Что такое поля в математике? Душкин объяснит

Исследуйте увлекательный мир математики и откройте для себя концепцию полей в этом познавательном видео. Поля - это фундаментальная математическая структура, которая лежит в основе многих разделов математики и имеет множество практических приложений в науке и технике. В этом видео объясняется, что такое поля, как они определяются и создаются, а также какие существуют типы полей. Являетесь ли вы студентом, учителем или просто интересуетесь красотой математики, это видео предоставит ценную информацию о мире полей. Смотрите прямо сейчас, чтобы узнать о силе полей и о том, как они используются в математике и не только!
Также приглашаю подписаться на мой ТГ-канал: t.me/drv_official - после этого вы не пропустите ничего интересного, что выходит из моего пера с помощью моих прекрасных сотрудников.

[@jugglerjuggler3244]

Хороший термин математическая "структура". Объясняет наглядно, что разные вещи могут иметь одинаковую структуру. Если доказано свойство для абстрактной структуры, тогда ясно, как поведение неважно-чего, обладающего такой структурой, будет иметь то же свойство.

[@dushkin_will_explain]

Именно! Вы уловили самую суть.

[@mansurtulaev9361]

Очен крутой разбор! Спасибо)

[@dushkin_will_explain]

Благодарю. Мы очень стараемся.

[@dushkin_will_explain]

А вот и весь плейлист по линейной алгебре: kzbin.info/www/bejne/hnOXiqKbdrF3bbc Конечно же, вы всегда можете нам написать на почту.

[@dushkin_will_explain]

И, кроме того, вы всегда можете написать мне в ТГ: @rdushkin

[@dushkin_will_explain]

Изображение с доски: disk.yandex.ru/i/Zqgc9IZhKLLEAA

[@Art_Corner115]

спасибо вам

[@dushkin_will_explain]

Пожалуйста. Пользуйтесь, на здоровье.

[@olegkomlev]

(исправлено. первоначально перепутал "поле" и "группа"). Кстати, а одноэлементное множество F={0} c обычными арифметическими операциями + и х образуют ли поле? Очевидно, 1-6 и 9 выполняется. Сомнение относительно 7): можно ли считать, что 1=0? Так, как сейчас написано, требование распространяется только на ненулевые элементы. Поскольку таковых нет, то требование можно считать выполненным, поэтому 7 удовлетворяет. Требование 8 тоже распространяется только на ненулевые элементы, значит тоже выполнено. Поэтому, формально, по ограничениям, указанным в ролике, F={0} - вполне себе поле (хоть и вырожденное). Сравнивая со статьей "Поле_(алгебра)" в Википедии, видим, что 7 требует обязательного наличия нейтрального элемента умножения, отличающегося от 0. Поэтому по определению поля Википедии множество F={0} полем не является (в поле обязательно должны быть отличающиеся элементы 0 и 1). А вот F={0,1} с операциями + и х полем будет.

[@dushkin_will_explain]

Хитрые рассуждения. И вы путаете поле и группу. Я тоже проверю в своих источниках, что там на этот счёт.

[@olegkomlev]

@@dushkin_will_explain Спасибо. Действительно перепутал. Исправлено.

[@ofmoonsbirdsandmonsters]

Так в множестве (0, 1) у тебя нет элемента, который при сложении с 1 давал бы 0, то есть 3 условие не выполняется. Поэтому множество, состоящее из одного нуля, я считал бы наименьшим полем, а на втором месте - поле (-1, 0, 1)

[@olegkomlev]

@Of Moons, Birds & Monsters, Действительно, F={0,1} не будет полем ,если считать + обычным сложением. Но если полагать ,что "+" - это "сложение по модулю 2" (XOR), то обратным к 1 будет сама 1 (1 XOR 1=0). А обратного к 0 действительно нет, в ролике неточность, а на самом деле существование обратного требуется только для ненулевых элементов.

