avec laquelle vous expliquez les choses complexes...MERCI

[@alexvernes9264]

Les choses sont-elles complexes ? Grothendieck dans Semailles et moissons cite ce visiteur auquel il expliquait sont travail et qui s'étonne: "Ah bon, ce n'est que cela !". L'évidence et la simplicité sont les choses les plus difficiles à expliquer. Vous remarquerez qui ni la quantique ni la relativité ne posent à leur principe le temps et l'espace, mais que toutes les réalisations pratiques de la science reposent sur leur affirmation. La question est alors: pourquoi ce refus d'admettre le plus fondamental ? Probablement parce que ces évidences mettent en branle des ressources cognitives encore plus essentielles, métaphysiques eût dit Aristote, autrement dit à la frontière de l'explicite, cette frontière qu'explorait Grothendieck.

[@elhabtielidrissinajib108]

Du Maroc, je te félicite ardemment

[@cgjhhgcxk2604]

J'aime beaucoup ton travail, je te trouve très pédagogue. Merci :)

[@tankeuperin3291]

Grd merci vraiment grâce à vous je me retrouve dans toutes ces notions abstraites développer en topologie . Vraiment merci 🙌🏾!!

[@theobessel4710]

Une superbe vidéo comme d'habitude, un plaisir à regarder :p

[@malicksoumare370]

Très belle vidéo. Les explications sont claires.

[@sanae5702]

j'adore ton explication.

[@jamelbenahmed4788]

Quelques projets à te proposer - 2 vidéos sur les tenseurs ( une 2 tomates où tu parleras d’espace dual, de définition d’un tenseur ( k-covariant, l-contravariant), de produit tensoriel et de contraction, et une 3 tomates ( niveau master)) - La relativité générale, vidéo non vulgarisée, donc à 3 tomates - Actions de groupe ( 2 tomates) - Applications ( 2 tomates) - Fractales (1-2 tomates car il faut quand même les nombres complexes des fois)

[@Thomaths]

Merci pour ces idées. J'en ai plein d'autres, laissez vous donc surprendre des vidéos à venir :)

[@damienrobine6782]

vraiment une bonne idée le beamer. Ca permet de bien lire les définitions/propositions ect. Les animations du Tore sont si bien faites

[@Thomaths]

Ooooh merci ça c'est ma partie du boulot !! Ça fait super plaisir ^-^ Bonne journée ! - Eve

[@damienrobine6782]

@@Thomaths D'ailleurs y a un invariant simple qui n'a pas été évoqué c'est la propriété du point fixe, je sais pas si c'est fait exprès. Peut être que vous voulez + vous dirigez sur les Pi_n, H_n ect

[@Thomaths]

Je ne connais pas cet invariant. Ce sont des espaces X où le théorème de Brouwer est valable, càd où tout homéomorphisme de X vers lui-même admet un point fixe ?Vous avez une référence ? - Alex

[@patiluep4284]

Bonjour ! Cette chaîne est une pépite, je suis très content de l'avoir trouvé. Je me demandais quelles études vous aviez faites?

[@Thomaths]

Bonjour ! Merci beaucoup pour votre soutien ! Alex vient de terminer son doctorat en mathématiques. Et pour le montage et les animations, je n'ai fait aucunes études spécifiques, je fais juste du montage en amateur depuis des années. A bientôt pour un prochain épisode ! - Eve

[@chainonsmanquants1630]

Merci

[@droueteric726]

D'un point de vue topologique, peut-on considérer le corps humain comme une boule ? Ouverte du fait des sphincters ou fermée du fait de sa "limite" de peau, laquelle est justement "trouée" à l'endroit des sphincters ? Merci de votre aimable réponss et bravo pour la remarquable clarté et la simplicité (marque des grands profs) avec laquelle vous exposez les concepts de la topologie. Drouet Eric

[@Thomaths]

Haha, discussion intéressante que nous avons souvent ! Mais si on considère que le tube digestif traverse le corps de part en part, alors il s'agirait plutôt d'un tore :) Merci pour votre soutien et à bientôt !