[@olegkomlev]

@@ofmoonsbirdsandmonsters Множество {0}-не поле, если принимать требование об единице, как в Википедии, где сказано, что нейтральный элемент умножения должен быть отличен от нуля.

[@maximkosey5549]

Где оно применяется ? В физике например. если нам нужно узнать силу в какой-то точке пространства, то она вычисляется через суперпозицию как линейная комбинация с операциями + и х !

[@dushkin_will_explain]

В шифровании.

[@user-tl8sk1dp9q]

Совершенно неверный ролик.

[@dushkin_will_explain]

Благодарю за комментарий.

[@allex-all]

А почему разве в рациональных и вещественных нельзя умножить 0 на 1? Или где так нельзя?

[@dushkin_will_explain]

Можно. О чём вопрос?

[@allex-all]

@@dushkin_will_explain просто когда объясняли про пункт о существовании единицы в умножении, сказали "что носитель кроме ноля, ноль на единицу не умножается".

[@dushkin_will_explain]

@@allex-all, вероятно, я что-то напутал. Какой таймкод?

[@allex-all]

Время 7-09. Я подумал что это в общем случае, но засомневался. Буду благодарен если проясните

[@dushkin_will_explain]

@@allex-all, ошибся. В голове в то время было, скорее всего, то, что 0 /= 1. Ноль на единицу, конечно же, умножать можно, в результате получится 0.

[@user-tl8sk1dp9q]

Самая общая дифиниция поля такая: Полем называется множество F с двумя бинарными операциями сложения (аддитивная операция) и умнлжение (мультипликативная операция), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы. Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями сложения и умножение называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

[@dushkin_will_explain]

Дефиниция, умник...

[@user-tl8sk1dp9q]

Я смотрю вы тоже им особо не блещите.

[@dushkin_will_explain]

@@user-tl8sk1dp9q, блещете.

[@user-tl8sk1dp9q]

😄

[@user-tl8sk1dp9q]

Вы скорее всего хотели сделать ролик про группы, но перепутали стали называть все полем.

[@dushkin_will_explain]

Ролик про группы выпущен ранее. Это ролик про поля. В вашем определении перепутаны причина и следствие. Поле определяется как структура на носителе, и из свойств двух операций получается, что это две группы и кольцо над одним и тем же носителем. А не наоборот, что если у нас есть две группы и кольцо, то это поле. Хотя, конечно, это тоже правильно.

[@user-tl8sk1dp9q]

@@dushkin_will_explain Вот я подписался на ваш канал и не пойму немного его назначения. На нём у вас, можно сказать, все обо всем, какие бы ни были противоречивые точки зрения, вы все их выкладывайте без каих-либо критических размышлений или выводов. Только без обид. И на опечатки не обращайте внимания я с телефона печатаю. Если ваш канал рассчитан только на рекламу, количество подписчиков и коменты, то мне не тут не место. Просто я бы хотел видеть глубину размышлений и какой то дискусси что-ли... Повторюсь, особенно в квантовой механике, что не интерпретация, так она у вас имеет место быть, тоже самое и с философией. Только повторюсь без обид, всетаки это интерактивное общение с подписчикам

[@dushkin_will_explain]

@@user-tl8sk1dp9q, вы уж извините, что я с резкости начал, но вы тоже на своё первоначальное сообщение со стороны посмотрите... Ладно, я позиционирую свой канал как источник своего личного опыта преподавания технических и математических дисциплин для всех студентов, которые понимают русский язык. Дискутировать я не особо люблю, особенно на темы, типа интерпретаций квантовой механики или философии сознания. Ну просто жизненный опыт мне подсказывает, что не надо. Я не спорю, что иногда допускаю ошибки. Да, human sum et humani nihil a me alienum puto. У меня есть некоторое количество подписчиков, которые часто поправляют меня в комментариях или пишут дополнения к тому, что я рассказал, и я их благодарю за это.

[@user-tl8sk1dp9q]

Да ладно, ни чего страшного про резкость, я вот хотел понаписать, но потом остановился )))). Вы тоже извиняйте меня за резкий комент, но я совершенно не хотел оскорбить. Считаю так, если хочешь оскорбить - то игнорируй. Так вот я и говорю, что необходима точка зрения на каждую интерпретация КМ и философию сознания, причём, в философии так много устаревших мысленных экспериментов, что их можно и нужно переосмыслить с точки зрения современных научных точек зрения. Кстати, это же и поможет вам набрать больше комментариев под роликами. Да так и интереснее будет и будет смысл снимать новые ролики про интерпретации и взгляды. Ну я вот,как то так вижу. Только, чтобы это не получилось в виде обобщенной выложено темы по предмету. Таких роликов в ютюбе уйма. ;)

[@dushkin_will_explain]

@@user-tl8sk1dp9q, это всё понятно. Благодарю за осмысление. Но надо принимать во внимание и то, что у меня и моего коллектива есть дополнительные цели и задачи относительно этих роликов.

[@user-id3zg1cr5i]

Душкин ничего не объяснит, запуиает ещё больше.. Есть каналы с намного более простыми объяснениями. Зря потратила время на то, чтобы посмотреть весь плейлист. Жаль

[@dushkin_will_explain]

Удачи вам.

[@user-fh1tr3gi7f]

Кто? Ответь быстрее, пожалуйста.

[@gLg359]

Дистрибутивность ещё раз повторите и хотя бы для себя усвойте!

[@dushkin_will_explain]

Какой таймкод?

[@kuvaldos_arsen]

Голова!!!, Заучил наизусть такую длинную, бредовую сказку.

[@kuvaldos_arsen]

Голова знатно протекла уже на шестой минуте, у неё оказывается существует ( - а). ))))

[@dushkin_will_explain]

У меня таких сказок на годы вперёд.

[@kuvaldos_arsen]

@@dushkin_will_explain Даже если играть в твою абстракцию, и можно себе предположить в вымышленном поле объект ( а ), то предполагать существование объекта (-а), это запредельная глупость. Не бывает отрицательных объектов.

[@kuvaldos_arsen]

@@dushkin_will_explain Ломать мозги детям, не стыдно?

[@dushkin_will_explain]

@@kuvaldos_arsen, нет. Так я превращаю их в недетей.

[@user-lq3cg5qj3c]

Да ну! 7) при чем здесь ноль? Почему это нельзя умножать? 0 х 1 = 0. Где здесь противоречие?

[@dushkin_will_explain]

Мне надо подумать.

[@olegkomlev]

Согласен. Ограничения на множитель единицы вроде бы быть не должно, любой элемент из F при умножении на 1 не меняется, в том числе и 0. Но может быть дело не в том, что "0 умножать на 1 нельзя", а в том, что нет необходимости требовать, чтобы 0 х 1 = 0? Возможно, достаточно потребовать, чтобы ненулевые элементы не менялись, а неизменность нуля при умножении на 1 вытекает из остальных требований?

[@dushkin_will_explain]

@@olegkomlev, а как обратный элемент к 0 получить? Какой элемент при умножении на 0 даёт 1?

[@olegkomlev]

@@dushkin_will_explain А причем тут обратный? Обратный - это ограничение 8, в котором совершенно верно указано "a Є F\{0}". А я и Саша писали про ограничение 7, где непонятно почему есть ограничение (требование а\=0) на элемент а, умножаемый на 1.

[@olegkomlev]

Попробуем доказать, что 0 х 1 = 0, даже если в 7 это задано только для ненулевых элементов. Возьмем ненулевое а и для него имеем: a = a x 1 = (а+0) х 1=(а х 1)+(0 х 1). Из равенства a x 1 = (а х 1)+(0 х 1) и единственности нуля в группе, следует что (0 х 1) = 0. Т.о. в 7 достаточно потребовать, чтобы ах1=а только для ненулевых а, для а=0 получается само.