[@droueteric726]

Merci de votre aimable réponse. Drouet Eric

[@thb9thb]

@@Thomaths Le nez, avec ses deux narines reliées par le haut, forme-t-il une anse, c'est à dire un deuxième trou dans le tore ? :) @droueteric726 Avez-vous des piercings ? Note : j'ai mangé un peu salement et du coup j'ai deux poils de barbe qui sont collés à leur extrémité :)

[@jean-francoisbiragnet7304]

Merci beaucoup pour ces vidéos de vulgarisation ! En me documentant (un peu) sur les variétés topologiques, je me suis demandé si le nombre minimal de cartes était un invariant (j'ai l'impression que oui) mais je n'ai rien trouvé dans la littérature après quelques succinctes recherches. Donc une petite question : est-ce que le nombre minimal de cartes est pertinent (ou est déjà un invariant qui s'appelle autrement) ?

[@Thomaths]

Bonjour, Excellente question. C'est un invariant, et je ne l'ai jamais vu non plus. Je suppose qu'il est difficile à calculer. Pour une surface de genre g par exemple, j'ai l'impression qu'il faut g+2 cartes, mais peut-être on peut faire mieux ? Un exemple similaire dans la théorie des nœuds : un invariant de nœud est le nombre minimal de croisement dans un diagramme planaire du nœud. Mais c'est quasiment impossible à calculer (car il faut regarder tous les diagrammes, il y en a une infinité). Tenez-nous au courant si votre réflexion avance. - Alex

[@jean-francoisbiragnet7304]

@@Thomaths merci d'avoir pris le temps de réponse à ma question ! Oui, je mettrai ici mes recherches ... si mon niveau de simple amateur le permet d'aller plus loin

[@RgillesB]

Félicitations pour tes belles vidéos, J'adore le concept! Veux-tu faire une claire distinction entre "invariants topologique" et "invariants algébrique"

[@Thomaths]

Bonjour, merci pour votre gentil message. Je dirais qu'il y a différents invariants topologiques, et les plus utilisés sont ceux qui sont algébriques (il y a aussi des invariants analytiques). - Alex

[@RgillesB]

@@Thomaths super!

[@dicemaster5483]

il y a bien un ‘invariant total’ qui distingue tous les espaces, ou au moins les complexes cellulaires. Malheureusement, il s’agit dune structure algebrique difficile a decrire. Il s’agit du infini-groupoide fondamental, une version superieure du groupoide fondamental. Selon le point de vue, il peut etre discutable de l’appeler un ‘invariant’ puisqu’il contient toute l’information sur l’espace. N’empeche qu’il s’agit d’une structure algebrique qui distingue les espaces topologiques, comme suggeré par le slogan ‘spaces are higher groupoids’.

[@Thomaths]

Merci pour cette remarque ! Je ne connaissais pas ce résultat. Mais en effet si je comprends bien, on prend toute l'information de l'espace considéré et on l'inclut dans une structure algébrique gigantesque. La question de trouver un invariant facile qui distingue tous les espaces reste donc ouverte... - Alex

[@gregoiremarc7655]

Je sais que ton commentaire date un peu mais je me permet de répondre quand même. L'infini groupoïde fondamentale permet uniquement de comprendre les CW-complexes à homotopie près. Du coup, même en se restreignant aux CW-complexes comme tu dis, tu ne recupère pas toute l'information topologique mais uniquement l'information homotopique. D'ailleurs, l'information contenue dans l'infini groupoïde fondamentale est exactement celle comprise dans les groupes d'homotopies et du coup c'est pas si gigantesque que ça pour le coup (bien que très dure à calculer en général).

[@dicemaster5483]

@@gregoiremarc7655 il y a bien plus d'information dans l'infini groupoide fondamental que dans les groupes d'homotopie. en fait l'infini groupoide fondamental est literalement le type d'homotopie de l'espace, et ca ne se resume pas aux groupes d'homotopie. si on connait les groupes d'homotopie et les k-invariants, on peut reconstruire l'espace (a homotopie pres), mais les groupes seuls ne suffisent pas. par ailleurs qu'entend on par 'invariant' si ce n'est 'invariant par equivalence d'homotopie(/faible) ? par definition, un tel invariant ne peut rien connaitre de plus d'un espace que son type d'homotopie. en ce sens l'infini groupoide fondamental est l'invariant 'ultime' car il distingue tous les types d'homotopie. et en meme temps c'est le plus nul car c'est l'espace lui meme (a homotopie pres)...

[@gregoiremarc7655]

@@dicemaster5483 Non ce n'est pas vrai, le type d'homotopie faible d'un espace est bien contenu dans les groupes d'homotopie. Il suffit de regarder la définition d'équivalence faible pour le voir. Sinon, dans la vidéo, il parle d'invariants topologique pas homotopique. Par exemple la dimension topologique n'a pas de sens à homotopie près et c'est uniquement un invariant topologique. C'est typiquement ce genre d'informations que tu perds avec le groupoïde fondamentale. Sinon bien sûr, le groupoïde fondamentale contient toute l'information sur le type d'homotopie faible d'un espace, je n'ai jamais dit le contraire. Peut-être que tu confond groupes d'homotopie avec groupes d'homologie quand tu dis que ça ne contient pas toute l'info ?

[@dicemaster5483]

@@gregoiremarc7655 ces facile de trouver des espaces qui ont les meme groupes d'homotopie mais ne sont pas equivalents, par exemple RP2 et S2xRPinfini. le type d'homotopie ne se limite pas aux seuls groupes, sinon les types d'homotopie ne seraient que des groupes gradués...

[@robinmenestret823]

j'ai essayer d'imaginer un polyèdre homéomorphe à un tor comme par exemple la surface d'un cube percé mais je me rends compte que la caractéristique d'Euler n'est pas 0 mais 2. Je pense que j'ai loupé quelque chose...

[@Thomaths]

Bonsoir, c'est très juste; on peut considérer un cube avec un trou, par exemple constitué de triangles. Mais un polyèdre est par définition homéomorphe à une sphère. Le cas plus général est capté par la notion de complexe cellulaire (en l'occurrence de dimension 2). - Alex

[@jcfos6294]

Ca va vite, très vite.... Trop vite.... Il faut nous laisser absorber, retenir, apprendre....

[@Thomaths]

Bonjour, nos vidéos ne peuvent malheureusement pas durer trop longtemps, autrement elles deviennent très lourdes. Le format vidéo vous permet de mettre pause quand vous le souhaitez pour prendre le temps de réfléchir aux concepts que nous présentons. Bon courage ! - Eve

[@Thomaths]

Autre petite astuce : vous pouvez régler la vitesse de lecture de la vidéo en cliquant sur la petite roue dentée. Vous pouvez mettre 0,5 si c'est plus confortable pour vous :)

[@j9dz2sf]

Et pis y a la théorie des types homotopique...

[@alexvernes9264]

"ça fait augmenter = ça augmente". Désolé, mais cette façon de parler devenue générale, m'insupporte au plus haut point. Autre exemple "il doit passer par le territoire ennemi situé au nord-ouest et est fait capturé par les forces Xiongnu" ou encore "Leur prière a duré dix minutes ...,elle aurait dû avoir se tenir dans les « lieux de culte dédiés existant »". Ces exemples sont réels et je pourrais en citer bien d'autres... Je doute qu'on avance en mathématique fondamentale si cette mathématique hyper complexe qu'est le langage (et les piles logiques qui le sous tendent) s'érode comme il se constate aujourd'hui sous les coups de boutoir de la crétinerie artificielle, qui en réalité ne recourt qu'à des structures logiques réductrices (structures logiques qu'on peut assimiler à des topos).

[@Thomaths]

Bonjour, vous avez raison sur ce point, la langue doit être précise et correctement utilisée pour permettre une réelle réflexion. Cependant vous pouvez pardonner à Alexander ses rares maladresses en français ; ce n'est pas sa langue natale. Merci pour votre bienveillance ! - Eve

[@Thomaths]

Et pour répondre à ce que vous disiez sur votre difficulté à le comprendre, n'hésitez pas à activer les sous-titres ! Je m'applique à les faire moi-même sur toutes les vidéos afin de remplacer les sous-titres automatiques qui contiennent encore de nombreuses coquilles. - Eve

[@alexvernes9264]

@@Thomaths Thomas a d'autant plus d'excuses que les Français natifs montrent la voie sur le chemin de Babel